2025年中考数学二轮复习：三角形的证明 练习题汇编（含答案）

2025年中考数学二轮复习：三角形的证明专题练习题汇编

一、解答题

1.如图，在RtA4BC和RtDEF中,ABLBC,DE1,EF,AC=DF,BF=EC,求证:

AB=DE.

2.如图，已知VABC是等边三角形，D,E,尸分别是射线54,CB,AC上的点，且

AD=BE=CF,连结DE,EF,DF.

⑴求证：DE=EF；

⑵试判断尸的形状，并说明理由.

3.如图，BE=CEDELAB的延长线于点E,DF/AC于点F,且DB=L>C.

(2)若/皿>=25。，求/C的度数.

4.如图，在VABC中，AB=AC,点。在BC边上，ZDAJB=90°,

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AA

备用图

(1)当NC=30。，求证：BD=2CD；

(2)当3O=2CD时，/C是否一定为30。，如果一定，给出证明：如果不一定，请说明理由.

5.如图，B,C,E三点在一条直线上，VA3C和ADCE均为等边三角形，连接AE,DB.

(1)AE和03有何大小关系，请说明理由；

(2)如果把△OCE绕点C顺时针再旋转一个角度，(1)中的结论还成立吗？

6.如图1,在VABC中，NB=ZACB,延长区4至。，过点。作。EL5C交BC的延长线

于点E,延长AC至F,过点尸作RGL3C交BC的延长线于点G,且DE=bG.

图1图2

⑴求证：乙BDE咨人CFG；

(2)如图2,连接DF,交EG于点H,用等式表示线段GH与BC的数量关系，并证明.

7.在等腰VABC中，AB=AC,点。是AC上一动点，点E在的延长线上，且=

AF平分NCAE交DE于点尸，连接尸C.

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(1)如图1,求证：ZABE=ZACF；

(2)如图2,当NABC=60。时，在BE上取点M,使BM=EF,连接求证：是

等边三角形.

8.如图，在VABC中，NABC的平分线交AC于点。，过点。作/汨〃3C交A3于点E.

⑴求证：BE=DE；

⑵若ZA=78。，ZC=32°,求N")£1的度数.

9.己知VA3C和，CDE是两个全等的等腰直角三角形，ZACB=NCDE=90。.

(1)如图1,CD和CE分别与边A3交于点M,N,过点C作CFJ_CE,且使B=C7V,连接

AF,FM,求证：

①△ACF四△BCN；

@MN2=AM2+BN2；

⑵如图2,。与边A3交于点/，CE与A3的延长线交于点N,请探究和之

间的数量关系，并说明理由.

10.如图，已知VABC中，NB=NC,AB=8厘米，3C=6厘米，点。为A3的中点，如

果点尸在线段BC上以每秒2厘米的速度由8点向C点运动，同时，点。在线段C4上以每

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秒加厘米的速度由C点向A点运动，设运动时间为r(秒)(0</<3).

(1)用含r的代数式表示PC的长度；

⑵若点尸、。的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与VCQP是否全等，请说明理由；

(3)若点P、。的运动速度不相等，当点。的速度机为多少时，能使△BPD与VCQP全等？

11.如图，在VABC中，点。、E分别为边A3、AC上的点，连接DE,点尸、G分别在

边DE、EC上，连接8尸、DG交于点P,DF2=FP.FB>NDFP=NDGE.

⑴求证：ABDF^ADEG；

(2)如果4PG=N/RC,AD=2BD,求证：2BC.DF=ACEG.

12.在VABC中，AC=8C,NACB=90°,点。在AC边上(不与点A,C重合)，连接3D,

过。作/足，3£>,且DE=BD,连接BE交AC的延长线于点E

图1图2图3

⑴如图1,若8D平分，ABC,求证：DF=2CD；

(2)如图2,在(1)的条件下，过。作DGLAC交A3于G,过E作£7—GD交G。的延长

线于H,求证：BG+DH=BC；

(3)如图3,连接AE,M是AE的中点，连接。h，求的度数.

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13.如图，在VABC中，AB^AC,若点E是BC边上任意一点，将△AEC绕点A逆时针

旋转得到4)8,点E的对应点为点。，连接DE,

⑴求证：ZABC=ZABD；

(2)若3。〃AC,求的度数.

14.在VA3C中，AB=AC,N3AC=90。，点D为直线BC上一动点，以AD为直角边在AD

的右侧作VAOE,使miE=90。，AD=AE,连接CE.

⑴当点O在线段8C上时，如图1,证明：CE=BD且CELBD；

⑵当点。在线段CB的延长线上时，如图2,判断线段CE与线段即的数量关系和位置关系,

并说明理由.

15.在.ABC中，AC=BC,点。是边48上不与点3重合的一动点，将一BDC绕点D旋转

得到一ED尸，点8的对应点E落在直线BC上，E歹与AC相交于点G,连接AF.

⑴如图1,当点。与点A重合时,

①求证：FG=AG；

②判断A尸与3c的位置关系是_

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(2)如图2,当点。不与点A重合，点E在边8C上时，判断AF与8C的位置关系，并写出

证明过程；

⑶如图3,当点。是力B的中点，点E在边BC上时，延长H4,CF相交于点尸.若AB=CD=2,

求尸尸的长.

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参考答案:

1.见解析

【详解】解：•・•AB_L5C,DELEF,

：.ZB=ZE=90°,

•・・BF=EC,

；・BF+FC=EC+FC,即3C二跖，

在RtZXABC和Rt-DEF中，

jAC=DF

[BC=EF'

ARtAABC^RtDEF(HL),

・•・AB=DE.

2.(1)证明见解析

⑵DEF是等边三角形，理由见解析

【详解】(1)证明：TVABC是等边三角形，

AAB=BC=AC,ZBAC=ZABC=ZACB=60°,

・•・ZDAF=ZEBD=ZFCE=120°,

•:AD=BE=CF,

：・BD=CE=AF,

在LD班与-EFC中,

BD=CE

<ZEBD=ZFCE,

BE=CF

：.ADEB^AEFC(SAS),

:.DE=EF；

(2)DEF是等边三角形.

理由：在△位)尸与△CFE中，

AF=CE

<ZDAF=ZFCE,

AD=CF

AADF^ACFE(SAS),

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：•FD=EF,

*.*DE=EF,

DE=EF=EF,

是等边三角形.

3.⑴见解析

(2)40°

【详角军】(1)证明：・・,OESAB,DF1AC,

：.ZDEB=ZDFC=90°,

在RtADEB和RtADFC中，

[BE=CF

[BD=CD"

：.RtABDE^RtACDF(HL)

(2)证明：•；_BDE—CDF,

:・DE=DF,

又DE_LAB,DF1AC,

・•・AD是NBAC的平分线，

VZ£W=25°

JZEAC=2ZEAD=2x25°=50°

二・ZC=90°-ZE4C=90°-50°=40°

4.(1)详见解析

(2)当3。=2co时，/C=30。，详见解析

【详解】(1)证明：当NC=30。时，

AB=AC,

/.ZB=ZC=30°,

NZMB=90。，

=2AT>且ZADB=60。，

:.ZDAC=ZADB-ZC=3O09

ZC=30°,

AD=CD,

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/.BD=2CD；

(2)解：当3D=2CD时，ZC=30°,理由如下:

取80的中点连接AM,

2

QBD=2CD,

:.AM=CD,

:.BM=CD,

AB=AC,

.•./B=NC,

在.ABM与ACD中，

AB=AC

<ZB=ZC,

BM=CD

ABM^ACD(SAS),

:.AD=AM,

：.AD=AM=MD,

:.ZADM=60°,

NZMB=90。，

/.ZB=30°,

/.ZC=30°.

5.{1}AE=BD,理由见解析

(2)成立=理由见解析

【详解】(1)AE=DB,理由如下：

ABC.均为等边三角形，

/.BC=AC,CD=CE,ZBCA=ZDCE=60°f

/.ZBCA+ZACD=ZDCE+ZACD,

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即N3CD=NACE,

在ZXACE和△5CD中，

AC=BC

</ACE=/BCD

CE=CD

/.ACE也BCD(SAS),

AE=BD.

(2)成立，AE=BD；理由如下:

如图，

△OCE均为等边三角形,

:.BC=AC,CD=CE,N5c4=NDC£=60。，

ZBCA+ZACD=ZDCE+ZACD,

即N3CD=NACE,

在“。石和△BCD中,

AC=BC

</ACE=/BCD,

CE=CD

/.ACE且BCD(SAS),

:.AE=BD.

6.(1)见解析

⑵BC=2GH,理由见解析

【详解】(1)证明：VZB=ZACB,ZACB=NFCG,

：.ZABC=ZFCG,

VDELBC,FGYBC,

ZBED=ZCGF=90°,

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,:DE=FG,

・・・BDEMCFGgq；

(2)解：BC=2GH,理由如下：

,:ABDE^ACFG,

：.BE=CG,

：.BE-CE=CG-CE,

：.BC=EG,

在△£)石H和一厂GH中，

/DHE=/FHG

<ZDEH=ZFGH=90°f

DE=FG

,DEH^FGH(AAS),

:.EH=GH,

:.BC=2GH.

7.⑴见解析

(2)见解析

【详解】(1)证明：AF平分/C4E,

NEAF=/CAF,

AB=ACfAB=AE,

-e-AE=AC,

在△ACF和△?!£尸中，

AC=AE

<ZCAF=NEAF,

AF=AF

,-AB均AEF(SAS),

ZACF=ZE,

AB=AE,

ZE=ZABE,

ZABE=ZACF；

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(2)如图，在应:上截取=连接AM,

.AACF,

EF=CF=BM,NE=ZACF=ZABM,

在4ABM和ZkAC尸中，

AB=AC

<ZABM=ZACF,

BM=CF

ABM^ACF(SAS),

AM=AF^ZBAM=ZCAF,

AB=AC,ZABC=60°,

VABC是等边三角形，

Z^4C=60°,

ZMAF=ZMAC-^-ZCAF=ZMAC+ZBAM=ABAC=60°,

AM=AF.

丁...AMF为等边三角形.

⑵NBDE=35。

【详解】(1)证明：・・・BO平分/A5C,

・•・ZABD=ZCBD,

•:DE//BC,

：.ZBDE=ZCBD,

：.ZBDE^ZABD,

BE=DE；

(2)解：VZA=78°,ZC=32°,

・•・ZABC=180°-ZC-ZA=70°,

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・・•瓦）平分/ABC,

ZABD=ZCBD=35°,

,:DE〃BC,

：.ZBDE=ZCBD=35°f

9.（1）①见解析；②见解析

（2）MN2=AM2+BN2,证明见解析

【详解】（1）证明：①TVABC是等腰直角三角形，CF1CE,

...ZACB=NFCN=90°,AC=BC,ZBAC=ZABC=45°,

・•・ZACF+NACN=NBCN+NACN=90°,即ZACF=ZBCN,

在△AC尸和科四中，

AC=BC

<ZACF=/BCN,

CN=CF

：..ACF^ABC7V（SAS）.

②由①知AACF之△3CN,

.・.AF=BN,NCAF=NCBN=45°,

・•・ZFAM=ZCAF+ABAC=450+45°=90°,

・・・_CD£是等腰直角三角形，

・•・ZDCE=45°,

・•・ZACD+ZBC7V=45°,

■:ZACF=ZBCN,

：.ZFCM=ZACD+ZACF=45°,

:・NFCM=NNCM,

又「CF=CN,CM=CM,

：.^CMF^CMN（SAS）f

：.MF=MN,

在RtZWM中，ZFAM=90°,由勾股定理得MF?=加〃十人尸2,

・•・MN2=AM2+BN2.

（2）解：MN2=AM2+BN2,证明如下：

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如图，将ABav绕点C逆时针旋转90。得到△ACC连接万

图2

则ZNCF=90°,AF=BN/FCM=90°-ZDCE=45°=ZMCN,

在,CM尸和中，

CF=CN

-ZFCM=ZMCN,

CM=CM

，_CMFyCMV(SAS),

ZFAC=ZCBN=180°-ZABC=135°,FM=MN,

：.ZFAM=ZFAC-ZCAB=135°-45°=：90°,

AM2+AF2=FM2^

；•AM2+BN2=MN?.

10.(1)6-2?

(2)全等，理由见解析

Q

⑶I厘米/秒

【详解】(1)解：由题意可知族=2/厘米，

/.「0=3。一族=(6-2。厘米；

(2)解：ABPD和VCQP全等，理由如下：

；f=l秒,

族=(?。=2、1=2厘米，

CP=3C-3P=6—2=4厘米.

：AB=8厘米，点。为的中点，

；・3。=4厘米.

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:.PC=BD.

在△BPD和VCQ尸中，

BD=PC

<NB=NC,

BP=CQ

：.RPD名心CQ尸(SAS)；

(3)解：・・,点尸、。的运动速度不相等，

:.BPwCQ.

又•：ZB=/C,

则当5尸=尸。=35。=3厘米，CQ=50=gA5=4厘米时，LBPDQMPQ,

・•・点尸，点。运动的时间/=与二,秒，

in-CQ——4——8

:.t33厘米/秒，

2

Q

当点。的运动速度比为三厘米/秒时，能够使△BPD与VCQP全等.

11.⑴见解析

(2)见解析

【详解】(1)证明：DF?=FP.FB，

.DFFB

,,=,

FPDF

ZDFP=ZBFD,

7DFPEBFD,

・•/FDP=NFBD,

NDFP=ZDGE,

ABDF^ADEG；

(2)证明：由(1)得：/\BDF^/\DEG,NDFP^NBFD,

ZBDF=ZDPF=ZDEG,-,

EGDE

A1800-ZBDF=1800-ZDPF=1800-ZDEG,

ZADE=ZFPG=ZAEDf

ZFPG=ZABC,

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:.ZADE=ZABC,

ADE//BC,

，AADEcoAABC,ZAED=ZACB,

・•.NABC=ZACB,

:.AB=AC,

AD=2BD,

AB=AD+BD=3BD,

BD=-AB=-AC

33f

DEAD2BD2

3BD~3f

DE=-BC,

3

.DF_BD_jAC

'~EG~~DE~'

—£)C

3

2BC.DF=AC.EG.

12.⑴见解析

(2)见解析

⑶NA£)M=135。

【详解】(1)证明：AC=BC9ZACB=90°,

.-.ZA=ZABC=45°,

QB。平分/ABC,

,ZABD=-ZABC=-x45°=22.5°,

22

ZBDF=ZA+ZABD=45°+22.5°=67.5°.

DE1.BD,

ZBDE=90°f

又BD=DE,

.\ZDBE=45°,

在VBD/中，ZBDF+ZDBF+ZBFD=180°,

/.NBFD=180。-NBDF-/DBF=180。一67.5°-45°=67.5°,

:.ZBDF=ZBFD.

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:.BD=BF.

NACB=90。，

:.BC±DF,

・•.C为。尸中点，

：.DF=2CD；

(2)证明：ZDBC=-ZABC=-x450=22.5°,ZACB=90°,

22

:.NBDC=90°-22.5°=67.5°.

NBDE=9。。,

ZEDF=22.5°.

DGLAC,

:./EDH=90。.

ZHDE=90。—22.5°=67.5°,

:./BDC=ZEDH.

EHIDG,

.­.ZH=90°

:"H=/DCB,

又DE=BD,

;._HDEaCDB(AAS),

:.HD=CD.

NG。。=90。，NBDC=675。,

:.ZBDG=22.5°,

:./BDG=NDBG,

/.BG=DG.

ZA=45°,ZADG=90°,

:.ZAGD=45°,

.\ZA=ZAGDf

:.AD=DGf

AD=BG,

:.BG+DH=AD+CD=AC,

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BC=AC.

:.BG+DH=BC；

(3)解：如图，延长。M至。，使加=。〃，连接EQ.过。作。N1AC交A3于点N.

A

/[^\y

M是AE中点，

E

:.AM=EM.

ZAMD=ZEMQ,DM=QM.

AADM^AEQM(SAS).

・•.AD=EQ,ZQ=ZADM,ADAM=AQEM,

:.EQ//AD.

ZQED=ZEDF.

ZBDE=90。,

.•./EDF+NBDF=90°,

DNLAC.

/.ZA®C=90°,

.,.ZNDB+/BDF=96。,

:"EDF=NNDB.

..NQED=ZNDB.

NADN=90。,ZDAN=45°,

,\ZAND=45°,

:.ZDAN=ZAND,

:.AD=DN.

EQ=DN.

又BD=DE,

EQ=DN,

.•・在△£。。和、。BN中，]/QED=NNDB,

DE=BD,

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.•.△EDQ且△ZMN(SAS).

/.ZQ=ZBND.

■.ZAND=45°9

ZBND=180。—45。=135°,

Z2=135°,

:.ZADM=135°.

13.⑴见解析

(2)ZAED=60°

【详解】(1)证明：•・•AB=AC

:.ZABC=ZC

由旋转知..ACE也©ABD

:.ZC=ZABD

又ZABC=NC

:.ZABC=ZABD

(2)解：由(1)知ZABC=NC=ZABD=a

・・・ZCBD=ZABC+ZABD=2a

•・・BD//AC

：.ZCBD+ZC=180°

2a+a=180°

解得&=60。

・・・ZABC=ZC=60°

...VABC为等边三角形

ABAC=60°

由旋转知/ZME=/BAC=60。，AD=AE

，VADE为等边三角形

ZAED=60°

14.(1)见解析

Q)CE=BD,CELBD,理由见解析

【详解】(1)证明：ZBAC=ZDAE=90°,AB^AC,

:.ZBAC-ZCAD=ZDAE-ZCAD,ZABC=ZACB=45°,

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:.ZBAD=ZCAE.

又AD=AE,

:._ABD^_ACE(SAS),

:.CE=BD,NACE=/ABC=45。.

/.ZECB=ZACE+ZACB=90°,

：.CE=BD,CELBD；

(2)解：CE=BD,CELBD.

理由：ZBAC=ZDAE=90°fAB=ACf

/.ABAC-ZBAE=ZDAE-ZBAE,ZABC=ZACB=45°,

:"BAD=/CAE,ZABD=135°.

又AD=AE,

ABD^ACE(SAS),

:.CE=BDfZACE=ZABD=135°,

/.ZECB=ZACE-ZACB=90°.

：.CE=BD,CELBD.

15.(1)①证明见解析

(2)AF//BC,证明见解析

⑶竿

【详解】(1)①证明：由旋转的性质可知：尸也△ABC,

：.ZEDF=ZCAB,ZF=ZC,AE=AB,

ZFAC+ZCAE=ZBAE+ZCAE,ZAEB=ZB,

:・NFAC=NBAE,

*：AC=BC,

：./CAB=/B,

在,48石