福建省宁德市博雅培文学校2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题卷（原卷版+解析版）

宁德市博雅培文学校2024-2025学年第二学期高一数学试题卷考试范围：第五章三角函数5.4—5.6；考试时间：120分钟；命题人：高一数学组一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每一题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列函数是偶函数的是（）A. B.C. D.2.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件3.在中，，则为（）A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法判定4.函数的大致图象为A. B.C. D.5.已知函数的定义域为，且，当时，，则（）A. B. C. D.6，则（）A. B.C D.7.公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin18°，若m2＋n＝4，则＝（）A8 B.4C.2 D.18.已知，记（）．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（）A.3 B. C. D.二、多选题（本题共3小题，每一题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.）9.下列选项中，值为的是（）A. B.C. D.10.函数的部分图象如图所示，则（）A.B.图象一条对称轴是直线C.图象的一个对称中心是点D.函数是偶函数11.已知函数满足：，都有成立，则下列结论正确的是（）A.B.函数是偶函数C.函数是周期函数D.，若，则三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.函数的周期为___________.13.已知函数的图象关于直线对称，则的值为______．14.已知函数，则______；若在上恒成立，则整数的最小值为______．四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知函数．（1）求的定义域；（2）求证：16.已知（1）说明该函数图象可由的图象经过怎样平移和伸缩变换得到.（2）填写下表并用五点法画出在上简图；

17.在平面直角坐标系中，以轴为始边的锐角和钝角的终边分别交单位圆于，两点.已知点的横坐标为，点的纵坐标为.（1）求；（2）求的值.18.已知函数.（1）求函数单调递增区间；（2）若，求函数的值域；（3）若方程在上有两个不相等的实数根，，求的值.19.对于定义在上的函数，如果存在一组常数，，…，（为正整数，且），使得，，则称函数为“阶零和函数”.（1）若函数，，请直接写出，是否为“2阶零和函数”；（2）判断“为2阶零和函数”是“为周期函数”的什么条件（用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要”回答），并证明你的结论；（3）判断下列函数是否为“3阶零和函数”，并说明理由.，.

宁德市博雅培文学校2024-2025学年第二学期高一数学试题卷考试范围：第五章三角函数5.4—5.6；考试时间：120分钟；命题人：高一数学组一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每一题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列函数是偶函数的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】直接根据各个函数的奇偶性逐个判断即可.【详解】均是奇函数，是偶函数．故选：B.2.“”是“”的（）A充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分必要条件的定义判断．【详解】时，成立，是充分的，但时，，不满足，必要性不满足，因此是充分不必要条件．故选：A．3.在中，，则为（）A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法判定【答案】C【解析】【分析】利用两角和的余弦公式以及诱导公式可得出，结合角的取值范围可得出结论.【详解】因为，则，所以，，因为，故为钝角，故为钝角三角形.故选：C.4.函数的大致图象为A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】判断函数的奇偶性和图象的对称性，利用特殊值进行排除即可．【详解】函数，则函数是奇函数，图象关于原点对称，排除C，D，，排除B，故选A．【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性的关系以及特殊值，结合排除法是解决本题的关键．5.已知函数的定义域为，且，当时，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意得到的周期为1，从而，代入求解即可.【详解】因为，所以，函数的周期为1，所以．故选：B．6.，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据正弦函数的单调性可得的大小，根据对数的性质可得的大小.【详解】因为，且在区间上为增函数，所以，即；又，故．故选：C.7.公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin18°，若m2＋n＝4，则＝（）A.8 B.4C.2 D.1【答案】C【解析】【分析】利用同角三角函数基本关系式可求n＝4cos218°，利用降幂公式，诱导公式和二倍角的正弦函数公式化简求解即可．【详解】因为m＝2sin18°，m2＋n＝4，所以n＝4－m2＝4－4sin218°＝4cos218°.所以故选：C.【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，降幂公式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式应用问题，是基础题．8.已知，记（）．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（）A.3 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分段写出函数的解析式，并确定其单调减区间，再结合集合的包含关系求解作答即可.【详解】由题意知，函数的单调递减区间为，则或，由，解得，而，故需满足，即，此时不存在；由，解得，则需满足，即，即，故，即，故选：C【点睛】关键点睛：解答本题的关键是理解的含义，结合其解析式，求出函数的单调区间，进而转化为集合间的包含关系，列不等式求解即可.二、多选题（本题共3小题，每一题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.）9.下列选项中，值为的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】选项A利用二倍角余弦公式结合同角三角函数关系式求解判断；选项B利用两角和的正弦公式求解判断；选项C利用诱导公式和二倍角的正弦公式求解判断；选项D利用二倍角的正切公式求解判断.【详解】选项A：，故选项A不符合题意；选项B：，故选项B符合题意；选项C：，故选项C符合题意；选项D：，故选项C符合题意.故选：BCD.10.函数的部分图象如图所示，则（）A.B.图象的一条对称轴是直线C.图象的一个对称中心是点D.函数是偶函数【答案】BD【解析】【分析】根据周期可得根据最低点可求解，即可判断A，代入即可求解BC，化简，即可求解D.【详解】由函数的部分图象知，，即，解得过点，解得，，选项A错误；当时，的一条对称轴是直线，选项B正确；令，解得的对称中心是，选项C错误；，是定义域上偶函数，选项D正确.故选:BD.11.已知函数满足：，都有成立，则下列结论正确的是（）A.B.函数是偶函数C.函数是周期函数D.，若，则【答案】ACD【解析】【分析】利用赋值法及函数奇偶性、周期性的定义、单调性一一判断选项即可．【详解】令，则，所以，故A正确；令，则，所以，故是奇函数，故B错误；令，则，所以，由B知是奇函数，所以，所以是周期函数，故C正确；当时，得，则，所以，即，即，故D正确．故选：ACD.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.函数的周期为___________.【答案】【解析】【分析】由公式直接计算即可.【详解】函数周期为.故答案为：13.已知函数的图象关于直线对称，则的值为______．【答案】0【解析】【分析】根据函数图象对称得，代入解析式得，即可计算的值.【详解】∵函数的图象关于直线对称，∴对任意的，有，则，即，∴，即，∴，∴．故答案为：0．14.已知函数，则______；若在上恒成立，则整数的最小值为______．【答案】①.##②.【解析】【分析】利用分段函数性质计算即可得空一；由题意画出函数图象，并可得函数满足，可得当时，有或，使得，即可得时，恒成立，从而可得空二.【详解】因为，所以，因为，所以，图象如图：则，当时，；当时，或，当时，，所以时，恒成立，整数的最小值为．故答案为：；.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知函数．（1）求的定义域；（2）求证：【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）直接根据正切函数的性质求定义域；（2）利用三角函数公式变形证明即可.【小问1详解】令，得，即的定义域为；【小问2详解】因为左边，且，，且，所以.16.已知（1）说明该函数图象可由的图象经过怎样平移和伸缩变换得到.（2）填写下表并用五点法画出在上简图；

【答案】（1）答案见解析；（2）作图见解析.【解析】【分析】（1）方法一：直接利用函数图象变换：先平移变换，后伸缩变换即可；方法二：根据函数图象变换先伸缩变换，后平移变换即可；（2）令，利用的五点法即可求出，即可完成表，在直角坐标系中画图即可.【小问1详解】法一：①向右平移个单位，②所得各点的横坐标缩短到原来的，③所得各点的纵坐标伸长为原来的2倍；法二：①各点的横坐标缩短到原来的，②向右平移个单位，③所得各点的纵坐标伸长为原来的2倍.【小问2详解】令，利用的图象取点法画图；列表如下

作在上的图如下：17.在平面直角坐标系中，以轴为始边的锐角和钝角的终边分别交单位圆于，两点.已知点的横坐标为，点的纵坐标为.（1）求；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据条件求得，，再根据同角三角函数基本关系式，以及两角和的正弦公式，即可求解；（2）首先利用角的变换求，即可求解.【小问1详解】由题意可知，，，，，所以，，；【小问2详解】，，，由，得，，则，所以.18.已知函数.（1）求函数的单调递增区间；（2）若，求函数的值域；（3）若方程在上有两个不相等的实数根，，求的值.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式，把函数整理为正弦型函数，利用周期公式，求周期，利用正弦函数的单调区间，求出函数的单调增区间；（2）根据题中所给，求得的取值范围，利用正弦函数的图像，求出函数值域；（3）根据题中所给范围，求得的取值范围，转化为解方程，借助正弦函数的对称性，求得，的关系，代入求解.【小问1详解】，令，，解得，，故函数的单调递增区间为.【小问2详解】由，得，则，所以在区间上的值域为.【小问3详解】由，得，又，即的两个解为，且，则，即，即，则，所以.19.对于定义在上的函数，如果存在一组常数，，…，（为正整数，且），使得，，则称函数为“阶零和函数”.（1）若函数，，请直接写出，是否为“2阶零和函数”；（2）判断“为2阶零和函数”是“为周期函数”的什么条件（用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要”回答），并证明你的结论；（3）判断下列函数是否为“3阶零和函数”，并说明理由.，.【答案】（1）不是，是；（2）充分不必要条件，证明见解析；（3）是，不是，理由见解析.【解析】【分析】（1）利用恒等式判断，取计算，结合定义判断.（2）利用定义求出周期说明充分性，举例说明必要性不成立推理即得.（3）取计算，结合定义判断；利用反证法推理导出矛盾判断.【小问1详解】函数，对一切实数不成立，所以函数不是“2阶零和函数”；取，，，所以是“2阶零和函数”.【小问2详解】“为2阶零和函数”是“为周期函数”的充分不必要条件.证明如下：若为2阶零和函数，则存在常数，使得，，即，因此，即函数为周期函数；反之函数为周期函数，如，对，，为周期函数，对任意正常数，，因此函数不是2阶零和函数