2025版高考数学大一轮复习第十一章统计统计案例4第4讲概率与统计的综合问题新题培优练文含解析新人教A版

PAGE1-第4讲概率与统计的综合问题[基础题组练]1．为探讨女高校生体重和身高的关系，从某高校随机选取8名女高校生，其身高和体重数据如下表：身高x/cm165165157170175165155170体重y/kg4857505464614359利用最小二乘法求得身高预报体重的回来方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.849x－85.712，据此可求得R2≈0.64，下列说法正确的是()A．两组变量的相关系数为0.64B．R2越趋近于1，表示两组变量的相关关系越强C．女高校生的身高说明了64%的体重改变D．女高校生的身高差异有64%是由体重引起的解析：选C.用最小二乘法求得身高预报体重的回来方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.849x－85.712，据此可求得R2≈0.64，即女高校生的身高说明了64%的体重改变，而随机误差贡献了剩余的36%，故选C.2．为了考察两个变量x和y之间的线性相关状况，甲、乙两个同学各自独立地做了10次和15次试验，并且利用最小二乘法，求得回来直线所对应的方程分别为l1：y＝0.7x－0.5和l2：y＝0.8x－1，则这两个人在试验中发觉对变量x的观测数据的平均值s与对变量y的观测数据的平均值t的和是()A．8 B．9C．10 D．11解析：选A.因为两组数据对变量x的观测数据的平均值都是s，对变量y的观测数据的平均值都是t，所以两组数据的样本中心点都是(s，t)．因为数据的样本中心点肯定在线性回来直线上，所以回来直线l1和l2都过点(s，t)．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t＝0.7s－0.5，,t＝0.8s－1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(s＝5，,t＝3，))所以s＋t＝8.故选A.3．(2024·贵阳第一学期检测)A市某校学生社团针对“A市的发展环境”对男、女各10名学生进行问卷调查，每名学生给出评分(满分100分)，得到如图所示的茎叶图．(1)计算女生打分的平均分，并依据茎叶图推断男生、女生打分谁更分散(不必说明理由)；(2)如图(2)是按该20名学生的评分绘制的频率分布直方图(每个分组包含左端点，不包含右端点)，求a的值；(3)从打分在70分以下(不含70分)的学生中抽取2人，求有女生被抽中的概率．解：(1)女生打分的平均数为eq\f(1,10)×(68＋69＋76＋75＋70＋78＋79＋82＋87＋96)＝78；男生打分比较分散．(2)由茎叶图可知，20名学生中评分在[70，80)内的有9人，则a＝eq\f(9,20)÷10＝0.045.(3)设“有女生被抽中”为事务A，由茎叶图可知，有4名男生，2名女生的打分在70分以下(不含70分)，其中4名男生分别记为a，b，c，d，2名女生分别记为m，n，从中抽取2人的基本领件有ab，ac，ad，am，an，bc，bd，bm，bn，cd，cm，cn，dm，dn，mn，共15种，其中有女生被抽中的事务有am，an，bm，bn，cm，cn，dm，dn，mn，共9种，所以P(A)＝eq\f(9,15)＝eq\f(3,5).4．(2024·河南郑州一中入学测试)已知某中学高三文科班学生共有800人参与了数学与地理的测试，学校确定利用随机数表法从中抽取100人进行成果抽样调查，先将800人按001，002，…，800进行编号．(1)假如从第8行第7列的数起先向右读，请你依次写出最先抽取的3个人的编号；(下面摘取了第7行到第9行的数据)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(84421753315724550688770474,476721763350258392120676))第7行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(63016378591695556719981050,717512867358074439523879))第8行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(33211234297864560782524207,443815510013429966027954))第9行(2)抽取的100人的数学与地理的测试成果如下表：成果分为优秀、良好、及格三个等级；横向、纵向分别表示地理成果与数学成果，例如：表中数学成果为良好的人数共有20＋18＋4＝42.人数数学优秀良好及格地理优秀7205良好9186及格a4b①若在该样本中，数学成果的优秀率是30%，求a，b的值；②在地理成果及格的学生中，已知a≥11，b≥7.求数学成果优秀的人数比及格的人数少的概率．解：(1)785，567，199.(2)①eq\f(7＋9＋a,100)×100%＝30%，所以a＝14，b＝100－30－(20＋18＋4)－(5＋6)＝17.②a＋b＝100－(7＋20＋5)－(9＋18＋6)－4＝31.因为a≥11，b≥7，所以a，b全部可能的取值为：(11，20)，(12，19)，(13，18)，(14，17)，(15，16)，(16，15)，(17，14)，(18，13)，(19，12)，(20，11)，(21，10)，(22，9)，(23，8)，(24，7)，共14种．当a≥11，b≥7时，设“数学成果优秀的人数比及格的人数少”为事务A，则a＋5＜b.事务A包括：(11，20)，(12，19)，共2个基本领件．所以P(A)＝eq\f(2,14)＝eq\f(1,7)，故数学成果优秀的人数比及格的人数少的概率为eq\f(1,7).[综合题组练]1．某班甲、乙两名同学参与100米达标训练，在相同条件下两人10次训练的成果(单位：秒)如下．12345678910甲11.612.213.213.914.011.513.114.511.714.3乙12.313.314.311.712.012.813.213.814.112.5(1)请画出适当的统计图；假如从甲、乙两名同学中选一名参与学校的100米竞赛，那么从成果的稳定性方面考虑，选派谁参与竞赛更好，并说明理由(不用计算，可通过统计图干脆回答)；(2)经过对甲、乙两名同学的若干次成果的统计，甲、乙的成果都匀称分布在[11.5，14.5]之间，现甲、乙竞赛一次，求甲、乙成果之差的肯定值小于0.8的概率．解：(1)茎叶图(其中茎表示整数部分，叶表示小数部分)，或频率分布直方图如图．从统计图中可以看出，乙的成果较为集中，差异程度较小，故选派乙同学参与竞赛更好．(2)设甲同学的成果为x，乙同学的成果为y，则由|x－y|＜0.8，得－0.8＜x－y＜0.8，如图，阴影部分的面积为3×3－2.2×2.2＝4.16.故所求概率为P(|x－y|＜0.8)＝P(－0.8＜x－y＜0.8)＝eq\f(4.16,3×3)＝eq\f(104,225).2．(2024·沈阳质量检测(一))为调查中国及美国的中学生在“家”、“挚友聚集的地方”、“个人空间”这三个场所中感到最华蜜的场所是哪个，从中国某城市的中学生中随机抽取了55人，从美国某城市的中学生中随机抽取了45人进行答题．中国中学生的答题状况：选择“家”的中学生的人数占eq\f(2,5)，选择“挚友聚集的地方”的中学生的人数占eq\f(3,10)，选择“个人空间”的中学生的人数占eq\f(3,10)，美国中学生的答题状况：选择“家”的中学生的人数占eq\f(1,5)，选择“挚友聚集的地方”的中学生的人数占eq\f(3,5)，选择“个人空间”的中学生的人数占eq\f(1,5).(1)请依据以上调查结果将下面的2×2列联表补充完整，并推断能否有95%的把握认为“恋家(在家里感到最华蜜)”与国别有关；在家里感到最华蜜在其他场所感到最华蜜总计中国中学生美国中学生总计(2)从被调查的不“恋家”的美国中学生中，用分层抽样的方法随机选出4人接受进一步调查，再从4人中随机选出2人到中国沟通学习，求2人中含有在“个人空间”感到最华蜜的中学生的概率．附：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.0500.0250.0100.001k03.8415.0246.63510.828解：(1)补充2×2列联表如下：在家里感到最华蜜在其他场所感到最华蜜总计中国中学生223355美国中学生93645总计3169100因为K2＝eq\f(100×（22×36－9×33）2,31×69×55×45)≈4.628＞3.841，所以有95%的把握认为是否“恋家”与国别有关．(2)用分层抽样的方法选出4人，其中在“挚友聚集的地方”感到最华蜜的有3人，在“个人空间”感到最华蜜的有1人，分别记为a1，a2，a3，b，则全部的基本领件为(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b)，(a2，a3)，(a2，b)，(a3，b)，共6个．设“含有在‘个人空间’感到最华蜜的中学生”为事务A.则A包含的基本领件为(a1，b)，(a2，b)，(a3，b)，共3个，所以P(A)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，故2人中含有在“个人空间”感到最华蜜的中学生的概率为eq\f(1,2).3．(应用型)(2024·太原模拟试题(一))某校提倡为特困学生捐献，要求在自动购水机处每购买一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少抽入一元钱，现统计了连续5天的售出矿泉水箱数和所得捐款额状况，列表如下：售出水量x/箱76656所得捐款额y/元165142148125150学校安排将捐款以奖学金的形式嘉奖给得才兼备的特困生．规定：特困生综合考核前20名，获一等奖学金500元；综合考核前21～50名，获二等奖学金300元；综合考核50名以后的不获得奖学金．(1)若x与y成线性相关，则某天售出9箱水时，预料所得捐款额为多少元？(2)假设甲、乙、丙三名学生均获奖，且各自获一等奖和二等奖的可能性相同，求三人获得奖学金之和不超过1000元的概率．附：回来方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do10(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\o(∑,\s\up6(n),\s\do10(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).解：(1)eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(7＋6＋6＋5＋6,5)＝6，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(165＋142＋148＋125＋150,5)＝146，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(5),\s\do10(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\o(∑,\s\up6(5),\s\do10(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)＝eq\f(19＋0＋0＋21＋0,1＋0＋0＋1＋0)＝20，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝146－20×6＝26，所以eq\o(y,\s\up6(^))＝20x＋26.当x＝9时，eq\o(y,\s\up6(^))＝20×9＋26＝206.即某天售出9箱水的预料所得捐款额是206元．(2)设事务A1：甲获一等奖；事务A2；甲获二等奖；事务B1：乙获一等奖；事务B2：乙获二等奖；事务C1：丙获一等奖；事务C2：丙获二等奖．则总事务为(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，共8种状况．甲、乙、丙三人获得奖金之和不超过1000元的事务有(A2，B2，C2)1种状况，则三人获得奖学金之和不超过1000元的概率为eq\f(1,8).4．某市一中学课外活动小组为了探讨经济走势，对该市1994～2024年的GDP(国内生产总值)相关数据进行了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．其中zi＝lnyi，wi＝lnxi.e6.42≈614.003，e6.63≈757.482，e6.84≈934.489，ln24≈3.18，ln25≈3.22，ln26＝3.26.(1)依据散点图推断，y＝a＋bx，y＝ec＋dx与y＝m＋nlnx哪一个适合作为该市GDP值y关于年份代码x的回来方程类型？(给出推断即可，不必说明理由)(2)依据(1)的推断结果及表中数据，建立y关于x的回来方程；(3)试预料该市2024年的GDP值．(参考公式：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do10(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\o(∑,\s\up6(n),\s\do10(i＝1))（xi－\o(x,\