2025年中考数学二轮复习：等腰三角形的存在性问题 专项练习 （含解析）

等腰三角形的存在性问题

1.如图1,抛物线yax2+bx+c经过点A(-2,5),与x轴相交于点B(-1,O),C(3,O)两点

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△BCD沿直线BD翻折得到4BCD,若点C恰好落在

抛物线的对称轴上，求点C和点D的坐标；

(3)设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，当小CPQ为等边三角形时，求直线

BP的函数表达式.

2.如图1,抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C(0,—2),点A的坐标是(2,0),P为抛物线上的一个

动点，过点P作PDLx轴于点D,交直线BC于点E,抛物线的对称轴是直线x=-L

⑴求抛物线的函数表达式；

⑵若点P在第二象限内，且PE=：。。,求4PBE的面积；

⑶在(2)的条件下，若M为直线BC上一点，在x轴的上方，是否存在点M，使△BDM是以BD为腰的等腰

三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.

3如图1,矩形ABCD中,AB=6,BC=8,P、E分别是线段AC、BC上A的点,四边形PEFD是矩形，连结CF.

⑴若4PCD为等腰三角形，求AP的长;

(2)若AP=VX求CF的长.

4.抛物线L:y=-x2+bx+c经过点A(0,1),与它的对称轴直线x=l交于点B.

(1)直接写出抛物线L的解析式；

⑵如图1.过定点的直线y=kx-k+4(k<0)与抛物线L交于点M、^若^BMN的面积等于1,求k的值；

(3)如图2,将抛物线L向上平移m(m>0)个单位长度得到抛物线Lx,抛物线L1与y轴交于点C,过点C作y

轴的垂线交抛物线J于另一点D.F为抛物线Li的对称轴与x轴的交点,P为线段OC上一点.若△PCD与△POF

相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标.

思路点拨

1.第⑵题探究定点的方法，可以把解析式的中含k的项提取k,就可以看到当x=l时，不论k为何值，y的值

都为4.

2.探究得到的定点Q也在对称轴上，这样求不规则△BMN的面积就可以割补了.

3.第(3)题恰有2个点P的意义，就是/DPF等于90。只存在一种情况.

5如图1.在半径为2的扇形AOB中,NAOB=90。,点C在半径OB上,AC的垂直平分线交OA于点D,交弧AB

于点E,联结BE、CD.

(1)若C是半径OB中点，求NOCD的正弦值：

⑵若E是弧AB的中点，求证：BE2=B0-BC-,

(3)联结CE,当ADCE是以CD为腰的等腰三角形时，求CD的长.

备用图

6如图1,已知在平面直角坐标系中，抛物线.y=ax2-2x+c与x轴交于点A和点B(1,O),与y轴相交于点C

(0,3).

(1)求抛物线的解析式和顶点D的坐标；

(2)求证:ZDAB=ZACB;

(3)点Q在抛物线上，且小ADQ是以AD为底的等腰三角形，求点Q的坐标.

7如图1,抛物线y="2_1_4与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,连接AC、

BC点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m,过点P作PM±x轴,垂足为M,PM交BC于点Q,

过点P作PE〃AC交x轴于点E,交BC于点F.

⑴求A、B、C三点的坐标;

(2)试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q,使得以A、C、Q为顶点的三角形是等腰三角形.若存

在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)请用含m的代数式表示线段QF的长，并求出m为何值时QF有最大值.

区如图1,在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(3,1),点B的坐标为(6,5),点C的坐标为(0,5),某

二次函数的图像经过A、B、C三点.

(1)求这个二次函数的解析式；

(2)假如点Q在该二次函数图像的对称轴上，且小ACQ是等腰三角形，请直接写出点Q的坐标；

⑶如果点P在⑴中求出的二次函数的图像上，且tanzPCX=［，求NPCB的正弦值.

专题直击

在平面直角坐标系中，已知点A(3,l),点C(0,5),假如点Q在直线x=3上，且△ACQ是等腰三角形，求点Q的坐

9如图,在平面直角坐标系xOy中，已知点D的坐标为(3,4),点P是x轴正半轴上的一个动点，如果△DO

P是等腰三角形，求点P的坐标.

10如图.在矩形ABCD中.AB=6,BC=8动点P以2个单位/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动

点Q以1个单位/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，当Pd点到达终点时则停止运动.在P、

Q两点移动过程中，当△PQC为等腰三角形时，求t的值.

1满分解答

(1)设抛物线的交点式为y=a(x+l)(x-3),代入点人(-2,5),得5=5a.

解得a=l.所以y=(%+1)(%-3)=%2一2x-3..对称轴是直线x=l.

(2)如图2,因为点C落在抛物线的对称轴上，所以(C'B=CC.

因为翻折前后的对应线段相等，所以(C'B=CB.

所以△CBC是等边三角形.

因为对称轴BD平分NCBC,所以/DBC=30。.

设抛物线的对称轴与x轴交于点H.

在等边三角形CBC中,BH=2,所以(LH=2次.所以C(l,2V3

在RtABDH中,/DBH=30。，BH=2,所以=竽所以D(1,学).

(3)等边三角形BCC与等边三角形QCP有一个公共顶点C.分两种情况讨论.

①如图3,当点P在x轴上方时,/BCQ绕着点C顺时针旋转60。与4CCP重合.

所以PC'=QB,PC=QC.

当点Q落在对称轴上时,QB=QC.

等量代换，得PC=PC.所以点P在线段CC的垂直平分线上.

又因为直线BD垂直平分线段CC,所以直线BP就是直线BD.

由B(-l,0),D(l,2同得直线BP的解析式为y=yx+f.

②如图4,当点P在x轴下方时,△BCP绕着点C顺时针旋转60。与小CCQ重合.

所以NPBC=NQC'C.

当点Q落在对称轴上时，NQC'C=30。.等量代换，得/.PBC=30°.

设直线BP与y轴交于点E,那么E(0,一f).

由B(—1,0),E(0,—日)得直线BP的解析式为y=--y%—-y.

考点伸展

第⑶题两种情况的解法不同，是因为“手拉手”模型中，旋转全等的三角形不同.根本原因是两个等边三角形PC

Q不同，图3中线段CP绕点C逆时针旋转60。得到等边三角形PCQ,图4中线段CP绕点C顺时针旋转60。得

到等边三角形PCQ.

2.满分解答

⑴点A(2,0)关于对称轴x=-l的对称点为B(-4,0),设y=a(x-2)(x+4).

代入点C(0,-2),得-2=-8a.

解得a=[.所以抛物线的解析式为y=久久—2)(%+4)=ix2+|x-2.

(2)由B(-4,0)、C(0,-2),可得直线BC的解析式为y=-|x-2.

设P(%'[久2+)—2),E:久一2).

所以PE=Qx2+|x—2^)—Qx-2^=i%2+x

由PE=：OD,得|x2+x=：(一%).解得x=-5,或x=0(舍去).

所以PE=工/+x=至—5=g,BD=1

444

所以SPBE==|.

Zo

(3)如图2,BD=l,tanzMBD=tanzCBO=|,sinzMBD=

分两种情况讨论以BD为腰的等腰三角形BDM.作MH，x轴于H.

①如图3,BM=BD=1.在RtAMBH中，MH=~,BH=手.

所以0"=OB+B”=4+等.此时M(-4一手，g).

DIIB

②如图4,DB=DM=1.设MH=m,BH=2m,那么在RtAMDH中,由勾股定理得I2=m2+(2m-解得m=1

所以OH=OB+BH=4+2m=学此时M(-乳)

HDB//B

图4图5

考点伸展

第⑶题如果没有以BD为腰的限定，还存在第③种情况：如图5,当MD=MB时，点M在DB的垂直平分线

上.所以%=一

讨论等腰三角形BDM,用代数法方便一些.已知B(-4,0)、D(-5,0),设M(x--|x-2).

所以BD2=1,BM2=(久+4)2+(-|%-2)2,DM2=(%+5)2+(-|x-2)2.

然后分三种情况®BD2=BM2,@DB2=DM2,@MD2="炉列方程求解.

3.满分解答

(1)在RtAACD中,CD=6,AD=8,所以.AC=10,coszXCD=|.

等腰三角形PCD存在三种情况：

①如图2,当PC=PD时，点P在CD的垂直平分线上，此时P是AC的中点,AP=5.

②如图3,当CP=CD=6时,AP=10-6=4.

③如图4,当DP=DC时，由\CP=|CD,得CP=曰CD=学所以AP=10-^-=^.

⑵如图5,过点P作PM1AD于M,交BC于N,那么△PNE^ADMP.

所以畀券唱=ta"C8=*所以器*3

41

如图6,由NPDF=ZADC=90。彳导NCDF=ZADP.

所以△CDFMADP.所以泊次浙以AP=2

考点伸展

在本题情景下，点P从点A向点C运动的过程中，点F运动的路径长是多少?

由于△DCFs^DAP,所以/DCF=NDAP为定值.所以点F的路径为一条线段.

如图7,当点E与点C重合时，点F运动停止.

此时CF=^CD=^,,即点F运动的路径长是y

4.满分解答

(1)抛物线L的解析式是y=-x2+2x+1.

(2)如图3,由y=kx--k+4=k(x--l)+4,可知不论k为何值，当x=l时,y=4.

所以直线MN过定点Q(1,4),点Q在抛物线的对称轴上.

由y=_%2+2x+1=_(比—1)2+2,得B(l,2).所以QB=2.

联立y=—x2+2x+1和y=kx-k+4消去y,整理得x2+(k-2)x+3-k=0.

解得x=ri)”所以.布一XM=7k2-8.

过点M、N分别向对称轴作垂线，垂足分别为M，、Nf.

所以SQBM=]QB(NN'—MM')=xN-xM=xN-xM=

解方程"2—8=L得k=-3,或k=3(不符合题意，舍去).

⑶第一段，说理、计算，求m的值.

首先，如图4,/OPF=ZCPD总是存在的，且/=2=/所以PO=|0C.

因此NOPF与/CPD互余只能存在一种情况.

已知OC=l+m.设PO=n,那么CP=l+m-n.

如图5,由箓=:得五念=今整理，得"—⑺+1加+2=0.

解△=(m+I)2-8=得m=2近一1,或m=-2&-1(舍去).

所以当m=2V2-1时，恰有2个点P符合△PCD与^POF相似.

it匕时。。=1+zn=2V2.

第二段，分两种情况求点P的坐标.

①如图4,当/OPF=NCPD时,PO=1OC=誓.所以P(0,乎).

2

②如图5,当/OPF与NCPD互余时,n-2V2n+2=0.解得nr=n2=所以P(0,a).

考点伸展

第⑶题的几何意义就是以DF为直径的。G与y轴相切于点P时，△PCD与△P。尸相似，并且符合条件的点

P恰有2个.如果。G与y轴相交，那么有3个点P符合△PCD与△POF相似.如果。G与y轴相离，那么只有1

个点P符合△PCD与APOF相似.

5满分解答

⑴如图2,设AD=CD=x.

在RtADOC中,DO=2-x,CO=l,由勾股定理，得X2=(2-%)2+I2.

解得x=J.所以DO=2-x=2*所以sinzOCO=头=|.

444CD5

⑵如图3,若E是弧AB的中点，那么EA=EB.

又因为EA=EC,所以EB=EC.

联结OE,那么OE=OB.

又因为NB是两个等腰三角形的公共底角，所以△OBE^AEBC.

所以霹=器.于是得到BE2=B0.BC.

BOBE

■灌

oICIBOcB

图2图3

(3)如图4,因为△DCE丝4DAE,我们讨论以AD为腰的等腰三角形DAE:

①如图5,当AD=AE时，由于AD=CD,AE=CE,所以四边形ADCE是菱形此时ECXOB.

因为0C2=CD2-DO2=/一(2—%)2=4久一4,0C2=0E2-EC2=22-久？所以4x-4=2Z—x2.

整理，得+4%-8=0.解得CD=x=2V3-2.

②如图6,当DA=DE时，点D在AE的垂直平分线上.

而弦AE的垂直平分线一定经过原点0,所以点D与点0重合.

此时点C与点B重合,CD=2.

图4图5

考点伸展

等腰三角形DAE的第3种情况EA=ED怎么讨论呢？

如图7,讨论ED=DC比较方便.此时点E在CD的垂直平分线上.

由垂径定理,可知半径0E垂直平分弦AB，所以DC〃AB.

所以△DOC是等腰直角三角形.此时DC=V2DO.

解方程x=V2(2-x)彳导CD=x=4-2V2.

图7

6满分解答

(1)将B(1,O)、C(0,3)分别代入y=aY-2x+c,得〔=3.解得『二，L.所以y=_x2_2x+3=-(x+3)(x-l)=-

(x+l)2+4.

所以A(-3,0),顶点D(-l,4).

(2)如图2,设抛物线的对称轴与x轴交于点E.

在RtADAE中，tanzDAB=-^-=2.

AE2

如图3,作BF_LAC于F.

在RtAAOC中,OA=OC=3,所以NA=45。，AC=3V2

在等腰直角三角形ABF中，AB=4,所以4F=BF=2&.

在RtABCF中,(CF=AC-AF=VX所以tan乙4cB=毁=半=2.

由tan/DAB=/ACB=2彳导/DAB=/ACB.

(3)如图4,作AD的垂直平分线，与抛物线交于点Q,垂足为H,那么△ADQ是以AD为底的等腰三角形.

由A(-3,0)、D(-l,4),得中点尔-3,2).设(Q(x>-%2-2%+3).

过点H作y轴的平行线，过D、Q分别作y轴的垂线，构造RtADNH-RtAHMQ.

由空="得工=2_(*-2x+3),整理得2/+3%-4=0.

NHMQ2X+27

解得久=三旦.

所以QF警，三),或F/，H回)

考点伸展

第⑶题也可以联立方程组求点Q的坐标.

设AD的垂直平分线与x轴交于点G,垂足为H,那么H(-3,2).

由于的三边比为1:2:逐,由此可计算出AG的长，得到G(2,0).

由H(-3,2)、G(2,0)得到直线HG的解析式为y=-jx+l.

然后联立直线HG与抛物线的解析式，解方程组得到两个点Q的坐标.

7满分解答

⑴由y=1久2一,一4=*乂+3)(久一4＞得A(-3,0),B(4,0),C(0,-4).

(2)点Q的坐标为(学,竽-4),或(1,-3).

⑶第一段，说理.

如图2,由PE〃AC得N1=N2.

又因为N2与N3互余，所以/3与N1互余.

因为N1为定值，所以N3为定值.

如图3,由PM〃y轴,所以/PQF=/BCO=45。为定值

所以△QFP的形状是确定的.当QP取得最大值时，QF也取得最大值.

第二段，用m表小QP.

由B(4,0)、C(0,-4)彳导直线BC的解析式为y=x-4.

所以P^m2—1m—4^,Q(m-m—4)

所以QP=(m—4)—Qm2—|m—4^=—|m2+|m=—|(m2—4m)

第三段，用m表示QF.如图4,作FHXQP于H.

由tanzl=*所以tanz3=|.

在小QFP中，设FH=3a,PH=4a,那么QH=3a.所以(QF=3近a.

图4

由QP=74得a=,QP.所以QF=3近a=^QP=-4m).

所以当m=2时，QP和QF都取得最大值.

考点伸展

第⑵题的思路是这样的:已知A(-3,0),C(0,-4),所以AC=5.

因为点Q在直线BC:y=x-4上，设Q(m,m-4).

分三种情况讨论等腰三角形ACQ:

①如图5,如果AQ=AC=5,|由AQ2=25得(m+3)2+(m-4)2=25.解得m=l,或m=O(Q与C重合，舍去).

②如图6,如果CQ=CA=5,那么m2+m2=25.解得m=土警舍去负值).

③如图7,如果QA=QC,由QA2=Q片得(m+3)2+(m-4)2=m2+/.解得m=12.5(此时点Q在CB的延

长线上，舍去).

8满分解答

⑴由B(6,5)、C(0,5),可知抛物线的对称轴是直线x=3.

由A(3,l),可知点A是抛物线的顶点.

设二次函数的解析式为y=a(x-3)2+1,代入点B(6,5)彳导9a+l=5.

解得a='所以y=-3)2+1=|x2+5.

⑵点Q的坐标为(3,6),(3,7),(3,9)或(3,?」

⑶如图2,绕着点A将线段AC的中点旋转90。得到点D,那么射线CD与抛物线的交点就是要求的点P.

当点D在CA左侧时,射线CD与抛物线没有交点.

如图3,当点D在CA右侧时，作D