2025年新高考数学复习突破讲义：空间向量与立体几何的综合应用（含解析）

专题26空间向量与立体几何的综合应用

【考点预测】

一、空间向量的数量积运算

1、两向量夹角

已知两个非零向量b,在空间任取一点。，作刀=3,.砺=%,则叫做向量3,B的夹角，

记作通常规定0工（风力（〃，如果（见3）=掾，那么向量Q,B互相垂直，记作Q_LB.

2、数量积定义

已知两个非零向量a,b,贝"d^COS,叫做Q,B的数量积，记作4%,即4%=卜[I^COS卜用.零

向量与任何向量的数量积为0,特别地，7£二问2.

3、空间向量的数量积满足的运算律：

（4。）％=2（q,a-b=b-a（交换律）；

a-[b+c^=a-b+a-c（分配律）.

二、空间向量的坐标运算及应用

（1）设〃=（%,%，。3），3=仅1也也），则〃+B=（%+4,42+62,〃3+4）；

〃_B=（%_4,%-伪-4）；

4a=（4。],4a2,4a3）；

a-b=%b]+a2b2+a3b3；

a//b{bw6）n%=Abx,a2=Ab2,a3=Ab3；

Q_L区=*+a2b2+a3b3=0.

（2）设4（演,必,zj,8（%2，%/2），则45=05_。/=（X2_再，歹2_必/2_zj.

这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标.

（3）两个向量的夹角及两点间的距离公式.

①已知Q=（%,%,%），3=（4也也），则|+/2+%2；

W=+82+a2.

a-b=axb{+a2b2+a3b3；

cos伍*,她+华+她；

、/Ja；+a；+必Jb；+b；+b；

②已知/（X］，M，Z］）,8（%,%/2）,则网=J（X］-％Y+（必一%）2+（4-Z2）2,

或者4（43）=|诟卜其中”48）表示/与&两点间的距离，这就是空间两点的距离公式.

（4）向量.在向量否上的射影为|a|cos（a⑹=1^.

11'/忖

（5）设3口片6）是平面M的一个法向量，AB,CD是“内的两条相交直线，则盛下=0,由此可求

出一个法向量G（向量方及而已知）.

（6）利用空间向量证明线面平行：设：是平面的一个法向量，7为直线/的方向向量，证明7i=0,

（如图8-155所示）.已知直线/Qlaa）,平面a的法向量若7i=0,贝!J///a.

（7）利用空间向量证明两条异面直线垂直:在两条异面直线中各取一个方向向量3,b,只要证明alb,

即a.B=0.

（8）利用空间向量证明线面垂直：即证平面的一个法向量与直线的方向向量共线.

（9）证明面面平行、面面垂直，最终都要转化为证明法向量互相平行、法向量互相垂直.

（10）空间角公式.

①异面直线所成角公式：设B分别为异面直线小4上的方向向量，。为异面直线所成角的大小,

.I/__、|a-b

则cos0=cos（a,b）\="^一•

1'〃a\\b

②线面角公式：设/为平面a的斜线，［为/的方向向量，3为平面a的法向量，。为

a-n

/与a所成角的大小，贝Usin6=\cos(a,n

a^n

③二面角公式：

设％,为分别为平面a，〃的法向量，二面角的大小为夕，贝1。=斩磕或"-伍切（需要根据具体

情况判断相等或互补），其中〔cosOkB".

_2B-«

（11）点/到平面a的距离为〃，Bwa,〃为平面a的法向量，贝1]d」1U

H

【典型例题】

例1.（2024・高二・浙江杭州•期中）如图，空间四边形O4BC中，OA=^i，OB=b，5E，，〃在线段CM上,

且CM=3/M,点N为BC中点，则加=（）

1—211f2-1T1一］一111一2一1］一

A.—a——b+—cB.——a+—b+—cC.—a+—b——cD.—a+b——c

23232222232

【答案】B

【解析】因为N为8C的中点，贝I］两=砺+丽=历+；打=砺+3（双一砺）=|■砺+；区,

因为。4=3W,则而=2次，

3

因止匕，MN=ON-OM=-OB+-OC--OA=--a+-b+-c.

223322

故选：B.

例2.（2024•高二•北京•阶段练习）如图,在平行六面体43co中,M为4G与片。的交点，若CD=a，

一LIUUL±

CB=b，CCX=c,则下列向量中与两相等的向量是（）

［一1ff

D.1a—bc

22222222

【答案】D

【解析】在平行六面体48CD-44中，丽7=元+6弓+请=-。+61+3（而+以瓦）

^-CB+CC.+-CB+-CD=-a--b+c.

2222

故选：D

例3.(2024・高一广东云浮•阶段练习)已知空间不共线的向量Z，b，且篇=3+2在，BC^-5a+6b，

CD^la-2b>则一定共线的三点是()

A.A、B、CB.B、C、DC.A、B、DD.A、C、D

【答案】C

【解析】因为刀=々+2在，BC=-5a+6b-CD=7a-2b>

对于A：因为益+就=y£+8另，

则不存在任何2eR,使得衣=4荔，所以A、B、C不共线，故A错误；

UULUULUUULU11

对于B：因为BD=BC+CD=2a+4b，

UUUUUU

则不存在任何〃eR,使得=所以8、C、。不共线，故B错误；

_UUlttUUJLLlUUlULM1±

对于C：因为/Z)=/3+BC+CZ)=3a+6b，

所以而=3荔，则A、B、。三点共线，故C正确；

对于D：因为益+前=7£+8书，

则不存在任何teR,使得丽=/%,所以A、C、。不共线，故D错误；

故选：C

例4.(2024•高二・安徽黄山・期末)已知向量£=(2,4,-4"=(1,2,2),则向量2在向量3上的投影向量为(

[122、<122><244}(244}

A。B.3遍C.口.《迎

【答案】D

a-bba-b2+8-8/<244

【解析】由投影向量公式得向量£在向量g上的投影向量为同.园=彳/r?"匚石(1,2,2)=

故选：D

例5.(2024•江苏南通•二模)在正方体力BCD-44中，下列关系正确的是()

A.ADLB.CB.A,D1BDC.AC,IA.CD.AC,1CD,

【答案】D

【解析】以。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1,

所以2(1,0,0),。(0,0,0),虱1,1,0),q0,1,°,4(1,0,1),0(0,0,1)再(1,1,1居

AD=(-l,0,0),^C=(-l,0,-l),l^=(-l,o,-l),s5=(-l,-l,o),

^G=(-1,1,1)，4C=(-1,1,-1),C5；=(O,-1,1)

对于A,AD-^C=-lx(-l)=1^0,故A错误；

对于B,丽•丽=-1x(-1)=1#0,故B错误；

对于C,NG•4c=-lx(-1)+1x1+1x(-1)=1w0,故C错误;

对于D,JQ-CD；=-lxO+lx(-l)+lxl=O,故D正确.

例6.（2024•内蒙古赤峰•模拟预测）在正方体/BCD-4494中，点瓦尸，G分别是棱/A",网的中点,

则异面直线GE,尸G所成角的余弦值为（）

【答案】A

【解析】根据题意，以。为坐标原点建立空间直角坐标系，如下图所示:

设正方体的棱长为2,则G(0，2,2),E(1,0,0),尸(1,2,0),GQ,2,1),

可得西=(-1,2,2),同=(1,0,1),

______.pc.FG]_V|

则35=向同

3x72-6

又因为异面直线的夹角范围是（0看

因此异面直线CXE,FG所成角的余弦值为变.

6

故选：A

例7.（多选题）（2024・高二・江西吉安・期末）在棱长为1的正方体N5CD-44GA中，瓦=:西，丽=丽,

则下列说法正确的是（）

A.尸G〃平面

B.直线尸G与底面/BCD所成的角的正弦值为三

C.平面与底面48co夹角的余弦值为:

D.点。到平面AB.E的距离为方

【答案】AB

【解析】如图所示，以点。为坐标原点，所在直线分别为x轴，了轴，z轴，建立空间直角坐

标系，

则4(1,0,1),A(14,1),G(0,1,1),£(o,o,g；尸],i，g

西=卜,0,£|,京=(一1,04，

・,•尸C.//ZE,

AEu平面4B[E,FC】U平面ABXE,

・・・FC]〃平面43遂,故A正确.

B选项，平面48C。的法向量数=（0,0』）,

设直线尸G与底面所成的角为6,

FCAA

HillcinA—Iccc/口「AA\l—c.

dint/卜UQ\iL],Ziyi,/故B正确.

前|阿

C选项，函=(0,1,1),ZE=f-l,0,|k设平面/吕£的法向量3=(x,y,z),

n-AB】=y+z=O9

则一―►1令z=2,得x=l,y=—2,则〃=Q,—2,2).

n-AE=-xH■—2=0,

2

设平面4片£与底面/BCD的夹角为a,

则cosa=Ms（数，9|=母=吗上丁"=|，

平面/3也与底面/BCD夹角的余弦值为:，故C错误.

D选项，,?FCJ/AE,4£^:平面/耳£,尸平面

又N=[O,1,£|,平面/耳£的法向量屋1-2,2）,

.♦.点Q到平面AB.E的距离即为直线W与平面AB.E的距离〜同"I_史卜2+1|_：故

-vrzzn-

D错误.

故选：AB

例8.（多选题）（2024•高三・贵州•阶段练习）如图，正方体/BCD-44GA的棱长为2,M是4G上的动

A.AM4c的面积是定值B.与方共线的单位向量是（LLO）

C.森与画夹角的余弦值是半D.平面/耳。的一个法向量是（0,1,-1）

【答案】AD

[解析】A选项：M在4G上且4G///C,

・•.M到AC的距离等于4G到AC的距离，设为定值d,

，邑为定值，故A选项正确；

B选项：（1,1,0）的模为也，不为单位向量，故B选项错误；

如图所示建系,“(2,0,0),5(2,2,0),2)(0,0,0),耳(2,2,2),

则布=(0,2,0),西=(2,2,2),AD=(-2,0,0)

——ABDB.4V3

C选项：c°sN凡期=网网=E=T，故C选项错误；

D选项：设元

贝!]丽・力=2x0+2x1+2x(—1)=0,=-2x0+0xl+0x(-l)=0,

即丽，五，ADln，

为面/吕。的一个法向量，故D选项正确；

故选：AD.

例9.(多选题)(2024•高二•重庆沙坪坝•阶段练习)给出下列命题，其中为假命题的是()

A.已知亢为平面a的一个法向量，成为直线/的一个方向向量，若力_1_应，则///a

B.已知力为平面a的一个法向量，成为直线/的一个方向向量，若〈用应〉=g,贝I]/与a所成角为已

C.若两个不同的平面。，。的法向量分别为反，且您=(1,2,-2),v=(-2,-4,4),则a//

D.已知空间的三个向量a,B，△则对于空间的任意一个向量/，总存在实数x，％z使得/=坛+证+z,

【答案】AD

【解析】对于A：由题意，当万_L历时，///a或/ua,故A错误；

对于B：由图象可得，ZCAD=—,则='，

33

7TJT

所以乙4DB=飞,根据线面角的定义可得：/与。所成角为:，故B正确;

66

对于C：因为力=(1,2,-2)=-*2,-4,4)=(，所以：//；,故a//，故C正确；

对于D：只有当空间的三个向量3,b-3不共面时，

对于空间的任意一个向量力，才存在实数x,N,z使得/=%+yB+z3,故D错误.

故选：AD.

例10.(2024・辽宁•一模)已知空间中的三个点/(LU)，8(2,1,-1),C(3,0,0),则点A到直线3c的距离

为.

【答案】2^1/1742

33

【解析】由题意知,/(U,l),3(2,「l),e(3,0,0),

所以丽=(-1,0,2),就=,

得网=向园=5"军=包*=£

1111|sc|V33

例11.(2024・高二・上海徐汇・期末)如图，在多面体NBCDE尸中，四边形/BCD为正方形，DE工平面

ABCD,DE/!BF,AD=DE=2,BF卷

(1)求证：ACVEF

(2)在线段DE上是否存在点G,使得直线8G与月。所成角的余弦值为:？若存在，求出点G到平面/CF的

距离，若不存在，请说明理由.

【解析】(1)因为四边形48CD为正方形，DE1平面/BCD,

如图以。为原点，分别以D4DC,DE的方向为x，V，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，

则。（0,0,0）,/（2,0,0）,2（2,2,0）,。（0,2,0）,£（0,0,2）,尸（2,2,；

X

所以就=（-2,2,0）,而==（2,2,彳；

所以苑丽=-2x2+2x2+0=0，

所以U_L而，所以

（2）设线段DE上存在一点G（0,0,/z）,04/z42,使得8G与ZD所成角的余弦值为|,

则数=（-2,-2㈤,又25=（-2,0,0）,

9

所以|cos3G,4D|=§,解得〃=1（负值舍去）,

x2

所以存在G（0,0,1）满足条件，

所以就=（一2,0,1）,依题意可得就=（-2,2,0）,万:=（0,2,

设历=（x,%z）为平面/CF的法向量，

AC-n=—2x+2y=0

则一1'设尤=1,可得万=。,1,-4),

AF-n=2y+-z=Q

\AG-n

所以点G到平面ZC尸的距离为

问3亚，

_TT

例12.（2024,全国・模拟预测）如图,在四棱锥「-/白》中，P4_L平面/BCD,AB//CD,ZABC=—，AB=2,

2

BC=CD=4,〃为棱P。的中点，直线CW与ZO所成角的余弦值为画.求：

70

p

(1)点"到直线3c的距离；

(2)二面角P—BC—M的余弦值.

【解析】(1)取C。的中点。，连接力。，

因为N5=2,CD=4,所以4B=CD,

又AB//CD,所以四边形N3CQ为平行四边形，

IT

又N4BC=2,

2

故,

因为P/_L平面/BCD,4。"u平面/BCD,

所以尸

如图，以/为坐标原点，/。，/瓦/尸所在直线分别为工轴，了轴，z轴，建立空间直角坐标系,

设尸（0,0,2a）,则5（0,2,0）,C（4,2,0）.（2,-1,aR,P,0）,

于是庆=（2,3,-a）,㈤5=（4,-2,0）.

设MC,4D所成的角为8,

MCAD|—（4,-2,0）12

火HilIJlcUcUco（A7—

MCIz5，4+9+Q2xV16+4V13+a2xV20

改2同

解得Q=1,

\J13+a2xV2070

设点”到直线的距离为d,

两灰_(2,-3,1>(4,0,0)_8_V14

则cosBM,BC=

|W||5C|4x74+9+14xV147，

^^d=\BM\smBM,BC=y/]Ax=Vio.

所以点〃到直线3C的距离为厢.

（2）依题意，P8=（0,2,-2）,PC=（4,2,-2）,5C=（4,0,0）,MC=（2,3,-l）.

设平面PBC的一个法向量五=（x,y,z）,

PB-n=（0,2,-2）=2y-2z=0

.k=（4,2,-2）.（2,z）=4x+2y-2z=0'

解得尤=0,令歹=1,得Z=1,所以为=（0,1,1）,

设平面3cM的一个法向量为成=（。也。），

BC'fh=(4,0,01(Q,Z?,C)=4。=0

则

MC-m==2〃+36—c=0

解得Q=0,令6=1,得c=3,则加=（0,1,3）.

设二面角尸-5C-M的平面角为6,由图知。为锐角，

则C°s"b°s成司-恒久-皿3L4一述

所以二面角P-8C-M的余弦值为寺.

例13.（2024•江苏•模拟预测）在五棱锥尸一/BCEE中，AB//CF,AEHBC,PE±PF,AB±BC,

PE=PF=AE=2,FC=BC=4,AB=6,平面PEF1平面ABCFE.

P

（2）若向:=九而（2>0）,且直线NM与平面尸CF所成角的正弦值为一p,求2的值.

【解析】（1）证明：延长4E,CF交于点D,;4B//CF,4E//BC,4B1BC

二四边形ABCD为矩形，DE=DF=2,:.ZDFE=ZCFB=45°,NBFE=90°

BF1EF,:.平面PEF_L平面ABCFE,平面PEFn平面ABCFE=EF

BF<=平面ABCFE,：.8尸_L平面PEF,：.BFYPE,即PEA.BF.

(2)如图建系，"(0,0,0)制板,0,@,“一2也,2板,0),/(3五,收,0)

5(0,4V2,0),PS=(-72,472,-72PM=(-V2A,4722,-722)

:.AM=AP+PM=(-2后，-仓五卜卜包4届_5)

=(-272-72/1,4^22-72,72(1-/1))

FP=(V2,0,V2),FC=(-2V2,2V2,0)

设平面PCF的一个法向量力=(x,y,z),

n-FP=0fy[2x+-\/2z=0,、

—0LL=^«=14,-1

n-FC=01一2j2x+2j2y=0

卜"臼_25___________4拒(I-.)____________2而

由悯15J2(2+.)2+2(42-Ip+2(1-4)2.615

n(22-l)(A-4)=0,v0<A<=

例14.(2024•陕西渭南•模拟预测)如图，在四棱锥尸-48CD中，P4_L平面48。，底面48CD是正方形,

点E在棱尸。上，AD=AP,AEICE.

(1)证明：点£是尸。的中点;

(2)求直线BE与平面ACE所成角的正弦值.

【解析】(1)由尸4,平面/BCD,CDu平面48cD,所以上4LCD；

又底面ABC。是正方形，所以40,CD；

因为4DcP4=N,/D,尸Nu平面R4。，所以CD_1_平面尸4D；

又ZEu平面尸4。，所以。_LNE,

因为4E_LCE,CDcCE=E,CD,CEu平面尸CD,

可得NE_L平面尸CD,又PDu平面尸CD,

所以4E_LPD,又因为4D=4P,

可知点E是尸。的中点；

（2）根据题意可得/氏/。,/尸两两垂直，

因此以A为坐标原点，尸所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如下图所示:

^AD=AP=2,则4（0,0,0）1（2,0,0）,C（2,2,0）,E0,1,1）；

所以屉=（一2,1,1）,就=（2,2,0）荏=（0,1,1）；

设平面/CE的一个法向量为五=（x,%z）,

AC-w=2x+2y=0

可得:一,_，令>=一1,可得x=l,z=l；

AE=y+z=0

即行=（1,一1,1）；

设直线BE与平面/CE所成的角为。,

BE-n\|-2-l+l|_V2

则sin0=cosBE,n=

BE\j|w|V6X>/33

所以直线5E与平面/CE所成角的正弦值为农.

3

【过关测试】

一、单选题

1.（2024・高二・湖北荆门•期末）在四面体。48C中，M点在线段04上，且（W=2M4,G是的重心,

己知应=1，OB=b-OC=c,则沅等于（

A.-a--b+-cB.--a+-b+-c

333322

C.-~a+-b+-cD.-5+-b--c

333332

【答案】C

【解析】因为G是。3c的重心,

贝=g（n=g（双一刀+砺=砺+g云

由(W=2M1,^MG=-OA,

3

uutruutruuur1uur2r1r1r1r1rir

所以MG=M4+ZG=—CM——a+-b+-c^——a+-b+-c.

3333333

故选：C.

2.(2024・高二・河南郑州•期末)人教A版选择性必修第一册教材44页“拓广探索”中有这样的表述：在空间

直角坐标系中，若平面々经过点月(%,%,z°),且以拔=(a,6,cj(a6cn0)为法向量，设尸(x,y,z)是平面a内

的任意一点，由方•/=(),可得aa-xJ+Wy-yJ+dz-zjnO,此即平面的点法式方程.利用教材给

出的材料，解决下面的问题：已知平面々的方程为2x+2y+z-7=0,直线/的方向向量为(1,2,-2),则直

线/与平面a所成角的正弦值为()

5

A.—B.-C.D.一

999

【答案】B

【解析】因为平面。的方程为2x+2y+z-7=0,

所以平面。的一个法向量为加=(2,2,1),

直线/的方向向量为力=02-2),

设直线/与平面。所成角为6,

4

和

万4

--

则sin0=|cos<mHI9

mlX3

故选：B.

3.(2024・全国•一模)如图，四棱锥P-/5CZ)中，底面/BCD是矩形，PA工AB,PA工AD,AD=1,AB=日

△尸48是等腰三角形，点E是棱属的中点，则异面直线EC与尸。所成角的余弦值是()

A/6八

A.-V--3-RD.----Lr•-V--6-LJ.-V--2-

3342

【答案】B

【解析】因为48，AD,4P两两垂直，

以《为原点，AB,AD,4尸分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.

Zk

又因为&=45=后，AD=\,

所以/（0,0,0）,5（V2,0,0）,C（V2,l,0）,£＞（0,1,0）,P（0,0,夜）

（5历、

因为是棱的中点，所以，

EPBE1与2,0¥2J,

所以EC=,P5=（O,1,-72）,

122J

1+1

可得cos〈£C，P°〉=

3，

-+l+-xVi+2

22

所以异面直线EC与PD所成角的余弦值是逅.

3

故选：B.

4.（2024・高一•全国•课时练习）如下图所示,在正方体/BCD—44GA中，E,尸分别是的中点,

则异面直线gc与E尸所成的角的大小为（）

C.60°D.90°

【答案】C

以。为坐标原点，D4为x轴，。。为了轴，为z轴，建立空间直角坐标系,

设正方体/BCD-/4GA棱长为2,则£(2,1,0),F(1,0,0),旦(2,2,2),

C(0,2,0),^C=(-2,0,-2),£F=(-l,-l,0),

设异面直线与E尸所成的角为氏。€,弓，

\B^-EF\21

贝i|COS0=||=后7,所以©=60°.

麻|•网V8-V22

故选：C

二、多选题

5.（2024・高三・福建•阶段练习）如图，点4B,C,M,N为正方体的顶点或所在棱的中点，则直线MN//

平面/3C的是（）

【解析】对于A项，如图所示建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2,

则/(2,0,1),3(1,2,0),C(0,2,1),M(2,2,2，M0，l，2,

所以通=(-1,2,-1),就=(-2,2,0),而7=(2,1,0),

.、n-AB=-a+2b-c=0

设平面45C的一个法向量为〃=(q也。)，贝卜—.

n-AC=-2a+2b=0

令〃=1=>6=1,o=1,即加=(1,1,1),

显然丽7•万=2+1+0=3。0，即加与［不垂直，故直线与平面/5C不平行，故A错误;

对于B项，如图所示取侧棱中点。，连接BD,由正方体的特征可知/。//8。,“乂//助,

所以平面48c即平面/8C。，跖¥0平面/8。。，8。u平面/BCD,

对于C项，由正方体的特征易知平面4BC//侧面MN,MNu侧面AGV,

所以直线M///平面48C,故C正确；

对于D项，如图所示取正方体一棱中点G,连接CG、MG、BN,

由正方体的特征可知：ACUMN.ABUGM.BN//CG,

易知4C、G、M、N、8六点共面，故D错误.

故选：BC

—►1—►

6.（2024•高二・陕西西安•阶段练习）如图，在四面体/3CZ）中，两两垂直，AE=-ADf贝（J（）

A.向量近在向量而上的投影向量为12。

B.向量。在向量而上的投影向量为

C.向量区」瓦卡2•丽-前

33

—•2--1--—■

D.向量C£=—A4+—BD-2C

33

【答案】AD

如图所示，取BF=—,连接8E,贝U斯//4B.

2

—1—

因为848C,5D两两垂直，AE=-AD,

所以。在80上的投影为B点，E在8。上的投影为厂点，

所以向量花在向量而上的投影向量为8尸=；2。，故A正确，B错误；

CE=BE-BC=BA+JE-BC=BA+^JD-BC=BA+^（BD-liA^-BC

2—1——

=-BA+-BD-BC,故C错误，D正确.

故选：AD

三、填空题

7.（2024・山东济南•一模）在三棱柱/3C-44G中，AM=2MB>乖=机/，且8N//平面4c则

m的值为.

【答案】g/0.5

__,__2___►-__„2__»2

如图，不妨设在=Z,就k=反可=",依题意，~AM^-a,MA^MA+JA^-^AB^c--a,

_____2

MC=AC-AM=b——a,

3

因A、N=mAxCx=mb,则BN=BAX+A^N=c-a+mb.

又因BN//平面4cA/,故丽，西，碇必共面，

__一2一2

即存在Z"eR,使8N=2M4]+piMC,SPc-a+mb=A(c-—a)-h/^(b--a),

2

-y(Z+//)=-l

N=m,解得加

从而有，=L

A=12

故答案为：y.

8.(2024•高二•福建泉州•期末)在空间直角坐标系中，若平面a过点《，且以向量力=(a,6,c)(a,b,c

不全为零)为法向量，则平面e的方程为。(x-Xo)+b(y-%)+《z-Zo)=0.已知平面/8C的方程为

x+2y-z+1=0,则点尸(1,2,3)到平面平面ABC的距离为.

【答案】逅/1几

22

【解析】由平面/8C的方程为x+2y-z+l=0,可得平面/8C过点。(0,0,1),且其法向量为3=(1,2,-1),

又由点尸(1,2,3),可得理=(_1,-2,-2),

所以点尸(1,2,3)到平面。的距离为/^华答=士誉1=

\n\V62

故答案为：逅

2

9.(2024・高二・安徽•阶段练习)已知力=(0,2,1)是平面a的法向量，点0(1,0,3)在平面a内，则点尸(2,2,2)到

平面a的距离为.

【答案】±54逐

55

【解析】由题意可得网=(1,0,3)-(2,2,2)=(-1,-2,1),

又行=(0,2,1)是平面a的法向量，

则点尸(2,2,2)到平面a的距离为d=窄曰=短4=容，

故答案为：巫

5

10.(2024・山东•模拟预测)已知在正方体488-44。夕］中，AM=^AD,平面/①。c平面=/,

则直线1与DM所成角的余弦值为.

【答案】叵

30

【解析】作出图形，如图所示.

延长QC至E,使得DC=CE,则△4/8名△£(?£,AD&q咨LCBE,

故4台=。£,4£=BE,故四边形4。仍为平行四边形，

连接BE,延长MC,BE交于点G,连接£G,则0G即为直线/.

以D为坐标原点，DA,DC,分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设/。=2,过点G作GNLV轴于点N,则△MDCs^GNC,且相似比为1:2,

故CN=2CD=4,GN=2DM=2,

则£(0,2,2),<7(-2,6,0),Af(1,0,0),A(0,0,2),

故而=(-2,4,-2),丽=(1,0,-2),

\cfi-D^\1(-2,4,-2).(1,0,-2)1V30

故直线1与D.M所成角的余弦值为J।___」=%•

由伊M74+16+4x71+0+430

故答案为：甄

30

四、解答题

11.(2024•浙江•模拟预测)如图，已知正三棱柱48<7-48£,48="14，。,£分别为棱4稣8。的中点.

（1）求证：48，平面/。。；

（2）求二面角/-CQ-E的正弦值.

【解析】（1）取中点尸，由正三棱柱性质得，4耳DG，跖互相垂直，以。为原点，分别以。叫。G，

。尸所在直线为x轴，＞轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

不妨设必=2,贝九44=2收，

则4卜夜,0,0）,/（-60,2）,8（60,2死60拄।

证明：港=（2行,0,2）,而=（。,0,2）,西=（0/6,4,DE4^-^~,2,

\7

由布.加=（2后,0,2}（-在0,2）=-4+0+4=0,得48_LNO,

由福•国=（2收,0,2＞（0,指,0）=0+0+0=0,得48_LDC],

因为AD,DC,u平面ACXD,AD^DC^D,所以4台，平面4CQ.

(2)

由（1）可知而=（2后,0,2）为平面/CQ的一个法向量，设为=（x,%z）平面CQE的法向量,

x+2A/2Z=0

y=0

令z=1,得面C{DE的一个法向量为n=（-272,0,1）,

设二面角N-CQ-E的值为。，

以8•司/T/7

贝i]|cosO|=^^=一,所以，二面角/一。。一£的正弦值为空.

|44同33

12.（2024•江苏•一模）如图，在四棱锥中，EC_L平面48CD,DCLBC,AB//DC,DC=2AB=2,

CB=CE,点、F在棱BE上,S.BF=-FE.

2

D

⑴证明：。£//平面/FC；

(2)当二面角尸-/C-。为135°时，求CE.

【解析】(1)因为EC_L平面8C,CDu平面/BCD,

所以EC_L3C,EC_LCD,

又DCLBC,

以C为坐标原点，C8,CE,CD所在直线分别为x，V，z轴，，建立空间直角坐标系,

设BC=m,

,?DC=2AB=2,

nx-CA=^x.y,z)•(m,0,1)=mx+z=0

则

nCF^(x,y,z)-|=2，"x」w=c'

e33

令x=l得y=_2,z=_次,故々=(1,—2,—加)

/.DE-nx=-2m+2m=0,

故。£//平面/FC；

(2)平面NCD的一个法向量％=(0,1,0),

2力以=

cosl35"=-

而-^5+m2-12

\CE=5

13.(2024•天津河西•一模)已知三棱锥尸-/BC中，P4_L平面4BC,AB1AC,AB=2PA=2AC=4,N

为48上一点且满足3诉=福，M,S分别为P8,3c的中点.

⑴求证：CM1SN；

(2)求直线SN与平面CMN所成角的大小；

(3)求点尸到平面CW的距离.

【解析】(1)因为P/J■平面48C,AB1AC,

如图以A为原点，尸所在直线分别为x轴、了轴、z轴，建立空间直角坐标系,

则1(0,0,0),8(4,0,0),c(o离叽尺0,0,2,陷2,0,)N2,1，。，N1，财，

所以诲=(2,-2,1),而=(-1,-1,0),

因为亚•丽=2x(-l)+(-2)x(-l)+lx0=0,

所以CM_LSN.

(2)设平面CAW的法向量力=(x,%z),函=(1,-2,0),

n-CM=Q即"\2x-o2y+z=0，取yu得Y,L-2、)，

则一

n-CN=0

设直线SN与平面CW所成角为。,

n-SN\

3417T

贝Usin又0,-,

3x72-2

TT7T

所以。="所以直线SN与平面CW所成角的大小为“

(3)设点P到平面CAW的距离为d,因为尸N=(l,0,-2),

|PN•司

所以[=^^1=2,所以点P到平面CW的距离为2.

向

14.(2024•天津河东•一模)在正方体MCD-中(如图所示)，边长为2,连接&D、BD

⑴证明：平面48。；

(2)求平面ACDX与平面A.BD夹角的余弦值；

(3)底面正方形ABCD的内切圆上是否存在点P使得PB与平面AXBD所成角的正弦值为旦,若存在求PR长

3

度，若不存在说明理由.

【解析】(1)

以。为原点，DA、DC、所在直线分别为x轴、V轴、z轴，建立空间直角坐标系，

贝i]D（0,0,0）,/（2,0,0）,B（2,2,0）,q0,2,q，4（o,o,2，42。

平面450的法向量为既=（x,y,z）,Z）4=（2,0,2）,Z）5=（2,2,0）,

-DA=0j2x+2z=0