2025年上海市松江区中考数学一模试卷（含答案）

2025年上海市松江区中考数学一模试卷

一，选择题：本题共6小题,每小题4分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在42BC中,NC=90°,AB=3,AC=2,下列结论正确的是（）

222

A.tan/=-B.cot4=-C.sinA=-Dn.cosAA=-2

2.如图,在口ABCD中,E是边CD的中点,AE交BD于点O,如果△DOE的

面积为1,那么△AB。的面积为（）

A.2

B.4

C.6

D.9

3.已知2（-1,%）,8（3,乃）是抛物线y=--2x+c上两点,那么y1与丫2的大小关系是（）

A.%>、2B.y1<y2C.=y2D.无法确定

4.已知线段a,b,c,求作线段无，使久=竽.下列作图方法中（48〃CD）不合理的是（）

5.已知1+9=2c,a-b=3E且不是非零向量.那么下列说法中正确的是（）

A.a//b//cB.1〃瓦万与不不平行

C.五〃工胃与石不平行D.B〃*3与W不平行

6.已知命题：

①两边及第三边上的中线对应成比例的两个三角形相似.

②两边及第三边上的高对应成比例的两个三角形相似.

下列对这两个命题的判断，正确的是（）

A.①和②都是真命题B.①和②都是假命题

C.①是真命题,②是假命题D.①是假命题,②是真命题

二，填空题：本题共12小题,每小题4分，共48分。

7.已知一个斜坡的坡度力=1：1,那么该斜坡的坡角为度.

8.已知抛物线y=a(x-3>经过点4(2,1),那么该抛物线的开口方向是.

9.将抛物线y=x2-1向左平移2个单位后,所得到的新抛物线的表达式是.

10.已知线段48=6cm,尸是线段的黄金分割点,且4P>BP,那么AP=cm.

1L如图，已知直线小12,%分别与直线m交于点A,B,C,与直线n交于点D,E,F,如

7

果。〃，2〃/3,AB=~BC,DF=10.那么DE=.

12.如图，点3是4ABC的重心,历经过点G,且EF〃BC.那么△4EF的周长与小ABC

的周长之比为.

13.如图,梯形ABCD中,AD//BC,BC=2AD,设瓦1^a,BC=b,那么前可以用％石表

示为.

14.如图,D是△28C的边上一点,E是的中点,EM//AB,EN//AC加

果BC=6,那么的长度为

15.一位运动员推铅球,铅球运行过程中离地面的高度y(米)关于水平距离米)的函数解析式为y=

-^x2+lx+c,如果铅球落到地面时运行的水平距离为10米,那么铅球刚出手时离地面的高度是

米.

16.如图,AABC中,NC=90°,正方形CDEF的顶点D,E,尸分别在边AC,AB,BC上,如果

AE=2BE,且S-BC=36,那么正方形CDEP的面积为.

17.如图，正方形ABCD中，点瓦£G分别在边AB,BC,AD上,且4E=BF=DG,联结

CE,FG,交于点H,如果AE；BE=1：2,那么黑的值为.

18.如图，在AdBC中,NC=90'tanB是边48上一点，将△BCE沿直

线CE翻折，点B的对应点为B',如果那么若的值为.

三，解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

19.(本小题10分)

已知:

(1)如果a=1,b=2,c+d=6,求c,d的值.

⑵求证：三号

20.(本小题10分)

已知一条抛物线的顶点为4(1,3),且经过点B(0,2).

(1)求该抛物线的表达式.

(2)若点C(3,t)在该抛物线上,求44BC的面积.

y

5

4

3

2345x

21.（本小题10分）

如图,在4ABC中,ZB=60°,BC=6.

ShABC=6AA3.⑴求AB的长.

（2）在BC边上取一点。，使CD=2,联结AD,求NC4D的正切直

22.（本小题10分）

图1是一款高清视频设备.图2是该设备放置在水平桌面上的示意图,胡垂直于水平桌面I,垂足为点A,点C

处有一个摄像头.经测量,AB=42厘米,BC=30厘米.

乙ABC=127。.（1）求摄像头C到桌面I的距离.

（2）如果摄像头可拍摄的视角NDCE=37。,且CD=CE,求桌面上可拍摄区域的宽度（DE的长）.

（参考数据：sin37°=0.6,cos37°=0.8.

tan37°=0.75.）

23.（本小题12分）

如图，在小ABC中,AB=AC,AD1BC,BE1AC,垂足分别为点D,点E,4F〃BC,交BE的延长线于点F.

AECD

(1)求证：-=^.

(2)求证:2ABAD=BF-BC.

24.（本小题12分）

在平面直角坐标系尤Oy中（如图），已知二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴负半轴交于点A,与y轴交于

点B,且。4=0B.

（1）当％=q时,求该二次函数的函数值.

（2）定义：对于一个函数y=/（x）,满足=式的实数尤叫做这个函数的不动点.如果二次函数y=ax2+

bx+2存在唯一的一个不动点,试求出这个不动点.

（3）将AAOB绕点2逆时针旋转,点。落在点C处，点A落在点。处,当四边形ABC。是梯形时，点C恰好落

在该二次函数图象上,求该二次函数的解析式.

25.(本小题14分)

在矩形ABC。中，力B=8,AD=10.点瓦厂分别在边AB,8c上,AF1DE,垂足为点H.

(1)求AROE的值.

(2)当HF=2EH时，求AE的长.

(3)联结CH,如果△CD”是等腰三角形,求NEDC的正切值.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：已知4c=90。,48=3,2。=2.

则cosZ=*=今

/\DJ

故选：D.

根据锐角三角函数的定义即可求得答案.

本题考查锐角三角函数定义,熟练掌握其定义是解题的关键.

2.【答案】B

【解析】解：・.・口人3。。中,E为CQ边上的中点.

11

・・.DE=^CD=^AB,AB//CD.

•・•AB//CD.

••・(ABO=乙EDO,Z.OAB=Z.OED.

AOBs二EOD.

AOBOABc

••0E~0D~DE~

%四=（空）2=22=4.

S^DOE、DE）

SAAOB=4S"DOE-&

故选：B.

根据平行四边形的性质求得AAOB-AEOD,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方来求出S-oB=4.

本题考查了平行边形的性质，相似三角形的判定和性质，理解相似三角形的面积比等于相似比的平方是解答

关键.

3.【答案】C

【解析】解：由二次函数y=产_2x+c可得,抛物线的对称轴为直线x=1.

1>0.

••・抛物线开口向上.

•••1-(-1)=3-1.

•••71=

故选：c.

先求出抛物线的对称轴,再由开口方向向上,根据抛物线上的点离对称轴的水平距离的大小判断即可.

本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是关键.

4.【答案】B

【解析】解：A,由图可得@即％=华,图形能画出，故此选项不符合题意.

xcb

B,由图可得?=I，即久=旨,图形不能画出，故此选项符合题意.

C,由图可得,图形能画出，故此选项不符合题意.

D,由图可得图形能画出，故此选项不符合题意.

故选：B.

利用图形得比例线段,再与已知式作对比，可以得出结论.

本题考查作图-复杂作图,平行线的性质，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理.

5.【答案】A

【解析】解：••・1+3=2工方一石=3巨

•••a=2.5c,b=—0.5c.

vH是非零向量.

：.a//b//c.

故选：A.

判断出五=2.5喜了=-0.5乙可得结论.

本题考查平面向量，解题的关键是掌握平面向量平行的判定方法.

6.【答案】C

【解析】解：两边及第三边上的中线对应成比例的两个三角形相似，正确，是真命题.

两边及其中一边上的高对应成比例的两个三角形一定相似,故原命题错误,是假命题.

故选：C.

利用相似三角形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项.

本题主要考查了命题与定理及相似三角形的判定方法,解题的关键是了解相似三角形的判定定理,难度不

大.

7.【答案】45

【解析】解：：tana=1：1=1.

••・坡角=45。.

坡度=坡角的正切值,据此直接解答.

本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题,把坡面与水平面的夹角a叫做坡角，坡度z•与坡角a之间的关

系为：i=h/Z=tana.

8.【答案】向上

【解析】解：,；抛物线y=a(x-3/经过点4(2,1).

a(2-3产=1,解得a=1>0.

•••该抛物线的开口方向是向上.

故答案为：向上.

将点坐标代入解析式求出。值,即可得到开口方向.

本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征,熟练掌握以上知识点是关键.

9.【答案】y=(久+2)2—1

【解析】解:将抛物线y=/-1向左平移2个单位后，所得到的新抛物线的表达式是y="+2)2-1.

故答案为：y=(x+2)2-1.

根据抛物线的平移法则解答即可.

本题考查了二次函数图象与几何变换,熟练掌握平移法则是关键.

10.【答案】(3隗-3)

【解析】解：•.•点P是线段的黄金分割点，且力P>BP.

.­,AP=X6=(3/5-3)(cm).

故答案为：(375-3).

直接利用黄金分割的定义列式计算即可.

本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC),且使AC是AB和BC的比例中项(即

AB：AC^AC：8C),叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点.

11.【答案】4

【解析】解：•・,HIGIIk，AB=|BC.

.AB__DE__2

：'~BC=~EF=3'

•••DF=10.

・•・EF=10-DE.

,DE_2

"10-DE~3'

解得DE=4.

故答案为：4.

先由匕〃%〃%，根据平行线分线段成比例定理可得黑=^=|,即可求解.

DCnrD

本题主要考查了平行线分线段成比例,掌握平行线分线段成比例是解题的关键.

12.【答案】2：3

【解析】解：连接AG并延长交8C于

■.•点G是AABC的重心.

.­.AG：AM=2：3.

•••EF//BC.

：.AE-.AB=AG：AM=2：3.

■•■AAEF^LABC.

•••△AEF的周长：△ABC的周长=4E：AB=2：3.

故答案为：2：3.

连接AG并延长交8c于M由三角形重心的性质得到AG：AM=2：3,由平行线分线段成比例定理推出

AE：AB=AG：AM=2：3,判定△在四，由相似三角形周长的比等于相似比即可求出△力EF的周

长与△ABC的周长的比.

本题考查三角形的重心,相似三角形的判定和性质,关键是掌握相似三角形周长的比等于相似比,三角形重

心的性质.

13.【答案】a+^b

【解析】解：,•,AD〃BC,=阮=3.

AD=

_]-

BD=BA+AD=a+2b.

故答案为：a+^b.

求出而=露再利用三角形法则求解.

本题考查平面向量,平行线的性质,解题的关键是掌握三角形法则.

14.【答案】3

【解析】解：,・・£＞是A£)的中点.

・•.DE=^DA.

•・•EM//AB.

.DM_DE_1

：'~DB='DA~2'

即DM="8.

•・•EN//AC.

.DN_DE_1

~DC~~DA~2'

即DN=

•••BC=6.

Ill

MN=DM+DN=^DB+^DC=~BC=3.

故答案为：3.

根据平行线分线段成比例即可解答.

本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键.

15.【答案】|

【解析】解：•••铅球落到地面时运行的水平距离为10米.

二抛物线经过点(10,0).

12

-^xl02+jxl0+c=0.

解得:c=|.

12.2.5

=一运

当％=0时.

y=・铅球刚出手时离地面的高度是|米.

故答案为：

判断出铅球落地时的坐标,代入所给的抛物线的解析式,取x=0,得到y的值,即为铅球刚出手时离地面的高

度.

本题考查二次函数的应用.判断出铅球落地时的坐标并求得二次函数的解析式是解决本题的关键.

16.【答案】16

【解析】解：设正方形CQE尸的边长为x.

CD=CF=EF=DE=x

•••DE//BC,EV11AC.

.竺_延_1

"~CD~~BE~A,~CF~'AE~2'

1

・•・AD=2CD=2x,BF=-x.

3

AC=3%,BC=-x.

•••^LABC=36*

113

A=j3x-|x=36.

•••%=4（负值舍去）.

・•.CD=4.

・•・正方形CDEF的面积=4x4=16.

故答案为：16.

设正方形CDEF的边长为尤,得到CD=CF=EF=DE=久根据平行线分线段成比例定理得到期=躇=

CDBE

=7?=求得AD=2CD—2x,BF—|x,AC—3%,BC=|x,根据三角形的面积公式列方程得到C0=

CFAE222

4,于是得到正方形CDEF的面积=4X4=16.

本题考查了平行线分线段成比例定理,三角形的面积,正方形的性质，熟练掌握平行线分线段成比例定理是

解题的关键.

17.【答案】7

【解析】解：延长交于点P,设力E=m.

vAE=BF=DG,AE：BE=1：2.

・•.AE=BF=DG=m,BE=2AE=2m.

•・•四边形A3CD是正方形.

AD=BC=AB=m+2m=3m,AD//BC.

・•・AG=CF=3m—m=2m.

•・•AP//BC.

APEs^BCE.

.竺_竺_工

：'~BC=~BE~2'

1I3

•••AP=-5C=-x3m=-m.

37

•••PG=2m+-m=-m.

VPG//CF.

•,△PGHsxCFH.

.GH-PG-lm-7.

"~HF~~CF~2m~X

故答案为：飞7

延长DA,CE交于点P,设ZE=m,贝ijAE=BF=DG=犯由AE：BE=1：2,得BE=2AE=2m,由正方

形的性质得2。=BC=AB=3m,所以4G=CF=2m,由4P〃BC,证明△NPESABCE,由黑=黑=点所

BCBE2

以AP=\BC=1-m,贝UPG=1m,再证明△PGH^LCFH,则携=第二,于是得到问题的答案.

222HFCF4

此题重点考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质等知识,正确地作出辅助线是解题的关键.

18.【答案】|或看

【解析】解：在A4BC中，NC=9(T,tanB=H

・•.tanB=^=亨

设AC=4%,BC=5%.

AB=y]AC2+BC2=J(4x)2+(5W2=

如图所示,将仆BCE沿直线CE翻折，点B的对应点为B',AB'//BC,设AB,CB'交于点F.

BC=B'C=5x,Z,B'AC=乙4cB=90。.

在RtAAB'C^,AB'=7(.B'C)2-AC2=J(5x)2-(4x)2=3x.

•••AB'IIBC.

••.AAB'F^LBCF.

.AB'_AF_B'F_3

"~BC~~BF~~CF~S'

•••CF+B'F=CB'=5%.

CF=5x-B'F.

.B'F_3

"5x-B'F-5'

解得：BF=等.

o

同理,AF+BF=AB=741x.

.・.BF=—AF.

*>>f4lx-AF_5,

解得：2F=注豆.

o

•.,折叠.

•••乙CBE=ACB'E,BE=B'E.

■：AB'UBC.

•••"BA=乙B'AB.

■■■/.EB'F=/-EAB',且NB'EF=乙AEB'.

B'EFs^AEB'.

.•隹=町=里,即%=空

AEABEB3%

整理得笔需

•••B'E=BE.

AE8

'''BE=5'

如图所示，将△BCE沿直线CE翻折，点B的对应点为B',AB'IIBC,延长8'4,CE交于点G.

B'G//BC.

ZG=4BCG,/.B'AC=/-ACB=90°.

・；折叠.

・•・乙BCG=乙B'CG,BC=B'C=5%.

•••Z.G=Z-B'CG.

BrC=BrG=5%.

在Rt△AC二中,AB'=B'C2-AC2=V(5%)2-(4x)2=3%.

・•.AG=BrG-AB'=5%-3x=2x.

AG//BC.

.,心AGEs^BCE.

.AE_AG_2x_2

,,BEBC5x5,

综上所述，益的值为氨f.

EB55

故答案为：界|.

根据tanB=也设AC=4x,BC=5x,运用勾股定理可得4B=/41%,分类讨论：如图所示，将△8CE沿直线

CE翻折，点B的对应点为B',4B'〃BC,设AB,CB'交于点F,运用勾股定理可得4B=3%,由平行可证△

AB'Fs^BCF,可得解得B'F=学,4尸=羽辿,再证△B'EFSAAEB',可得改=壹即可求解，将△BCE沿

直线CE翻折，点B的对应点为B',4B7/BC,延长B'4,CE交于点G,运用勾股定理可得4B'=3%,由折叠与

平行的性质可得BC=B'C=B'G,贝IMG=2%,再证△AGE^^BCE,得到某=照=g=|即可求解.

BEBC5x5

本题考查了锐角三角函数的计算与运用，折叠的性质,相似三角形判定和性质，掌握相似三角形的判定方法

及性质是解题的关键.

19.【答案】⑴解：：X，且a=1,6=2.

.C_1

d=2'

则d=2c.

又•・,c+d=6.

c=2.

d=4.(2)证明：・・・(=；.

-1=--1.

bd

.a—b_c—d

'''~=~d~'

.a—b_b

.b—a_b

*'d—cd'

【解析】(1)根据题意得出d=2c,再结合c+d=6即可解决问题.

(2)在等式微=(两边都减去1,再进行变形即可解决问题.

本题主要考查了比例线段，熟知线段成比例的定义是解题的关键.

20.【答案】解：(1)设抛物线解析式为y=a(x-

1)2+3,

把8(0,2)代入得2=a(0-I)2+3.

解得a=-1.

••.抛物线解析式为y=-(%-1产+3.

(2)把抛C(3,t)代入y=—(x—1)2+3得t=—(3—

1)2+3=-1.

•••C(3,-l).

延长CA交y轴于。点,如图.

设直线AC的解析式为y=kx+b.

把4(1,3),C(3,—1)分别代入得《/J

解得仁］

直线AC的解析式为y=-2%+5.

当x=。时,y——2x+5=5.

0(0,5).

1i

S-BC=S^CBD—SMBD=2X(^-2)X3--X(5—2)xl=3.

【解析】(1)设顶点式y=a(x-1)2+3,然后把B点坐标代入求出a,从而确定抛物线解析式.

(2)先利用抛物线解析式确定C点坐标,再利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=-2x+5,则可确定

直线AC与y轴的交点D的坐标,然后根据三角形面积公式,利用S-BC=SMBD-S-BD进行计算即可.

本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时,要根据题目给定的

条件,选择恰当的方法设出关系式,从而代入数值求解.也考查了二次函数的性质.

21.【答案】解：⑴如图，过点A作/"1BC于点H.

S^ABC=g•BC-AH—6V_3,BC=6.

・•・AH=2/3.

•••乙B=60°.

tan60°=黑=气乙BAH=30°.

DH

・•.BH=2.

AB=2BH=4.

(2)过点。作D/1AC于点J.

CH=BC-BH=6—2=4,CD=2.

DH=CH=CD=4-2=2.

・•.HB=HD.

•••AH1BD.

・•.AB=AD=4.

AC=7AH2+CH?=J(273)2+42=2/7-

•••Z.C=zC,乙DJC=£.AHC=90°.

CJDs^CHA.

.DJ_CJ_CD

''AH~'CH~~CA'

.DJ=CJ=2

••2/3-4—2/7,

〜2/2154/7

••DJ=,CJ=—

/IT”「、

A]=AC=CJ1=2ylE7----m--=10^7•

・

.・t[^avn\4/C5A"D~——A]~—107<7_—5,

【解析】（1）利用三角形的面积公式求出AH,再利用勾股定理求出AB.

(2)利用勾股定理求出AC,再利用相似三角形的性质求出DJ,C7,A/可得结论.

本题考查解直角三角形,三角形的面积,相似三角形的判定和性质,勾股定理等知识,解题的关键是理解题

意,灵活运用所学知识解决问题.

22.【答案】解：(1)作CH14E于点H,BF1于点F.

图2

.­.乙CHA=乙BFH=乙BFC=90°.

•••BA1I.

•••乙BAE=90°.

••・四边形是矩形.

FH=AB=42厘米,NABF=90°.

4ABe=127°.

.­.乙DBF=37。.

•••BC=30厘米.

•••CF=30Xsin37°«30X0.6=18（厘米）.

•••CH=18+42=60（厘米）.

答：摄像头C到桌面I的距离约为60cm.

（2）作EM1CD于点

图2

.­.乙CME=乙DME=90".

设CE为x厘米,则CD=x厘米.

•••4DCE=37°.

ME=0.6久厘米,CM=0.8x厘米.

DM=0.2%厘米.

DE=^厘米.

11

-S^DEC=^DE-CH=^DC-ME.

Vio一八八一

•••—^―%X60=x-0.6%-

解得：x1=0（不合题意,舍去）,久2=20/10.

•••CD=40（厘米）.

答：桌面上可拍摄区域的宽度约为40cm.

【解析】（1）作CH14E于点H,BF1C”于点F,可得四边形A8EH是矩形,易得NCBF的度数,根据NCBF的

正弦值可得CF的长,加上AB的长,即为摄像头C到桌面/的距离.

（2）作EM1CD于点M,贝吐CME=乙DME=90。,CE为x厘米,则CD=久厘米,根据37。的正弦值和余弦值可

得CM和ME的值,进而可得DM的值,那么根据勾股定理可得ED的值,根据△CDE面积的不同表示方法可

得x的值,即可求得DE的长.

本题考查解直角三角形的应用.把所给函数值的角度整理到直角三角形中是解决本题的关键.

23.【答案】证明:（1）AD1BC,BE1AC.

：./.FEA=乙ADC=90°.

•••AF//BC.

•••Z.FAE=Z-C.

・•・△FAE^LACD.

tA£_AF

''~CD~~AC'

AE_CD

AF=AC'

(2)设AO交5尸于点H,

•・•AB=AC,AD1BC,^FAH=(ADB=90°.

.・.CD=BD=3BC,乙BAH=Z.CAD=90°-^FAE=ZF.

•・•乙HBA=匕ABF.

HBA^AABF.

tAB_HA

''~BF~~AF'

•・•Z.FAH=Z.ADC=90°,zF=Z.CAD.

•••△FAHs^ADC.

tHA_AF

•・而一记

,HA_CD_3C_BC

"~AF~AD~~AD-2AD

.AB__BC

••丽―2AD'

・•・2AB,AD=BF,BC.

【解析】(1)由4。1BC,BE1AC,得匕FEA=(ADC=90°,由4F//BC,得匕FAE=zC,所以△FAE^L

则知笫所以祭专

1

(2)设A£)交BF于点H,由AB=AC,AD1BC,AFAH=UDB=90。,推导出CD=BD=^BC,4BAH=

ACAD=90°-Z.FAE=zF,而=^ABF,贝！］△HBA-XABF,所以器=条,再证明△FAH^AADC,得

HAAF.\HACDBC匚匚［“ABBC..4c„«

而=而则m而=而=加，所以而=加，^mAlnB-oAD=BFn-BnC.

此题重点考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，设AO交5厂于点H,证明△FAE^A

ACD及〉ABF是解题的关键.

24.【答案】解:⑴令%=0,得〉=2.

・•・8(0,2).

OA=OB=2.

・•・4(-2,0).

代入解析式得4a-2b+2=0得"=2。+1.

・•・y=ax2+(2a+l)x+2.

当x=T时,y=+(2a+1)(-J)+2=3—2—；+2=0.

・,・当％=一4时,y=0.

a

(2)由a/_|_(2a+l)x+2=x得.

ax2+2ax+2=0.

・・•有唯一的不动点.

A=(2a)2—4ax2=0.

解得：a=0(舍)或a=2.

当a=2时,2x2+4%+2=0得%=—1.

・•・这个不动点是％=-1.

(3)①当时,如图.

BC=CD=2,乙C=乙AOB=90°.

・•・C(2,2).

***4a+2(2a+1)+2=2.

解得Q=-2.

4

12I1IQ

•••)y=—T4X+-2%+2.

②当时