2025年中考数学二轮复习：平行四边形的存在性问题 专项练习（附解析）

平行四边形的存在性问题

1.如图1,平面直角坐标系中，二次函数y="2++4的图像经过点A(-2,0)、B(4,0)两点与y轴交于点C.

(1)求这个二次函数的解析式；

⑵如果点E在线段0C上，且/CBE=NACO,求点E的坐标；

⑶点M在y轴上，且位于点C上方，点N在直线BC上，点P为上述二次函数图像的对称轴上的点如果以C、

M、N、P为顶点的四边形是菱形，求点M的坐标.

2如图1,已知直线y=-|x+2与x轴、y轴分别交于点B、C,抛物线y=+bx+c过点B、C,且

与x轴的另一个交点为A.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)点M是线段BC上一点，过点M作直线1〃丫轴交该抛物线于点N，当四边形OMNC是平行四边形时，

求它的面积；dx

，/一

(3)联结AC,设点D是该抛物线上一点,且满足/DBA=NCAO,求点D的坐标./。\"

3如图在RtAABC中,/C=9(F,AC=6,BC=8动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度

运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD〃BC,交AB于点D,

联结PQ.点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t

秒(GO).

(1)直接用含t的代数式分别表示:QB=,PD=;

⑵是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点

Q的速度(匀速运动)，使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度.

4如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A(4,0)、B(0,3),点C的坐标为(0,m),过点

C作CE±AB于点E,点D为x轴正半轴的一动点,且满足OD=2OC,连结DE以DE、DA为边作平行四边形DEFA.

(1)如果平行四边形DEFA为矩形.求m的值;

⑵如果平行四边形DEFA为菱形，请直接写出m的值.

5如图1,在平面直角坐标系xOy中,已知直线1与直线y=2x平行，且直线1与x、y轴分别交于点A(-l,0)x

点B,点C(l,a)在直线1上.

(1)求直线1的表达式以及点C的坐标；J

(2)点P在y轴正半轴上，点Q是坐标平面内一点，如果四边形PAQC为矩形，求点P、Q的坐标

①如图L在平面直角坐标系xOy中直线y=kx+2经过点A(2,-2),与y轴交于点B,与x轴交于点E.沿x轴方向

平移直线AB，使其经过原点，此时A、B的对应点分别是C、D.

(1)求直线AB平移的距离；

⑵已知点F在x轴上，点G在坐标平面内，且以点C、D、F、G为顶点的四边形是矩形，求点F的坐标.

备用图

7如图1,已知平面直角坐标系*0丫,过点(4,6)的直线y=kx+3与y轴交于点A,将此直线向下平移［个单位，所

得到的直线1与y轴交于点B.

(1)求直线1的表达式；

⑵点C位于第一象限且在直线1上，点D在直线y=kx+3上，如果以点A、B、C、D为顶点的四边形是菱形,

求点C的坐标.

8.已知点P(l,m)、Q(n,l)在反比例函数y=:的图像上，直线y=kx+b经过点P、Q,且与x轴、y轴的交点分别

为A、B两点.

⑴求k、b的值；

(2)0为坐标原点,C在直线y=kx+b上且AB=AC,点D在坐标平面上，顺次联结点0、B、C、D得四边形0BC

D,满足BC〃0D,B0=CD,求满足条件的D点坐标.

9如图1,在平面直角坐标系xOy中，直线y=3x-9与x轴、y轴交于点A、点B,点C在y轴的正半轴上，0C

=|。3点D在射线BA上，目ADCB的面积为30.

⑴求点D的坐标；

⑵求直线CD的表达式；

⑶点P在射线CD上，如果四边形BCPQ是菱形，求点P和点Q的坐标.

10.如图1,已知直线AQ与x轴负半轴交于点A,与y轴正半轴交于点Q,/QAO=45。,直线AQ在y轴上的截

距为2,直线BE:y=-2x+8与直线AQ交于点P.

⑴求直线AQ的解析式；

(2)在y轴正半轴上取一点F,当四边形BPFO是梯形时，求点F的坐标；

⑶若点C在y轴负半轴上，点M在直线PA上，点N在直线PB上，是否存在以Q、C、M、N为顶点的四边

形是菱形，若存在请求出点C的坐标；若不存在请说明理由.E

1.满分解答

(1)因为抛物线与X轴交于A(-2,0)、B(4,0)两点，可设y=a(x+2)(x-4).

对照yax2+bx+4,根据常数项相等，得-8a=4.

解得a=-点所以y=-1(%+2)(%-4)=-|x2+x+4.

⑵由A(-2,0)、C(0,4),可得tanzXCO=1.

在RtABOC中,OB=OC=4,所以NBCO=45。，BC=4a

作EHJ_BC于H,那么tan/CBE=tan乙4C。=点所以EH=

设EH=m,BH=2m,那么(CH=m,CE=V2m.

由BC=3m=心/②得m=1V2.

所以CE=42m=

所以OE=OC—CE=4-g=*E(0，§.

(3)已知C(0,4),点P在直线x=l上，点M在点C上方，点N在直线y=-x+4上以CM为分类标准讨论菱形.

①如图3,当CM为菱形的对角线时，CM与NP互相垂直平分.

因此点N、P到y轴的距离相等，等于1.所以xN=-1.所以N(-l,5).

所以C、M到直线NP的距离相等，等于1.所以M(0,6).

图3

②如图4,当CM为菱形的边时，由于PN||CM||y轴，所以点N在直线.尤=1上.所以N(1,3).所以菱形的边

长为CN=鱼.此时M(0-4+V2).

考点伸展

如果第⑶题没有点M在点C上方的限制，那么还存在如图5所示的情形.此时点M的坐标为((0,4-72).

2.满分解答

(1)由y=+2,彳导B(4,0),C(0,2).

设抛物线的解析式为y=-*比—4)(“—上),代入点C(0,2)彳导—2X2=2.

解得x2=-1.

所以y=-|(X-4)(x+1)=-|x2+|久+2.

(2)设++|%+2)

如图2,如果四边形OMNC是平行四边形，那么NM=CO=2.

解方程+|x+2)-(-|x+2)=2,整理，得—©+4=0.

解得%i=x2=2.

所以S平行四边形OMNC=2x2=4.

⑶如图3,/DBA=/CAO存在两种情况.

①当点D在x轴上方时，四边形CABD是等腰梯形.

此时C、D两点关于抛物线的对称轴x=|对称，所以D(3,2).

②当点D在x轴下方时，作DHLx轴于H.

由tan/DBH=tan/CACX得—=—=2.所以DH=2BH.

图2图3

设D\m'—|(m—4)(m+1)),那么|(m—4)(m+1)=2(4—m).

解得m=-5,或m=4(与B重合,舍去).此时.D(-5，-18).

考点伸展

第⑶题②中设点D的纵坐标，为什么用抛物线的交点式表示比较方便呢？

求直线BD与抛物线的交点，其中一个交点B(4,0)在x轴上，所以直线BD和抛物线的解析式中，都含有

一个因式(x-4).这样用因式分解法解方程比较方便.

3.满分解答

(l)QB=8-2t,PD=1t.

(2)先说明菱形是否存在.

如图1,在四边形PDBQ中,(QB=8-2t,PD==1。—11.

由BQ=PD,得8-2t=*解得t=y.

由PD=BD得|t=10一|t.解得t=y.

由于茅7岸所以四边形PDBQ是平行四边形时，邻边不相等.

所以四边形PDBQ不可能成为菱形.

再改变点Q的速度，使得四边形PDBQ是菱形.

如图2,由PD=BD知”争寸,四边形PDBQ是菱彩

所以菱形的边长PD=]=?Xg3

此时。(2=理一收=8-蔡=加[^^^的速度”=半=藁+费=表.

c--P"Cp八

图1图2

4.满分解答

(1)在RtAAOB中,0A=4,0B=3,所以.AB=5,coszB=|.

在RtABCE中,BC=3-m,所以BE=BC-coszB=|(3-m)=|-|im.

所以2E=AB-BE=5-弓一|m)=|m+

当四边形DEFA是矩形时，在RSADE中，coszX盗，

当点C在x轴上方时,OC=mQD=2OC=2m.所以AD=4-2m.

解方程用=3得爪=*

-771+-^-531

当点C在X轴下方时,OC=-m,OD=2OC=-2m.所以AD=4+2m.

解方程拄空T得m=一得

519

-5m5+—

立』

图1图2

⑵如果平行四边形DEFA为菱形，那么在等腰三角形ADE中,J2=1当点C在X轴上方时解方程

E8

16

m=—.

19

当点C在X轴下方时,解方程Ug.得甲-：：・

IX

图3图4

5.满分解答

⑴设y=2x+b,代入点A(-1,O］得-2+b=0,解得b=2.所以y=2x+2,B(0,2),C(l,4).

⑵如图2,以AC为直径作圆与y轴的交点为点P1、P2.

由A(-1,O).B(0,2)、C(l,4,得.AB=BC=V5.

因为四边形PAQC为矩形，所以BP=BQ=AB=BC=V5.

当点P在点B上方时，Pi(O,2+V5),Qi(O,2-V5);

当点P在点B下方时，P2(O<2-V5),Q2O2+V5).

6.满分解答

⑴将点A(2,-2)代入y=kx+2彳导2k+2=-2,解得k=-2.

所以直线AB的解析式为y=-2x+2.所以B(0,2)、E(1,O).

所以直线AB平移的距离为1.

(2)由⑴，得C(l,-2)sD(-l,2),设F(x,O).

所以DIF2=(x+I)?+(-2)2,CF2=(x-+22,CD2=(-2)2+42=20.

当以点C、D、F、G为顶点的四边形是矩形时，则^CDF是直角三角形，分三种情况讨论.

①如图2，当心CDF=90。时，DF2+CD2=CF2.(x+I)2+(-2)2+20=(x-l)2+2?整理，得4x+20=0.

解得x=5所以F(-5,0).

②如图3,当乙DCF=90。时,(CD2+CF2=DF2.20+(x-l)2+22=(x+l)2+(-2产整理得-4x+20=0.解得

x=5.所以F(5,0).

③如图4,当乙CFD=90。时,LF2+CF2=CD2.(x+l)2+(-2)2+(x-l)2+22=20整理，得x2-5=0.解

得=V5,X2=-低所以F(V5-0)pg(-V5>0).

7.满分解答

(1)将点(4,6)代入y=kx+3彳导4k+3=6.解得k=:所以y=\x+3,A(0,3).所以直线1的表达式为y=+：,B

444N

04).

(2)分两种情况讨论以点A、B、C、D为顶点的四边形是菱形.

①如图2,当AB为边时,BC=AB.设C[x>\x+

所以BC2=x2+(-x+--邛=竺/

\422)16

所以工/=(|)[解得打=-2(不符合题意，舍去)，.七=2.所以C(2,2).

1O\Z/

②当AB为对角线时,AB与DC互相垂直平分，设AB、DC相交于点M.

所以AM=MB.所以yA-yM=yM-yB,3-yM=yM-

解得y”=：将yc=y“=彳代入y=|%+卜得冗=|所以c(|4)

8.满分解答

(1)由y=(得P(l,5)、Q(5,l).

将P(l,5)、Q(5,l)代入y=kx+b,得£+6=1,解得卜J?

⑵由y=-x+6狷A(6,0)、B(0,6),.AB=6A/2.

设C(a,-a+6).因为AB=AC,所以6a=7(«-6)2+(-a+6)2.

解得a1=12,a2=0(与点B重合,舍去).所以C(12,-6).

因为BC〃OD,所以OD解析式为:y=-x.

设D(m,-m).因为BO=CD,所以6=—12江+(-m+6尸.解彳导g=6,m212.

所以口(6,-6)或(12,-12).

当D(6,-6)时,四边形OBCD为等腰梯形.

当D(12,-12)时,四边形OBCD为平行四边形.

9.满分解答

⑴如图2,由y=3x-9,得A(3,0)、B(0,-9).

因为OC=|OB,所以oc=Ix9=6,C(0,6).

因为SDCB=|BC-XD=|(6+9)-XD=30,所以xD=4.

所以yD=3xD-9=3,D(4,3).

⑵设直线CD的表达式为y=kx+6,代入点D(4,3)狷4k+6=3.解得k=-*所以直线CD的表达式为y=-9

44

+6.

⑶如图3.设P(%，一江+6),因为C(0,6),所以CP2=%2+(-|x+6-6)2.

当四边形BCPQ是菱形时,CP=PQ=BQ=CB=15,PQ〃CB〃y轴.

所以cp2=CB2,X2+(--%+6-6?=152.整理，得—X2=152.

解得%!=12/2=-12(舍).

所以P(塔-3),Q(12,-18).

10.满分解答

(1)如图2,在RtAAOQ中,NQA