2025年浙教版第一学期九年级数学期末模拟试卷二（含解析）

2024-2025学年第一学期九年级数学期末模拟试卷（2）

一、选择题:本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.抛物线y=（x-1）2+2的最小值为（)

A.2B.-2C.3D.-3

2.已知一个不透明的袋子里有2个白球,3个黑球，1个红球.现从中任意取出一个球，（

A.恰好是白球是必然事件B.恰好是黑球是不确定事件

C.恰好是红球是不可能事件D.摸到白球、黑球、红球的可能性一样大

3.己知4x=3y（yWO）,则下面结论成立的是（）

A.三二B.区=1rxyD.x=3,y=4

y33y34

4.在△ABC中,ZC=90°,BC=2,AB=3,则cosA的值为()

A.运3_

°，2D.

3"I~2

5.如图，ZkABC内接于。0,ZABC=110°.AB=BC,是O。的直径.则/ZM8的度数是（）

A.35°B.55°C.65°D.70°

SAADE

6.如图，在△ABC中，D,E分别为边AC,AB上的点，ZADE=AABC,AB=2AD,则

S四边形BEDC

的值为（

B-403D

2f

7.如图，在矩形ABC。中，以点A为圆心,以长为半径画弧，恰好交8c边于中点E,若4。=2,则

阴影部分的面积为（

A-B.C.唔玛1_D3a_2.

oo/渣'-"23"

8.如图，在矩形ABC。中，AB=4,BC=3,E为。C的中点，连接AE交BD于点F,求BF的长（）

AB

A.凶B.4C.2D.12

333

9.如图，以某速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线.如果不

考虑空气阻力，小球在4s时落地，小球的飞行高度//（单位:m）与飞行时间/（单位：s）之间具有函

数关系/i=aP+20rQ为常数，0）.有下列结论：

①。值为-5；

②小球的飞行高度最高可达到21m；

③小球有两个飞行的时间使小球的高度刚好达到15m.

其中，正确结论的个数是（）

.矣』......................一

A.0B.1C.2D.3

10.如图，ZXABC内接于。。，ZABC>9Q°,它的外角NE4c的平分线交。。于点。，连接DB,DC,

DB交AC于点、F.^DA=DF,ZABC=a,ZDFC=^,则下列结论正确的是（）

ED

「

A.a+4p=540°B.a+40=45O°C.a+2p=360°D.a+2p=270°

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

11.若/A是锐角，COSA=Y2,则NA=.

2

12.一只不透明的袋中，装有3枚白色棋子和〃枚黑色棋子，除颜色外其余均相同.若小明从中随机摸出

一枚棋子，多次实验后发现摸到黑色棋子的频率稳定在80%,则〃的值可能是.

13.点C是线段48的黄金分割点(AOBC),若A8=2a,则4C=(结果用

含。的代数式表示).

14.如图，是RCABC的外接圆，ZBAC=9Q°,/BAC的平分线交。。于点。，NA8C的平分线

交AL(于点E,连接若O。的直径是&,则。E的长为.

15.二次函数(。00)的图象过点A(0,m),B(1,-m),C(2,n),D(3,-m),

其中加，”为常数，则四的值为.

n

16.如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC,边BC=120〃“"，高A£>=80/"〃z,把它加工成矩形零件,

使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，设加，EG=ymm.

(1)y=；(用含尤的式子表示)

(2)这个矩形的最大面积是mm2.

三.解答题(共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第

23、24题每题12分，共72分)

17.学校准备将一块长20m，宽14根的矩形绿地扩建，如果长和宽都增加xm,设增加的面积是ym2.

(1)求无与y之间的函数关系式.

(2)若要使绿地面积增加12m2,长与宽都要增加多少米？

18.早茶作为广东餐饮文化的重要组成部分，以其小吃精美、种类繁多、口味独特、价格实惠而闻名.张

帆在广州旅游期间，决定在“A.虾饺，B.干蒸烧卖，C.艇仔粥，D.蜜汁叉烧包”四种茶点中选择

喜欢的进行品尝.(选到每种茶点的可能性相同)

(1)如果只选其中一种茶点品尝，张帆选到“蜜汁叉烧包”的概率是；

(2)如果选择两种茶点品尝，请用画树状图或列表的方法求张帆选到“虾饺”和“艇仔粥”的概率.

19.如图，是。。的直径，四边形A8C。内接于O。，。。交AC于点E,AD^CD.

(1)求证：OD//BC-,

(2)若AC=10,DE=4,求BC的长.

20.如图大楼A8的高度为37加，小可为了测量大楼顶部旗杆AC的高度，他从大楼底部3处出发，沿水

平地面前行32%到达。处，再沿着斜坡。£走20机到达E处，测得旗杆顶端C的仰角为30°.已知斜

坡与水平面的夹角NEOG=37°,图中点A,B,C,D,E,G在同一平面内(结果精确到0.1机)

(1)求斜坡ED的铅直高度EG和水平宽度GD.

(2)求旗杆的AC高度.

(参考数据：sin37°仁0.60,cos37°«0.80,tan37°"0.75,«仁1.73)

21.在平面直角坐标系中，抛物线y=/-2办+2aQ为常数).

(1)当抛物线经过点(2,6)时，求。的值；

(2)当a=1时，

①若y随龙的增大而减小，则x的取值范围为；

②若OOW4,则函数的最大值为,最小值为.

22.如图，在菱形A3C。中，点G在边C。上，连线AG并延长交3c的延长线于点R连结3。交A尸于

点E,连结CE.

(1)求证：EC?=EF,EG；

(2)若A8=6,%=3,求CF的长.

EG

23.16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖.火箭第一级运行路径形

如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行.

某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程.如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直

线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线y=o?+x和直线y=-亲+4其中，当火箭运行的

水平距离为9初z时，自动引发火箭的第二级.

(1)若火箭第二级的引发点的高度为3.6h〃，

①直接写出a,b的值；

②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.356〃，求这两个位置之间的距离.

(2)直接写出。满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15h〃.

24.如图1,C、。为半圆。上的两点，且点。是弧8C的中点.连接AC并延长，与8。的延长线相交于

点E.

(1)求证：BD=ED-,

(2)连接4。与OC、BC分别交于点RH.

①若CF=CH,如图2,求证：CH=CE；

②若圆的半径为2,BD=1,如图3,求AC的值.

图1图2图3

答案与解析

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.抛物线y=（x-1）2+2的最小值为（）

A.2B.-2C.3D.-3

【点拨】利用二次函数的性质即可解决问题.

【解析】解：'：a=l>0,

，抛物线的开口向上，有最小值，

,顶点坐标（1,2）,

的最小值为2,

故选：A.

【点睛】本题考查二次函数的性质，当。>0时，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当时,

因为图象有最高点，所以函数有最大值.

2.已知一个不透明的袋子里有2个白球，3个黑球，1个红球.现从中任意取出一个球，（）

A.恰好是白球是必然事件B.恰好是黑球是不确定事件

C.恰好是红球是不可能事件D.摸到白球、黑球、红球的可能性一样大

【点拨】根据得到各种球的可能性判断相应事件即可.

【解析】解：4、恰好是白球是随机事件，错误，不符合题意；

2、恰好是黑球是不确定事件，正确，符合题意；

C、恰好是红球是随机事件，错误，不符合题意；

。、摸到白球、黑球、红球的可能性不一样大，不符合题意，

故选：B.

【点睛】本题考查的是可能性的大小，熟记随机事件的概率公式是解答此题的关键.

3.已知4x=3y（y#0）,则下面结论成立的是（）

A.—B.—C.--X.D.x=3,y=4

y33y34'

【点拨】利用比例的性质进行计算，逐一判断即可解答.

【解析】解：A、♦.♦工=冬，

y3

3元=4y,

故A不符合题意;

3y

•»xy^12»

故5不符合题意;

c、-.A=y,

34

.•.4x=3y,

故C符合题意;

D、V4x=3j,

.,.三=2，

y4

上设x=3公y=4k,

故。不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键.

4.在△ABC中，NC=90°,BC=2,AB=3,则cosA的值为（）

A.遮B.2c.AD.3

3322

【点拨】利用勾股定理算出AC,再结合cosA=£求解，即可解题.

AB

【解析】解：如图所示：

根据勾股定理可得AC=yjAB2-BC=(^32-2=V5>

.,ACV5

・"人=屈"千’

故选：A.

【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义、勾股定理，掌握余弦的定义是解题的关键.

5.如图，ZVIBC内接于O。，ZABC=110°.AB=BC,是。。的直径.则ND43的度数是（）

A.35°B.55°C.65°D.70°

【点拨】由AB=BC,ZABC=U0Q,根据等腰三角形的性质，可求得NC的度数，又由圆周角定理，

即可求得答案.

【解析】解：ZABC=110°,

.,.ZC=35°,

：.ZD=ZC=35°,

•••AO为。。的直径，

ZABD^9Q°,

：.ZDAB=900-ZD=90°-35°=55°.

故选：B.

【点睛】此题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质.此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用.

6.如图，在△ABC中，D,E分别为边AC,AB上的点，ZADE=AABC,若A8=2AD,则，S^ADE_

S四边形BEDC

的值为（）

2433

【点拨】证明△DAES^BAC,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可.

【解析】解：vZA=ZA,ZADE^AABC,

：./\DAE^/\BAC,

SAADE:SAACB=（煦■）2,

AB

'：AB=2AD,

••S/\ADE：SAACB=1：4,

SAADE=1：3.

S四边形BEDC

故选：c.

【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的

关键.

7.如图，在矩形ABC。中，以点A为圆心，以长为半径画弧，恰好交8c边于中点E,若4。=2,则

阴影部分的面积为（）

C3y_4兀D.3—2兀

,"-23"23

【点拨】根据E为2C的中点可知BE=22C=1,故可得出/A4E=30°,可求出NZME=60°,所以

2

NBAE=30：BE=1AE=1,再分别求出扇形和矩形ABC。、△ABE的面积，即可得

2

出答案.

【解析】解：：四边形ABCD是矩形，AD=2,

：.AD=BC=2,

•.•以AZ）长为半径画弧，恰好交BC边于中点E,

：.AD=AE=2,BE=上BC=L

2

:.BE=1AE,

2

：.ZBAE=30°,

：.ZDAE=60°,AB=A/3>

••・阴影部分的面积=S矩形ABC。-SAABE-S扇形DAE=2X«-IxixVs-sVl-m

236023

故选：D.

【点睛】本题考查了矩形的性质、扇形的面积公式，熟记扇形的面积公式是解题的关键.

8.如图，在矩形A8CD中，AB=4,BC=3,E为。C的中点，连接AE交8。于点R求8尸的长（）

"IB.4C.|D•与

【点拨】利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理解答即可得出结论.

【解析】解：•••四边形ABC。为矩形,

：.AB=CD,AB//CD,

:.△DEFsgAF,

•DE_DF

"AB"BP'

:四边形为矩形，

：.ZDAB=90°,AD=BC=3,

'BD=VAD2+AB2=^32+42=5-

为。C的中点，

.,.£）£=ACD,

2

:.DE^1AB,

2

•亚」

',而w

：.BF=2-BD=^-.

33

故选：D.

【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解

题的关键.

9.如图，以某速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线.如果不

考虑空气阻力，小球在4s时落地，小球的飞行高度//（单位：加）与飞行时间，（单位：s）之间具有函

数关系/?=a尸+20/（a为常数，。/0）.有下列结论：

①a值为-5；

②小球的飞行高度最高可达到21m；

③小球有两个飞行的时间使小球的高度刚好达到15m.

其中，正确结论的个数是（）

【点拨】依据题意，小球在4s时落地，从而可得/i=aX42+20X4=0,即可求出a,进而可以判断①；

依据题意，h--5r+20f=-5（r-2）2+20,故当t=2时，/z取得最大值为20,故可判断②；又令/?=

-5（Z-2）2+20=15,从而求出f后即可判断③.

【解析】解：由题意，小球在4s时落地,

.,./?=aX42+20X4=0.

：.a=-5,故①正确.

：.h=-5?+20/=-5(/-2)2+20.

...当f=2时，力取得最大值为20,故②错误.

又令h=-5G-2)2+20=15,

t=1或3.

小球有两个飞行的时间使小球的高度刚好达到15m,故③正确.

综上，①③正确共2个.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并理解是关键.

10.如图，△ABC内接于。。，ZABO90°,它的外角/及1C的平分线交O。于点。，连接。2,DC,

DB交AC于点F.若D4=D尸，ZABC=a,ZDFC=^,则下列结论正确的是()

ED

A.a+4p=540°B.a+40=45O°C.a+2p=360°D.a+2p=270°

【点拨】由/。46+/八48=180°,ZDCB+ZDAB=180°,得NDAE=NDCB,所以

=ZDBC,则NZMC=NDBC=ZDCB,因为ZM=£>尸，所以ZDFA=ZDAC=ZDBC=ZDCB,

可证明△ZMFS^OBC,得/ADB=NBDC,再由ZBDC=ABAC,推导出NACB=

ABAC,所以N2OC=/BAC=2(180°-a),则NOBC=Nr>CB=」(180°-NBDC)=45°+工a,

224

因为N£>FC=180°-ZBFC=180°-ZDBC=135°-工a,所以0=135°-工a,则a+40=54O°,

44

可判断A正确，于是得到问题的答案.

【解析】解：VZr>A£+Zr>AB=180°,ZDCB+ZDAB=\S0°,

：.ZDAE=ZDCB,

平分/E4C,

NDAE=ZDAC=NDBC,

：.ZDAC=ZDBC=ZDCB,

'：DA=DF,

・•・ZBFC=ZDFA=ZDAC=ZDBC=NDCB,

VZDAC=ZDBC,ZDFA=ZDCB,

：.ADAF^/\DBCf

：.ZADB=ZBDC,

：.ZADB=ZACB9/BDC=NBAC,

：.ZACB=ZBAC,

VZABC=a,NORMS，

：.ZBDC=ZBAC=^-(180°-ZABC)(180°-a),

22

：.ZDBC=ZDCB=1.(180°-ZBDC)=90°-AxA(180°-a)=45°+^a,

2224

VZDFC=180°-ZBFC=180°-NO3c=180°-(45°+Aa)=135°-Aa,

44

，0=135°-—a,

4

・・・a+40=54O°,

故4正确，

故选：A.

【点睛】此题重点考查圆周角定理、同角的补角相等、相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理等

知识，推导出NDBC=ZDCB及ZACB=ZBAC是解题的关键.

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

11.若/A是锐角，cosA=e_,则NA=45°.

2

【点拨】根据/A是锐角，cosA=返，即可求得NA的度数.

2

【解析】解：是锐角，cosA=1,

2

ZA=45°.

故答案为：45°.

【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握几个特殊角的三角

函数值.

12.一只不透明的袋中，装有3枚白色棋子和w枚黑色棋子，除颜色外其余均相同.若小明从中随机摸出

一枚棋子，多次实验后发现摸到黑色棋子的频率稳定在80%,则n的值可能是12.

【点拨】根据黑色棋子的概率公式-L=80%,列出方程求解即可.

n+3

【解析】解：不透明的布袋中的棋子除颜色不同外，其余均相同，共有(H+3)个棋子，其中黑色棋子

n个，

根据古典型概率公式知：P（黑色棋子）=」-=80%,

n+3

解得"=12,

经检验，〃=12是分式方程的解.

故答案为：12.

【点睛】本题主要考查了概率公式的应用，一般方法为：如果一个事件有w种可能，而且这些事件的可

能性相同，其中事件A出现机种可能，那么事件A的概率P（A）=旦.

n

13.点C是线段AB的黄金分割点（AOBC）,若AB=2a,则AC=（-1+，芯）。（结果用含。的

代数式表示）.

【点拨】用AC表示出BC,然后根据黄金分割点的定义列方程求解即可.

【解析】解：：AC>BC,AB=2a,

：.BC=AB-AC=2a-AC,

•••点C是线段AB的黄金分割点，

：.AC2=AB'BC,

：.AC1=2a（2。-AC）,

整理得，AC2+2aAC-4^=0,

解得AC=（-1+^5）a,AC=（-1-V*^）a（舍去）.

故答案为：（-1+J^）a.

III

AaR

【点睛】本题考查了黄金分割，熟记黄金分割点的定义并列出关于AC的方程是解题的关键.

14.如图，。。是RtZkABC的外接圆，ZBAC=90°,NB4C的平分线交OO于点。，/A8C的平分线

交AD于点E,连接3。，若O。的直径是灰，则DE的长为1.

【点拨】连接CD,由圆周角定理得出NBOC=90°,由AO平分NR4C,得出△BDC是等腰直角三角

形，求出BD=CD=1,由角平分线的定义得出/。8。+/班。=/54。+乙钻£,由三角形外角的性质

得出进而得出即可得出。E=Z）8=1.

【解析】解：如图，连接CD

VZBAC=90°,

・・・BC是。。的直径，即3C=&,

ZBDC=90°,

'：AD平分NA4C,

：.ZBAD=ZDACf

・•・加奇，

:.BD=CD,ZDBC=ZBAD,

・・・ABDC是等腰直角三角形，

・・・3。=。。=尊=拒=1,

V2V2

〈BE平分NA3C,

・•・NABE=NEBC,

：./DBC+/EBC=ZBAD+ZABE,

：.ZDBE=NBAD+/ABE,

,：ZDEB=ZBAD+ZABE,

：.ZDBE=/DEB,

:・DE=DB=3

故答案为：1.

【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形的外接圆，掌握圆周角定理，等腰直角三角形的判定与性质，

等腰三角形的性质，三角形外角的性质，角平分线的定义等知识是解决问题的关键.

15.二次函数y=a$+6x+c(aWO)的图象过点A(0,m),B(1,-机)，C(2,n),D(3,-m),

其中相，”为常数，则旦的值为—工.

n5

【点拨】将A、B、。的坐标代入y=〃W+fov+c(〃W0),求出〃、b、c,然后把。的坐标代入可得出加、

〃的关系，即可求解.

【解析】解：将A(0,m),B(1,-nr),D(3,-m)代入＞=/+法+。(〃W0),

c=m

得：<a+b+c=-m，

9a+3b+c=-m

，_2_

4节m

・・・：8

b=M

c=m

,'.y=—mx1--mx+m,

’33

把C(2,“)代入V/"mx2/mx+m，

j3XllA3ALIAXll

得：n=>1-mX2^2+iir

・5

•,n=-^-ir,

o

...—m=---m----=—3

n55

三m

故答案为：-1.

5

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，掌握方程组的求解是解题的关键.

16.如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC,边3c=120〃〃w,高AZ）=8O7w〃z,把它加工成矩形零件,

使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，设Er=x〃〃"，EG=ymm.

（1）y=80--x；（用含尤的式子表示）

-3-

（2）这个矩形的最大面积是2400mm2.

【点拨】（1）证根据相似三角形对应边的比等于对应高的比，即可求解；

（2）矩形EGW的面积5=孙，根据（1）中y与彳的函数关系式，即可得到S与x之间的函数关系,

根据函数的性质即可求解；

【解析】解：（1）：矩形EG8R

J.EF//BC,ADLEF,EF=GH=xmm,DK=EG=ymm

：.尸S/XABC.

:.里望，即上幽工

BCAD12080

•_2

,,y=O8A0-­x,

o

故答案为：80-2r.

3

(2)设矩形EGH尸的面积为S,则5=*，

：.S=x(80-Zc)=-2(x-60)2+2400,

33

当x=60时，S有最大值为2400,

...这个矩形的最大面积是2400mm2.

故答案为：2400.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质：对应边的比等于对应高的比，同时考查了二次函数最值的

求法.

三.解答题(共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第

23、24题每题12分，共72分)

17.学校准备将一块长20",宽14根的矩形绿地扩建，如果长和宽都增加XH7,设增加的面积是

(1)求尤与y之间的函数关系式.

(2)若要使绿地面积增加72〃/,长与宽都要增加多少米？

【点拨】(1)根据题意可以得到〉与x之间的函数关系式；

(2)将y=72代入(1)中的函数关系式，即可解答本题.

【解析】解：(1)由题意可得，

y=(20+A-)(14+x)-20X14

化简，得

y=x2+34x,

即x与y之间的函数关系式是：y=/+34x；

(2)将y=72代入y=/+34x,得

72=a+34x,

解得，Xi=-36(舍去)，X2=2,

即若要使绿地面积增加72秋2,长与宽都要增加2米.

【点睛】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要

的条件.

18.早茶作为广东餐饮文化的重要组成部分，以其小吃精美、种类繁多、口味独特、价格实惠而闻名.张

帆在广州旅游期间，决定在“A.虾饺，B.干蒸烧卖，C.艇仔粥，D.蜜汁叉烧包”四种茶点中选择

喜欢的进行品尝.(选到每种茶点的可能性相同)

(1)如果只选其中一种茶点品尝，张帆选到“蜜汁叉烧包”的概率是1;

—4—

(2)如果选择两种茶点品尝，请用画树状图或列表的方法求张帆选到“虾饺”和“艇仔粥”的概率.

【点拨】(1)根据题意即可求解；

(2)画出树状图，确定可能出现的所有结果以及满足条件的结果数，即可求解.

【解析】解：(1)•••共有四种茶点，

...如果只选其中一种茶点品尝，张帆选到“蜜汁叉烧包”的概率是：工，

4

故答案为：1；

4

(2)画树状图如图所示：

ABCD

/1\不/N

BCDACDABDABC

由树状图知，共有12种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性相等，其中选到“虾饺”和“艇仔

粥”的结果有2种，

：.p(张帆选到"虾饺"和"艇仔粥”)=2」.

126

【点睛】本题考查了概率的应用，掌握概率的计算公式以及树状图或列表法是解题关键.

19.如图，是。。的直径，四边形A8CD内接于。。，。。交AC于点E,AD=CD.

(1)求证：OD//BC；

(2)若AC=10,DE=4,求BC的长.

【点拨】(1)这部分证明NA£O=NAC2=90°,可得结论.

(2)利用勾股定理求出半径厂，再求出0E,利用三角形的中位线定理可得结论.

【解析】(1)证明：；AD=Z)C,

•-AD=CD>

ODLAC,

：.ZAEO^90°,

,：AB是直径，

/.ZACB=90°,

・•・NAEO=/ACB,

J.OD//BC.

(2)解：VOD±AC,

：.AE=EC=5,

设OA=OD=r,

221

在RtZkAOE中，OA=AE+OE9

.'.7^=52+(r-4)2,

41

8

：.OE=r-DE=^L-4=^-,

88

'：AE=EC,AO=OB,

：.BC=20E=上

【点睛】本题考查垂径定理，平行线的判定，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟

练掌握基本知识，属于中考常考题型.

20.如图大楼A8的高度为37加，小可为了测量大楼顶部旗杆AC的高度，他从大楼底部8处出发，沿水

平地面前行32根到达。处，再沿着斜坡。E走20机到达E处，测得旗杆顶端C的仰角为30°.已知斜

坡EO与水平面的夹角/即G=37°,图中点A,B,C,D,E,G在同一平面内(结果精确到0.1%)

(1)求斜坡的铅直高度EG和水平宽度GD

(2)求旗杆的AC高度.

(参考数据：sin37°20.60,cos37°仁0.80,tan37°20.75,百N1.73)

【点拨】(1)在RtZ^OEG中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答；

(2)过点E作即_LBC,垂足为X,根据题意可得：DB=32m,则E8=GB=48M,然后在RtZkCE"

中，利用锐角三角函数的定义求出CH的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答.

【解析】解：(1)在Rtz^DEG中，NEDG=3V,DE=20m,

：.EG=DE'sin37°«20X0.60=12.0(m),

DG=DE-cos37°^20X0.80=16.0(m),

斜坡ED的铅直高度EG约为12.0/TI,水平宽度GD约为16.0见

(2)过点E作垂足为X,

GB=GD+DB=16+32=48(m),

在RtaCEH中，NCEH=30°,

：.CH^EH'tan300=48义返二16我(m),

3

：.AC=CH+BH-AB=16yf3+n-37^2.7(m),

旗杆的AC高度约为2.7〃?.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的

辅助线是解题的关键.

21.在平面直角坐标系中，抛物线y=--2办+2aQ为常数）.

（1）当抛物线经过点（2,6）时，求。的值；

（2）当a=1时，

①若y随龙的增大而减小，则x的取值范围为尤＜1；

②若OOW4,则函数的最大值为10,最小值为1.

【点拨】（1）将点（2,6）代入y=/-2ax+2a即可求解；

（2）由抛物线的解析式可确定对称轴和开口方向，据此即可求解.

【解析】解：（1）将点（2,6）代入y=/-2ax+2a得：

6=22-2aX2+2。，

解得：a=-1；

（2）当a=l时，y—x1-2x+2,

•••抛物线开口向上，

...当x＜l时，y随x的增大而减小，

②若0WxW4,

则当尤=1时，函数有最小值，最小值为＞=12-2X1+2=1；

当x=4时，函数有最大值，最大值为＞=42-2X4+2=10；

故答案为：①x＜l；②10,1.

【点睛】本题考查了二次函数的解析式、二次函数的最值、增减性等知识点.熟记相关结论即可.

22.如图，在菱形ABC。中，点G在边C£）上，连线AG并延长交的延长线于点R连结8。交A尸于

点、E,连结CE.

（1）求证：EC2=EF,EG；

（2）若AB=6,四=3,求CE的长.

【点拨】（1）证明△FECS^XCEG,可得出结论；

（2）设GC=x,则CF=3x,DG=6-x,证明△AOGs^f'CG,得出方程求解即可.

【解析】（1）证明：•.•四边形ABC。是菱形，2。是对角线，

二.由对称性可得/ZME=/OCE.

'：AD//BC,

：.ZDAE=ZF,

：.ZDCE=ZF,

'：ZFEC^ZCEG,

：./\FEC^/\CEG,

•EC=EF

"EGEC'

:.EC2=EF-EG；

(2)解：由(1)可知△FECs/iCEG,

A•：AD//CF,

：.AADGsAFCG,

•AD=DG

"FCCG，

3xx

解得x=4,

经检验，x=4是分式方程的解，

.,.(7/=3尤=12.

【点睛】本题主要考查菱形的性质以及相似三角形的判定和性质，熟记菱形的性质以及相似三角形的判

定和性质是解题的关键.

23.16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖.火箭第一级运行路径形

如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行.

某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程.如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直

线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线>=以2+%和直线y=-氏+4其中，当火箭运行的

水平距离为然相时，自动引发火箭的第二级.

(1)若火箭第二级的引发点的高度为3.6hw,

①直接写出a,b的值；

②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35初;，求这两个位置之间的距离.

(2)直接写出。满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15切7.

y/km

【点拨】（1）①、易得火箭第二级的引发点的坐标为（9,3.6）,分别代入抛物线的解析式和直线的

解析式可得a和b的值；

②、把①中得到的抛物线的解析式整理成顶点式，可得火箭运行的最高点的坐标，取纵坐标减去1.35后〃

即为相应的高度，把所得高度分别代入①中得到的两个函数解析式，求得合适的尤的值，相减即为两个

位置间的距离；

（2）假设火箭落地点与发射点的水平距离为15bw.用a表示出火箭第二级的引发点的坐标，把火箭第

二级的引发点的坐标和（15,0）代入直线解析式可得火箭落地点与发射点的水平距离恰好为时。

和6的值，进而结合抛物线开口向下可得。的取值范围.

【解析】解：（1）①；丫=一+尤经过点（9,3.6）,

81。+9=36

解得：a=--.

15

经过点（9,3.6）,

2

；.3.6=-l.X9+b.

2

解得：6=8.1；

②由①得：y=--.r2+x

15

=--k-（x2-15x+■在