2025年新高考数学重难点专项复习：立体几何中的动态、轨迹问题【六大题型】（原卷版）

重难点20立体几何中的动态、轨迹问题【六大题型】

【新高考专用】

►题型归纳

【题型1动点保持平行的动态轨迹问题】........................................................2

【题型2动点保持垂直的动态轨迹问题】........................................................2

【题型3距离(长度)有关的动态轨迹问题】....................................................4

【题型4角度有关的动态轨迹问题1............................................................................................4

【题型5翻折有关的动态轨迹问题】............................................................5

【题型6轨迹所围图形的周长、面积问题】......................................................6

►命题规律

1、立体几何中的动态、轨迹问题

“动态、轨迹”问题是高考立体几何问题最具创新意识的题型，是高考中的重点、难度问题，它渗透

了一些“动态”的点、线、面等元素，给静态的立体几何题赋予了活力，题型更新颖.同时，由于“动态”

的存在，也使立体几何题更趋多元化，将立体几何问题与平面几何中的解三角形问题、多边形面积问题以

及解析几何问题之间建立桥梁，使得它们之间灵活转化.

►方法技巧总结

【知识点1立体几何中的动态、轨迹问题的解题策略】

1.动点轨迹的判断方法

动点轨迹的判断一般根据线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断

出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程.

2.立体几何中的轨迹问题的常见解法

(1)定义法：根据圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，进而求解轨迹问题.

(2)交轨法：若动点满足的几何条件是两动曲线(曲线方程中含有参数)的交点，此时，要首先分析两动曲

线的变化，依赖于哪一个变量?设出这个变量为3求出两动曲线的方程，然后由这两动曲线方程着力消去

参数K化简整理即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法我们称为交轨法.

(3)几何法：从几何视角人手，结合立体几何中的线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理，找到动

点的轨迹，再进行求解.

(4)坐标法：坐标法就是通过建立空间直角坐标系，将立体几何中的轨迹问题转化为坐标运算问题，进

行求解.

(5)向量法：不通过建系，而是利用空间向量的运算、空间向量基本定理等来研究立体几何中的轨迹问

题，进行求解.

►举一反三

【题型1动点保持平行的动态轨迹问题】

【例1】（2024•全国•模拟预测）如图，在棱长为2的正方体力BCD-AiBiGDi中，E为棱2c的中点，F为

底面ABCD内一动点（含边界）.若DiF〃平面&EQ,则动点尸的轨迹长度为（）

A.V3B.V5C.2V2D.V2

【变式1-1]（2024•北京昌平•二模）已知棱长为1的正方体2BCD—4/停1。1，M是的中点，动点P在

正方体内部或表面上，且MP〃平面ABDi，则动点P的轨迹所形成区域的面积是（）

A.孝B.V2C.1D.2

【变式1-2]（2024•江西赣州•二模）在棱长为4的正方体ZBCD-AiBiCiDi中，点P满足诟=4万，E,F

分别为棱BC,CD的中点，点Q在正方体2BCD-&B1C1D1的表面上运动，满足&Q〃面EFP,则点Q的轨迹

所构成的周长为（）

A.亨B.2V37C.争D.喈

【变式1-3]（2024•山东枣庄•二模）如图，在棱长为1的正方体48CD—4道忑1。1中，M是的中点，

点尸是侧面CD小。上的动点，且.MP〃平面4B1C,则线段M尸长度的取值范围为（）

A.怦，阕B.[1当

C.惕|]D.[V2,|]

【题型2动点保持垂直的动态轨迹问题】

【例2】（2024•山东潍坊•一模）如图所示，在棱长为1的正方体A8CD-&8停1%中，点P为截面4停声上

的动点，若。P14C则点P的轨迹长度是（）

A.孝B.V2C.1D.1

【变式2-1］（2024•海南省直辖县级单位•模拟预测）已知四棱柱A8CD-4道1的。1的底面力BCD为正方形，

侧棱与底面垂直，点P是侧棱。氏上的点，且DP=2P£）i，44i=3/B=1.若点Q在侧面BCCiBi（包括其边界）

上运动，且总保持4QIBP,则动点Q的轨迹长度为（）

AD

BiCi

A.V3B.V2C.等D.y

【变式2-2］（2024•广西玉林•三模）在正四棱柱4BCD-4再传1。1中，AB=1,44i=4,E为D2中点，P

为正四棱柱表面上一点，且QP1B1E,则点P的轨迹的长为（）

A.V5+V2B.2V2+V2C.2V5+V2D.V13+V2

【变式2-3］（2024•广西南宁•一模）在边长为4的菱形4BCD中，乙480=120。.将菱形沿对角线2C折叠成

大小为30。的二面角夕-4C-D.若点E为用C的中点，F为三棱锥B-4CD表面上的动点，且总满足4C1EF,

则点尸轨迹的长度为（）

4+逐一«4+店+«

A.B.C.4+V6—D.4+V6+V2-

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【题型3距离（长度）有关的动态轨迹问题】

【例3】（2024・四川南充•二模）三棱锥力一BCD中，AB=AC=AD=4,BC=CD=DB=6,P为△BCD内

部及边界上的动点，AP=242,则点P的轨迹长度为（）

A.nB.211C.3irD.4n

【变式3-1]（2024•广东梅州•一模）如图，正四棱柱ZBCD-Zi&CiDi中，=241=2,点尸是面遇i

上的动点，若点P到点。1的距离是点P到直线2B的距离的2倍，则动点P的轨迹是（）的一部分

A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线

【变式3-2]（23-24高三上•江西抚州•阶段练习）设/、8是半径为遮的球体。表面上的两定点，且

乙4OB=3球体。表面上动点M满足=则点〃的轨迹长度为（）

代丁

A.好B,吟Cc.—47T

【变式3-3]（2023•陕西西安・模拟预测）已知正方体48。。-公8停1。1的棱长为2Vlp是正方形B&CiC（含

边界）内的动点，点P到平面&BD的距离等于竽，贝3,P两点间距离的最大值为（）

A.2V3B.3C.3V2D.2V6

【题型4角度有关的动态轨迹问题】

【例4】（2024•全国•模拟预测）已知正四棱锥P-48CD的体积为竽，底面4BCD的四个顶点在经过球心的

截面圆上，顶点P在球。的球面上，点E为底面力BCD上一动点，PE与PO所成角为也则点E的轨迹长度为

（）

A.V2nB.4V3TTC.粤D.孚rr

【变式4-1]（2024•海南海口•一模）如图，点P是棱长为2的正方体48CD-4m修1。1表面上的一个动点，

直线4P与平面2BCD所成的角为45。，则点P的轨迹长度为（）

C.2V3D.3V2+TT

【变式4-2］（23-24高一上•浙江绍兴•期末）已知点P是边长为1的正方体4BCD-&BiCiDi表面上的动点,

若直线4P与平面4BCD所成的角大小为*则点P的轨迹长度为（）

A.3V2B.2V2+TTC.辛（4+11）D.2V2+7

【变式4-3］（2024•江西•模拟预测）如图，已知正三棱台48C-4当前的上、下底面边长分别为4和6,侧

棱长为2,点尸在侧面BCCiBi内运动（包含边界）,且4P与平面BCC/i所成角的正切值为遥，则所有满

足条件的动点尸形成的轨迹长度为（）

、4K近712TI

B.D.

A・y-a"V

【题型5翻折有关的动态轨迹问题】

【例5】（23-24高三上•云南昆明•阶段练习）如图，已知在△4BC中，AB=1,BC=3,AB1BC,D是BC边

上一点，且8。=1,将△ABD沿4。进行翻折，使得点8与点P重合，若点P在平面4DC上的射影在△力DC内

部及边界上，则在翻折过程中，动点尸的轨迹长度为（）

P

A.B.海C.当D.生

6

【变式5-1］（2024•河南•模拟预测）如图，在长方形/BCD中，AB=2,FC=4,£为2c的中点，将△B4E

沿/E向上翻折到△P4E的位置，连接尸C,PD,在翻折的过程中，以下结论错误的是（）

P(B)

A.四棱锥P-力EC。体积的最大值为2四

B.PD的中点尸的轨迹长度为等

C.EP,CD与平面P4D所成的角相等

D.三棱锥P-4ED外接球的表面积有最小值16n

【变式5-2］（23-24高二上•四川内江・期中）如图，已知菱形4BCD中，AB=2,ABAD=120°,E为边BC

的中点，将AABE沿2E翻折成△ABm（点为位于平面4BCD上方），连接aC和3以，F为名。的中点，则

在翻折过程中，点F的轨迹的长度为.

R

-V/-/-J/）

BEC

【变式5-3］（22-23高二上•广东广州•期末）已知矩形2BCD中2B=3,AD=瓜现将△4CD沿对角线力C

向上翻折（如图所示），若在翻折过程中，点。到点8的距离在［手，亨］内变化时，点D的运动轨迹的长

度等于.

【题型6轨迹所围图形的周长、面积问题】

【例6】（23-24高三上•广西贵港•阶段练习）正三棱柱48。-4/1射的底面边长是4,侧棱长是6,M,N

分别为BBi，CCi的中点，若点尸是三棱柱内（含棱柱的表面）的动点，MPII平面A&N,则动点尸的轨迹

面积为（）

A.5V3B.5C.V39D.V26

【变式6-1］（2024•河北•模拟预测）已知正四棱锥（底面为正方形，且顶点在底面的射影为正方形的中心

的棱锥为正四棱锥）尸T3CD的底面正方形边长为2,其内切球。的表面积为全动点。在正方形/BCD

内运动，且满足0Q=0P,则动点。形成轨迹的周长为（）

【变式6-2］（23-24高二下•浙江•开学考试）在正四面体4BCD中，P,Q分别是棱AB,CD的中点，E尸分别是

直线AB,CD上的动点，且满足|PE|+|QF|=a,M是EF的中点，则点M的轨迹围成的区域的面积是（）

包

AB—C—uD—

A.4o-21，4-2

【变式6-3］（2024・四川•一模）如图，正方体4BCD-41B1C1D1的棱长为3,点E在棱BC上，且满足

BE=2EC,动点M在正方体表面上运动，且MEIBDi，则动点M的轨迹的周长为（）

A.6V2B.4V3C.4V2D.3V3

►过关测试

一、单选题

1.（2024・陕西铜川•模拟预测）在正四棱台力BCD—&B1C1D1中，AB=2A1B1=^,=V10,P是四

边形4BCD内的动点，且&P=4,则动点P运动轨迹的长度为（）

A.亨B.警C.亨D.2V2TT

2.（2024・辽宁•模拟预测）如图，在棱长为2的正方体4BCD-&BiCiDi中，己知M,N,P分别是棱的小,

441，BC的中点，Q为平面PMN上的动点，且直线QBi与直线DBi的夹角为30。，则点Q的轨迹长度为（）

3.（2024•江西•二模）已知正方体4BCD-4/传以1的棱长为4,点M满足CiM=3而，若在正方形&名5

内有一动点P满足BP〃平面AM外,则动点P的轨迹长为（）

A.4B.V17C.5D.4V2

4.（2024・四川成都・三模）在棱长为5的正方体A8CD-48忑1。1中，Q是中点，点P在正方体的内

切球的球面上运动，且CP1AQ,则点P的轨迹长度为（）

A.V5TTB.2V5nC.D.5n

5.（2024•北京延庆・一模）已知在正方体4BCD-&BiCiDi中，AB=1,P是正方形4BCD内的动点，

PA>PCr,则满足条件的点P构成的图形的面积等于（）

A-3-p—r）—

a.84168

6.（2024•上海徐汇・二模）三棱锥P—ABC各顶点均在半径为2a的球。的表面上，AB=AC=2®乙BAC=

90。，二面角P-BC—4的大小为45。，则对以下两个命题，判断正确的是（）

①三棱锥0-4BC的体积为*②点P形成的轨迹长度为2份T.

A.①②都是真命题

B.①是真命题，②是假命题

C.①是假命题，②是真命题

D.①②都是假命题

7.（2024•四川成都・三模）六氟化硫，化学式为SF6,在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体,

有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是

正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）.如图所示，正八面体

E-4BCD-9的棱长为a,下列说法中正确的个数有（）

①异面直线2E与BF所成的角为45°；

②此八面体的外接球与内切球的体积之比为3g；

③若点P为棱EB上的动点，贝1Mp+CP的最小值为2^a；

④若点。为四边形4BCD的中心，点Q为此八面体表面上动点，且|0Q|=?则动点Q的轨迹长度为竽am

A.1个B.2个C.3个D.4个

8.（2024•四川绵阳•三模）如图，正方体的棱长为3,点M是侧面上的一个动点（含

边界），点P在棱C。上，且|PO|=1.则下列结论不正确的是（）

A.若保持|PM|=W3.则点M的运动轨迹长度为9

B.保持PM与BO垂直时，点M的运动轨迹长度为2四

C.沿正方体的表面从点4到点P的最短路程为2祗

QQ

D.当M在/点时，三棱锥夕-MAP的外接球表面积为彳n

二、多选题

9.（2024高三•全国•专题练习）如图，在长方体A8CD—&B1C1D1中，AB=BC=4,44i=3,M为4。中

点，P为矩形CCiDiD内的动点（包括边界），且NDPM=NBPC,贝U（）

A.点P的轨迹为椭圆的一部分

B.点P的轨迹为圆的一部分

C.点P的轨迹与DC,DDi所围成的图形面积为等

D.点P的轨迹长度为凯

10.（2024・重庆•模拟预测）已知正方体4BCD-4避停1。1的棱长为1,空间中一动点P满足丽=4近+〃就

（2,〃eR）,M,N,Q分别为441/B/D的中点，则下列选项正确的是（）

ac

A.存在点P,使得41P〃平面MNQ

4K1

B.设4Ci与平面MNQ交于点K,则箴=g

C.若NP4C=30。，则点P的轨迹为抛物线

D.三棱锥P-QMN的外接球半径最小值为二

II.（2024・湖南益阳•三模）如图，点尸是棱长为2的正方体2BCD-4中传1。1的表面上的一个动点，则下

列结论正确的是（）

A.当点P在平面BCC/1上运动时，四棱锥P-44以1。的体积不变

B.当点尸在线段ZC上运动时，DiP与4停1所成角的取值范围为，3]

C.使直线AP与平面ABCD所成角为45°的动点P的轨迹长度为TT+4鱼

D.若尸是公&的中点，当点P在底面A8CD上运动，且满足PF〃平面&CD1时，尸尸长度的最小值为

V5

三、填空题

12.（23-24高三上•江西抚州•期中）已知菱形28CD的各边长为2,ND=60。.如图所示，将△ACD沿4C折起,

使得点。到达点S的位置,连接SB,得到三棱锥S-2BC,此时SB=3.若E是线段S4的中点，点尸在三棱锥S-4BC

的外接球上运动，且始终保持EF14C则点尸的轨迹的面积为.

13.（2024•江西宜春•模拟预测）如图，在四面体4BCD中，△ABC和△4CD均是边长为6的等边三角形，

DB=9,则四面体4BCD外接球的表面积为____；点E是线段ND的中点，点厂在四面体4BCD的外接球上

运动，且始终保持EF1/C,则点尸的轨迹的长度为.

A

14.（2024・四川遂宁•模拟预测）在直四棱柱ABCD-公名的小中，所有棱长均为2,^BAD=60°,P为CC1

的中点，点Q在四边形DCCMi内（包括边界）运动，下列结论中正确的是（填序号）.

a♦

①当点Q在线段CDi上运动时，四面体&BPQ的体积为定值

②若4Q〃面&BP,