2025年浙教版九年级中考数学一轮复习讲义：分式

浙教版中考数学第一轮专题复习讲义

第一单元数与式

《第3讲分式》

【知识梳理】

1.分式的概念

⑴分式的概念:形如2(4B是整式,5中含有字母,且5W0)的代数式叫做分式.

⑵分式有意义的条件:分母不为0.

(3)分式的值为零的条件：分子为零,但分母不为零.

2.分式的基本性质

⑴分式的基本性质：3=当，3=言(其中舷是不等于零的整式).

(2)约分:把一个分式的分子和分母的公因式约去,叫做分式的约分.

(3)最简分式:分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式.

(4)通分:把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分.

3.分式的加减

(1)同分母的分式相加减:分式的分母不变，把分子相加减，即牡安一早—

(2)异分母的分式相加减:先通分，转化为同分母的分式,然后相加减，即牡，一曙

4.分式的乘除

(1)分式乘分式:用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母，即李•卜焉

⑵分式除以分式:把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即£+(=£

_ad

"bc—.

(3)分式的乘方:把分子、分母各自乘方，分别做结果的分子、分母，即(£)"=一奈_(〃为整数).

5.分式的混合运算

⑴法则:在分式的混合运算中，应先算乘方,再将除法化为乘法，进行约分化简,最后

进行加减运算,如有括号,要先算括号里的.

(2)实数的各种运算律也适用于分式的运算,且运算结果要化成最简分式或整式.

【考题探究】

类型一分式有意义的条件

［例1］［2024•安徽］若分式上有意义,则实数x的取值范围是xW4.

%—4

变式1:2024•湖州模拟］若分式必的值为0,则x的值是（A）

%—2

A.-2B.O

C.2D.4

类型二分式的基本性质的运用

【例2】下列式子从左边至右边的变形，错误的是（A）

AA.2-=—2cB.-=-

33c5c5

c.a—11Da

—ia+1-vb

变式2T［经典题］已鸵-宁3,则代数式，空坟3的值为（D）

x—xy—y

A-

C-1

【解析】Vi-i=3,

xy

^=3,.*.x-y=-3孙

xy

2(%—y)+3xy_-6xy+3xy_-3xy_3

原式=

(x-y)-xy—3xy-xy—4xy4

变式2—2［一题多解］若//则^=-1—•

【解析】斛法1:利用比例的基本性质”两内项积等于两外项积”求解.

V^=|)：.3a=2b,：.a=h,

.a+b_lb+b_5

»•----

bbb3,

解法2:设参数求解.

=

设a=2匕则b3kf

•a+匕2Zc+3/c5k5

••,

b3k3k3

斛法3:逆,用同分母分式加减法法则求斛.

a+b=£+-=-+1=

bbbb1+1胃

类型三分式的运算

・a+1

【例3】[2024•河南]化简:(六+1

*a2—4

解:原式=山二ja+l_

a—2(a+2)(a—2)

a+1.(a+2)(a—2)

CL—2a+1

=a+2.

变式3T[2023.温州]计算:常一..

2

解:原式=a+2—3_(a+l)(a—1)口_]

a+1a+1a+1

变式3—2[2023.江西]化简义+士♦.下面是甲、乙两同学的部分运算过程:

x(x-l)%(%+1)x2-l'

解：原式=L(x+l)(x-l)+(x+l)(x-l)J

甲同学

'乙同学

⑴甲同学解法的依据是②，乙同学解法的依据是③.(填序号)

①等式的基本性质;②分式的基本性质;③分配律;④乘法交换律.

(2)请选择一种解法,写出完整的解答过程.

解:(2)选择乙同学的斛法.

原式=3.三+上.给二

x+1XX—1X

X(x+l)(x—1).x(x+l)(x—1)

•------------十-----•-------------

%+1XX—1X

=2x.

类型四分式的化简求值

2L

【例4][2023•枣庄]先化简,再求值:(a—英品n,其中a的值从不等式组一芯

\a2—1a2—1

的解中选取一个合适的整数.

解:原式=(a—J—a2—1

\a2—1a2

a2—la2a2—l

a2—1a2

a2—1.2

------1=-a---—--a---l

aa

Va2-1R0,aRO,

a^+1,a，0,

a=2,

22-2-11

:•原式=

22

变式4—1[2024•苏州]先化简,再求值:x+1+1)+^^,其中X=-3.

%—2/%2—4

x+1+x—2.」+2)(%—2)

角星:原式=

x~2%(2%—1)

2x—l.(x+2)(x—2)

%—2x(2x—1)

%+2

x

—3+21

当x=—3时，原式=

-33,

2

变式4-2[2024•烟台]利用课本上的计算器进行计算,按键顺序如下:3T%5

若加是其显示结果的平方根，先化简:含+7m—4白匕善,再求值.

9—m2m+3

m2+3m7m—4

角星:原式=m+3

m2—9m2—94—2m

(巾―2)2m+3

(m+3)(m—3)-2(m-2)

m—2

6~2m

根据讨算器可得价=±9-5=±V4=±2.

V4—2zn?^0,

当m=—2时，原式=二^二2

6+45,

【课后作业】

1・代数式①久②*③3，④1—1，⑤*⑥*中，属于分式的是（c）

A.②⑤B.①⑤⑥

C.③⑤⑥D.①②④⑥

2.下列分式中，属于最简分式的是(A)

AX2—lx+1

B.

'x2+l%2—1

C%2-2xy+y2

x2~xy

3.[2023•邵阳]下列计算正确的是(D)

6

n2

A.—於=a

B.(6Z2)3=4Z5

「a+--

(a+匕)2(a+b『

0

D.=1

4.[2。24•甘肃]计算:含一含=(A)

A.2B.2a-b

2

C.D.C

2a—b2a—b

5.若x是自然数,则表示圣-芸的值的对应点落在如图所示的数轴上的范围是(

x-\-2(x+2)

①②③

•~—-——――-

-1.10.11.32.5

第5题图

A.①B.②

C.③D.①或②

【解析】原式=系(无+2)(%—2)

(第+29

2xx~2_2%—(x—2)_x+2_

---=-------=---=1A

x+2x+2x+2x+2

•2x%2—4

»*的值在0.l~l.3之间.

x+2(x+2)2

6.[2024.河北]已知A为整式，若计算入一木的结果为衰，则A=(A)

A.xB.y

C.x-\-yD.x-y

【解析】••4_y_%—y

xy-\-y2x2-\~xyxy

xy-\-y2xyx2-\-xy，

•a_%—y

••_L|y,

y(x+y)xyx(x+y)

Ax=(x—y)(x+y)+y2,

.\Ax=x2.

又；・4=乂

7.已知o＞Q0,且/+廿=3次则弓十斤式煮一目的值是(B)

A.V5B.lV5

C.立D.—渔

55

【解析】&+£)&&-a)

_(a+D)2.b2—a2

a2b2*a2b2

(a+匕产.a2b2

a2b2(b+a)(b—a)

a+匕

a-b

/•(a+bp=Sab,(a—b)2=ab.

又•.•。＞力＞0,..a+b=V5ab,a—b=y[ab,

•力

••原式4_—一7漏Sab^=-V5.

ab

8.由（空一口值的正负可以比较A=坐与2的大小，下列说法中，正确的是（C）

\2十c2/2十c2

A.当c=-2时,A=：

B.当c=0时，。夸

C.当c<一2时,

D.当c<0时,A<2

1+c12+2c—2—

【解析】cc

2+c24+2c4+2c*

C不能等于一2,A错误.

1

当c=0时,4=5,B错误.

r1

当c<~2时，；>0,故A>:C正确.

4十2c2

r*11

当c<0时，可能大于0也可能小于0,故A可能大于；，也可能小于小D错误.

4+2c22

9.[2024•吉林]当分式士的值为正数时,写出一个满足条件的x的值：0(答案不唯一).

10.[2024•绥化]化简:口+

x-y.%2—2%y+y2x-yx1

【解析】原式=

x*xx(x~y)2x-y

U.[2023.衡阳]已知尸5,则代数式力-六的值为弓

【解析】原式=温詈丁丽芸3口-12_3(%—4)_3

(x+4)(x—4)(x+4)(x—4)%+4*

Q1

当*=5时，原式,=^=5.

12.如图所示的解题过程中，步骤①出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的x的

值是5.

先化简，再求值：至+1,其中许洪.

x-4T

解:原式二・(%_4)+(%一4)・••①

=3—4

=-1.

第14题图

3-Y3-—41

【解析】——X+■1=----x---\-x----

%—4%—44—%*

1

令」=一1,解得x=5.

4—%

3—x

经检验，当x=5时，——+1有意义,

%—4

/.图中被污染的x的值是5.

13.(1)[2024-重庆B卷]计算：

%2—4

%2—4%+4

解:原式=匚龙(1)2

(x+2)(x-2)

%.(%—21

x—2(x+2)(x—2)

X

x+2*

⑵［2024,湖南］先化简,再求值:*.六十*其中-3.

解原式=-2）厂2）--X--十।一3=-x--~-2十I一3=%+1

X乙x+2xxx—

,—I/k3+14

当x=3时，原式=丁=3-

14.［2023•临沂］下面是某同学计算多一a—1的解题过程:

a—1

2

解:」n一一a—1

a—1

—a?_(a-1产…①

a—1a—1

=a2一立―…②

a—1

a2—a2+a—1

a—1

=-a----l=Lr・••④xrx

a—1

上述解题过程从第几步开始出现错误?请写出正确的解题过程.

解:斛题过程从第1步开始出现错误.

正确的斛题过程如下:

a2

a—1=圣一(a+1)

a—1

a2—(a2—1)

a-l

a2—a2+l

a—1

1

a—1

15.（1）［2024•枣庄］先化简，再求值乎，其中a=l.

\a+3/az—9

解:原式=寄一a+2

(a+3)(a—3)

a+2*(a+3)(a—3)

a+3a+2

当a=l时，原式=1-3=-2.

（2）12024.遂宁］先化简：（1一士）.-p再从1,2,3中选择一个合适的数作为x的值代入

求值.

解:原式x-2

(%—

—久—2〉(久―1)2

X~1X—2

X—1.

Vx—1^=0,x—2对，；・存1,存2,

/•X只能取3.

当x=3时，原式=2.

16.[2024•滨州]欧拉是历史上享誉全球的最伟大的数学家之一,他不仅在高等数学各个领域

作出杰出贡献,也在初等数学中留下了不凡的足迹.设4c为两两不同的数,称&=厂4—

(a—b)[a—c)

un

+—4