2025年新高考数学重难点专项复习：立体几何必考经典解答题全归类【十大题型】（原卷版）

重难点22立体几何必考经典解答题全归类【十大题型】

【新高考专用】

►题型归纳

【题型1立体几何中的体积问题】..............................................................4

【题型2立体几何中的线段长度问题】..........................................................5

【题型3空间角问题】.........................................................................7

【题型4空间点、线、面的距离问题】..........................................................9

【题型5立体几何中的作图问题】..............................................................11

【题型6立体几何中的折叠问题】..............................................................13

【题型7立体几何中的轨迹问题】..............................................................15

【题型8立体几何中的探索性问题】...........................................................17

【题型9立体几何建系繁琐问题(几何法)】...................................................19

【题型10新情景、新定义下的立体几何问题】..................................................21

►命题规律

1、立体几何必考经典解答题全归类

空间向量与立体几何是高考的重点、热点内容，空间向量是将空间几何问题坐标化的工具，属于高考

的必考内容之一.从近几年的高考情况来看，立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合，以某个

空间几何体为依托，分步设问，逐层加深；第一小问主要考察空间线面位置关系的证明，难度较易；第二、

三小问一般考察空间角、空间距离与几何体的体积等，难度中等偏难；空间向量作为求解空间角的有力工

具，通常在解答题中进行考查，解题时需要灵活建系.

►方法技巧总结

【知识点1空间几何体表面积与体积的常见求法】

1.求几何体体积的常用方法

(1)公式法：直接代入公式求解.

(2)等体积法：四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面面积和高都易求出的形式即可.

(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等.

(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积.

2.求组合体的表面积与体积的一般方法

求组合体的表面积的问题，首先应弄清它的组成部分，其表面有哪些底面和侧面，各个面的面积应该

怎样求，然后根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减.求体积时也要先弄清各组成部分，求出各简单

几何体的体积，再相加或相减.

【知识点2几何法与向量法求空间角】

1.几何法求异面直线所成的角

(1)求异面直线所成角一般步骤：

①平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线；

②证明：证明所作的角是异面直线所成的角；

③寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之；

④取舍：因为异面直线所成角，的取值范围是(0,5],所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面

直线所成的角.

2.用向量法求异面直线所成角的一般步骤：

(1)建立空间直角坐标系；

(2)用坐标表示两异面直线的方向向量；

(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；

(4)注意两异面直线所成角的范围是(0,y],即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的

绝对值.

3.几何法求线面角

(1)垂线法求线面角(也称直接法)：

①先确定斜线与平面，找到线面的交点8为斜足；找线在面外的一点H过点4向平面a做垂线，确定

垂足。；

②连结斜足与垂足为斜线AB在面a上的投影；投影80与斜线AB之间的夹角为线面角；

③把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解(可能利用余弦定理或者直角三角形.

(2)公式法求线面角(也称等体积法)：

用等体积法，求出斜线P/在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解.

h

公式为：sin<=彳，其中。是斜线与平面所成的角，是垂线段的长，/是斜线段的长.

4.向量法求直线与平面所成角的主要方法：

(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补

角)；

(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余

角就是斜线和平面所成的角.

5.几何法求二面角

作二面角的平面角的方法：

作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线,

再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.

6.向量法求二面角的解题思路：

用法向量求两平面的夹角：分别求出两个法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到两平面夹角

的大小.

【知识点3空间距离的求解策略】

1.向量法求点到直线距离的步骤：

__>

(1)根据图形求出直线的单位方向向量V.

(2)在直线上任取一点M(可选择特殊便于计算的点).计算点M与直线外的点N的方向向量加.

(3)垂线段长度］=2_(而.于

2.求点到平面的距离的常用方法

(1)直接法：过P点作平面a的垂线，垂足为。，把尸0放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就

是点P到平面a的距离.

②转化法：若点尸所在的直线/平行于平面a,则转化为直线/上某一个点到平面a的距离来求.

③等体积法.

④向量法：设平面a的一个法向量为之，N是a内任意点，则点P到a的距离为4=

【知识点4立体几何中的轨迹问题的解题策略】

1.动点轨迹的判断方法

动点轨迹的判断一般根据线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断

出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程.

2.立体几何中的轨迹问题的常见解法

(1)定义法：根据圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，进而求解轨迹问题.

(2)交轨法：若动点满足的几何条件是两动曲线(曲线方程中含有参数)的交点，此时，要首先分析两动曲

线的变化，依赖于哪一个变量?设出这个变量为3求出两动曲线的方程，然后由这两动曲线方程着力消去

参数3化简整理即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法我们称为交轨法.

(3)几何法：从几何视角人手，结合立体几何中的线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理，找到动

点的轨迹，再进行求解.

(4)坐标法：坐标法就是通过建立空间直角坐标系，将立体几何中的轨迹问题转化为坐标运算问题，进

行求解.

(5)向量法：不通过建系，而是利用空间向量的运算、空间向量基本定理等来研究立体几何中的轨迹问

题，进行求解.

【知识点5立体几何中的探索性问题的求解策略】

1.与空间向量有关的探索性问题的求解策略：

在立体几何中，与空间向量有关的探究性问题主要有两类：一类是探究线面的位置关系；另一类是探

究线面角、二面角或点线面距离满足特定要求时的存在性问题.

解决这两类探索性问题的解题策略是：先建立空间直角坐标系，引入参数(有些是题中已给出)，设

出关键点的坐标，然后探究这样的点是否存在，或参数是否满足要求，从而作出判断.

►举一反三

【题型1立体几何中的体积问题】

【例1】(2024•陕西咸阳・模拟预测)已知三棱柱ABC-AiBiCi，如图所示，P是4•，上一动点，点。、D

分别是AC、PC的中点，AB1BC,AA1=AB=BC=2.

B

(1)求证：。0|平面P4B；

(2)当1平面4BC,且AiP=3PCi时，求三棱锥当-43。的体积.

【变式1-1](2024•山东日照・二模)在三棱锥P-4BC中，BA1BC,PBJ,平面ABC,点E在平面ABC内，且

满足平面PAE，平面PBE,AB=BC=BP=1.

(1)求证：AE1BE；

⑵当二面角E-PA-B的余弦值为日时，求三棱锥E-PCB的体积.

【变式1-2](2024•河南•模拟预测)如图，几何体2BCDEF中，底面ABCD为边长为2的菱形，平面CDEF1

平面ABCD,平面BCF_L平面4BCD,/.DAB=J

(1)证明：。尸1平面48。。；

(2)若以=半，平面4DE与平面BCF的夹角为也求四棱锥E-4BCD的体积.

【变式1-3](2024•黑龙江双鸭山•模拟预测)如图，四棱锥P—48CD的底面ABCD是矩形，PD，平面

48。。，£>=岳。=鱼,用为2。的中点，Q为尸/上一点，S.AMLDQ.

⑴证明：PC〃平面AD。；

(2)若二面角B-DQ-C为45°,求三棱锥Q-BCD的体积.

【题型2立体几何中的线段长度问题】

【例2】(2024•江苏南京•二模)如图,AD//BC,4D14B,点E、F在平面4BCD的同侧,CF//AE,

AD=1,AB=BC=2,平面4CFE1平面ABCD,EA=EC=V3.

(1)求证：BF〃平面4DE；

(2)若直线EC与平面F8D所成角的正弦值为需，求线段CF的长.

【变式2-1](2024・重庆•模拟预测)如图，在四棱锥E-ABCD中，EC1平面4BCD/B||DC,△ACD为等边

三角形，DC=24B=2,CB=CE,点F为棱BE上的动点.

E

/B

(1)证明：DC1平面BCE；

⑵当二面角F-AC-B的大小为45。时，求线段CF的长度.

【变式2-2](2024•湖北•模拟预测)如图，AEABCD,E,F在平面4BCD的同侧，AE//DF,AD//BC,

ADLAB,4。=23=却=1.

(1)若B,E,F,C四点在同一平面内，求线段EF的长；

(2)若DF=24E,平面BEF与平面BCF的夹角为30。，求线段4E的长.

【变式2-3](2024・湖南•模拟预测)如图1,在五边形力8CDP中，连接对角线AD,AD//BC,AD1DC,

PA=PD=2®AD=2BC=2DC=4,将三角形PAD沿力。折起，连接PC,PB,得四棱锥P—28CD(如图

2),且PB=2VIE为AD的中点，M为BC的中点，点N在线段PE上.

图1图2

(1)求证：平面PADJ■平面力BCD；

(2)若平面4MN和平面P2B的夹角的余弦值为嚼，求线段EN的长.

【题型3空间角问题】

【例3】(2024•青海•二模)如图，在三棱柱aBC-Ai&Ci中,所有棱长均相等,CBr(\BCr=O,^ABB1

=60°,CB1BBX.

A4

(1)证明；4。1平面BBiCiC

(2)若二面角的-4/1-8的正弦值.

【变式3-1](2024•福建龙岩•三模)如图，在四棱台ABC。-&为C1D1中，底面四边形为菱形,

Z.ABC=60°,AB=2441=2A1B1,AA11平面ABCD.

(1)证明：BDICC1；

⑵若M是棱上的点，且满足器=|,求二面角”-力的余弦值.

【变式3-2](2024•黑龙江大庆•三模)如图，在四棱锥P-4BCD中，AD//

BC,ABAD=90°,AD=2BC=4,AB=2,PA=2^2,AO=45°,且。是AD的中点.

(1)求证：平面P0C1平面ABC；

(2)若二面角P-4D-B的大小为120。，求直线P8与平面P4D所成角的余弦值.

【变式3-3](2024•河南濮阳•模拟预测)如图所示，在等腰梯形4BCD中，AB//CD,AD=AB=BC=2,

CD=4,£为CD中点，NE与3D相交于点。，将△4DE沿4E折起，使点。到达点尸的位置(PW平面

ABCE).

(1)求证：平面POB1平面P2C；

(2)若PB=e，试判断线段尸8上是否存在一点。(不含端点)，使得直线PC与平面4EQ所成角的正弦值

为平，若存在，求。在线段必上的位置；若不存在，说明理由.

【题型4空间点、线、面的距离问题】

【例4】(2024•天津和平•二模)如图，三棱台ABC-&BiCi中，△ABC为等边三角形，AB=2A1B1=4,

4411平面/8C,点M,N,。分别为N8,AC,8c的中点，ArBVAC1.

(1)证明：CC1II平面4MN；

(2)求直线4山与平面力iMN所成角的正弦值;

(3)求点D到平面&MN的距离.

【变式4-1](2024•广东•三模)如图，边长为4的两个正三角形力BC,BCD所在平面互相垂直，E,F分别

为BC,CD的中点，点G在棱4D上，AG=2GD,直线4B与平面EFG相交于点H.

⑴证明：BD//GH-,

(2)求直线BD与平面EFG的距离.

【变式4-2](2024•上海・三模)如图，在直三棱柱4BC—4/道1中，AA1=AB=2,AC=1,AACB=90°,

。是棱ZS上的一点.

G

\Bx

小

(1)若4。=DB,求异面直线当。与41cl所成的角的大小;

(2)若CD1B1D,求点8到平面BiCD的距离.

【变式4-3](2024•海南•模拟预测)如图，在直四棱柱力BCO-中，底面四边形力BCD为梯形,

AD//BC,AB=AD=2,BD=2®BC=4.

(1)证明：A1B11AD1-,

(2)若直线力B与平面BQi所成角的正弦值为半，点M为线段BD上一点、,求点M到平面为孙的距离.

【题型5立体几何中的作图问题】

【例5】(2024•贵州贵阳•模拟预测)如图，正三棱柱力BC-4B1C1中,AB=4,441=VI设点。为41cl

上的一点，过。，/作平面BCCiBi的垂面a,

B

⑴画出平面a与正三棱柱ABC-4/13表面的交线（保留作图痕迹，不需证明）；

（2）若4到平面a的距离为手，求AC与平面a所成角的正弦值.

【变式5-1]（2024・广东广州•模拟预测）在四棱锥P—ABCD中，底面A8CD为直角梯形，CD//AB,

^ABC=90°,4B=2CD,三棱锥B-PCD的体积为竽，平面PAD与平面PBC的交线为

（1）求四棱锥P-48CD的体积，并在答卷上画出交线/（注意保留作图痕迹）；

（2）若4B=2BC=4,PA=PD,且平面PAD1平面48CD,在】上是否存在点N,使平面PDC与平面DCN所成

角的余弦值为手？若存在，求PN的长度；若不存在，请说明理由.

【变式5-2]（2023•广西•模拟预测）已知四棱锥P—4BCD中，底面4BCD为直角梯形，P21平面486,

AD||BC,ABLAD,PA^AD=4,BA=BC^2,M为24中点，过C,D,M的平面截四棱锥P—A8C。所

得的截面为a.

(1)若a与棱PB交于点?，画出截面a,保留作图痕迹(不用说明理由),求点尸的位置;

(2)求平面CDM与平面PBC所成锐二面角的余弦值.

【变式5-3](2024・广西河池•模拟预测)已知四棱锥P-4BCD中，底面4BCD为直角梯形，PA1平面

ABCD,ADWBC,AB1AD,PA=AD=4,BA=BC=2,M为P力中点，过C,D,M的平面截四棱锥P-4BCD

所得的截面为a.

(1)若a与棱PB交于点F,画出截面a,保留作图痕迹(不用说明理由)，并证明言=3.

⑵求多面体的体积.

【题型6立体几何中的折叠问题】

【例6】(2024•四川南充•三模)已知如图，在矩形48CD中，AB=2,AD=2®将△ABD沿8。折起，得

到三棱锥M-BCO,其中△MBD是折叠前的△力BD,过M作BD的垂线，垂足为X,MC=V10.

(1)求证：MH1CD；

(2)过X作MB的垂线，垂足为N,求点N到平面MCD的距离.

【变式6-1](2023•甘肃•一模)如图甲所示的正方形440遇1中，AAi=12,AB=A1B1=3,BC=B1C1=4,

对角线441分别交于点P,Q,将正方形447TM1沿BBi，CCi折叠使得44i与重合，构成如图乙所

示的三棱柱ABC-a/©.点M在棱2C上，且AM=y.

⑵求三棱锥M-4PQ的体积.

【变式6-2](2024•全国•模拟预测)如图，在梯形4BCD中，AB||CD,ABAD=90°,CD=2AD=2,AB=3,E

为线段4B上靠近点2的三等分点,将△ADE沿着DE折叠，得至U四棱锥力一BCDE,使平面ADE_L平面BCDE,P

为线段CE上的点.

图1图2

(1)求证：AD1AP-

(2)是否存在点P,使得直线4P与平面4BE所成角的正弦值为华?若存在，求出线段EP的长；若不存在，请说

明理由.

【变式6-3](2024•安徽合肥•三模)如图一：等腰直角448。中4。148且4。=2,分别沿三角形三边向

外作等腰梯形ZBB242，BCC2B3,Caa3c3使得4^2=BB2=CC2=1,^CAA3=Z.BAA2=p沿三边48,BC,Ca折

叠，使得出43，B2B3，C2c3,重合于％Bi，Ci，如图二

图一图二

(1)求证：AAi1BrCr.

⑵求直线CCi与平面A41aB所成角6的正弦值.

【题型7立体几何中的轨迹问题】

【例7】(2024•安徽芜湖・二模)在三棱锥P-4BC中，PB1平面ABC,4B=BC=BP=2,点E在平面力BC

内，且满足平面P4E_L平面PBE,B4垂直于BC.

(1)当N4BE6时，求点E的轨迹长度；

(2)当二面角E—P2-B的余弦值为苧时，求三棱锥E-PC8的体积.

【变式7-1](2024•全国•模拟预测)如图，在直三棱柱4BC—4声道1中，AB=4C=441=3,BC=3四万是

侧面441cle内的动点(包括边界)，。为BCi的中点，BrELArD.

(1)求证：点£的轨迹为线段AC4

(2)求平面4DE与平面A8C夹角的大小.

【变式7-2](2024•全国•模拟预测)如图，四边形ABDC为圆台内。2的轴截面，AC=2BD,圆台的母线与

底面所成的角为45。，母线长为VZE是丽的中点.

（1）已知圆。2内存在点G,使得。E1平面BEG,作出点G的轨迹（写出解题过程）；

⑵点K是圆。2上的一点（不同于4C）,2CK=AC,求平面4BK与平面CDK所成角的正弦值.

【变式7-3］（2024•云南曲靖・模拟预测）如图，四面体4BCD的每条棱长都等于2,M,G,N分别是棱48,

BC,CD的中点，。，E,F分别为面BCD,面4BC,面4CD的重心.

A

o\7N

（1）求证：面。EF〃面ABD；

（2）求平面OEF与平面ABN的夹角的余弦值；

（3）保持点E,F位置不变，在△BCD内（包括边界）拖动点0,使直线MN与平面OEF平行，求点。轨迹长度;

【题型8立体几何中的探索性问题】

【例8】（2024•内蒙古呼和浩特•二模）如图，已知4B1平面BCE,CDWAB,△BCE是等腰直角三角形，其

中NEBC=5，且AB=BC=2CD=4.

A

(1)设线段BE中点为尸，证明：CF||平面4DE；

(2)在线段4B上是否存在点M,使得点B到平面CEM的距离等于?，如果存在，求MB的长.

【变式8-1](2024•贵州黔西•一模)如图所示为直四棱柱28CD—AiBiCiAAB=2。=2Vle8=CD=4,AA1

=4,ABCD=60°,分别是线段Be,%。的中点.

(1)证明:BC1平面MMjD；

(2)求直线8C与平面8D4i所成角的正弦值，并判断线段8c上是否存在点P,使得〃平面8D4,若存在,

求出8P的值，若不存在，请说明理由.

【变式8-2](2024•黑龙江哈尔滨•一模)如图1,在平行四边形力BCD中，D=60°,DC=2AD=2,将△4DC

沿AC折起，使点。到达点P位置，且PC1BC,连接PB得三棱锥P-4BC,如图2.

B

图1C

图2

(1)证明：平面P4B1平面ABC；

(2)在线段PC上是否存在点“，使平面4MB与平面MBC的夹角的余弦值为今若存在，求出黑的值，若不存

orGI

在，请说明理由.

【变式8-3](2024•天津•一模)已知底面4BCD是正方形，平面4BCD,PA//DQ,

P4=AD=3DQ=3,点E、尸分别为线段PB、CQ的中点.

(1)求证：£尸〃平面P4DQ；

(2)求平面PCQ与平面CDQ夹角的余弦值；

(3)线段PC上是否存在点M,使得直线4M与平面PCQ所成角的正弦值是苧，若存在求出费的值，若不存在,

说明理由.

【题型9立体几何建系繁琐问题（几何法）】

【例9】（2024・山东•二模）如图所示，直三棱柱2BC-711B1C1，各棱长均相等力，E,尸分别为棱AB,BC,

4G的中点.

（1）证明：平面AiCD1平面AMBB1；

⑵求直线EF与&Bi所成角的正弦值.

【变式9-1]（2024•陕西铜川•模拟预测）如图，在四棱锥P-4BCD中，底面4BCD是平行四边形,

NA8C=120。，AB=1,SC=4,PB=2^3,PDLCD,点E是BC的中点，且PEIED.

（1）求证：PELAD；

⑵求点E到平面PAD的距离.

【变式9-2]（2024•全国•模拟预测）如图，在四棱锥P—A8CD中，AB||CD,且4B14P,CD1DP.

p

c

L

AB

(1)证明：平面PCD_L平面PAD；

(2)若P2=PD=48,PALPD,求PB与平面ABC。所成角的大小.

【变式9-3](2024・浙江•模拟预测).如图，底面出8停1%固定在底面a上的盛水容器口为正方形48CD,

侧棱44i，BBi，CCi，DDi相互平行.

⑴证明：底面四边形4道停1。1是平行四边形;

(2)若已知四条侧棱垂直于面力BCD,且44i=DDi=4,BBi==AB=2.现往该容器中注水，求该容器

最大盛水体积U及此时侧面B&JC与底面a所成角8的余弦值(水面平行于底面a).

【题型10新情景、新定义下的立体几何问题】

【例10】(23-24高一下•四川成都•期末)类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理;

如图1,由射线P4PB,PC^m^M^P-ABC,^APC=a,乙BPC=0,4APB=y,二面角A—PC—B的

大小为仇则cosy=cosacos/3+sinasin0cos8.

(1)当a、Se(o,3时，证明以上三面角余弦定理；

(2)如图2,平行六面体ABCD—TliBiCiDi中，平面A4iCiC_L平面4BCD,zXiXC=60°,zBXC=45°,

①求乙4MB的余弦值；

②在直线CCi上是否存在点P,使BP〃平面D&C1?若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由.

【变式10-1](24-25高三上•浙江•开学考试)已知。是棱长为四的正四面体ABCD,设。的四个顶点到平面

a的距离所构成的集合为M,若M中元素的个数为m则称a为。的那介等距平面，M为。的那介等距集.

(1)若a为。的1阶等距平面且1阶等距集为｛研，求a的所有可能值以及相应的a的个数；

(2)已知0为。的4阶等距平面，且点2与点BCD分别位于夕的两侧.若。的4阶等距集为｛瓦2瓦3瓦4的，其中点4

到S的距离为6,求平面BCD与£夹角的余弦值.

【变式10-2](23-24高一下•福建三明•期末)阅读数学材料：“设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M

在点P处的离散曲率为1-^(ZQ1PQ2+AQ2PQ3+^Q3PQ4+-+^Q^PQk+^QkPQ^，其中Qt

(i=l,2,k,kN3)为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面Q1PQ2，平面Q2PQ3，…，平面

QkrPQk和平面QkPQi为多面体”的所有以P为公共点的面.”已知在直四棱柱力BCD-AIBIGDI中，底面

4BCD为菱形.44i=4B.(角的运算均采用弧度制)

(1)若AC=BD,求四棱柱4BCD—4/传/1在顶点4处的离散曲率；

(2)若四棱柱4BCD-&BiCiDi在顶点力处的离散曲率为，求BQ与平面4。射的夹角的正弦值；

⑶截取四面体&-4BD,若该四面体在点乙处的离散曲率为7已ACi与平面交于点G,证明：—AG=11

【变式10-3](23-24高一下•湖南长沙•期末)空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯

曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2TT与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面

体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为去故其各个顶点的曲率均

为如一3x"n.如图，在直三棱柱ZBC—aiB©中，点4的曲率为拳N,M分别为他砥的中点，且

AB=AC.

⑴证明：CNL平面ABBMi；

(2)若24=岳13,求二面角Bi-AM-Ci的余弦值；

(3)表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面

体的顶点数为。，棱数为3面数为则有：D-L+M=2.利用此定理试证明：简单多面体的总曲率(多

面体有顶点的曲率之和)是常数.

►过关测试

一、单选题

1.（2024•内蒙古包头•三模）如图，已知正方形ABCD为圆柱的轴截面，AB=BC=2,E,尸为上底面圆

周上的两个动点，且放过上底面的圆心G,若4B1EF,则三棱锥力-BEF的体积为（）

「2V2n2V3

・-3-

2.（2024•全国•模拟预测）已知正方体ABCD—的棱长为4,点M6平面4BCD1，且翳=々，则点

M的轨迹的长度为（）

「V34ircV17n

A.V34TTB.V171TC，2D，2

3.（2024•山东济南・三模）如图所示,正方体力BCD-4道也1。1的棱长为1,点E,F,G分别为BC,CCi,88i的中

B.直线4第与平面4EF平行

C.三棱锥F-4BE的体积为《直线与平面所成的角为

OD.8C4EF45°

4.（2024・全国•模拟预测）已知aaBC中，AC=1,AB=2,BC=V3,在线段4B上取一点M,连接CM,如

图①所示.将△ACM沿直线CM折起，使得点4到达4的位置，此时aBCM内部存在一点N,使得4N，平

面BCM,NC=¥，如图②所示，则4M的值可能为（）

A

图①图②

A.B-1c-?D.1

5.（2024・湖北•模拟预测）如图所示的多面体是由底面为ABC。的长方体被截面AECF所截得到的，其中

AB=4,BC=2,CG=3,BE=1,则点C到平面AEC/的距离为（）

6.（2024•广西南宁•一模）在边长为4的菱形力BCD中，乙48c=120。.将菱形沿对角线AC折叠成大小为30。

的二面角9—AC—D.若点E为夕C的中点，F为三棱锥夕—4CD表面上的动点，且总满足AC1EF,则点尸轨迹

的长度为（）

A.B.C.4+V6-V2D.4+V6+V2

7.（2024•黑龙江哈尔滨•三模）己知四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD1底面4BCD,PD=力。，点E是线

段PB上的动点，则直线OE与平面PBC所成角的最大值为（）

nnHn

A.NB.aC.1D.5

8.（2024•青海•模拟预测）如图，在正方体力BCD-ABiCiOi中,E,F,M,N,G,H分别为棱4B,BC,

AD,CD,&Bi，Ci外的中点，P为的中点，连接E”，FG.对于空间任意两点/,/,若线段〃上不存在

也在线段E”，FG上的点，则称/,/两点“可视”，则与点为“可视”的点为（）

二、多选题

9.（2024・湖北襄阳•模拟预测）如图，已知正方体2BCD-4/停1。1的棱长为2,E,F,G分别为40,AB,

BiQ的中点，以下说法正确的是（）

A.三棱锥Ci—EFG的体积为!B.41C1平面EFG

C.BCill平面EFGD.二面角G-EF-C的余弦值为哼

10.（2024・广东佛山•模拟预测）如图，在三棱锥P—4BC中，平面PAC_L平面48C,且△PAC和△A8C均

是边长为2的等边三角形，分别为48/&BC的中点，G为PB上的动点（不含端点），平面EFG交直线P2

于H,则下列说法正确的是（）

P

A.当G运动时，总有〃&B

B.当G运动时，点G到直线4c距离的最小值为日

C.存在点G,使得CD1平面EFG

D.当PG>GB时，直线PC,GF,交于同一点

11.（2024・山东•二模）如图，在直三棱柱ABC-ABiCi中，A