2025年新高考数学重难点专项复习：函数易错题九大题型（解析版）

重难点10函数易错题九大题型汇总

题型解读

满分技巧/

技巧一.不理解函数的定义

理解函数的定义，一定要抓住的要点事一对一，或者多对一.

技巧二.忽略定义域的函数

在求解定义域问题时，主要定义域代表的是X的范围.

技巧三.求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则

研究与函数有关的问题时，一定要先明确函数的定义域是什么，才能进行下一步工作。

技巧四.处理二次型函数忽略讨论系数是否为零

处理二次型函数需要优先要论二次项的系数是否为零

技巧五.判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称

判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据f(-x)与f(x)的关系得到结论;

技巧六.抽象不等式忽略函数的定义域

在解决抽象不等式的问题时，需要注意函数的定义域

技巧七解决分段函数的单调性时忽略端点值

在解决分段函数别的单调性时，注意端点值大小的讨论

技巧八.复合函数忽略讨论根号里的范围

在解决复合函数的单调性与最值问题时，注意小球定义域

13*题型提分练

题型1不理解函数的定义

【例题1]（2023秋•江苏常州•高一常州市北郊高级中学校考期末）已知集合A=[0,+8）,B=[1,+8）,下

列对应关系中从A到B的函数为（）

A.x-»y=xB.f-.x->y=x2

C.f:xy—2xD.f-.xy-2x+2

【答案】D

【分析】结合函数的值域和定义域之间的关系，根据函数的定义分别进行判断即可.

【详解】对于A,在对于关系-y=%中，当x=0时，y=0,则集合B中没有元素和x对应，不是从集

合4到集合B的函数，故A错误，

对于B,在对于关系Ty=M中，当％=0时，y=0,则集合B中没有元素和%对应，不是从集合4到集

合B的函数，故B错误，

对于C,在对于关系-y=2久中，当％=0时，y=0,则集合B中没有元素和x对应，不是从集合4到集

合B的函数，故C错误，

对于D,在对于关系f：%-»y=2%中，因为xe[0,+00）,所以ye[2,+oo）[1,+oo）,且则集合4中任意一

个元素X在集合B中都有唯一的元素与之对应，满足函数的定义，是从集合4到集合B的函数，故D正确，

故选：D.

【变式1-1】1.（2022秋・江苏徐州•高一统考期中）已知A={x|l<x<2},B={y|l<y<4},下列对

应法则不可以作为从4到B的函数的是（）

A.尤7y=2%B.%fy=%2

C.f:xy=D.%y=|x—4|

【答案】C

【分析】求出每个选项中对应法则中y的取值范围，结合函数的定义逐项判断，可得出合适的选项.

【详解】对于A选项，当1WxW2时，y=2xe[2,4],且[2,4]QB,A中的对应法则可以作为从4到8的

函数；

对于B选项，当UW2时，y=/e[1,4],且B=[1,4],B中的对应法则可以作为从4到B的函数；

对于C选项，当1WxW2时，y=（6原1],且[%1]S,C中的对应法则不能作为从4到B的函数；

对于D选项，当1WxW2时，一3Wx—4W-2,则y=|x—4|e[2,3],且[2,3]£B,

D中的对应法则可以作为从4到B的函数.

故选：C.

【变式1-112.（2020•浙江杭州•高一期末）若函数y=f（x）的定义域为{x|-3VxW8,xH5},值域为

{y|-1WyW2,yK0},则、=/（比）的图象可能是（）

【分析】利用函数的定义，数形结合即可对选项进行判断.

【详解】选项A中，当x=8时，y=0,不符合题意，排除A；选项C中，存在一个x对应多个y值，不

是函数的图象，排除C；选项D中，x取不到0,不符合题意，排除D.

故选：B.

)

【答案】ABD

【分析】根据函数的定义，进行分析判断即可得解一

【详解】根据函数的定义可知，定义域内的每一个x只有一个y和它对应,

因此不能出现一对多的情况，所以C不是函数图象，ABD是函数图象.

故选：ABD.

【变式1-U4.（2023秋・上海徐汇•高一上海中学校考期末）下列进口车的车标经过旋转后可以看成函数图

像的是（）.

【答案】D

【分析】根据函数自变量与因变量一对一或多对一的特征判断.

【详解】函数图像满足：自变量在它的允许范围内取定一个值时，在图像上都有唯一确定的点与它对应.

选项D的进口车的车标经过旋转后可以看成函数图像，其它三个选项都不满足条件.

故选：D

题型2忽略定义域的含义

【例题2]（2023秋・吉林•高一长春市第二实验中学校联考期末）若函娄好（切的定义域为[0,4],则函数gQ）=

/（%+2）的定义域为（）

A.[-2,2]B.[0,2]C.[2,6]D.[2,4]

【答案】A

【分析】由函数f（%）的定义域，可得。<%+2<4,求出久的范围，即可得到函数g（x）的定义域.

【详解】因为函数f（x）的定义域为[0,4],

所以0<%+2<4,解得-2<x<2,

所以函数9（%）=/（%+2）的定义域为[-2,2].

故选：A.

【变式2-1J1.（2022秋•山东威海•高一山东省文登第一中学校考期末）已知函数y=f（行的定义域为,

则函数g（久）=与詈2的定义域（）

A.卜1,_2)U(-2,0]B.[—8,—2)u(-2,1]

C.(-8,—2)U(—2,3]D.-2]

【答案】A

【分析】根据抽象函数和具体函数的定义域可得出关于x的不等式组，由此可解得函数g(x)的定义域.

【详解】因为函数y=f(x)的定义域为,对于函数g(“)=与岁,

则有「8W鲁：手1,解得-注X<一2或一2<%<0.

I%+2W。2

因此,函数g⑺的定义域为卜[,-2)U(-2,0].

故选：A.

【变式2-1]2.(2023秋•辽宁本溪•高一校考期末)若函数y=f(x)的定义域是[1,2023],则函数g(x)=

力的定义域是()

X—1

A.[0,2022]B.[-1,1)U(1,2022]

C.(1,2024]D.[0,1)u(1,2022]

【答案】D

【分析】由抽象函数定义域相关概念可得答案.

【详解】Sy=f(x)的定义域是[1,2023],

则由g(x)="可得：尸“*；]20230<%<2022

%】IX—_L羊U%W1

则g(x)定义域为：[0,1)U(1,2022].

故选：D

【变式2-1]3.(2022秋•甘肃兰州•高一校考期末)若函数f⑺的定义域为[0,4],则函数以久)=/(%+2)+

盘的定义域为()

A.(1,2)B.(1,4)C.(1,2]D.(1,4]

【答案】C

【分析】根据题意可得出关于X的不等式组，由此可解得函数g(x)的定义域.

【详解】解：因为函数/(X)的定义域为[0,4],

对于函数g(x)=f(x+2)+温,则m算4，解得1<XW2,

即函数g(x)=/(%+2)+盘的定义域为(1,2].

故选：C

【变式2-1]4.(2023秋•山东威海・高一统考期末)已知函娄好0)的定义域为(1,2),则/(x+1)的定义域

为

【答案】(0,1)

【分析】通过函数f(%)的定义域可得f(%+1)中1<x+1<2,解出即可.

【详解】由函数f(x)的定义域为(1,2)得1<x<2,

对于/'(x+1)有1<x+1<2,

0<%<1,BP/(r+1)的定义域为(0,1).

故答案为：(0,1).

【变式2-1J5.(2023秋•江苏扬州•高一期末)已知函娄好(2x-3)的定义域为[-1,4]设函数/(久)=7gg,

则函数F(x)的定义域是

【答案】(1,3]

【分析】由f(2x-3)的定义域得出一5<2%-3<5,进而由当及得出所求.

【详解】因为函数f(2x-3)的定义域为[—1,4],所以—1<x<4,-5<2%-3<5

即｛二篇/解得3

故函数尸(X)=-7==,则函数/(X)的定义域是(1,3]

voX-X—7

故答案为：(1,3]

题型3求函数解析式忽略函数的定义域

[例题3]2023秋•四川成都•高一校考期末)已知"叮-1)=%,则f(x)=

【答案】(x+iy,x>-i

【分析】用换元法求解函数解析式.

【详解】令t=忘-1,其中te[1,+oo),则久=Q+l)2,即/'(t)=(t+I)2

故答案为：(尤+1尸，x2-1.

【变式3-1]1.(多选)(2022秋•吉林长春•高一校考期末)已知函数f(x)满足/(£)=言，则关于函数

f(为正确的说法是()

A.不等式f。)>2的解集为(—1,0)B.f(x)值域为｛y|yH1且yH2｝

C./(2)D.f(久)的定义域为｛如久丰-1｝

【答案】ABC

【分析】换元法求得/(%)=1+士且比比丰。且x丰-1｝即知D正误，解分式不等式判断A,根据分式型函

数的性质求值域并求外2)的值.

2

【详解】令力=：H。则％=,故/«)=J=三，即/(%)=1+占且｛%|%W0且％W-1｝,D错误；

XL—+1ITC±iX

所以f(x)=1+>2,即—>0,故X(Y+1)<0,得—1<x<0,A正确；

由/'(x)=1+上且｛x|x丰。且％丰-1),则值域为｛y|y丰1且y*2),B正确；

/2)=1+a=1C正确.

故选：ABC

【变式3-1]2.(2022秋河北石家庄•高一统考期末)已知;"(GT)=X+1，则函数/W.

【答案】x2+2,x>0

【分析】采用换元法，令应K-t,(t>0),即可得/⑹=/+2,即可求得函数解析式.

【详解】令7x-1=t,(t>0),贝k=t2+1,

故/'(t)=t2+l+l=t2+2,即/(x)=x2+2,x>0,

故答案为：/+2,x20.

【变式3-1J3.(2022秋•黑龙江大庆•高一大庆外国语学校校考期末港以血+1)=x+«，则f(3)=

【答案】6

【分析】首先求函数/(%),再求;"(3)的值.

【详解】设《+1=t>1,则a=t-1

所以/⑹=(c-I)2+t-1=t2-t,即/'(X)=x2-x,(x>1),

f(3)=32-3=6.

故答案为：6

【变式3-1]4.(2022春•云南曲靖•高一校考期末)已知函数g(F+2)=久+2代+1.

(1)求函数仪久)的解析式；

⑵设/(无)=喏2,若存在xG[2,3]使/0)-质三0成立,求实数k的取值范围.

【答案】Q)gO)=(x—1)2(XN2);

(2)[-|,+oo)

【分析】(1)由配凑法得g(«+2)=(代+2-以，再结合五+2>2,即可求出g(x)的解析式；

(2)先求出f(幻，将题设转化为k2专—(+1在％e[2,3]上有解，换元后利用二次函数的性质求出最小值

即可求解.

【详解】(1)5(Vx+2)=x+2y+1=(Vx+l)2=(Vx+2-l)2，则g(x)=(x-1尸，又百+2>2,

则g(x)=(x-1)2(x>2)；

(2)/(%)=若三==%+；4(尤22),又存在xe[2,3]使a%)-kx<0成立，即k22一打

1在x6[2,3]上有解,

令t=£[I,|j,设h(t)=t2—4t+1=(t—2)2—3,易得九(t)在单减，贝Uh(t)min=%0=一|，

即k>-9,故实数k的取值范围为[-9,+8).

【变式3-1]5.(2023秋•新疆乌鲁木齐・高一乌鲁木齐101中学校考期末)若函数f1+£)=产+妥，且

/(m)=4,则实数m的值为()

A.V6B.或-C.—V6D.3

【答案】B

【分析】令％~配凑可得/⑴=t2-2,再根据/(6)=4求解即可

【详解】令％+^=t(t>2或tW-2),/+点=(%+：)—2=t2—2，:./(t)=t2—2,f(m)=m2—2=4,

•••m=±V6.

故选；B

题型4二次函数相关问题忽略讨论二次项系数为“0”

【例题4](2023秋•宁夏银川•高一校考期中)若函数y=嬴等3的定义域是一切实数，则实数k的取值

范围是()

A.(0,+8)B.(-8,0]C.[0,|)D.(0,^)

【答案】C

【分析】由题意可知，对任意的XeR,k/+4k尤+3片0恒成立，分k=0、k*0两种情况讨论，结合已

知条件可求得实数k的取值范围.

【详解】因为函数/'(£)=心暴+3的定义域为R，

所以,对任意的％wR,fcx2+4kx+3H0恒成立.

①当忆=0时，则有3W0,合乎题意；

②当kW0时，由题意可得A=16k2-12k<0,解得0Vk<

综上所述，实数k的取值范围是[o,3).

故选：C.

【变式4-1】1.(2022秋・河南洛阳•高一校联考阶段练习)函数f(x)=J(a—1)%2—a”+1的定义域为R,

则a的取值范围为()

A.{2}B.[1,2]C.(2,+oo)D.[2,+oo)

【答案】A

【分析】先验证a=1时的情况，再当a丰1时，利用二次函数的性质列不等式求解.

【详解】当a=1时，/'(x)=V-x+1,定义域不为R；

当a*1时，若函数/(x)=J(a-I)/一a久+1的定义域为R,

贝必=(-最]泮1)<0>解得。=2

故选：A.

+2%x之一1

n2、"一"1满足Wxi/zeR,

(_L-DU)X――,X<一1

X1丰X2,都有①3>0，则实数a的取值范围为

xr—x2

【答案】[0,;]

【分析】由题意得到外力的单调性，从而利用分段函数的性质，结合二次函数与一次函数的单调性即可得解.

【详解】因为eR,%力冷，都有色红四>0,

%1—％2

所以人力在R上为增函数，

2%xZ—1

X_3_1，易知函娄好(力在R上为增函数；

2’

(a>0

--<-11

{113a>0-解得。<a4'

(1—3ct)x(―1)—1<a-2

综上，04aW1则a的取值范围为[O,1，

故答案为：[。,;].

【变式4-1]3.(2023春•上海金山•高一统考阶段练习)设f(久)=a%2-(a+1)%+1,%e，若函

数y=〃久)在定义域上满足：①是非奇非偶函数；②既不是增函数也不是减函数；③有最大值，则实数a

的取值范围是

【答案】(―°°,—1)u

【分析】对①：根据奇偶函数的定义可得a力-1；对②：分类讨论可得二次项系数小于零，且对称轴为X=

等e(-14),求出a的取值范围；对③：结合②中所求的范围验证即可.

【详解】对①：-f(x)+f(—x)—[ax?—(a+l)x+1]+[G(—%)?—(a+1)(—x)+1]=2(ax2+1)H0,

即/(%)丰-/(-x),

故/O)不是奇函数；

若f0)是偶函数，则/■(X)-/(-x)=[ax2-(a+l)x+1]-[a(-x)z-(a+l)(-x)+1]=-2(a+l)x=0,

可■彳导a+1=0,即a=—1

故若是非奇非偶函数，贝必丰-1；

对③：若f(x)在(后J)上有最大值，则有：

当a=。时，则/O)=-x+1在(-3|)上单调递减，无最值，不合题意；

当a牛。时，贝!|/(x)=ax2-(a4-l)x+1为二次函数且对称轴为x=答,

由题意可得，_工v,解得a<—~,

I22a2

故若f(x)在(-U)上有最大值，贝必<一J

对②：若a<—J贝好(x)=ax2-(a+l)x+1开口向下，且对称轴为x=鬻e,

故f(x)在(-3乡上既不是增函数也不是减函数；

综上所述：实数a的取值范围为(一%-1)

故答案为：(―0°,—1)U(—1,一》

【变式4-1】4.(2023秋•上海浦东新•高一华师大二附中校考期末)若二次函数f(久)=a%2+2(a-l)x+2

在区间(-%4]上为严格减函数，则实数a的取值范围是

【答案】(0,才

(a>0

【分析】由题知_2(a-l)>4,再解不等式组即可得答案.

I2a-

【详解】解：因为二次函数/(%)=a%2+2(a-l)x+2在区间(—8,4]上为严格减函数，

(a>0(a>01

<a

所以一2(a-1)>彳，叫0<aW；解得°-?

12aI5

所以，实数a的取值范围是(0周

故答案为:(0.|]

【变式4-1]5.(2023秋•上海松江•高一上海市松江二中校考期末)已知函数f(x)=%,g(x)=ax2-x,

其中a>0,若对任意的Xi6[1,3],总存在比2e[1,4],使得/(/)/(>2)=g(xi)g(>2)成立，则实数a的取值

范围是

【答案】图

【分析】根据题意可得a-工=-,分别求两边的范围，利用子集关系，得到结果.

%2

222222

【详解】由f(%i)/(%2)=g(%i)g(%2)可得%1%2=(axt-%i)(ax2-x2)，化简得：ax1x2-ax1x2-

2

axrx2—0,

因为a>0,xrE[1,3],x2E[14],所以-％1-％2=0，即。=红出=—+—,

%1%2X1x2

所以，a=~/因为=eL1],且a--1,a一寸，

%2L3J%2L4」

因为对任意的%i€[1/3],总存在%2E[1,4],有a——=工成立,

%2

fl>a—1

所以，旦[a—l,a—讨，所以3—

13」L4」1<a-l

l-4

所以，：WaW£即实数a的取值范围是由才

故答案为m

题型5由奇偶性求解析式忽略“x”的范围

【例题512023秋福建福州•高一福建省福州格致中学校考期中)已知/⑴是定义在R上的偶函数，当％<0

时，/(%)=%2+2%;贝！]当%>0时，/(%)=

【答案】X2-2X

【分析】当X>0时，-X<0,先写出函数y=，(-X)的解析式，再利用函数为偶函数，即可写出分段函数的

解析式.

【详解】由已知可得，当%20时，-xW0,f(-x)=x2-2%=f(x),

即当x>0时，/(%)-x2-2x；

故答案为：X2-2X

【变式5-1J1.(2022秋•海南海口・高一海口一中校考期中月知函数y=/O)为奇函数目当%>0时f0)=

%2-2%+3,则当x<0时，f(x)=.

【答案】—%?—2万—3

【分析】根据奇函数的性质进行求解即可.

【详解】因为函数y=/(x)为奇函数，

所以当x<。时，/'(%)=-/(-x)=-(x2+2%+3)=-x2-2x-3,

故答案为：—/—2x—3

【变式5-1】2.(多选)(2023秋•广西桂林•高一统考期末)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当xW0

时/'(乃=一/一2%,则()

A./(久)的最大值为1B.八久)在区间(1,+8)上单调递增

C./(%)>。的解集为［-2,2］D.当％>0时，/(无)=x2-2x

【答案】AC

【分析】根据函数奇偶性定义以及部分解析式可求得函蜘O)=；；；：梵，画出函数图象即可求得

其值域及单调性，结合图象进行不等式求解.

［详解］根据题意可知当久>0时，_久W0,所以/(-X)=-(-X)2-2(-x)=-%24-2x；

又因为/(%)是定义在R上的偶函数，所以f0)=/(-%)=-x2+2%；

因此/•(%)=反力二,飞,易知选项D错误；

画出函数f(x)的图象如下图所示：

由图可知，八%)的最大值为1,即A正确；

易知,0)在区间(1,+8)上单调递减，即B错误；

结合图像可知/0)>0的解集代表的是函数图象在x轴上方部分对应的自变量的取值范围，即x£[-2,2],

所以/(%)>0的解集为[-2,2],即C正确.

故选：AC

【变式5-1]3.(2023秋•北京•高一校考期中)已知了⑺是定义在R上的奇函数，当久e[0,+8州寸,/(%)=

x2+2x,则/'(一1)=，当久e(—8,。)时，/(无)=.

【答案】-3-/+2比

【分析】根据题意结合奇函数的定义分析求解.

【详解】由题意可得：/(-I)=一/⑴=-3；

当xe(-00,o)时，则一%>o,

所以yo)=-f(-x)=-[(-X)2+2(-x)]=-%2+2x；

故答案为：-3；—%2+2x.

【变式5-1]4.(2023秋•陕西西安•高一统考期末)已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=

x2+2x.

⑴求函数f(x)在R上的解析式;

⑵若函娄好(久)在区间[-1,爪-1]上单调递增，求实数小的取值范围.

【答案】⑴制=｛工遍2。。；

⑵(0,2]

【分析】(1)由奇函数的定义和已知区间上的解析式，可得所求解析式；

(2)作出函数y="%)的图象，从而得函数的单调递增区间，由题意列不等式求解,即可得答案.

【详解】(1)设x>0,则-x<0,所以f(-x)=%2-2%,

因为函数y="x)是定义在R上的奇函数，

所以f(X)=-f(-x)=-X2+2x,

所以函数/(x)在R上的解析式为/(x)=P2+2^X.

(2)作出函数y=f(久)的图象，如图所示，

由函数图象可知，y=f(久)在[-1,1]上单调递增，

根据题意得，一1<小一141,解得。<mW2,

所以实数小的取值范围为(00.

【变式5-1]5.(2022秋•安徽芜湖・高一安徽省无为襄安中学校考期中)已知y=/(x)是定义在R上的奇函

数,当％>0时，f(x)=x2-2x；

(1)求/⑴，/(—2)的值；

(2)求f(x)的解析式.

【答案】(1)/(1)=-I,K-2)=0

⑵/⑴=巴二黑土

【分析】(1)根据题意，求出f(1)的值，由奇函数的性质计算可得答案；

(2)令x<0,则r>0,利用奇函数的性质求出f(x)的表达式，综合可得答案.

【详解】(1)根据题意，当x20,f(x)=%2一2x,则/⑴=I2-2=-1,

f0)是奇函数，W(-2)=V⑵=0.

(2)令x<0,贝!|一%>0,由已知/(-X)=(-%)2-2(-x)=x2+2x,

,"(X)是奇函数，

.,.当x<0时,/(x)=-/(-%)=-X2—2x,

：.f(x)=尸2-2久,(：>0)

I—x2—2x,(x<0)

题型6判断函数奇偶性忽略求定义域

【例题6](2023秋•湖南娄底•高一校考期末)已知f(x-1)=久+吃.

X—L

(1)求/(久)的解析式及定义域；

(2)求f(x)的值域，单调区间并判断奇偶性.(不要求写理由，只写结果)

【答案】(l)/(x)=x+:+1,定义域为｛x|x丰0);

(2)详见解析.

【分析】(1)利用配凑法求/(x)的解析式，根据解析式求定义域；

(2)由定义法求函数单调区间，得函数值域；由定义法判断函数奇偶性.

【详解】(1)因为/(%—1)=%+=%—14----+1,

X—1X—1

所以/'(X)=x+^+1.

函数/Xx)有意义，贝1k大。，

所以/'(X)的定义域为｛x|x丰0).

因为，任取

(2))(x)=x+j+10<%!<x2,

所以〃XI)_/%)=5+1+1_+叱+1)=「誉1),

由0<久1V久2/可得%1—%2V0，X1X2>07

xx

当0<xr<x2<1时,XtX2-1<0；当1<xt<%2时!l2-1>o,

所以当0<XX<X2<1时，/(X1)-/(%2)>0,/(%!)>/(%2),

当1</<久2时，/01)-/(%2)<0,/(%1)</(X2),

所以/(%)在(。,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，/⑴=3；

同理)(X)在上单调递增，在(-1,0)上单调递减,/(-I)=-1；

所以/'CO值域为(一8,-1]U[3,+OO)；

又/(%)—f(—x)=%+1+1—(—%"I----1-1)2x+或力0,即/(x)小f(—x),

f(x)+fx)=%+—+1+(一万—~+1)=2H0,SPf(x)*—fx),

所以/(无)为非奇非偶函数；

所以函数的值域为(一8,—1]U[3,+8)；单调增区间为(一8,—1),(1,+8)，单调减区间为(—1,0),(0,1)；

f(x)为非奇非偶函数.

【变式6-1]1.(2022秋•江苏连云港•高一统考期中)已知/(切=x\x-2m\+x,meR.

⑴判断f(久)的奇偶性并说明理由；

(2)当xG[0,1]时，/'(无)的最大值为2,求小的值.

【答案】Q)当巾=0时，f(乃是奇函数；当山中0时，f(x)既不是奇函数，也不是偶函数，理由见解析

(2)m=。或m=1.

【分析】(1)分巾=0与小丰0两种情况分别判断即可；

(2)去绝对值将函数改为分段函数，再分情况讨论二次函数对称轴与区间的位置关系求解即可.

【详解】(1)函数f(x)的定义域为R,

当m=0时,/(x)=x\x\+x,因为/'(—x)=—x\—x\—x=-x\x\—x=—/(%),

所以八支)是奇函数.

当m牛。时,/(—1)=-|1+2m|-1,/(I)=|1-2m|+1,

可知〃-1)丰/(I),/(-I)丰-/⑴，所以f0)既不是奇函数，也不是偶函数.

(2)由题意得f(x)=｛:2

v—x+(1+2rn)x,x<2m,

当?n—|<2m<m+1,即一|<m<1时,

/(x)在R上是增函数，

当2zn<m—|,即巾<-1时，

f(x)在(巾-I，+8)上是增函数；

因为m-|<0,所以f(%)在［0,1］上是增函数；

当2m>m+1,即m>之时，

/(%)在(-8,爪+｝上是增函数；

因为爪+［>1,所以在［0,1］上是增函数；

故当x£［0,1］时，/(%)的最大值为f(1)=|1-2词+1=2,

解得m=0或1.

【变式6-1］2.(2022秋•上海浦东新•高一校考期中)已知函数f(x)=久+f其中a,beR.

⑴讨论函数f(x)=久+温7的奇偶性，并说明理由；

(2)若a<1，b=0,判断函数y=/⑺在［1,+8)上的单调性，并证明.

【答案】(1)见解析

(2)单调递增，证明见解析

【分析】(1)由奇偶性的定义求解，

(2)由单调性的定义证明，

【详解】(1)/(x)的定义域为｛x|x丰U,

当b丰。时，f(X)为非奇非偶函数,

当b=0时，f(x)=x+^,f(-x)=-x+蓑，

令/(一%)=-f(x),解得a=0,令f(-x)=f(x),得a无解,

综上，当a=6=0时，/(x)为奇函数,

当a丰0或b丰0时，/'(尤)为非奇非偶函数，

(2)/(x)=x+^,设6x2e［1,+oo),且久i<久2，

则/(g)-/(均)=必+合一%+黄)=-^1)(1-号:尸),

42X1Ao

由菱詈=~1+言<2,a<捐1-专著)>o,而不一%>0,

人［人241人2人［儿24人［人2

故/(冷)一，(/)>0,y=f(x)在［1,+8)上单调递增

【变式6-1］3.(2022秋浙江•高一舟山中学校联考期中)设函数/⑴=奈,aeR.

⑴讨论函数f(X)的奇偶性(写出结论，不需要证明)；

(2)是否存在实数a，使得关于x的方程/(六)=1有唯一解？若存在，求出实数a的取值范围：若不存在,

请说明理由.

【答案】⑴a=0时,/(案为奇函数；a力。时，/(x)为非奇非偶函数

⑵存在，卜1,一：)u(—：,2)U{-日

【分析】(1)讨论a的取值，根据奇函数的定义即可判断函数的奇偶性；

(2)利用换元法，设t=/,将关于%的方程/(品)=1有唯一解转化为g(t)=4/-t-l,y=a的图象

在te(0,|)U(|,1)上只有一个交点，数形结合，可得答案案.

【详解】(1)a=0时，f(x)=4T，满足f(~x)=-/(%)，/'(%)为奇函数；

74X—1

aK0时，/1(-X)=/笠丰-/(x),/(-x)=。f(x)，/'(x)为非奇非偶函数.

4X-±—±

(2)假设存在实数a，使得关于久的方程/(舟)=1有唯一解，即品+。1

4,岛Yr

不妨设t=看,由题意可得，te(0，)u(|,1),

整理可得：a=4/一t一1在t£(0,0U1)上有一个根，

设g(t)=4产一t一1,作出其在te(o,|)uQ,1)内的图象，

如下图所示,若X的方程/(六)=1有唯一解，则g(t)=4产_t_i,y=a的图象在te(0,0uQ.1)上只

有一个交点，

则a的取值范围是卜1,_,)UU{—葛},

故存在a6[-1,-j)U(-Q)U{-总，使得关于x的方程/(六)=1有唯一解.

【变式6-1]4.(2022秋•广东东莞•高一校联考期中)已知函数人久)=筹.

⑴判断函数f(x)是否具有奇偶性？并说明理由；

(2)试用函数单调性的定义证明：/(x)在(-1,+oo)上是增函数；

⑶求函数/'(%)在区间[1,4]上的值域.

【答案】(1)函数/(%)不具有奇偶性；理由见解析；

⑵证明见解析；

⑶[.

【分析】(1)通过定义域不关于原点对称来判断奇偶性；

(2)任取xl,x2w(-1,+8),且xl<x2,通过计算f(xl)-f(x2)的正负来判断单调性；

(3)通过函数f(x)在区间［1,4］上的单调性求得最值即可.

【详解】(1)由已知尤+1^0,故x丰-1

函数/'(%)定义域为(一8,-1)u(-l,+oo),

因为定义域不关于原点对称，

所以函数f(x)不具有奇偶性；

(2)证明：f(x)=巴三=2(X+1)-5=2_2

\八,%+1X+1%+1，

任取xl,X2G(-1z+OO)，且xl<x2

f(xl)d(x2)=(2-搐)-(2-云)

55

_5(X1+1)-5(X2+1)

x+lXi+1

2(X1+1)(X24-1)

=5(%1一汽2)

一(Xi+l)(%2+l)，

又由-1<xl<x2,贝！］xl-x2<0zxl+l>0rx2+l>0z

故f(xl)-f(x2)<0,即f(xl)<f(x2),

所以f(x)在(-1,+8)是增函数；

(3)由(2)知，f(x)在［1,4］上单调递增,

所以f(x)min=f(l)=,f(x)max=f(4)=1,

故f(x)在［1,4］上的值域是［-11］.

【变式6-1］5.(2023秋•北京•高一校考期中)已知f0)=头.

(1)判断函数“乃的奇偶性，并说明理由；

(2)求证：函数f(x)在区间(1+VX+8)上单调递增.

【答案】(1)/0)是非奇非偶函数,证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)求出函数“X)的定义域，即可得出结论；

(2)利用函数单调性的定义证明即可.

【详解】(1)解：由久一1K0,可得函数/⑺的定义域为(—8,1)U(1,+8).

因为(-8,1)U(1,+8)不关于原点对称，

所以函娄好0)不具有奇偶性，即/(%)是非奇非偶函数.

(2)证明：V/、x2e(1+V2,4-00),且久1<久2,

।[1「,、%2+1—1+22

由"%)=F=k=x+l+』，

可得f(修)-f(&)=(/+1+卷)一(冷+1+云)=01-冷)[1一(xd)]

__（汽1-％2）[（汽1-1）（工2-1）-2]

（x1-l）（x2-l），

因为尤2>>1+V2,所以乂2-—1>V2,且刀1-%2<0,

即/(尤1)>〃乂2)，亦即函数f(X)在区间(1,+8)上单调递增.

题型7抽象不等式忽略函数的定义域

【例题7](2023秋•宁夏银川•高一宁夏育才中学校考期中)函数f⑺的定义域为[-3,4],且在定义域内是

增函数，若f(2爪-1)-/(I-m)>0,则小的取值范围是

【答案】^<m<^

【分析】根据函数的单调性逆用解抽象不等式.

【详解】由f(2巾-1)-/(I-m)>0得f(26-1)>/(I-m),

因为函数/(x)的定义域为[-3,4],且在定义域内是增函数，

2m—1>1—m

所以—3<2m—1<4,解得:<m<|,

,—3<1—m<4

所以小的取值范围是;<m<1.

故答案为：；

【变式7-1］1.(2021秋•云南昆明•高一昆明八中校考期中)已知函数〃久)是定义域为［-2,2］的偶函数，

且函数f。)在区间［-2,0］上单调递增，若f(1-m)-f(m)<0,则实数小的取值范围是()

A.&+8)B,(-oo,j)C,［-1,0D.(-1,0

【答案】C

【分析】根据奇偶性和单调性可知f(x)在［0,2］上单调递减；根据函数值的大小关系可得不等式口-词>\m\,

又自变量需符合定义域要求，可得不等式组，解不等式组求得结果.

【详解】「f(久)是定义在［-2,2］上的偶函数且在［-2,0］上单调递增

“X)在［0,2］上单调递减,

由f(1—m)—/(m)<0,

|1-m|>\m\

则/(I-2m)</(m)得：-2<1-m<2

、—2<m<2

解得：-1Wm<(

故选：c

【变式7-1］2.(2023秋•宁夏银川・高一银川二中校考期中)已知函数y=/(x),xe［-2,2］,对任意的xI、

X2e［-2,2］且X1丰%2,总有八川力加>0,若外爪+1)>/(2m),则实数小的取值范围是

%］一X?

【答案】［-1,1)

【分析】分析可知，函数/(%)是定义在［-2,2］上的增函数，根据f(巾+1)>〃2巾)可得出关于实数小的不等

式组，由此可解得实数6的取值范围.

【详解】对对任意的修、X2£［-2,2］且X1丰%2,总有生上3>0,

%1—比2

不妨设久1>%2，则妨小)-不了2)>0,即f(%1)>不外)，

所以，函数f(X)是定义在［-2,2］上的增函数，

(—2<2m<2

因为/'(加+1)>f(2m)，贝一2W巾+1W2,解得一1<m<1.

、2m<m+1

因此，实数小的取值范围是［-1,1).

故答案为：［-1,1).

【变式7-1］3.(2022秋•黑龙江佳木斯•高一佳木斯市第二中学校考期中)已知定义域为［-2,刀的函数“X)

在［-2⑼上单调递增，且/(久)+/(-%)=0,若f(-1)=-J则不等式/(2x-1)<前勺解集为.

［答案】［-i,i］

【分析】先根据函数的单调性和奇偶性，得到函数"%)在［-2,2］上单调递增，再利用单调性的定义求解.

【详解】解：因为定义域为［-2,2］的函数f(x)在［-2,0］上单调递增，H/(x)+/(-%)=0,

所以函数人制在［-2,2］上为奇函数，且在［-2,2］上单调递增,

又八—1)=一］所以f⑴=|,

又不等式『(2%-1)<(等价于/(2%-1)</(I),

所以-2<2x—1<1,解得-1<x<1,

所以不等式f3-1)<决勺解集为卜I，斗

故答案为：［―^,1］

【变式7-1］4.(2022秋•江苏南京・高一南京师大附中校考期中)已知函娄好⑺是定义域为区间［-1,3］,

且图象关于点(1,1)中心对称.当1<久<3时，f(久)=%+1-i,则满足f(久-1)+/(%)<2的x的取值范

围是()

A-1,1］B.［|,+8］C.［O,|］D,［|,3］

【答案】C

【分析】根据给定的条件，可得小(2-尤)+“X)=2,再与已知联立结合函数单调性及定义域解不等式作答.

【详解】因函数了(%)的图象关于点(1,1)中心对称,则有/(2—久)+/(x)=2,而f(x-1)+/(x)<2,

于是得“X-1)+f(x)<弓(2-%)+/(%),即f(x-1)<f(2-%),

又当1<xW3时，/(x)=x+1—］有f(x)在(1,3］上单调递增，则/(%)在［-1,1)上单调递增，

而八1)=1,因此函数“X)在［—1,3］上单调递增，于是得—1<%-1<2-%<3,解得0<x<|,

所以满足f0-1)+/(%)<2的X的取值范围是［0,|］.

故选：C

【变式7-1】5(2021秋・四川自贡•高一校联考期中塔奇函数f(x)在定义域(-1,1)上是减函数若-1<x<0

时，以x)=-x2-2%,

(1)求/⑺的解析式；

(2)求满足f(1一6)+/(I-m2)<0的实数m的取值范围

—X2—2%,-1<x<0

【答案】(1)/0)=

X2—2x,0<%<1

(2)0<m<1

【分析】(1)根据奇函数的性质直接求解；

(2)根据奇函数的性质及单调性建立不等式组即可求解.

【详解】(1)因为/⑶是定义域(-1,1)上的奇函数，

所以对于任意％e(-1,1),则/1(t)=-/(x),且/'(0)=0.

设0<x<1,则一1<一x<0,

由已知得/'(%)=-/(-%)=-[-(-x)2-2(-%)]=x2-2x,

而/'(0)=。满足上式，

所以f⑺=尸：一纭匕<：：°.

Ixz—2%,0<x<1

(2)由于/(x)在定义域(-1,1)上是减函数，目为奇函数，

所以,(1—m)+/(I—m2)<0,即/'(1—m)<—/(I-m2)=>/(I—m)<f(rn2—1),

[-1<1-m<1

所以有,-1<巾2一i<i0<m<1,

.1—m>m2—1

所以m的取值范围为