2025年新高考数学复习突破讲义：基本不等式及其应用（含解析）

专题04基本不等式及其应用

【知识点梳理】

1、基本不等式

如果0>0,6>0,那么向4巴口，当且仅当a=b时，等号成立.其中，*叫作a,b的算术平均

22

数，而叫作a,6的几何平均数.即正数a,6的算术平均数不小于它们的几何平均数.

基本不等式1：若a,b£R,贝!Ja?+/22仍，当且仅当a=6时取等号；

基本不等式2：若则巴吆^屈（或“+622新），当且仅当a=6时取等号.

2

注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积

为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意取得一致.

【方法技巧与总结】

1、几个重要的不等式

（1）a2>0（（7GR^,y［a>0（tz>0）,|tz|>0（4ZG7?）.

（2）基本不等式：如果Q/£R+,则幺（当且仅当“a=6”时取

2

特例：6z>0,tz+—>2;—+—>2（a,6同号）.

aba

（3）其他变形：

①/+/z如4-（沟通两和a+b与两平方和1+b2的不等关系式）

2

②成4三丝（沟通两积时与两平方和/+/的不等关系式）

2

③MV］一］（沟通两积成与两和a+6的不等关系式）

④重要不等式串：疝4・4^|^（。/€火+）即

ab

调和平均值V几何平均值W算数平均值V平方平均值（注意等号成立的条件）.

2、均值定理

已知x,yeR+.

（1）如果x+y=S（定值），则孙V［苫■口="（当且仅当“x=y”时取“="）.即“和为定值，积有最

大值”.

(2)如果刈=P(定值)，则尤+了22历=2介(当且仅当“x=y”时取即积为定值，和有最

小值”.

3、常见求最值模型

模型一：mx+—>2\lmn(m>0,n>0),当且仅当x=J”时等号成立；

xVm

模型二：mxH——--=m(x-a)-\——-——I-ma>2y[mn+ma(m>0,n>0),当且仅当x-Q=时等号成立；

x-ax-aVm

模型三：———=--—V——(«>0,c>0),当且仅当时等号成立；

ax+bx+c.£2y/ac+bVa

CLJvIDAI

X

转用Irm/\mx(H-mx)1,mx+n-mx2»/八八八〃、止口e止〃□4生

模型四：x(ji-mx)=--------------<—•(---------------)X=——(m>0,«>0,0<x<—),当且仅当％二——时等

mm24mm2m

号成立.

【典型例题】

例1.(2024・北京大兴•高三统考期末)已知a>b>0且漏=10,则下列结论中不正确的是()

A.lga+lgb>0B.Iga-lg&>0

1Iga,

C.\ga-\gb<-D.—>1

4Igb

【答案】D

【解析】对A：lga+lg6=lgab=l>0,故A正确；

对B：由a>6>0,则lga>lgb,故lga-lgb>0,故B正确；

对C：由lga+lgb=lgab=l,故lga.lg641ga；lgbj,

当且仅当a=b=&6时等号成立，由a>6>0,故等号不成立，

即lga-lgb<!，故C正确；

对D：当a=100、6=0.1时，符合题意，

但此时粤=3=-2<1,故D错误.

lgb-1

故选：D.

例2.(2024•全国•高三专题练习)下列不等式证明过程正确的是()

A.若。,6eR,贝心+率=2

ab\ab

B.若x>0,歹>0,则lgx+lg”2如TH口"

C.若xVO,贝lJx+±2—2]x・±=—4

XVX

D.若xVO,则2"+2一">2也匚F=2

【答案】D

【解析】•••。尚可能为负数，如2=：=-1时,-+y=-2,.・.A错误;

ababab

,.,lgx,lgy可能为负数，如lgx=lgy=-1时，Igx+lgy=—2,4/lgx」gy=2,...B错误；

444

*/x<0,—<0,如％=—1,—=—4时，xH—=—5<—4,・,・C错误；

xxx

x<0,2XG（0,1）,2r>1,12%+2r>2也.2-“=2，当且仅当2“=2一"，即x=0等号成立,AD正确.

故选：D.

例3.（2024・湖北武汉•高三统考期末）已知正数。，6满足〃+26=1,则（）

7171C71八71

A.ab>—B.ab>—C.0<ab<-D.0<ab<—

8888

【答案】C

【角军析】由题意得，a>0,b>0,则a+2b=122>J2ab,即〈三，

o

当且仅当。=2b,即。=：时等号成立.

24

故选：C

31Y

例4.（2024•全国•高三专题练习）已知%>0,J7>0,且一+—=1,则2x+>+—的最小值为（

x>y

A.9B.10C.12D.13

当且仅当型=在，即x=y=4时，等号成立.

xy

故选：D.

例5.（2024•甘肃武威・高三统考期末）若。>0,%>0,且。+助=仍，则2a+b的最小值为（）

A.6B.9C.4D.8

【答案】B

【解析】因为。+2b=ab,所以空F=2+!=1，

abab

因为2»=（2°+叱+）=5+宁4*+^f=£,

当且仅当殳=与，即“=6=3时，等号成立,

ab

所以2a+6的最小值为9,

故选：B.

12

例6.（2024・全国•高三专题练习）已知正实数D满足x+2尸1,则右+Q的最小值为（）

34

A.-+V2B.D.—

2215

【答案】C

【解析】由题可得,x+2y=l,贝lj(x+l)+2(y+l)=4,

所以W+Ark+Li+j+二i[(x+i)+2(y+i)]

2(y+l)।2(x+l)1Q+l)2(x+l)9

5+>—5+2

=1x+1y+14x+1y+14

当且仅当号苧=彳*,即时,取得等号,

故选:C.

例7.（2024嘿龙江哈尔滨•高三哈九中校考开学考试）已知正实数冽，〃满足根+〃=1,则诟+6的最大

值是（）

CV2

A.2B.V2Vz.----D

2-I

【答案】B

4+/+廿_(a-b)〃+6[2</+加

【解析】由于

24F)~2~

2

y/~m+5、m+n

所以<-------=1,

I2J2

；时等号成立.

即痴+而《后，当且仅当加=〃=

故选:B.

例8.（2024・山西运城・高三校考期末）某合作社需要分装一批蔬菜.已知这批蔬菜只由1•名男社员分装时,

需要12天完成，只由一名女社员分装时，需要18天完成.为了让市民尽快吃到这批蔬菜，要求一天内分装

完毕.由于现有的男、女社员人数都不足以单独完成任务，所以需要若干名男社员和若干名女社员共同分装.

已知分装这种蔬菜时会不可避免地造成一些损耗.根据以往经验，这批蔬菜分装完毕后，参与任务的所有男

社员会损耗蔬菜共80千克，参与任务的所有女社员会损耗蔬菜共30千克.则参与分装蔬菜的男社员的平均

损耗蔬菜量（千克）与女社员的平均损耗蔬菜量（千克）之和的最小值为（）

A.10B.15C.30D.45

【答案】B

【解析】设安排男社员x名，女社员了名，

根据题意，可得义+三=1，平均损耗蔬菜量之和为四+型，

1218xy

胆+型/型+吗3+上雪92£>2卬

'xy（xyJU218j9x2y3一1%2y3

?=15,当且仅当誓=芋，即x=8,y=6时等号成立，

339x2y

则分装蔬菜的男社员的平均损耗蔬菜量（千克）与女社员的平均损耗蔬菜量（千克）之和的最小值为15.

故选：B.

例9.（2024・重庆•高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知x>0,y>0,向量3=（x,y）,3=（2,1）,万Z=1,则孙

的最大值为.

【答案】1/0.125

O

［解析］由题意知^=（%/）石=（2,1）,无3=1,故2x+y=l,

又x〉0/〉0,所以l=2x+y2引^,

故孙4）,当且仅当2x=y,结合2x+y=l,即2x=y=：时取等号，

o2

故孙的最大值为，，

O

故答案为：:

O

例10.（2024・全国.高三专题练习）函数/（X尸c歹3在（1,+8）上的最大值为_______________.

2x-x+1

【答案】|3

3X-3

【解析】因为/（工尸:^——-，、£（1,+8）,令x—l=3贝卜>0,

2x-x+1

\3，3，3,33

t）—----------------------------------------=-------------<———=—

则八,（）2）九+-

2Z+l-0+l+l2/+22Z+3+27,

t\t

2

当且仅当2/=*,:1即％=2时，等号成立.

t

故/⑺的最大值为，3

3

故答案为：—

例11.（2024・全国•高三专题练习）若实数无、了满足x+2y=l,则7+4"的最小值为.

【答案】2V2

【解析】2'+4>N2A/2,x平=252*x3=为右2y=奶,当且仅当x=2y,

即x=；,y=q时取到等号.

故答案：2vL

【过关测试】

一、单选题

1.（2024•全国•高三专题练习）若。>0/>0,则下列不等式中不成立的是（）

A.a2+b2>2abB.a+b>2y[ab

1111

C.a0+b0>—（a+b）0D.-+-<-----（awb）

2aba-b

【答案】D

【解析】因为显然有/+/）22，故A正确；

而。〉0,6>0,所以a+bN2«E,故B正确；

Xa2+i2-1（a+*）2=|a2+1^>2-=1（a-A）2>0,所以/+6）?,故C正确；

1131

不妨令。=2,6=1,则士+亚①一^之①4），故D错误.

ab2a-b

故选：D.

2.（2024•全国•高三专题练习）已知实数。也。满足且"c<0,则下列不等关系一定正确的是（）

A.ac<bcB.ab<ac

…bc入ba>

C.-+->2D.-+->2

cbab

【答案】C

【解析】因为a<6<c且abc<0,所以a<0<6<。或Q<Z?<C<0,

对A：若a<0<6<c,贝ijacvbc,若a<b<c<0,贝ljac〉bc,A错误；

对B：":b<c,a<0,ab>ac,B错误；

对C：由或,知一>0且6<c,2./—x—=2,C正确；

ccb\cb

对D：当a<0<6<c时，有2<0,从而2+f<0

aab

当a<6<c<0,则2>0且〃<6,/._+£>2=2,D错误.

aab\ab

故选：C

14

3.（2024•广东•高三学业考试）已知正实数满足1+歹=1,则一+一的最小值是（）

xy

A.7B.8C.9D.10

【答案】C

【解析】正实数羽歹满足x+〉=l,

由基本不等式得，l+i=fl+^（x+7）=1+4+—>5+2t—=9,

当且仅当』=一，即x=*）=刀时，等号成立.

xy33

故选：C

4.（2024•江苏徐州•高三沛县湖西中学学业考试）若〃>0,6>0,a+3b=l,则的l+占最小值是（）

a3b

A.2B.4C.3D.8

【答案】B

【解析】因。>0,6〉。+3Z）=1,故由（—F-—）（a+3Z?）=2H----\-――>2+2.1^---^-=4,

a3ba3b\a3b

,（1

a+3b=la=—

当且仅当迎=三时，等号成立屈36a，解得：

a3b——=——71

Ia3bb=-

I6

即当且仅当a=g,6=，时，［取最小值为4.

26a3b

故选：B.

5.（2024・陕西西安・统考一模）已知x>0,y>0,孙+2x-y=10,则x+y的最小值为（）

A.272-1B.272C.472D.4亚-1

【答案】D

【解析】因为x>0,y>0,

由孙+2x-y=10,得X=了+?

y+2

所以尤+V=—T'+V=-+j+2-l>21—^―-（y+2）-1=4/2-1,

y+2y+2』y+2

当且仅当y=2拒-2时，等号成立.

故x+V的最小值为40-1.

故选：D

6.（2024・全国•高三专题练习）下列函数中，最小值为4的是（）

41

A.y=x+—B.y=x+-------+4（x>-2）

xx+2

C.y=cos2x+———D.y=x2+2x+4

cos2X

【答案】B

4

【解析】A：当x<0时>=x+—<0,显然最小值不为4,排除；

x

B：由x+2>0,则y=（尤+2）+^—+224（尤+2）—+2=4当且仅当x=-l时等号成立，满足；

x+2Vx+2

4

C：由题意0<f=cos2;cWl,而了=/+］在（0,1］上递减，故7=1时函数最小值为5,不满足；

D：由y=（x+l）2+3Z3,当x=-l时最小值为3,不满足.

故选：B

7.（2024・陕西商洛・统考模拟预测）设某批产品的产量为x（单位：万件），总成本c（x）=100+13x（单位:

万元），销售单价°@）=察-3（单位：元/件）.若该批产品全部售出，则总利润（总利润=销售收入-总

成本）最大时的产量为（）

A.7万件B.8万件C.9万件D.10万件

【答案】B

【解析】总利润〃x）=x（怨-31-（100+13尤）=732-粤-16（x+2）

\X十，JX十，

<732-2^-^xl6（x+2）=412,当且仅当*=16（x+2）,

即x=8时，/（x）最大，故总利润最大时的产量为8万件.

故选：B.

8.（2024・全国•高三专题练习）已知2加=3〃=6,则冽，〃不可熊满足的关系是（）

A.m+n>4B.mn>4

C.m2+n2<8D.（m—I）2+（n—I）2>2

【答案】C

【解析】T=3H=6,:.m=log,6>0,n=log；6>C,BP—+-=log2+log3=1,即

mn66

m+n=mn（ri\,m>0,n>0.

对于A,加〃加;，，加+〃〉4成立.

对于B,•/mn=m+n>2Vmn,mn>4,成立.

对于C,vm+n>4,.\16<（m+n）2=m2+n2+2mn<2（m2+w2）,即加2+川〉g故c错误；

对于D,\.（加一I）?+（〃-1）2=（加一”）2+2〉2成立.

故选：c.

9.（2024•全国•高三专题练习）已知。>1,b>\,且log26=l0gz,4,则M的最小值为（）

A.4B.8C.16D.32

【答案】C

【解析】vlog2Va=logft4,

1i2log,4

.,.-10g2^=10g,4,即：10g24Z=-y—y

log2a-log2Z7=4,

*.*tz>1,b>\y

log2Q>0,log2b>0,

：.log2（aft）=log2a+log2b>2Jlog?a•log?b=4,当且仅当log2a=log2b即。=b时取等号，

即：ab>^=\6,当且仅当。=b时取等号，

故的最小值为16.

故选：C.

二、多选题

10.（2024・全国•高三专题练习）十六世纪中叶，英国数学家哈利奥特用表示不等号，并逐渐被数学

界所接受，不等号的引入对不等式发展影响深远.若某同学从一楼到五楼原路往返的速度分别为。和

b（Q<a<b）,记两速度的算术平均值为匕，全程的平均速度为匕，则下列选项正确的是（）

A.%、B.a<v2<JabC.Jab<匕<JD."i>“2

【答案】BCD

【解析】设一楼到五楼的距离为s,

a+b2slab

由题知匕-2a+b，A错误；

ab

%lab2b

因为a=a(1),

a+ba+b

2b、2b1八s、jlab

且0<Q<6,所以〃+6<2b,所以,>l,,l>0,所以>a,

a+ba+ba+b

2cib2cib

又因为a+6>,(因为〃「b,所以取不到等节)，所以,<r--4ab,B正确;

"b2<ab

a+b

对C,因为a】b,所以<2,

又因为[2F[a2+b2a2+b2+2aba1+b2-lab(^—Z))2

———>0,

2444

2

对D,因为（4+6）2-4仍=（"b）2>0,

a+b2ab

所以（a+bp>4ab,即---->----D正确;

2a+b

故选:BCD.

11.（2024•全国•高三专题练习）已知。>0,6>0,若a+2b=l,则（）

A.a+b>-B.a+b<\

2

C.42+；1的最小值为8D.仍的最大值为:

ab

【答案】ABC

【解析】对于A和B中，因为。>01>0且。+26=1,可得0<。<1且0<26<1,

KP0</><-,所以Q+Z）=1—/）〉L,且2a+26=l+a<2,a+b<l,所以A、B正确;

22

对于C中，由2+,=（。+26）（2+工］=4+竺+q24+24=8,

abyab）ab

当且仅当??且，+2X,即“J,时，取-，号，所以C正确;

对于D中，由2ab=”女］=，，即仍V：,当且仅当a=2b,且a+26=l,即a=1,6=，时,

（2J4824

取“=”号，所以D错误.

故选：ABC.

12.（2024•吉林通化•高三梅河口市第五中学校考开学考试）已知。>0/>0,若a+26=l,贝U（）

A.a+b>-B.a+b<1

2

c-仍的最大值为:D.±2+；1的最小值为8

ab

【答案】ABD

【角牟析】因为Q>0,b>0,a+2b=\,贝！Ja=1—26〉0,可得

对于选项AB：因为。+/?=1-26+6=1-6,

所以。+6〉一，。+6<1,故AB正确；

2

因为人］㈤*町也

对于选项C：L

s

当且仅当。=23=；时，等号成立，

所以。6的最大值为:，故C错误；

O

对于选项D：因为2+工=(0+26)0+4=4Wf2=8,

ab\ab)ab\ab

当且仅当竺=£,即a=26=1时，等号成立，

ab2

所以42+；1的最小值为8,故D正确；

ab

故选：ABD.

13.(2024・山东聊城•高三统考期末)下列说法中正确的是()

4

A.函数y=sinx+--的最小值为4

sinx

B.若a+b=2,则2"+2'的最小值为4

C.若a>0,b>0,a+b+ab=3,则9的最大值为1

149

D.若x>0,>>0,且满足x+>=2,则一+一的最小值为一

xy2

【答案】BCD

n4

【解析】对于A：当x=-g时，y=-l+—=-5,故A错误；

对于B：2“+2^22亚萍=26丁=4，当且仅当。=6=1时，等号成立，故B正确；

对于C：a+b+ab=3>l^fab+ab^>ab+2y[ab-3<0,

即(V^K+3)(V^K-1)W0,解得当且仅当Q=6=1时，等号成立，故C正确;

对于-4%+力1+，乜小LL2卢；9

xy2^xy)2^xyJ2中

24

当且仅当歹=2x时等号成立，此时％=故D正确;

故选：BCD.

14.(2024・湖南长沙•高三雅礼中学校考阶段练习)若〃>b〉l,c£R,则下列说法一定正确的是()

A.ac>beB.log^>1

C.-+-<4D.若a+b=4,则2"+26>8

ab

【答案】BCD

【解析】对于A,当c=0时，ac=0=be,A错误;

对于B,由a>b>l,得log/>logQ=1,B正确;

对于C,由a>b>l,得贝！]1+:<2V4,C正确；

abab

对于D,由a>6>l,a+b=4,得2">2“>2，2"+2匕>2A/2"•2.=2\/2"1=8,D正确.

故选：BCD

15.（2024・甘肃•高三统考阶段练习）已知。>0,6>0,若a+2b=l,贝!|（）

A..6的最大值为:B./+62的最小值为1

O

71

C.—+丁的最小值为8D.2"+4"的最小值为2夜

ab

【答案】ACD

【解析】对于A,由2a6=小26"]=,，即

（2J48

当且仅当a=2b,且。+26=1,即。=』,6=’时，取等号，所以A正确；

24

对于B,因为/+。2=（1-232+62=562-4。+1=｛。]]4,

21

当且仅当6=（时，/+〃取到最小值（，所以B错误；

对于C,因为a>0,b>0,所以—I■丁=（a+26）j—H—|=4H-----H—>4+2>/4=8,

ab\ab）ab

当且仅当竺=?,且。+26=1,即q=I，6=工时，取等号，所以C正确；

ab24

对于D,2"+4〃22,24"=2，2"+2'=28，当且仅当。=26,且a+2b=l,

即a==:时，取等号，所以D正确.

24

故选：ACD.

16.（2024•山东枣庄•高三枣庄八中校考阶段练习）已知正数0,6满足20+6=1,则（）

A.的最大值为:B.4/+/的最小值为:

O2

12

C.—+：的最小值为4D.4"+2'的最小值为2

ab

【答案】AB

【解析】A选项，：a,6为正实数，

二2a+b22瓜了,当且仅当2a=6时等号成立，又2a+6=l,

ab<^,当且仅当a=；,b时等号成立，

仍的最大值为:，A正确；

O

B选项，由基本不等式可得等6«4得+b2，故(2a+6)2=4/+b2+4ab<Sa2+2b2,

当且仅当2a=6时等号成立，

又2Q+6=1,4(72+Z)2>—,当且仅当。=—,6=—时等号成立，

242

・・・442+62的最小值为1.,B正确；

C选项，vl+-=(2a+6)(-+-)=2+—+-+2>4+2J----8,

ababba\ba

当且仅当a=J,6=!时等号成立，

42

1?

；・上+：的最小值为8,C错误；

ab

D选项，4a+2ft=22a+2*>2>j22a+b=272，

当且仅当22"=2J即2a=6时，等号成立，D错误.

故选：AB.

17.(2024•广东湛江•高三统考期末)下列结论正确的是()

A.若a<b<0,则

B.若xeR,则尤2+2+方二的最小值为2

C.若a+b=2,则^+廿的最大值为2

D.若xe(0,2),则工+^—22

x2-x

【答案】AD

【解析】因为/—=Q(Q—Z?)〉0,所以/>ab，

因为/一〃=/?(〃-6)〉0,所以附>〃，所以/，"〉〃，故A正确；

因为,+2+本"的等号成立条件入2=£不成立，所以B错误;

因为？等[=],所以力+^“，故C错误;

1/cJ11c2-xx>|(2+2)=2,

因为=5x+2—刈—.2+------+-------

x2-xX2—xx2—x

当且仅当工=一一,即x=l时，等号成立，所以D正确.

x2-x

故选：AD

18.(2024•黑龙江齐齐哈尔•高三校联考期末)设0<a<b,a+b=l,则()

A.2ab〉—B.Zab<—C.tz2+Z?2>—D.(72+Z?2<—

4224

【答案】BC

【解析】由。<。<6且。+6=1,

a+b=l22g即仍(：,贝当且仅当。=6=^取等号，故取不到，

所以2ab<—,A错，B对；

2

a2+b-=a2+(l-a)2=2a2-2a+l=2(a-^-)2+-1,且0<a<g,

所以a?+b~e(］,1),C对，D错.

故选：BC

三、填空题

19.(2024•全国高三专题练习)若正数加，〃满足机+〃=6,则+A的最小值为

m\n)

【答案】五里

3

【解析】正数冽，〃满足加+〃=6,

/以口古*1(6An6nm2+2mn+n27nm1、,+1

依题忌，—nH--=—l---=—l---------------=----1----1-->------，

m\n)mmnm6nn6n613