2025年中考数学分类复习：分式方程（解析版）

4<05台式方程及实标点用

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5年考情•探规律

考点五年考情（2020-2024）命题趋势

考点1解分式2024•广东卷、2021•广州卷、2022•广州卷、2020•广分式方程的解法及列分式方程解

方程州卷、2024•广州卷：分式方程的解法实际问题，在中考中，属于基础题，

考点2列分式2023•广州卷、2023•深圳卷：根据实际问题列出复习时，注重计算能力培养，避免

方程分式方程因计算失误而丢分，另要特别注意

考点3利用分2023•广东卷：分式方程应用分式方程根的检验，在解决实际问

式方程解决问2022•深圳卷：分式方程应用、不等式组应用题时，往往会结合不等式或一次函

题2020•广东卷：分式方程应用、不等式应用数考察，

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5年真题•分点精准练

考点1解分式方程

23

1.（2024•广东•中考真题）方程三=士的解为（）

x-3x

A.x=3B.x=—9C.x=9D.x=—3

【答案】C

【分析】把分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.

【详解】解：92=士3

x-3x

去分母得：2x=3（尤-3）,

去括号得：2x=3x-9,

移项、合并同类项得：-彳=-9,

解得：x=9,

经检验：x=9是原分式方程的解，

故选：C.

【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解题的关键是解分式方程注意要检验，避免出现增

根.

12

2.（2021•广东广州•中考真题）方程一==*的解为（）

x-3x

A.x=—6B.x=—2C.x=2D.x=6

【答案】D

【分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解即得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.

12

【详解】解：一==4

龙一3x

去分母得：x=2x-6,

移项合并得：—x=-6,

化系数为"1"得：尤=6,

检验，当x=6时，x（x-3）=18^0,

回尤=6是原分式方程的解.

故选：D.

【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是"转化思想"，把分式方程转化为整式方程求解,

解分式方程一定注意要验根.

3.（2022•广东广州•中考真题）分式方程3三=三2的解是______

2xx+l

【答案】x=3

【分析】先去分母，将分式方程转化成整式方程求解，再检验即可求解;

【详解】解：方程两边同时乘以2x（x+l）,得

3（x+l）=4x

3x+3=4尤

x=3,

检验：把x=3代入2x（尤+1）=2x3（3+1）=2430,

回原分式方程的解为：尤=3.

故答案为：x=3.

【点睛】本题考查解分式方程，解分式方程的基本思想是将分式方程转化成整式方程求解，注意：解分式

方程一定要验根.

4.（2020•广东广州•中考真题）方程』7=4；的解是_____.

x+12x+2

3

【答案】j

【分析】根据分式方程的解法步骤解出即可.

【详解】赤3

2x+2

左右同乘2(x+l)得:2x=3

3

解得

3

经检验，是方程的瞅

故答案为：!3

【点睛】本题考查解分式方程，关键在于熟练掌握分式方程的解法步骤.

13

5.(2024•广东广州•中考真题)解方程:

2%-5x

【答案】x=3

【分析】本题考查的是解分式方程，掌握分式方程的解法是解题关键，注意检验.依次去分母、去括号、

移项、合并同类项求解，检验后即可得到答案.

13

【详解】解:

2%-5x

去分母得：X=3(2X-5),

去括号得:x=6x—15,

移项得：x-6x=-15,

合并同类项得：-5x=-15,

解得：尤=3,

经检验，尤=3是原方程的解,

，该分式方程的解为x=3.

考点2列分式方程

6.(2023•广东广州•中考真题)随着城际交通的快速发展，某次动车平均提速60km/h,动车提速后行驶

480km与提速前行驶360km所用的时间相同.设动车提速后的平均速度为xkm/h,则下列方程正确的是

)

360480360480_360480360480

A.——=-------B.---------=——C.—二-----------D.---------=——

x%+60x-60xxx-60x+60x

【答案】B

【解析】

【分析】根据提速前后所用时间相等列式即可.

360480

【详解】解：根据题意，得

x-60x

故选：B.

【点睛】本题考查了列分式方程，找准等量关系是解题关键.

7.（2023,广东深圳•中考真题）某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物，且大

货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同，设有大货车每辆运输x吨，则所列

方程正确的是（）

x-5xxx-5x+5xxx+5

【答案】B

【分析】根据“大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同"即可列出方程.

【详解】解：设有大货车每辆运输x吨，则小货车每辆运输任-5）吨，

贝四=2.

xx-5

故选B

【点睛】本题考查分式方程的应用，理解题意准确找到等量关系是解题的关键.

考点3利用分式方程解决问题

8.（2023•广东•中考真题）某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校12km,甲、乙两同学骑自行车同

时从学校出发，甲的速度是乙的L2倍，结果甲比乙早到lOmin,求乙同学骑自行车的速度.

【答案】乙同学骑自行车的速度为0.2千米/分钟.

【分析】设乙同学骑自行车的速度为x千米/分钟，则甲同学骑自行车的速度为1.2x千米/分钟，根据时间=

路程:速度结合甲车比乙车提前10分钟到达，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论.

【详解】解：设乙同学骑自行车的速度为x千米/分钟，则甲同学骑自行车的速度为L2x千米/分钟，

1212

根据题意得：一-3=1。，

x1.2尤

解得：x—0.2.

经检验，x=0.2是原方程的解，且符合题意，

答：乙同学骑自行车的速度为0.2千米/分钟.

【点睛】题目主要考查分式方程的应用，理解题意列出分式方程是解题的关键.

9.（2022•广东深圳•中考真题）某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本.已知甲种类型的笔记本的单价

比乙种类型的要便宜1元，且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样.

⑴求甲乙两种类型笔记本的单价.

（2）该学校打算购买甲乙两种类型笔记本共100件，且购买的乙的数量不超过甲的3倍，则购买的最低费用

是多少？

【答案】⑴甲类型的笔记本单价为11元，乙类型的笔记本单价为12元

（2）最低费用为1101元

【分析】（1）设甲类型的笔记本单价为x元，则乙类型的笔记本为（x+1）元.列出方程即可解答；

（2）设甲类型笔记本购买了。件，最低费用为w,列出w关于。的函数，利用一次函数的增减性进行解答

即可.

【详解】（1）设甲类型的笔记本单价为x元，则乙类型的笔记本为（x+1）元.

110120

由题意得:

xx+1

解得：x=ll

经检验x=U是原方程的解，且符合题意.

团乙类型的笔记本单价为：11+1=12（元）.

答：甲类型的笔记本单价为11元，乙类型的笔记本单价为12元.

（2）设甲类型笔记本购买了。件，最低费用为w,则乙类型笔记本购买了（100-。）件.

100-a<3a

由题意得:

100—a>0

025<<7<1OO.

w=ll（7+12（100-a）=llo+1200-12a=-a+1200.

0-1<0,

El当。越大时w越小.

回当a=99时，w最小，最小值为—1x99+1200=1101（元）.

答:最低费用为1101元.

【点睛】此题考查了分式方程的应用，以及一次函数的应用，掌握分式方程的应用，以及一次函数的应用

是解题的关键.

10.（2020・广东•中考真题）某社区拟建A,3两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个

B类摊位的占地面积多2平方米，建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30

元，用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的

（1）求每个A,3类摊位占地面积各为多少平方米？

（2）该社拟建A,8两类摊位共90个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍.求建造这90个摊位

的最大费用.

【答案】（1）5平方米；3平方米（2）10520元

【分析】（1）设A类摊位占地面积x平方米，则B类占地面积（尤-2）平方米，根据同等面积建立A类和B

类的倍数关系列式即可；

（2）设建A类摊位。个，贝U3类（90-。）个，设费用为z,由（1）得A类和B类摊位的建设费用，列出总

费用的表达式，根据一次函数的性质进行讨论即可.

【详解】解：（1）设每个A类摊位占地面积x平方米，则3类占地面积（x-2）平方米

解得x=5,

国尤-2=3,经检验x=5为分式方程的解

团每个A类摊位占地面积5平方米，B类占地面积3平方米

（2）设建A类摊位。个，则B类（9。-a）个，费用为z

团3aW（90-d）

0O<tz<22.5

z=40x5a+30x3（90-a）

=110（2+8100,

0110>0,

既随着a的增大而增大，

又加为整数，

团当a=22时z有最大值，此时z=10520

团建造90个摊位的最大费用为10520元

【点睛】本题考查了一次函数的实际应用问题，熟练的掌握各个量之间的关系进行列式计算，是解题的关

键.

1年模拟•精选模考题

21

11.（2024•广东广州•一模）方程--=―；的解为（）

x-4x+1

A.x=—6B.x=-2C.x=2D.x=6

【答案】A

【分析】本题考查了解分式方程.先去分母，转化为整式方程，再求解，检验即可.

【详解】解：2（x+l）=x-4,

去括号得2x+2=x-4,

解得：x=-6,

经检验：x=-6是原方程的根，

故选：A.

93

12.（2024•广东湛江•二模）分式方程=7=\的解是（）

x+1x-1

A.x=—5B.x=5C.x=—3D.x=-l

【答案】A

【分析】本题主要考查解分式方程，先把分式方程化为整式方程，求出x的值，代入公分母进行检验即可;

【详解】解：52=—3，

x+lX-1

去分母得，2（x-l）=3（x+l）,

解得，x=-5,

经检验，x=-5是原方程的解，

即方程的解是x=-5,

故选：A

13.（2024・广东广州•一模）分式方程3三=2*的解为（）

无一3尤

A.x=6B.x=—6C.x=3D.x=—3

【答案】B

【分析】此题考查了解分式方程，按照解分式方程的步骤解方程即可.

【详解】解：^3-=-2

x-3x

去分母得到，3x=2（x-3）

解得x=-6.

经检验，尤=-6是原方程的解.

故选：B

Y1

14.（2024•广东梅州•一模）分式方程上;=1--2的解是（）

尤-22-x

A.x=—1B.x=0C.x=lD.x=2

【答案】C

【分析】本题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化

为工、检验，计算即可得出答案.

X1

【详解】解：分式方程整理得：一==-一=-2,

x-2尤一2

去分母得：x=-l-2（x-2）,

去括号得：x=—1—2,X+4-,

移项得：x+2x=-l+4,

合并同类项得：3x=3,

解得：x=l,

经检验X=1是分式方程的解.

故选：c.

15.（2024•广东揭阳•一模）已知关于尤的方程==1的解是负数，则”的取值范围是（）

x+1

A.a<1B.a<1且aW0

C.«>1D.a>l且。片0

【答案】B

【分析】本题考查了解分式方程、根据分式方程解的情况求参数，先解分式方程得出x=a-l,根据解是负

数得出a-1<0,且4-1工-1,求解即可得出答案.

【详解】解：去分母得：a=x+l,

解得：x=a—l,

.关于x的方程=1的解是负数，

x+1

—1<0,且a—1W—1,

解得：a<1且awO,

故选：B.

16.（2024•广东广州•三模）明明与妹妹慧慧周六去广州海珠湖的环湖绿道跑步，绿道一圈路程约为2.5千米，

明明的速度是妹妹速度的L2倍，跑完一圈明明比妹妹少用4min,设妹妹跑步的速度为xkm/h,则可列方

程为（）

2.52.5,2.542.52.52.5,2.52.54

1.2xx1.2尤60x1.2xx1.2尤x60

【答案】B

【分析】本题主要考查了分式方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键.设妹妹跑步的速度为xkm/h,

则明明跑步的速度为1.2xkm/h,根据“跑完一圈明明比妹妹少用4min”列出方程即可.

【详解】解：设妹妹跑步的速度为xkm/h,则明明跑步的速度为L2xkm/h,

根据题意，可得2台5+去4=上25.

1.2尤60尤

故选：B.

17.（2024•广东惠州•二模）2024年3月17日惠州举办了首届马拉松，本届赛事以“畅跑山海惠州，尽享东

坡文化”为主题，以弘扬惠州东坡文化为主旨，是一场体现文旅体深度融合的“嘉年华"赛事.已知总赛程约

为42km,在同一场比赛中A选手的平均速度是B选手的1.2倍，最终A选手冲刺终点的时间比8选手提前

20分钟，若设B选手的平均速度是Akm/h,则可列方程为（）

4242142421

A.————B.————

1.2%X3X1.2x3

42424242

C.=20D.=20

L2xXX~L2x

【答案】B

【分析】本题主要考查了分式方程的应用一一行程问题.熟练掌握路程与速度和时间的关系列代数式，时间

差列方程，是解决问题的关键.

20分钟化为;小时，根据时间差20分钟列出方程，逐一判断即得.

【详解】回在同一场比赛中A选手的平均速度是8选手的1.2倍，2选手的平均速度是;ckm/h,

她选手的平均速度为1.2xkm/h,

团总赛程约为42km,最终A选手冲刺终点的时间比8选手提前20分钟，

20min=­h,

3

42421

团-------=—.

x1.23

故选：B.

18.(2024•广东深圳•三模)在创建文明城市的进程中，某市为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于

志愿者的加入，实际每天植树比原计划多30%,结果提前2天完成任务，设原计划每天植树x万棵，由题

意得到的方程是()

5。50「25050

尤(1+30%)尤-B-T-30%^=

c.上一2#D.旦一竺=2

30%xx30%xx

【答案】A

【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设原计划每天植树尤万棵，则实际每天植树(l+30%)x万棵，根

据实际提前2天完成任务，列出方程即可.

【详解】解：设原计划每天植树x万棵，则实际每天植树(l+30%)x万棵，由题意可得，

5050c

------------------------2

x(l+30%)x'

故选：A.

19.(2024•广东佛山•二模)在题目“甲、乙两地相距300km,一辆汽车从甲地匀速开往乙地，…，求汽车实

际行驶的时间？"中，若设汽车原计划需行驶xh,可得方程(1+25%)•平=占，则题目中"…"表示的条件

是()

A.速度比原计划增加25%,结果提前lh到达B.速度比原计划增加25%,结果晚lh到达

C,速度比原计划减少25%,结果提前lh到达D.速度比原计划减少25%,结果晚lh到达

【答案】A

【分析】本题主要考查分式的实际运用，理解题目中的数量关系，分式方程表示的含义，掌握分式方程解

实际问题的方法是解题的关键.根据设汽车原计划需行驶xh,可得平表示的含义，由此可得(1+25%)*,

个表示的含义，由此即可求解.

X-1

【详解】解：设汽车原计划需行驶Xh,则出表示原计划的速度,

回（1+25%）。皿表示的是在原计划的速度上提高25%,

X

300

团——表示实际的速度,

x-1

0A符合题意,

故选：A.

20.（2024・广东广州•二模）为了落实"双减"政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球，已

知每个篮球的价格比每个足球的价格多20元，用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个,

如果设每个足球的价格为x元，可列方程为:

【答案】-^--—=5

x+20x

【分析】此题考查了分式方程的应用，设每个足球的价格为'元，则每个篮球的价格为（1+20）元，用1500元

购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个列出方程即可，由解题的关键读懂题意列出分式方程.

【详解】解：设每个足球的价格为X元，则每个篮球的价格为（X+20）元,

上的*,曰1500800口

由题思得：-----=3，

x+20x

乂田上上1500800口

故答案为：』------5.

x

21.（2024・广东揭阳•一模）若关于*的分式方程上7+1=4有增根，则优的值为

x—11-x

【答案】-1

【分析】本题考查了增根的概念，利用增根的意义即可求解，正确理解增根的含义是解题的关键.

【详解】解：上7+1=4

x-11—x

1-m

x=------

2

回关于X的分式方程*+1=4有增根，

X—11—X

1-m,

回％=----=1,

2

团羽=—1,

故答案为：-1.

22.（2024•广东东莞•一模）解分式方程：；+2=一二

2-xx-2

【答案】x=3

【分析】本题主要考查解分式方程，观察可得最简公分母是（2-x）,方程两边乘最简公分母，可以把分式

方程转化为整式方程求解并检验即可.

【详解】解：原分式方程化为'+2=-」一,

2—x2—x

去分母，方程两边同乘以（2-尤）得：

1+2（2-力=-1,

解得，x-3,

检验：当尤=3时，2-XH0,

团尤=3是原方程的解.

23.（2024•广东江门•二模）解方程：3=-x+—1=1.

无一44-尤

【答案】x=3.

【分析】根据解分式方程的步骤解答：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论.

【详解】解：一3-r+一1一=1,

x-44-x

方程两边同乘以（x-4）,得

3—x—l=x~4,

解得x-3,

检验：当x=3时，x-4w0,

所以方程的解为x=3.

24.（2024・广东河源•一模）某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品.现该公

司分别花费1080元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数

多20%,每份牛肉面比每份杂酱面的价格贵5元，求每份牛肉面的价格.

【答案】每份牛肉面的价格为20元

【分析】本题考查分式方程的应用.设每份杂酱面的价格为尤元，则每份牛肉面的价格为（x+5）元，根据"购

买杂酱面的份数比牛肉面的份数多20%〃列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论.

【详解】解：设每份杂酱面的价格为x元，则每份牛肉面的价格为（x+5）元，

根据题意，得更的=当、（1+20%）.

xx+5

解得尤=15.

经简要x=15是原方程的解.

则每份牛肉面的价格为：15+5=20（元）.

答：每份牛肉面的价格为20元.

25.（2024•广东珠海•三模）2024年是甲辰龙年，作为中华民族重要的精神象征和文化符号，千百年来，龙

的形象贯穿文学、艺术、民俗、服饰、绘画等各个领域，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意.某商

店销售A,8两款与龙相关的吉祥物，已知A款吉祥物的单价比8款吉祥物的单价高20元，若顾客花1000

元购买A款吉祥物的数量与花500元购买B款吉祥物的数量相同，求42两款吉祥物单价.

【答案】每个A款吉祥物的售价为40元，每个B款吉祥物的售价为20元

【分析】本题考查了分式方程实际应用问题，根据题意找到相等关系是解题的关键.设一个8款吉祥物的

售价为x元，则一个A款吉祥物的售价为（x+20）元，根据顾客花1000元购买A款吉祥物的数量与花500

元购买8款吉祥物的数量相同，即可列出等量关系求解.

【详解】解：设一个B款吉祥物的售价为x元，则一个A款吉祥物的售价为（x+20）元，

,口1000500

根据题意,得-----=一

x+20x

解得x=20.

经检验，x=20是所列方程的解，且符合题意,

x+20=20+20=40（兀）.

答:每个A款吉祥物的售价为40元，每个3款吉祥物的售价为20元.

26.（2024•广东•三模）伴随着“双碳”政策的实施，新能源汽车应运而生，新能源汽车补充电量主要有两种方

式，一种是用充电桩充电，一种是换电站换电池.已知某型号油电混合动力汽车每次换电池的时间比加油

的时间多1.5分钟，且花6小时完成换电池服务的次数与花4小时完成加油服务的次数相等.求该车每次换

电池服务和完成加油服务的时间分别是多少？

【答案】该车每次换电池服务的时间和完成加油服务的时间分别是4.5分钟和3分钟

【分析】本题考查分式方程的应用，找准等量关系并列出分式方程是解题的关键.

设每次完成换电池服务的时间为X分钟，根据“每次换电池的时间比加油的时间多1.5分钟"表示次完成加油

服务的时间为（xT.5）分钟，根据“花6小时完成换电池服务的次数与花4小时完成加油服务的次数相等"建

立方程，求解即可.

【详解】解：设每次完成换电池服务的时间为x分钟，则每次完成加油服务的时间为（x-L5）分钟,

根据题意，得迎

xx-1.5

解得x=4.5，

经检验，x=4.5是原分式方程的解，且符合题意,

团1.5=3（分钟）.

答：该车每次换电池服务的时间和完成加油服务的时间分别是4.5分钟和3分钟.

27.（2024•广东清远•二模）某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品.现该公

司分别花费960元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品，己知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数

多20%,每份牛肉面比每份杂酱面的价格贵5元，求每份牛肉面的价格.

【答案】每份牛肉面的价格为15元

【分析】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键.

设每份杂酱面的价格为x元，则每份牛肉面的价格为（彳+5）元，根据“购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多

20%”列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论.

【详解】解：设每份杂酱面的价格为x元，则每份牛肉面的价格为（x+5）元，

根据题意，得丝°=上当x（l+20%）.

解得x=10.

经检验：尤=10是原方程的解.

则每份牛肉面的价格为：10+5=15（元）.

答：每份牛肉面的价格为15元.

28.（2024・广东肇庆•二模）为了响应国家低碳出行的号召，李老师上班的交通方式由开汽车改为骑自行车,

李老师家距学校5千米，已知汽车的速度是自行车速度的4倍，若李老师要按原来的时间到校，则每天比

原来提前15分钟出发，求李老师骑自行车的速度.

【答案】15千米/时

【分析】本题主要考查分式方程的应用，正确列出方程是解题的关键.

设张老师骑自行车的平均速度是每小时为千米，每天比原来提前15分钟出发列方程求解即可；

【详解】解：设李老师骑自行车的速度是x千米/时，

由题意得：----,

尤4x4

解得：x=15,

经检验，x=15是原分式方程的解，且符合题意.

答：李老师骑自行车的速度是15千米/时.

29.（2024•广东江门•一模）港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，连起了世界最具活力经济区，快速通道的

建成对香港、澳门、珠海三地经济社会一体化意义深远.桥长约48千米，是原来开车从香港到珠海路程的

!，若现在利用快速通道开车从香港到珠海的平均速度是原来平均速度的2倍，所需时间比原来缩短了约3

4

小时，求现在开车从香港到珠海的平均速度.

【答案】112千米/时

【分析】本题考查了分式方程的应用，设原来开车从香港到珠海的平均速度为x千米/时，则现在开车从香

港到珠海的平均速度为2x千米/时，根据时间=路程+速度，结合开车从香港到珠海所需时间缩短了约3小

时，即可得出关于x的分式方程，解之经检验即可得出结论.找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关

键.

【详解】解：设原来开车从香港到珠海的平均速度为X千米/时，则现在开车从香港到珠海的平均速度为2%

千米/时，根据题意，得：

48°48x4

江+3=丁，

解得x=56

经检验x=56是所列方程的根，且符合题意.

所以2x=112

答：现在开车从香港到珠海的平均速度为112千米/时.

30.（2024・广东深圳•三模）2024年3月14日是第五个"国际数学日"，某校数学组在今年“国际数学日”举行

了数学游园活动，购买了一批钢笔和自动铅笔作为奖品.在前期询价时，通过电话询问文具店了解到，钢

笔的价格比自动铅笔贵60%,且花300元购买的自动铅笔比花400元购买的钢笔多10支.

⑴求前期电话询问时钢笔和自动铅笔的单价分别为多少？

（2）前往文具店购买时，恰逢商家对价格进行了调整：自动铅笔比之前询问时涨价20%,而钢笔则按之前询

问价格的8.5折出售.若学校最终购买了钢笔和自动铅笔共200支，且购买奖品的费用没有超过1250元，

则学校最多购买了多少支钢笔作为奖品？

【答案】（1）前期电话询问时钢笔的单价是8元，自动铅笔的单价是5元

⑵学校最多购买了62支钢笔作为奖品

【分析】本题考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的应用，解题关键是理清题目中的数量关系，

掌握分式方程及一元一次不等式的应用.

（1）设前期电话询问时自动铅笔的单价是x元，则自钢笔的单价是Q+60%）x元，根据数量=费用十单价，结

合题意“花300元购买的自动铅笔比花400元购买的钢笔多10支"，即可得到等量关系,列出分式方程求解，

并检验解即可；

（2）设学校购买了y支钢笔作为奖品，则购买了（200-y）支自动铅笔，根据费用=单价x数量，找到题目中

的数量关系：购买自动铅笔费用+购买钢笔费用V1250元，列出不等式，求出不等式的最大整数解即可.

【详解】（1）解：设前期电话询问时自动铅笔的单价是尤元，则自钢笔的单价是Q+60%）x元,

300400

根据题意得:

x(1+60%)x

解得：x=5,

经检验，了=5是所列方程的解，且符合题意，

0（1+60%）%=（1+60%）x5=8（元），

答：前期电话询问时钢笔的单价是8元，自动铅笔的单价是5元.

（2）解：设学校购买了丫支钢笔作为奖品，则购买了（200-y）支自动铅笔,

根据题意得：5x（l+20%）（200->）+8x0.85y<1250,

解得：y<1^25,

又为正整数，

回y的最大值为62,

答：学校最多购买了62支钢笔作为奖品.

31.（2024•广东河源•二模）某店在批发中心选购鸡仔饼和杏仁饼.鸡仔饼每盒进价比杏仁饼每盒进价多5元,

用300元购进鸡仔饼的盒数是用100元购进杏仁饼的盒数的2倍.

⑴鸡仔饼、杏仁饼的进价各是多少元/盒？

（2）该店计划购进鸡仔饼、杏仁饼共60盒，其中鸡仔饼每盒售价28元，杏仁饼每盒售价18元.若鸡仔饼、

杏仁饼全部售出时，总获利超过680元，则至少购进鸡仔饼多少盒？

【答案】（1）鸡仔饼的进价是15元/盒，杏仁饼的进价是10元/盒

（2）至少购进鸡仔饼41盒

【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找出数量关系，正确列

出分式方程和一元一次不等式.

（1）设鸡仔饼的进价是x元/盒，则杏仁饼的进价是（》-5）元/盒，根据用300元购进鸡仔饼的盒数是用100

元购进杏仁饼的盒数的2倍.列出分式方程，解方程即可；

（2）设购进鸡仔饼加盒，则购进杏仁饼（60-加）盒，根据总获利超过680元，列出一元一次不等式，解不

等式，即可解决问题.

【详解】（1）解：设鸡仔饼的进价是x元/盒，则杏仁饼的进价是（x-5）元/盒，

上皿*,口300100〜

由题意得：——=--x2,

xx-5

解得：x=15,

经检验，x=15是原方程的解，且符合题意，

回x-5=15-5=10,

答:鸡仔饼的进价是15元/盒，杏仁饼的进价是10元/盒；

（2）设购进鸡