2025年新高考数学模拟试卷（附答案解析）

2025年新高考数学模拟试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.（5分）已知复数z满足z（1+z）=2-i（i为虚数单位），则z的虚部为（）

3.3.33

A.—Q,iB.—iC.—D.一

2222

2.（5分）已知条件p；1<1,则使得条件〃成立的一个充分不必要条件是（）

A.x<-1B.QIC.xVO或x>lD.xWO

3.（5分）函数y=-3久+看）的单调区间是（）

TTTT

A.［kic—可，ku+可］（左6Z）

B.（/CTT-,g/k.71H--g-）（fcGZ）

c.俘一察空+等］（kez）

D.（"g，竽+筹）（keZ）

4.（5分）已知数列｛斯｝是公比为4的等比数列，前"项和为S”且S6=2S2W0,则下列说法正确的是

（）

A.q2=B.｛即｝为递增数列

SA3-V5

C.｛斯｝为递减数列D.—=--—

、_.TTBABCV2BD,

5.（5分）在四边形45CQ中，A（0,0）,B（1,2）,AB=DC,则四边形45c7）

\BA\\BC\\BD\

的面积为（）

A.2B.3C.4D.5

6.（5分）在△/5C中，AB=4,BC=6,ZABC=90°,点。在△NBC内部，且N5PC=90°,AP=2,

记/4BP=a,则tan2a=（）

3243

A.-B.-C.-D.一

2334

7i（x）/（%VO）

7.（5分）已知函数/（%）=i.将函数〃（x）向左平移一个单位，再向上平移一个单

（-（»-1,（%>o）

位后得函数y=-*若/（x+2）</（x2）,则实数x的取值范围是（）

第1页（共22页）

A.(-1,2)B.(-8,-i)u(2,+8)

C.（-2,-1）U（2,+8）D.（-8,-1]U[2,+8）

8.（5分）如图，在直三棱柱NBC-出21cl中，侧棱长为2,ACLBC,/C=3C=1,点。在上底面为历。

（包含边界）上运动，则三棱锥。-/2C外接球半径的取值范围为（）

A・[L卦B.谓,第]。.谓，|]D.信,|]

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

（多选）9.（6分）已知Q>0,b>0,a+b=3f贝U（）

，〜一9

A.ab的取大值为了

B.四+VF的最小值为金

b3+b

c.一+七一的最小值为4

ab

Mb29

D.-7+「■的取小值为？

a+1b+15

（多选）10.（6分）下列四个命题为真命题的是（）

A.在△ZBC中，角4,B,。所对的边分别为a,b,c,若。=遍，b=2,4=①要使满足条件的三

角形有且只有两个，则。6（0,

TTTT

B.若向量a=（5,0）,b=（2,1）,贝la在b上的投影向量为（4,2）

TT—>->

C.已知向量a=（cosa,sina）,b-（2,1）,则|a-的最大值为有+1

D.函数/G）的定义域为R,若/（x+1）为偶函数，/（x+2）为奇函数，则/（2024）=0

（多选）11.（6分）如图，在长方体/BCD-/'B'CD'中，AB=BC=2,AA'=4,N为棱C'D'

中点，。何=去，P为线段3上一动点，下列结论正确的是（）

第2页（共22页）

A.线段。尸长度的最小值为可

B.存在点尸，使4P+PC=2b

C.存在点尸，使HC_L平面ACVP

17

D.以B为球心，二为半径的球体被平面/夕C所截的截面面积为6TT

6

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.（5分）已知xo满足焉即+o=0（0VroVI）,则—辿3里=______.

%。

13.（5分）如图所示，在棱长均为2的平行六面体45cz）-480中，ZA'AB=ZA'AD=ZBAD=60°,

点〃为BC与FC的交点，则的长为.

14.（5分）已知数列｛斯｝满足：对于任意正整数"有ane（0,分且的=//（册+1）=6仙）,其中/

（x）=tanx,若―=（-？,数列也｝的前〃项和为丁小则7440=_________.

CCL7TCI九+1LCLiTCl.fi

四、解答题：本题共5小题，共77分.

_-TT2-7T1

15.已知函数/'（X）=si?i（x+耳）•sin（x+与）-之，角"为△4SC的内角，且/（，）=0.

（1）求角N的大小；

9V3

（2）如图，若角/为锐角，48=3,且△/BC的面积S为丁，点£、尸为边AB上的三等分点，点、D

4

为边/C的中点，连接。尸和EC交于点M,求线段的长.

第3页（共22页）

16.在△4BC中,角4B,C的对边分别为a,b,c,已知(cosN+cosB)(cos/-cos5)=sinC(sinC-V2siik4).

(1)求3；

(2)若cos4=^^^,b+c=V5+2V2,求△4BC的面积.

17.如图，三棱锥尸-48。中，乙48c=*AB=BC=2,PA=PB,。是棱4g的中点，点£在棱NC上.

(1)下面有①②③三个命题，能否从中选取两个命题作为条件，证明另外一个命题成立？如果能，

请你选取并证明(只要选取一组并证明，选取多组的，按第一组记分)；

①平面平面ABC；

(2)DE±AC；

③PEL4c.

2

(2)若三棱锥尸-4BC的体积为3,以你在(1)所选的两个条件作为条件，求平面尸与平面P8C

所成二面角的大小.

18.某次生日会上，餐桌上有一个披萨饼，小华同学准备用刀切的方式分给在座的小伙伴，由此思考一个

数学问题：假设披萨近似可看成平面上的一个圆，第左条切痕看作直线晶设切〃下，最多能切出的块

数为好(不考虑大小不如图易知61=2,历=4.

(1)试写出方3，方4，作出对应简图；

(2)这是一个平面几何问题，利用“降维”思想，联想到一条线段被切〃下最多能分成”+1段，由此

求出数列｛6“｝的通项公式；

(3)若将披萨换成一个蛋糕(近似看成空间中的一个圆柱体)，同样用刀切方式分蛋糕，可以从上下底

面和侧面各方向切入，每次切面都看作一个平面.若切〃下，最多能切出的块数为Cn,求出｛Cn｝的通项

公式，并指出这时最少需要切几下能分成15块(不考虑大小).(已知12+22+-+»2=1«(〃+1)(2〃+1))

O

第4页(共22页)

(1)讨论/(X)在区间(0,TT)上的单调性；

(2)求了(X)的最大值和最小值；

27

3n

(3)设〃>10,n6N*,证明：cosxsin3%/(x)/(2x)/(4x)••・/(2%)<^3n+3.

第5页(共22页)

2025年新高考数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.(5分)已知复数z满足z(1+力=27(，为虚数单位)，则z的虚部为()

3.3.33

A.—iB.—iC.—D.一

2222

【解答】解：z(1+z)=2-i(i为虚数单位)，

；.z(1+z)(1-z)=(2-z)(1-z),

_13.

z=2~21'

a

则z的虚部为一

故选：C.

2.(5分)已知条件p：1<1,则使得条件p成立的一个充分不必要条件是()

A.x<-1B.C.xVO或%>1D.xWO

1

【解答】解：由一VL得x>l或x<0,

x

故使得条件夕成立的一个充分不必要条件应为X>1或xVO的真子集，XV-1满足要求.

故选：A.

3.(5分)函数y=tern(-3%+看)的单调区间是()

7TTT

A.[ku—可,kjr+(JcGZ)

B.(/CTT-,g/k.71H--g-)(fcGZ)

c.俘-空+旨(kez)

D.(竽g，竽+野)(keZ)

【解答】解：因为y=_3%+.)=__1),

“yrnn-「knnkn27r

令k"—5V3%—大〈Mr+亍左WZ,解得———<x<—+—，kEZ,

/。/3939

所以函数y=tan(—3x+1)的单调递减区间为(苧—，空+eZ).

故选：D.

第6页(共22页)

4.(5分)已知数列｛斯｝是公比为g的等比数列，前"项和为S”且S6=2S2W0,则下列说法正确的是

()

A.才=二字B.｛斯｝为递增数列

SA3-V5

C.｛即｝为递减数列D.—=--—

白2L

【解答】解：根据题意，等比数列｛劭｝中，

s.5口1(1一口6)2al(1—q2)

若S6=2S2W0,必有夕#±1,则：=—;——,

1-q1-q

变形可得：1-96=(1-/)(1+/+q4),gW±l且Q1W0,

则有/+/+1=2,解得才=二黄，故/对；

q=±户奖，数列｛斯｝不一定为单调数列，故8,C错;

q(i-q4)

i-q1,Q1+V5

+q,，故。错.

2

l-q

故选：A.

BABCV2BD,

5.(5分)在四边形/BCD中，A(0,0),B(I,2),AB=DC,-+=---,则r四m>边1形45cZ)

\BA\\BC\\BD\

的面积为()

A.2B.3C.4D.5

—T—»

【解答】解：在四边形4HCQ中，A(0,0),B(I,2),AB=DC,弊+黑=熠2,

\BA\\BC\\BD\

—>—>

9：AB=DC=(1,2),・••四边形458是平行四边形，如图,

AB

BABCBD_ttt

t，t，t分别表示R4,BC,BD的单位向量,

\BA\\BC\\BD\

BABC42BD—>

T+T=~-~,.•.平方可得1+1+2BA-BC=2,

田川\BC\\BD\

第7页(共22页)

—>—>

：.BA-BC=O,：.AB±BC,，四边形N3CD矩形，

：8。平分/NBC,...四边形N5C是菱形，

四边形N2CO是正方形，且43=遍，

此四边形的面积为5.

故选：D.

6.(5分)在△N8C中，AB=4,BC=6,ZABC=90°,点尸在△/BC内部，且/3PC=90°,AP=2,

记NABP=a.,贝ljtan2a=()

3243

A.-B.-C.-D.一

2334

【解答】解：由题意可得N5CP=N/BP=a,

在△BC尸中，BP=5Csina=6sina,

在△人台尸中，AP2=AB2+BP2-2AB・BPcoscc,

即4=36sin2a+16-2X6sina*4cosa,化简得3cos2a+4sin2a=5,

两边平方得9cos22a+16sin22a+24cos2asin2a=25,

9cos22a-^-16sin22a-^-24cos2asin2a

贝U-----------------n----------5-----------------=25,

cosL2a+sin2a

化简可得9tan22a-24tan2a+16=0,

解得tern2a=于

故选：C.

h(x),(%<0)

7.(5分)已知函数/(%)=i.将函数〃(x)向左平移一个单位，再向上平移一个单

卜(»-1,(x>0)

位后得函数y=—若/(x+2)</(/),则实数x的取值范围是()

A.(-1,2)B.(-°°,-1)U(2,+8)

C.(-2,-1)U(2,+8)D.(-8,-1]U[2,+8)

第8页（共22页）

【解答】解：根据题意，将函数人（X）的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位后得函数y=-9

的图象，

4

所以九（%）=_豆a一1>

4

当x<0时，h（x）=/（x）,h（x）单调递增，又—高>0，则<3,

又x»0时，/（X）=—（：）x—1,单调递增，又一（：尸<0,贝IJ-2W/G）<-1,

由f（x+2）<f（x2）,

而必有0<》+2</,

解得-2Vx<-1或x>2,

所以实数x的取值范围为（-2,-1）U（2,+8）.

故选：C.

8.（5分）如图，在直三棱柱NBC-421cl中，侧棱长为2,AC±BC,/C=3C=1,点。在上底面出囱。

（包含边界）上运动，则三棱锥。-4BC外接球半径的取值范围为（）

--------------3

A.[1,萼]B.谓,苧]。,后,f3]D.在5,f3l

【解答】解：根据题意可得△/BC为等腰直角三角形,且NC=3C=1,

.♦.△4BC的外接圆的圆心为48的中点Q,且力。1=区2

T'

设481的中点为£,连接。1£,则OiE〃44i,

从而可得Oi£_L平面ABC,

设三棱锥。-4BC外接球的球心为。，半径为R,

由球的性质可得点。在。化上，

设。。i=x,DE=t,?G[0,W""1，

•：OA=OD=R,/.Jx2+（专）2=J（2—%）2+t2,

即产=4%-<，又0<t4埠,<%<1,

//8

第9页（共22页）

・/R27=%92+1.・814R223,

乙64z

9V6

</?<—.

82

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

（多选）9.（6分）已知a>0,6>0,0+6=3,则（）

9

A.ab的最大值为了

4

B.8+VF的最小值为迎

b3+b

C.一+丁的最小值为4

ab

a2b29

D.示+币的最小值为M

【解答】解：由题意，a,b为正实数，且。+6=3,

对于4,ab<（^^）2=（1）2=当且仅当a=b=|■时，等号成立，故/正确；

对于5,y/a+Vb<2^^=V6,

当且仅当Q=b=|时等号成立，故5错误；

对于C,胃=2+上槌=2+,+£22+2摩|=4,当且仅当〃时，故C正确;

ababab\ab2

对于Z）,令加=Q+1,n=b+\,则加+〃=a+b+2=5,

▼,小b2(m—l)2(n—l)21111

所以而■+币==m+n-\------1------41H-----1—

mnmnmn

m+nm+n_7nm7[mn'_9

l++=+++Q2",

^T^r55^5^-5A/5?I'5^5

当且仅当加=",即时取等号，D正确.

故选：ACD.

（多选）10.（6分）下列四个命题为真命题的是（）

第10页（共22页）

A.在△NBC中，角/,B,C所对的边分别为a,b,c,若。=百，6=2,A=Q,要使满足条件的三

角形有且只有两个，贝Ijee(o,

TTTT

B.若向量a=(5,0),b=(2,1),贝b在b上的投影向量为(4,2)

—>T―T

C.已知向量a=(cosa,sina),b=(2,1),则|a—b|的最大值为遥+1

D.函数/(%)的定义域为R,若/(x+1)为偶函数,f(x+2)为奇函数，则/(2024)=0

【解答】解：对于/,因为在△48C中，角4B,。所对的边分别为a,b,c,若。=遮，b=2,A=

0,

ab

所以根据正弦定理可求得一~；==丁，所以bsirUVaVb,

sinAsinB

所以sitL4V存=^^且/V5,0<4V*可求得OVJV全故/错误；

->T

对于2,因为向量a=(5,0),6=(2,1),

所以"在「上的投影向量为(2)力=挈*(2,1)=(4,2),故8正确；

b25

,,7T

对于C,因为向量a=(cosa,sina),b=(2,1),

〉—>________________________________________

所以|a_b\=yj^cosa—2)2+(sina—l)2=A/6—4cosa—2sina,

2121

又6—4cosa—2sina=6—2遍(而cosa+-j=sina),令stn(i=~^=,cosp=而，

贝!J区一b|=J5-2V5sm(a+£)+1,

T->

所以当sin(a+B)=-1时，|a—b|取最大值，最大值为强+1,故C正确；

对于D,函数y=/(x+1)是偶函数，/(x+1)=f(1-x),f(x)=f(2-x),

所以/(x)的图象关于直线x=l对称，函数y=/(x+2)是奇函数，

所以/(x)的图象关于(2,0)对称，

则/(2-x)+f(2+x)=0,可得/(x+4)=-/(x+2)=/(x),

所以/(x)是周期为4的周期函数.

所以/(2024)=/(4X506)=/(0)=0,故。正确.

故选：BCD.

(多选)11.(6分)如图，在长方体NBC。-/'B'CD'中，AB=BC=2,AA'=4,N为棱C'D'

中点，DfM=^,P为线段3上一动点，下列结论正确的是()

第11页(共22页)

A.线段。尸长度的最小值为可

B.存在点尸，使AP+PC=2遮

C.存在点尸，使HC_L平面ACVP

17

D.以8为球心，二为半径的球体被平面/夕C所截的截面面积为611

6

【解答】解：对于A,如图1,

图I

因为4，B=A'D=V42+22=2V5,BD=2vL

故当。尸，4'3时，线段。尸长度最小，

此时由等面积得;x2々xJ（2强2_电）2|xDP,

=x2A/5

解得。「=亲=等，故/正确；

对于8,如图2,

第12页（共22页）

图2

将平面D'C3旋转至平面BCYDiH,使之与平面H43共面,

连接NCi与HB交于点、Pi,此时4Pi+PCi=/G为最小值,

4_2

sinZ-ArBA—/⑷5Ci=90°,

南一TT

2

7

^HcosZ-ABC1=cos(Z-A，BA+90°)=—sinZ-ABA=—忑,

由余弦定理得4穹=22+22-2X2X2cos乙4BC\=8—8x(-柞)=8+当,

故力的=2V2-J1+-^>2V2■"=2代,

因此不存在这样的点尸，使4P+PC=2b，故3错误;

对于C,如图3,

AD

图3

1Q

取B但=1,B乍A,G=j,连接尸G交HB于P,

下证N'C±MN,

。WDrD

连接。'C,由y=——=2,可得乙ND'M〜AD'DC,则得£>'C±MN,

DVIDC

因为。'A'_L平面。CC，D',因为AWu平面。CC，D',则。'A'LMN,

第13页（共22页）

因为£>'CA£>,A'=D',D'C,D'A'u平面D'C,

故MALL平面HD'C,

又卬Cu平面HD'C,故⑷C±MN.

同理，A'CLEN,因为MNCEN=N,MN,ENu平面MEN,

故C_L平面MEN.

下证所〃GM.

取线段/'G的三等分点J,K,取HD'的中点〃，连接£〃，HJ,JF,D'K,

易证EH〃A'B'//FJ,EH=A'B'=FJ,则得口EK/H,得EF〃JH,

易得JH〃。K,因。'M//GK,D'M=GK,得口》MJK,得。'K//GM,故得防〃GM,

同理可得MN〃尸G,因此N,E,F,G五点共面，

由C_L平面MEN可得/'CL^MNEFG.

所以存在这样的点尸使HC上面MAP,故C正确；

对于。，如图4,

图4

17

以点5为球心，二为半径的球面被面C所截的截面为圆形,

6

记其半径为r,贝b=J（今/一d2（*）,其中4为点3到平面/夕C的距离.

由VB'-ABC=VB-AB'C，

,1

XS&ABCXBB，=—XS4AB9Xd,

ix2x2x44

则&==可代入（*）,

|x2V2xj(2V5)2-(72)2

得r=I，

所以截面面积5=兀「2=苧兀，故。错误.

第14页（共22页）

故选：AC.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.(5分)已知xo满足就由十o=0(0〈刈)VI),则e*。—3济％。+1=_&

xo

【解答】解：因为就戏。+lnxQ=0(0<x0VI)，

所噢耶%o呼=—In—=(Zn—)eZ?lxo,

因为O<xo<l,

所以工>1,

此时ITL——>0,

xo

x

设g(x)=xef函数定义域为(0,+8),

可得g’(x)=(x+1)/>0,

所以g(x)在(0,+8)上单调递增，

1

此时第o=In—，

xo

1

即e*o=一,且刈=-lnxo

xof

则口。3仇出+1=3仇9=3

'的x0

故答案为：3.

13.(5分)如图所示，在棱长均为2的平行六面体/BCD-N5C7T中，ZA'AB=ZA'AD=ZBAD=60a,

点"为8。与夕c的交点，则的长为_VH_.

T7T

【解答】解：因为=AB-AA'=AA^AD=2x2xcos600=2,

—>—>—>—>4T-

且4M=AB+BM=AB+^AD+AA"),

——>[———»—>—>[—b]―»[——>

所以\AM\2=(AB+^QAD+AA^2=AB2+AB-AD+AB-AAf+^\AD\2+^\AA]2+^AD-AAf=

4+2+2+1+1+1=11,

所以4M=VTl.

第15页(共22页)

故答案为：Vil.

14.(5分)已知数列｛斯｝满足：对于任意正整数"有ane(0,J),且的=r/(册+。=其中/

(x)=tanx,若——iJ1LCLTLCLf'i数列｛仇｝的前"项和为则540=20.

【解答】解：:/(x)=tanx,

・c)、_rs^nx\/_cosx-cosx—sinx'(—sinx)_cos2x+sin^x_

••/(%)—()—n—n—1ILCLTL2X,

1'JkCOSXJCOSZXCOSZX

：/(a“+i)=J/®n),

2

tanan+1=-y/1+tanan,

2222

tanan+1=1+tanan,EPtanan+1—tanan=1,

・1。九。1=tan-^—1,

...｛tan?即｝是以1为首项，1为公差的等差数列，

・・tan斯="，

「a九€(0,2)，

tanq〃>0,

••tCLTlCL^i=7T,

n

•*-bn=(­2；=i(T)'—=(-l)(V(n+1)+y/n).

tanan+1-tanan(八+1)_赤

北40=61+历+63+i+人439+6440

=-(V2+1)+(V3+V2)-(V4+V3)+…-(V440+V439)+(V441+V440)

=V441-1=21-1=20.

故答案为：20.

四、解答题：本题共5小题，共77分.

_JT1

15.已知函数/（久）=sin。+可）•sin（K+木）一2，角/为△48C的内角，且/（/）=0.

（1）求角A的大小;

I9V3

⑵如图,若角，为锐角，/1，且△的的面积S为丁点E、歹为边居上的三等分点，点〃

为边4C的中点，连接。厂和EC交于点求线段的长.

ADC

第16页（共22页）

【解答】解：(1)因为f(%)=s讥(％+3),sin(%+於^)—

易得s讥(久+竽)=sin(^—%),

所以/(%)=—x),x)

化简得，/(%)=(^cos2x-^sin2x)-i,

_1

由平方关系得，/(x)=sin2%,

在△4SC中，由/(/)=0,得sin2/=4，

所以4=看或/=等

(2)若角Z为锐角，即4=强c=AB=3,

由题知S=i&c-sin^-=则b=3V3,

连接CF,因为点£、歹为边N8上的三等分点，

所以点E是/尸的中点，

又因为点。是/C中点，

所以点〃是NCF的重心，

―>[T[TTT_

则4M=-4F+扣C,\AF\=2,\AC\=3V3,

则MTM/=白1川T2+微D川T•"T+言1T"2=卷AQ，

yyyzf

7

即AM=

16.在△4SC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(cosA+cosB)(cosA-cosB)=sinC(sinC-V2siih4).

(1)求5；

(2)若cos/=-j①，b+c=V5+2V2,求△/5C的面积.

【解答】解：(1)因为(cosA+cosB)(cosA-cosB)=sinC^sinC—y/2sinA),

整理可得COS2^4-cos25=sin2C—V2sinCsiib4,

即1-sin24-(1-sin25)=sin2C—V2sinCsiiL4,

整理可得si?12c+sin2A—sin2B=yllsinCsinA,

由正弦定理得c2+豆一扶=y[2ca,

c2+a2—b42ac42

由余弦定理可得cosB=

2aclac7

第17页(共22页)

由加(0,TC),可得8=多

(2)由cos/=可得AG(0/?

进而可得SiTlZ=噌，

由8=多可得s讥8=多

-■T/曰--_.//in、_•门iA,r>3J10y[2.J10-\/~2,"Zy/S

PjsinC=sin(/+B)=siiLA4cos3+cos/sin5=-~x—I—x=―—,

_LUZu_LU乙*J

।一、一—，力sinBV10

由正弦定理可知-=--二——,

csinC4

又因为b+c=V5+2V2,解得b=V5/c=2V2,

所以△48C的面积为S=^bcsinA=|xV5x2近x邛架=3.

17.如图，三棱锥尸-4BC中，LABC=pAB=BC=2,PA=PB,。是棱48的中点，点£在棱/C上.

(1)下面有①②③三个命题，能否从中选取两个命题作为条件，证明另外一个命题成立？如果能，

请你选取并证明(只要选取一组并证明，选取多组的，按第一组记分)；

①平面工平面ABC；

@DE±AC；

@PELAC.

2

(2)若三棱锥P-N5C的体积为Q,以你在(1)所选的两个条件作为条件，求平面尸与平面尸3c

所成二面角的大小.

【解答】解：(1)证明：选择①②，可证明③.

因为刃=必，。是线段的中点，所以尸r>_L/8.

又平面以3_1_平面4BC,平面以2。平面48c=48,且PDu平面R13；

所以尸£>_L平面/3C,又/Cu平面/3C,所以尸DL4C,

XDELAC,PDCDE=D,PD,DEu平面PDE,

所以NC_L平面尸£>£,又尸£u平面尸£)£,所以/C_LPE,

若选择①③，可证明②.

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因为。是线段的中点，所以

又平面平面4BC,平面HBD平面48c=48,且PDu平面以3,

所以PD_L平面/8C,又/Cu平面N8C,

所以PD_L4C,XPELAC,PDCPE=P,PD,PEu平面尸DE,

所以NC_L平面尸D£,又。£u平面尸£)£,所以/CJ_DE.

选择②③，可证明①.

因为E4=P8,。是线段的中点，所以

因为PE_L/C,DELAC,PD,PEu平面PDE,DECPE=E,

所以NC_L平面尸DE,又P£>u平面PD£,所以PD_L/C,

ABQAC^A,AB,/Cu平面ABC,

所以尸£>_L平面/3C,又尸Du平面

所以平面BIB，平面ABC；

(2)如图，延长ED交C3的延长线于°,连接尸。，

则平面POEC与平面PBC=PQ.

2TT

由三棱锥尸-48。的体积为g,且乙4BC=。

3乙

211.,

AB=BC=2,得百=x2x2).PD,解得PD=1.

又由乙48c=*及。是线段48的中点，DELAC,

在等腰直角三角形CE0中，CE=CQ=3,

连结CD,在RtZXCPD中，PD=\,CD=V5,PC=巫,

在等腰直角三角形即。中，BD=BQ=1,QD=V2,

在Rt△。尸。中，PQ=®

在△CPQ中，由尸。2+尸02=。02,所以尸C_LPQ,

又由(1)知，C£_L平面尸£>£,尸E是PC在面尸£)£内射影,

由三垂线逆定理得：PELPQ,

第19页(共22页)

则ACPE即为二面角C-PQ-E的平面角，

.CE诬虑

siWPE=——

TT

所以面PDE与面PBC所成二面角的大小为］

18.某次生日会上，餐桌上有一个披萨饼，小华同学准备用刀切的方式分给在座的小伙伴，由此思考一个

数学问题：假设披萨近似可看成平面上的一个圆，第左条切痕看作直线/设切〃下，最多能切出的块

数为6”(不考虑大小不如图易知61=2,历=4.

(1)试写出63，64，作出对应简图；

(2)这是一个平面几何问题，利用“降维”思想，联想到一条线段被切〃下最多能分成〃+1段，由此

求出数列｛%“｝的通项公式；

(3)若将披萨换成一个蛋糕(近似看成空间中的一个圆柱体)，同样用刀切方式分蛋糕，可以从上下底

面和侧面各方向切入，每次切面都看作一个平面.若切"下，最多能切出的块数为cn,求出｛cn｝的通项

公式，并指出这时最少需要切几下能分成15块(不考虑大小)