2025年人教版七年级数学寒假提升讲义：二元一次方程与实际问题（知识串讲+考点+过关检测）解析版

第12讲二元一次方程与实际问题

-•模块导航A素养目标

模块一思维导图串知识1.理解二元一次方程组的含义及在现实生活中的广泛

模块二基础知识全梳理（吃透教材）应用.

模块三核心考点举一反三2.学会从实际问题中抽象出二元一次方程组.

模块四小试牛刀过关测3.掌握解二元一次方程组的基本方法，并能够正确运用.

4.培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

模块一思维导图串知识

❶审审题找出等量关系

❷设设出两个未知数

❸列列出方程组方程数=未知数的个数

步骤❹解解方程组

方程组的解

❺验检验

解是否符合题意

元

一

次配套问题加工的总量成比例

方工作总量=工作时间X工作效率

程工程问题

与工作总量为“1二

实售价=进价X（1+利润率）

际

售价=标价X折扣

问

商品销售

题那=售价迦1

利润=邮行」润率

速度X时间=路程

类型

行程问题顺水速度=静水速度+水流速度

逆水速度=静水速度-水流速度

增长量=原有量X增长率

和差倍分问题较大量=较小量+多余量

总量二倍数X倍量

方案选择问题从几种方案中，选择最佳方案

利息=本金X利率X期数

本息和（本利和）=本金+利息=本金+

存贷款问题

本金X利率X期数=本金X（1+利率X期数）

年利率=月利率X12

3模块二基础知识全梳理--------------------------

列二元一次方程组解应用题的一般步骤：

设：用两个字母表示问题中的两个未知数；

列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）;

解：解方程组，求出未知数的值；

验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；

答：写出答案.

【扩展说明】

1)解实际应用问题必须写“答。而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，

不符合题意的解应该舍去；

2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称；

3)一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.

o＞模块三核心考点举一反三------------------------------

考点一：根据实际问题列二元一次方程组

1.(24-25七年级上•安徽淮北•阶段练习)为奖励在“缤纷节”汇演中表现突出的同学，班主任派小王到文具店

为获奖同学购买奖品.小王发现，购买15个文具盒和12支钢笔价格一样；如果在上述基础上少购买2个

文具盒，多购买2支钢笔，则购买文具盒比钢笔少花36元.设文具盒单价为无元，钢笔单价为y元，则符

合题意的方程组为()

.(15%=12yRf15x=12y

A-I15x—2x=12y+2y—36&115%-2x=12y+2y+36

(12x=15y(15x=12y

c-tl5x+2x=12y-2y-36D-115%+2x=12y-2y+36

【答案】A

【分析】本题考查了二元一次方程组的知识，解题的关键是找到两个等量关系并列出方程组，难度不大.根

据“购买15个笔记本和12支钢笔价格一样；如果在上述基础上少购买2个笔记本，多购买2支钢笔，则购

买笔记本比钢笔少花36元”列出二元一次方程组即可.

2

【详解】解：根据题意得：［1sx_2x=12y+2y-36^

故选：A.

2.(23-24七年级下•全国•期末)某班有49名学生，一天，该班一男生因事请假，当天的男生人数恰好

为女生人数的一半.设该班有男生%人，女生y人，则可列方程组为()

(x—y=49f%+y=49

ly=2(x+l)B.(y=2(x+1)

Cx—y=49C%+y=49

ty=2(x—1)ty=2(%—1)

【答案】D

【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，列方程组解应用题的关键是找准等量关系，

同时能够根据等式的性质对方程进行整理变形，从而找到正确答案.

根据等量关系：①该班一男生请假后，男生人数恰为女生人数的一半；②男生人数+女生人数=49,列方程

组即可.

【详解】解：根据设该班有男生x人，女生y人，则该班一男生请假后，男生人数恰为女生人数的一半，得

-1

x—l=-yf即y=2（%—l）；某班共有学生49人，得％+y=49.

列方程组为：{JJ蓊/，

故选：D.

3.（23-24七年级下•全国•期末）一个两位数的十位数字与个位数字之和等于5,十位数字与个位数字之差为

1,设十位数字为无，个位数字为y,则列方程组为（）

（x+y=5（x+y=5（x-y=5（x+y=5

lx—y=1D,ky—x=1J1％+y=llx+y=1

【答案】A

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，掌握两位数的表示方法，列出方程组是解题的关

键.

设十位数字为％,个位数字为y,根据题意列出二元一次方程组即可.

【详解】设十位数字为羽个位数字为y,

根据题意得，E+匕：；.

lx—y—1

故选：A.

4.（23-24七年级下•全国•期末）甲、乙两人练习跑步，如果乙先跑10米，则甲跑5秒就可追上乙；如果乙

先跑2秒，则甲跑4秒就可追上乙，若设甲的速度为x米/秒，乙的速度为y米/秒，则下列方程组中正确的

是（）

[5%=5y+10[5%—5y=10

14x—4y+2yI4x—2x—4y

【答案】A

【分析】由实际问题抽象出二元一次方程组，根据乙先跑10米，则甲跑5秒就可以追上乙，得方程

5x=5y+10；根据乙先跑2秒，则甲跑4秒就可追上乙，得方程4x=4y+2y.从而得出方程组.

【详解】解：由题意，得

（5x=5y+10

I4x—4y+2y

故选A.

5.（23-24七年级下•云南大理・期末）现用95张纸板制作一批盒子，每张纸板可做4个盒身或做11个盒底,

而一个盒身和两个盒底配成一个完整的盒子.问用多少张纸板制盒身、多少张纸板制盒底，可以使盒身和

盒底正好配套？设用x张纸板做盒身，y张纸板做盒底，可以使盒身与盒底正好配套，则可列方程是（）

fx+2y=95（x+y=95

A-t4x=lly&{4x^2xUy

fx+2y—95fx+y-95

L-12X4x=lly12X4x=lly

【答案】D

【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，根据“制作盒身和制作盒底的纸板共95张,

每张纸板可做4个盒身或做11个盒底，且一个盒身和两个盒底配成一个完整的盒子（即制作的盒底的总数

量是制作盒身总数量的2倍）”，即可列出关于无，y的二元一次方程组，此题得解.

【详解】解：1•制作盒身和制作盒底的纸板共95张，

：.x+y=95；

・；每张纸板可做4个盒身或做11个盒底，且一个盒身和两个盒底配成一个完整的盒子，

.,.2x4x=lly.

根据题意可列方程组｛2/^:Uy.

故选：D.

考点二：根据几何图形列二元一次方程组

6.（23-24七年级下•浙江杭州•期末）如图所示，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，若其中每一个

小长方形的长为》,宽为”则依据题意可得二元一次方程组为（）

（x+y—20（x+y—20x—y=20（2x—y=20

A。Ix=3yI2x=3y2x=3yI2x=x+3y

【答案】A

【分析】本题考查了根据题意列二元一次方程组，能根据题意正确列出二元一次方程组是解答本题的关键.

根据大长方形的宽为20以及小长方形的长与宽之间的关系，即可得出关于x、y的二元一次方程组，此题得

解.

【详解】解：依题意，得：｛xi=j/0-

故选：A.

7.（23-24七年级下•云南昆明・期末）如图，在长为20,宽为15的长方形中，有形状、大小完全相同的5个小

长方形，若求阴影部分的面积，应先求一个小长方形的面积，设小长方形的长为羽宽为力根据题意，下

列方程组正确的是（）

(x+2y=20[x+2y=20(x+2y=20[%+2y=20

A-t4%=15B.t4y=15C・[3y=xtx+y=15

【答案】C

【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，找对等量关系是列方程组的关键.根据图形体现

的小矩形的长与宽的两倍的和是15,长是宽的3倍，即可得到方程组.

【详解】解：设小矩形的长为X,宽为y,

则可得｛匕*20,

故选：C.

8.（23-24七年级下•四川资阳・期末）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方一一

九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和均相等，

图是一个未完成的幻方，贝卜一y的值是（）

【答案】B

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键.

设图中间的数为a,第三行第一个数字为b,根据每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等,

列出二元一次方程组，求出b=6,即可解决问题.

【详解】解：设图中间的数为a,第三行第一个数字为6,

由题意得：｛右对6上2*\2患，

由①得：x—y=2-b

由②得：%—y=h—10,

，2-b=b—l。,

解得：b=6

%—y=2—6=—4,

故选:B.

9.（23-24七年级下•湖南益阳・期末）如图，规定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数、

对于％,y,m,n的取值，三人的说法如下.

甲；若％=1,则九=5；乙:若?71=5,则y=3；丙：％+y的值一定是2.

下列判断正确的是（）

A.只有甲、乙对B.只有乙、丙对C.只有甲、丙对D.甲、乙、丙都对

【答案】D

【分析】此题主要考查了二元一次方程组，整式的加法，先用皿，n表示x,y的式子，结合m+n=8,逐一

判断即可.

【详解】解：由题意得｛W2孝端

②一①得2%=九一TH,解得

把％=3依代入①得㊀依+2y=TH,解得y=3m-n

4

n-m

X=――

所以33，

尸F

因为m+n=8,

甲：％=1时，771=71—2,解得九=5,正确；

乙：爪=5,则n=3,即）/=亨=与2=3,正确；

4q

-j-；n—m3m—n2n—2m+3m—nm+n8十"z.

丙：x+y=—+^—=---------=—=4=2o,正确;

故选：D.

12.（23-24七年级下,全国•期末）在长方形4BCD中放入六个完全相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则

小长方形的宽CE为___cm.

【分析】本题考查一元一次方程组的应用，解题的关键是找到等量关系列出方程组求解.

设小长方形的宽CE为xcm,小长方形的长是ycm,根据长方形2BCD的长和宽列出方程组｛6]辛二玄丫求

解.

【详解】解：设小长方形的宽CE为xcm,小长方形的长是ycm,

根据图形，大长方形的宽可以表示为6+2x,或者久+y,贝l]6+2x=x+y,

大长方形的长可以表示为3x+y,则3x+y=15,

,_9

（6+2x=x+y解徨x=7

I3x+y=15）解倚丫=电・

V4

故答案是：I

考点三：二元一次方程组的应用一方案问题

1L（24-25七年级上•宁夏中卫•期末）中卫七中组织七年级学生研学，原计划租用45座客车若干辆，但有15

人没有座位；如果租用同样数量的60座客车，则多出一辆，且其余客车恰好坐满.试问：

(1)七年级学生人数是多少？

(2)已知45座客车的日租金为每辆1000元，60座客车的日租金为每辆1200元，要使每位同学都有座位，该校

单独租用哪种车更合算？

【答案】⑴240人

(2)单独租用60座客车更合算

【分析】(1)设原计划租用45座客车x辆，学生总人数为y人，根据"原计划租用45座客车若干辆，但有

15个人没座，若租用同样数量的60座客车则多出一辆，其余客车恰好坐满"，即可得出关于x、y的二元一

次方程组，解之即可得出结论；

(2)找出每个学生都有座位时需要租两种客车各多少辆，由总租金=每辆车的租金X租车辆数分别求出租

两种客车各需多少费用，比较后即可得出结论.

【详解】(1)解：设原计划租用45座客车x辆，学生总人数为y人，根据题意得：

(45x+15=y

160(%-l)=y'

解得：｛y=^40；

答：学生总人数为240人；

(2)解：只租用45座，需要6辆，费用：6X1000=6000(元)，

只租用60座，需要4辆，费用：4X1200=4800(元)，

■,-4800<6000,

••・单独租用60座客车更合算.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程

组；(2)求出租两种客车各需多少费用.

12.(2024・贵州・模拟预测)北京时间2024年4月26日5时04分，神舟十八号航天员乘组顺利进驻中国空

间站与神舟十七号航天员乘组太空会师，载人飞船发射取得了圆满成功！小星和小红都是航天爱好者，他

们计划购买甲、乙两种飞船模型收藏.下面是两位同学的对话:

I'小星:我买了1件甲种飞船小红:我买了2件甲种飞船

4模型和1件乙种飞船模型，H模型和3件乙种飞船模型,

|I共花了40元.日共花了95元.

(1)求甲、乙两种飞船模型每件的售价分别为多少元?

(2)若小星计划正好用200元零花钱购买以上两种飞船模型，且每种都有购买，请通过计算说明有多少种购

买方案.

【答案】⑴甲种飞船模型每件进价25元，乙种飞船模型每件进价15元

(2)有2种购买方案：①购进5件甲种飞船模型和5件乙种飞船模型；②购进2件甲种飞船模型和10件乙

种飞船模型

【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用及二元一次方程的正整数解的应用，找准等量关系列出二

元一次方程（组）是解题关键.

（1）设甲种飞船模型每件进价无元，乙种飞船模型每件进价了元，根据1件甲种飞船模型和1件乙种飞船

模型的售价共计40元，2件甲种飞船模型和3件乙种飞船模型的售价共计95元，建立二元一次方程组，解

之即可；

（2）设购进。件甲种飞船模型和6件乙种飞船模型，根据总价=单价X数量，得到关于a、6的二元一次

方程，结合a、6是正整数即可得所有购买方案.

【详解】（1）解：设甲种飞船模型每件的售价为x元，乙种飞船模型每件的售价为y元，

根据题意得｛2衰犷瑞,

X-25

解得

y-15

答：甲种飞船模型每件的售价为25元，乙种飞船模型每件售价为15元；

（2）解：设购买a件甲种飞船模型和6件乙种飞船模型，

根据题意得25a+15b=200,

•••a=8—|b，

a,b均为正整数，

•••当b=5时，a=5；

当b=10时，a=2,

...有2种购买方案如下：

①购买5件甲种飞船模型和5件乙种飞船模型；

②购买2件甲种飞船模型和10件乙种飞船模型.

13.（23-24七年级下•天津南开•期末）用3辆/型车和2辆3型车载满货物一次可运货17吨；用2辆/型

车和3辆2型车载满货物一次可运货18吨，某物流公司现有34吨货物，计划同时租用/型车a辆，8型

车6辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物.根据以上信息，解答下列问题：

（1）1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？

（2）若A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金220元/次，那么4型车租一辆最省钱，并且此时租车

费为一元.

【答案】（1）1辆A型车装满货物一次可运3吨，1辆8型车装满货物一次可运4吨；

（2）2,1940.

【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键.

（1）设每辆/型车、8型车都装满货物一次可以分别运货x吨、y吨，根据题意列出二元一次方程组并求

解，即可获得答案;

a-2-6

（2）结合题意和（1）得，3a+4b=34,易知a=*竺，结合a、b都是正整数，可确定b-7或fua-4

或｛1=?三种租车方案，分别计算三种租车方案的费用，比较即可获得答案.

【详解】(1)解：设每辆4型车、8型车都装满货物一次可以分别运货x吨、y吨，依题意列方程组得，

[3%+2y=17

｛2x+3y=18，

解得｛;二:

•-1辆A型车装满货物一次可运3吨，1辆8型车装满货物一次可运4吨;

(2)解：结合题意和（1）得，3a+46=34,

34-46

a=——

•••a、b都是正整数,

UM或｛:CL=6―p.a=10

力=4或b=「

有3种租车方案:

方案一：/型车2辆,8型车7辆;

方案二：/型车6辆,8型车4辆;

方案三:/型车10辆,8型车1辆;

■■A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金220元/次,

・•・方案一需租金：

2X200+7X220=1940（元）;

方案二需租金：

6x200+4x220=2080（元）;

方案三需租金：

10x200+1x220=2220(元)；

•••2220>2080>1940,

.••最省钱的租车方案是方案一：/型车租2辆，8型车租7辆，最少租车费为1940元，

故答案为：2,1940.

考点四：二元一次方程组的应用一行程问题

14.(23-24七年级下•全国•期中)已知/、3两码头之间的距离为180km,一艘船航行于工、3两码头之间,

顺流航行需3小时；逆流航行时需6小时，求船在静水中的速度及水流的速度？

【答案】船在静水中的速度及水流的速度分别为45km/h、15km/h

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设船在静水中的速度及水流的速度分别为xkm/h、ykm/h,则

顺水速度为(x+y)km/h,逆水速度为(x—y)km/h,根据往返路程相等建立等量关系，求出其解就可以求

出结论.

【详解】解：设船在静水中的速度及水流的速度分别为xkm/h、ykm/h,由题意可得：

[3(%+y)=180

I6(x-y)=180'

解得比麋，

答：船在静水中的速度及水流的速度分别为45km/h、15km/h.

15.(23-24七年级下•重庆黔江•期中)今年“五一黄金周”，长江三峡沿途旅游再一次风靡全国，其中忠县石

宝寨风景区更是人山人海."联盟号豪华旅游客轮”在相距约270千米的重庆、石宝寨两地之间匀速航行，从

重庆到石宝寨顺流航行需9小时，石宝寨到重庆逆流航行比顺流航行多用4.5小时.

⑴求该客轮在静水中的速度和水流速度；

⑵重庆某厂接到一笔1500盒旅游纪念品订单，需要在15天内完成并送与游客，已知该种纪念品礼盒里有4

个正方形纪念币和4个半圆形纪念币.工厂现在有100名工人，每人每天能加工9个正方形纪念币或6个

半圆形纪念币，但每人一天只能加工一种纪念币，工厂每天加工的正方形纪念币和半圆形纪念币数量正好

全部配套.工厂每天能生产多少盒纪念品礼盒？

【答案】⑴该客轮在静水中的速度是25千米/小时，水流速度是5千米/小时；

(2)工厂每天能生产90盒纪念币.

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用.

(1)设该客轮在静水中的速度是x千米/小时，水流速度是y千米/小时，根据路程=速度X时间，即可得出

关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

(2)设每天安排万名工人生产正方体纪念币，依题意得9%=6(100—X),解得即可.

【详解】(1)解：设该客轮在静水中的速度是x千米/小时，水流速度是y千米/小时，

依题意,得：卜9+噫婢二yj7270，

5

解得:{yV5,

答：该客轮在静水中的速度是25千米/小时，水流速度是5千米/小时；

(2)解:设每天安排x名工人生产正方体纪念币，则每天安排(100—x)名工人生产半圆形纪念币，

依题意得9%=6(100—x),

解得：*=40,

则工厂每天能生产的纪念币数为：9x40+4=90(盒)，

答：工厂每天能生产90盒纪念币.

16.(23-24七年级下•四川资阳•期中)从甲地到乙地，先下山再走平路，某人骑自行车以每小时12千米的

速度下山，以每小时9千米的速度走平路，到达乙地共用55分钟；他返回时，以每小时8千米的速度通过

平路，以每小时4千米的速度上山，共用1.5小时，求甲、乙两地的距离.

【答案】甲、乙两地的距离为9千米.

【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设平路为x千米，坡路为y千米，根据题意列出关于x,

y的二元一次方程组求解，最后把两断路程相加即可.

【详解】解：设平路为x千米，坡路为y千米，

g+2=更

根据题意，得二6g,

q+L*

解得:｛：：£，

..x+y=9,

二甲、乙两地的距离为9千米.

考点五：二元一次方程组的应用一工程问题

17.（23-24七年级下•吉林•期末）为完善吉林市城市路网结构，营造便捷通畅的城市道路系统，提升城市面

貌惠及民生，2024年5月起，吉林市各道路维修改造工程有序进行.已知甲工程队1天，乙工程队2天共修路

400米；甲工程队2天，乙工程队3天共修路700米，求甲乙两工程队每天分别修路多少米？

【答案】甲工程队每天修路200米，乙工程队每天修路100米

【分析】根据题意设甲工程队每天修路x米，乙工程队每天修路y米列方程解答即可.本题考查了二元一次

方程组与实际问题，审清题意列出二元一次方程是解题的关键.

【详解】解：设甲工程队每天修路x米，乙工程队每天修路y米，根据题意得，

（x+2y=400①

I2x+3y=700②‘

解得:｛：：船

答：甲工程队每天修路200米，乙工程队每天修路100米.

18.（23-24七年级下•山东聊城•期末）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成,

需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元.

⑴求甲、乙装修组工作一天，商店各需支付多少元费用？

（2）若装修完后，商店每天可盈利200元，现有如下三种方式装修：①甲单独做；②乙单独做；③甲乙合

做，你认为如何安排施工更有利于商店经营？说明理由.

【答案】⑴甲组工作一天商店应支付300元，乙组工作一天商店应支付140元

⑵安排甲乙合作施工更有利于商店经营，理由见解析

【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程.

（1）设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元，根据甲、乙两个装修组同时施工，8天

可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用

3480元，列出方程组，解方程组即可；

（2）分别求出三种情况下的费用，然后进行比较得出答案即可.

【详解】（1）解：设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元，

依题意得：因捣常8°0,

解得:席鬻

所以，甲组工作一天商店应支付300元，乙组工作一天商店应支付140元.

（2）解：设甲、乙装修组的工作效率分别为机，”，

由题意得{薰;得1，

m=—1

解得：F,

n=一

24

所以，甲单独完成需要12天，乙单独完成需要24天.

选择①所需装修费用及耽误营业损失的费用之和为：（300+200）x12=6000（元）；

选择②所需装修费用及耽误营业损失的费用之和为：（140+200）x24=8160（元）；

选择③所需装修费用及耽误营业损失的费用之和为：（300+140+200）x8=5120（元）.

因为5120<6000<8160,所以，安排甲乙合作施工更有利于商店经营.

19.（23-24七年级下•内蒙古鄂尔多斯•期中）古运河是扬州的母亲河.为打造古运河风光带，现有一段长为

180米的河道整治任务由/、8两工程队先后接力完成./工程队每天整治12米，8工程队每天整治8米,

共用时20天.

⑴根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下:

:x+y=()

甲:12%+8y=()，乙，联+/()

根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数x、y表示的意义，然后在括号内补全甲、乙两名

同学所列的方程组：

甲：x表布，y表小：

乙：x表小，y表示.

（2）求/、5两工程队分别整治河道多少米.（写出完整的解答过程）

【答案】（1）补全方程组见解析；/工程队用的时间，8工程队用的时间；/工程队整治河道的米数，8工程

队整治河道的米数；

（2M工程队整治河道60米，B工程队整治河道120米.

【分析】此题主要考查二元一次方程组的应用.

（1）此题蕴含两个基本数量关系：/工程队用的时间+8工程队用的时间=20天，4工程队整治河道的米

数+B工程队整治河道的米数=180,由此进行解答即可；

（2）选择其中一个方程组解答解决问题.

【详解】（1）解：甲同学：设/工程队用的时间为无天，3工程队用的时间为y天，由此列出的方程组为

{x+y—20

112%+8y=180;

乙同学：/工程队整治河道的米数为x,8工程队整治河道的米数为y,由此列出的方程组为

（x+y=180

二+“20；

1128

故答案为：/工程队用的时间，8工程队用的时间；N工程队整治河道的米数，8工程队整治河道的米数；

（2）解：选甲同学所列方程组解答如下：

（x+y=20（1）

112%+8y=180（2）,

②一①X8得4x=20,

解得x=5,

把x=5代入①得y=15,

所以方程组的解为｛J二2,

/工程队整治河道的米数为：12x=60,

2工程队整治河道的米数为：8y=120；

答：“工程队整治河道60米，2工程队整治河道120米.

选乙同学所列方程组解答如下：

由题思可得，_L+上=20，

1128

解得｛彳罂，

答：N工程队整治河道60米，8工程队整治河道120米.

20.(22-23八年级上•广东深圳•期末)玲玲家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作，需6周完

成，共需装修费为5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修

费4.8万元，玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成.

⑴设甲公司的每周工作效率为〃?，乙公司每周的工作效率为〃，则可列出方程为_.

(2)如果从节约时间的角度考虑应选哪家公司？

⑶如果从节的开支的角度考虑呢？请说明理由.

【答案】⑴]=:

(4m+9n=1

(2)时间上考虑选择甲公司

⑶从节约开支上考虑选择乙公司，理由见解析

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键.

(1)设工作总量为1,设甲公司的每周工作效率为加，乙公司每周的工作效率为〃，根据工作总量等于工

作效率乘以工作时间列出方程即可求解.

(2)列出方程组求出甲乙单独做所用的时间，然后比较大小，进行作答即可；

(3)列出方程组求出各自单独做的周费用，再乘以他们所需时间计算总费用，然后比较大小，进行作答即

可.

【详解】(1)解：设工作总量为L甲公司的每周工作效率为加，乙公司每周的工作效率为"，

依题意得,

(4m+9n=1

故答案为：(山+:=;.

(4m+9九=1

(2)解：设工作总量为1,甲公司的每周工作效率为加，乙公司每周的工作效率为",

m+n=-

依题意得,6

4m+9n=1

1

m=—

解得:_孔

n—15

11

•••甲公司的效率高,

.•.从时间上考虑选择甲公司.

（3）解：从节约开支上考虑选择乙公司，理由如下;

设甲公司每周费用为a万元，乙公司每周费用为b万元,

依题意得,｛町第:猛

3

-

得

解5

4

-

15

・•・甲公司共需5xio=y=6万元，乙公司共需於xl5=4万元，

,•,4<6,

.•・从节约开支上考虑选择乙公司.

考点六：二元一次方程组的应用一数字问题

21.（23-24七年级下•全国•期中）一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和为9,把这个两位数加上

16后，比十位数字大49,求这个两位数？

【答案】36

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设这个两位数的十位数字为％,个位数字为y,根据"一个两位

数，个位上的数字与十位上的数字之和为9,把这个两位数加上16后，比十位数字大49”列出二元一次方

程组即可，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解此题的关键.

【详解】解：设这个两位数的十位数字为X,个位数字为y,

由题意可知：｛10X+；"61X+49，

解得:｛；£，

答：这个两位数为36.

22.（24-25七年级上•天津•期中）"九宫图"传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称"龟背图〃,

中国古代数学史上经常研究这一神话.数学上的"九宫图”所体现的是一个3X3表格，每一行的三个数，列

的三个数,斜对角的三个数之和都相等,也称为三阶幻方,如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分,贝反+y

的值为（）

【答案】A

【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用.根据九宫图的填法，每一行的三个数、每列的三个数、

斜对角的三个数之和都相等，列出方程组，即可得到答案.

【详解】根据题意得：

f0+久+(—5)=0+(—l)+y

10+x+(—5)—3+(—1)+(—5)*

解得：｛y^2，

•■•x+y=2+(—2)=0,

故选择：A

23.(2021•内蒙古呼伦贝尔•中考真题)《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其中一次方

程组是用算筹布置而成，如图(1)所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组表示出来，就是

+='类似的，图⑵所示的算筹图用方程组表示出来，就是.

IIIII-TIII-II

I川1=WWHU二T

图(1)图(2)

r卷安】［2%+y=12

1口水】14%+3y=26

【分析】先根据例子和图(2)列出二元一次方程组并求解即可.

【详解】解：由图1可得，第一列为x的系数、第二列为丁的系数，第三列和第四列为方程右边的常数，且

前两列一竖表示1,第三列一横表示10,第四列一竖表示1,一横表示5

则根据图2可得：管：获垓.

柏埴12x+y=12

取工具+3y=26•

【点睛】本题考查了列二元一次方程组，审清题意、明确图1各符号的含义成为解答本题的关键.

24.(23-24七年级下•浙江宁波•期末)我国南宋数学家杨辉在其所著《续古摘奇算法》中的攒九图一节中提

出了"幻圆"的概念.如图是一个二阶幻圆模型，其内外两个圆周上四个数字之和以及外圆两直径上的四个数

字之和都相等，贝必一a=

【答案】3

【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意列出对应的方程组求解是解题的关键.根

据内外两个圆周上四个数字之和以及外圆两直径上的四个数字之和都相等列出方程组求解即可.

a+l+5+4=2+3+b+c

【详解】解：由题意得,l+2+b+4=a+3+c+5'

两式相加得：2b—2a=6

b—a=3,

故答案为：3.

考点七：二元一次方程组的应用一年龄问题

25.（23-24七年级下・河南洛阳•期中）某学生想知道李老师的年龄，李老师说："我像你这么大时，你才2

岁，你长到我这么大时，我就35岁了."请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁.

【答案】今年李老师24岁，该学生13岁

【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则根据该学

生和李老师的年龄差不变，建立方程组求解即可.

【详解】解：设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则

相据该学生和李老师的年龄差不变，

可得｛JX蒸二：

解得第虻

答：今年李老师24岁，该学生13岁.

26.（23-24七年级下•山西临汾•期中）根据图中的对话，请聪明的你算出小亮今年的年龄.

【答案】小亮今年的年龄为8岁

【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键.设小亮今年的年龄

为尤岁，爸爸今年的年龄为y岁，根据题意列出方程并求解，即可求解.

【详解】解：设小亮今年的年龄为x岁，爸爸今年的年龄为y岁

由题意可得：｛、*患窦5）

解得：—

答：小亮今年的年龄为8岁.

27.（23-24七年级上•福建三明•期中）在我国传统文化中，"喜寿"、"米寿"、"白寿"分别是77岁、88岁、99

岁的雅称.小花在她年龄是她妈妈年龄的取寸，曾为奶奶贺喜寿，她在年龄为妈妈年龄的!时，又为奶奶贺米

寿，则小花在岁时，将为奶奶贺白寿.

【答案】33

【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设小花为奶奶贺喜寿时年龄为万岁，此时妈妈的年龄为y岁，奶

奶的年龄为77岁，根据"喜寿"、"米寿"、"白寿"代表的年龄和小花与妈妈年龄的关系列出方程组.

【详解】解：设小花为奶奶贺喜寿时年龄为X岁，此时妈妈的年龄为y岁，奶奶的年龄为77岁，

1

根据题意得:

x+88-77=1（y+88-77）

解得:6=33

二当奶奶99岁时，小花的年龄为11+（99-77）=33,

二小花33岁时将为奶奶贺白寿，

故答案为：33.

28.（21-22七年级下•云南•期中）今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学

40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是

云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95,而爸爸的年龄恰好比爷爷的

年龄小40.已知小明今年13岁，妹妹今年4岁.

⑴求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答）

（2）假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？

【答案】⑴爸爸36岁，爷爷76岁

（2）爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子

【分析】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁，根据"爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的

和为95,而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40〃列出二元一次方程组求解即可.

（2）用现在年份减去年龄加15即可得到答案.

【详解】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁.

解得：{丁斐

答：今年小明的爸爸36岁，爷爷76岁；

（2）2022-36+15=2001（年）

2022-76+15=1961（年）

小明的爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子.

【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确找出等量关系是解答本题的关键.

考点八：二元一次方程组的应用一分配问题

29.（23-24七年级下•辽宁大连•期末）为了响应国家"脱贫致富"的号召，某煤炭销售公司租用了甲、乙两种

类型的货车若干辆为贫困地区运输了880吨的煤炭，已知每辆甲类型货车运输煤炭40吨，每辆乙类型货车

运输煤炭50吨，所有甲类型货车运输的煤炭比所有乙类型货车运输的煤炭多80吨，求煤炭销售公司租用

甲乙两种类型货车各多少辆？

【答案】租用甲种类型货车12辆，乙种类型货车8辆

【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设租用甲种类型货车X辆，设租用乙种类型货车y辆，利用

每辆甲类型货车运输煤炭40吨，每辆乙类型货车运输煤炭50吨，所有甲类型货车运输的煤炭比所有乙类

型货车运输的煤炭多80吨，再建立方程求解即可；

【详解】解：设租用甲种类型货车万辆，设租用乙种类型货车y辆，

制（40%+50y=880

见：l40x-50y=80

解得:{ylV，

答：租用甲种类型货车12辆，乙种类型货车8辆.

30.（23-24七年级下•湖北襄阳・期末）据资料统计，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1：2,现要把一

块长200m、宽100m的长方形土地，分成两块小长方形土地，分别种植这两种作物，怎样划分这块土地，

使甲、乙两种作物的总产量的比是2：1?请你设计两种不同的种植方案.

图1图2

【答案】见解析

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用.先设计出两种方案图，然后根据甲、乙两种作物的总产量的

比是2：1列出方程组，求出方程的解即可.

【详解】解：方案L如图①，将长方形2BCD分割为两个长方形4BEF和长方形EFDC,

FD

EC

图①

设4F=x米，DF=y米,

所以，过长方形土地BC边长上离B一端160米处画一条垂线，把这块土地分为两块长方形土地，较大的一块

种甲种作物，较小的一块种乙种作物.

方案2：如图②，将长方形4BCD分割为两个长方形2MND和长方形MBCN,

MN

BC

图②

设2M=a米，=b米，由题意得,

Ia+b=100'畔何匕=20•

所以，过长方形土地4B边长上离/一端80米处画一条垂线，把这块土地分为两块长方形土地，较大的一块

种甲种作物，较小的一块种乙种作物.

31.（23-24七年级下•山东淄博,期中）用白铁皮做罐头盒，每张白铁皮可制作盒身16个，或盒底48个，一

个盒身与两个盒底配成一套罐头盒.现有15张白铁皮用于制作盒身和盒底，问可以恰好配成多少套罐头

合2

【答案】144套

【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，设用来制盒身的铁皮为万张，用来制盒底的铁皮为y张，根据

每张白铁皮可制作盒身16个，或盒底48个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒.列出方程组，解方程

组即可得到答案.

【详解】解：设用来制盒身的铁皮为X张，用来制盒底的铁皮为y张，根据题意，

f%+y=15,

1寸12X16%=48y,

MJ=6

•••16%=16x9=144

答：可以恰好配成144套罐头盒.

32.（23-24七年级下•江苏南通・