2025年人教版七年级数学寒假提升讲义：二元一次方程与实际问题（知识串讲+考点+过关检测）（原卷版）

第12讲二元一次方程与实际问题

-•模块导航A素养目标

模块一思维导图串知识1.理解二元一次方程组的含义及在现实生活中的广泛

模块二基础知识全梳理（吃透教材）应用.

模块三核心考点举一反三2.学会从实际问题中抽象出二元一次方程组.

模块四小试牛刀过关测3.掌握解二元一次方程组的基本方法，并能够正确运用.

4.培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

模块一思维导图串知识

❶审审题找出等量关系

❷设设出两个未知数

❸列列出方程组方程数=未知数的个数

步骤❹解解方程组

方程组的解

❺验检验

解是否符合题意

元

一

次配套问题加工的总量成比例

方工作总量=工作时间X工作效率

程工程问题

与工作总量为“1二

实售价=进价X（1+利润率）

际

售价=标价X折扣

问

商品销售

题那=售价迦1

利润=邮行」润率

速度X时间=路程

类型

行程问题顺水速度=静水速度+水流速度

逆水速度=静水速度-水流速度

增长量=原有量X增长率

和差倍分问题较大量=较小量+多余量

总量二倍数X倍量

方案选择问题从几种方案中，选择最佳方案

利息=本金X利率X期数

本息和（本利和）=本金+利息=本金+

存贷款问题

本金X利率X期数=本金X（1+利率X期数）

年利率=月利率X12

3模块二基础知识全梳理--------------------------

列二元一次方程组解应用题的一般步骤：

设：用两个字母表示问题中的两个未知数；

列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）;

解：解方程组，求出未知数的值；

验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；

答：写出答案.

【扩展说明】

1）解实际应用问题必须写“答。而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理,

不符合题意的解应该舍去；

2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；

3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.

0＞模块三核心考点举一反三------------------------------

考点一：根据实际问题列二元一次方程组

1.（24-25七年级上•安徽淮北•阶段练习）为奖励在“缤纷节”汇演中表现突出的同学，班主任派小王到文具店

为获奖同学购买奖品.小王发现，购买15个文具盒和12支钢笔价格一样；如果在上述基础上少购买2个

文具盒，多购买2支钢笔，则购买文具盒比钢笔少花36元.设文具盒单价为无元，钢笔单价为y元，则符

合题意的方程组为（）

.（15%=12yRf15x=12y

A-I15x—2x=12y+2y—36&115%-2x=12y+2y+36

（12x=15y（15x=12y

c-tl5x+2x=12y-2y-36D-115%+2x=12y-2y+36

2.（23-24七年级下•全国•期末）某班有49名学生，一天，该班一男生因事请假，当天的男生人数恰好

为女生人数的一半.设该班有男生X人，女生y人，则可列方程组为（）

[%—y=491%+y=49

ty=2（%+1）ly=2（%+1）

fx—y=49fx+y=49

ly=2（%—1）D・\y=2（x—1）

3.（23-24七年级下•全国•期末）一个两位数的十位数字与个位数字之和等于5,十位数字与个位数字之差为

1,设十位数字为x,个位数字为y,则列方程组为（）

A口+y=5口（x+y=5（x-y=5fx+y=5

lx—y=lly—x=l°，lx+y=llx+y=l

4.（23-24七年级下•全国■期末）甲、乙两人练习跑步，如果乙先跑10米，则甲跑5秒就可追上乙；如果乙

先跑2秒，则甲跑4秒就可追上乙，若设甲的速度为x米/秒，乙的速度为了米/秒，则下列方程组中正确的

是（）

5.（23-24七年级下•云南大理・期末）现用95张纸板制作一批盒子，每张纸板可做4个盒身或做11个盒底,

而一个盒身和两个盒底配成一个完整的盒子.问用多少张纸板制盒身、多少张纸板制盒底，可以使盒身和

盒底正好配套？设用x张纸板做盒身，＞张纸板做盒底，可以使盒身与盒底正好配套，则可列方程是（）

1%+2y=95C%+y=95

A・I4x=llyB.l4x=2xUy

[%+2y=95C%+y=95

L-I2x4x=llyu-12x4x=lly

考点二：根据几何图形列二元一次方程组

6.（23-24七年级下•浙江杭州・期末）如图所示，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，若其中每一个

小长方形的长为久，宽为％则依据题意可得二元一次方程组为（）

.fx+y=20、（X+y=20_x—y=20f2x—y=20

A-Ix=3yB-I2x=3yC-2x=3yD-12久=x+3y

7.（23-24七年级下•云南昆明•期末）如图，在长为20,宽为15的长方形中，有形状、大小完全相同的5个小

长方形，若求阴影部分的面积，应先求一个小长方形的面积，设小长方形的长为久，宽为y,根据题意，下

列方程组正确的是（）

pc+2y=20pc+2y=20（x+2y=20（x+2y=20

A-I4%=15I4y=15c-I3y=xD-lx+y=15

8.（23-24七年级下•四川资阳・期末）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方一一

九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和均相等，

图是一个未完成的幻方，贝收一y的值是（)

B.-4C.-10D.32

9.（23-24七年级下•湖南益阳•期末）如图,规定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数、

对于x,y,m,ri的取值，三人的说法如下.

甲；若x=l,则71=5；乙：若?n=5,贝！|y=3；丙：x+y的值一定是2.

下列判断正确的是（）

X2y3x

A.只有甲、乙对B.只有乙、丙对C.只有甲、丙对D.甲、乙、丙都对

10.（23-24七年级下•全国•期末）在长方形2BCD中放入六个完全相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则

小长方形的宽CE为__cm.

n

考点三：二元一次方程组的应用一方案问题

11.（24-25七年级上•宁夏中卫•期末）中卫七中组织七年级学生研学，原计划租用45座客车若干辆，但有15

人没有座位；如果租用同样数量的60座客车，则多出一辆，且其余客车恰好坐满.试问：

⑴七年级学生人数是多少？

⑵已知45座客车的日租金为每辆1000元，60座客车的日租金为每辆1200元，要使每位同学都有座位，该校

单独租用哪种车更合算？

12.（2024•贵州•模拟预测）北京时间2024年4月26日5时04分，神舟十八号航天员乘组顺利进驻中国空

间站与神舟十七号航天员乘组太空会师，载人飞船发射取得了圆满成功！小星和小红都是航天爱好者，他

们计划购买甲、乙两种飞船模型收藏.下面是两位同学的对话：

「八至莪京亍两串布飞'露（小红:我买了2件甲种飞船I

4模型和1件乙种飞船模型，I模型和3件乙种飞船模型，,

MI共花了40元.［共花了95元.I

⑴求甲、乙两种飞船模型每件的售价分别为多少元？

（2）若小星计划正好用200元零花钱购买以上两种飞船模型，且每种都有购买，请通过计算说明有多少种购

买方案.

13.（23-24七年级下•天津南开・期末）用3辆/型车和2辆2型车载满货物一次可运货17吨；用2辆/型

车和3辆8型车载满货物一次可运货18吨，某物流公司现有34吨货物，计划同时租用N型车a辆，8型

车6辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物.根据以上信息，解答下列问题：

（1）1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？

（2）若/型车每辆需租金200元/次，8型车每辆需租金220元/次，那么/型车租一辆最省钱，并且此时租车

费为—元.

考点四：二元一次方程组的应用一行程问题

14.（23-24七年级下•全国•期中）已知/、3两码头之间的距离为180km,一艘船航行于工、3两码头之间,

顺流航行需3小时；逆流航行时需6小时，求船在静水中的速度及水流的速度？

15.（23-24七年级下•重庆黔江•期中）今年“五一黄金周"，长江三峡沿途旅游再一次风靡全国，其中忠县石

宝寨风景区更是人山人海."联盟号豪华旅游客轮"在相距约270千米的重庆、石宝寨两地之间匀速航行，从

重庆到石宝寨顺流航行需9小时，石宝寨到重庆逆流航行比顺流航行多用4.5小时.

⑴求该客轮在静水中的速度和水流速度；

（2）重庆某厂接到一笔1500盒旅游纪念品订单，需要在15天内完成并送与游客，已知该种纪念品礼盒里有4

个正方形纪念币和4个半圆形纪念币.工厂现在有100名工人，每人每天能加工9个正方形纪念币或6个

半圆形纪念币，但每人一天只能加工一种纪念币，工厂每天加工的正方形纪念币和半圆形纪念币数量正好

全部配套.工厂每天能生产多少盒纪念品礼盒？

16.（23-24七年级下•四川资阳•期中）从甲地到乙地，先下山再走平路，某人骑自行车以每小时12千米的

速度下山，以每小时9千米的速度走平路，到达乙地共用55分钟；他返回时，以每小时8千米的速度通过

平路，以每小时4千米的速度上山，共用1.5小时，求甲、乙两地的距离.

考点五：二元一次方程组的应用一工程问题

17.（23-24七年级下•吉林・期末）为完善吉林市城市路网结构，营造便捷通畅的城市道路系统，提升城市面

貌惠及民生，2024年5月起，吉林市各道路维修改造工程有序进行.已知甲工程队1天，乙工程队2天共修路

400米；甲工程队2天，乙工程队3天共修路700米，求甲乙两工程队每天分别修路多少米？

18.（23-24七年级下•山东聊城•期末）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成,

需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元.

⑴求甲、乙装修组工作一天，商店各需支付多少元费用？

（2）若装修完后，商店每天可盈利200元，现有如下三种方式装修：①甲单独做；②乙单独做；③甲乙合

做，你认为如何安排施工更有利于商店经营？说明理由.

19.（23-24七年级下•内蒙古鄂尔多斯•期中）古运河是扬州的母亲河.为打造古运河风光带，现有一段长为

180米的河道整治任务由/、2两工程队先后接力完成./工程队每天整治12米，2工程队每天整治8米,

共用时20天.

⑴根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下：

出（x+y=（）7+y=（）

甲：112x+8y=（）;乙：1适+（=（）

根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数x、y表示的意义，然后在括号内补全甲、乙两名

同学所列的方程组：

甲：x表示，y表小：

乙：x表示，y表示.

⑵求/、8两工程队分别整治河道多少米.（写出完整的解答过程）

20.（22-23八年级上•广东深圳•期末）玲玲家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作，需6周完

成，共需装修费为52万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修

费4.8万元，玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成.

⑴设甲公司的每周工作效率为小，乙公司每周的工作效率为小则可列出方程为_.

（2）如果从节约时间的角度考虑应选哪家公司？

⑶如果从节的开支的角度考虑呢？请说明理由.

考点六：二元一次方程组的应用一数字问题

2L（23-24七年级下,全国•期中）一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和为9,把这个两位数加上

16后，比十位数字大49,求这个两位数？

22.（24-25七年级上•天津•期中）"九宫图"传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图",

中国古代数学史上经常研究这一神话.数学上的"九宫图”所体现的是一个3X3表格，每一行的三个数，列

的三个数,斜对角的三个数之和都相等,也称为三阶幻方,如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分,贝此+y

的值为（）

23.（2021•内蒙古呼伦贝尔•中考真题）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其中一次方

程组是用算筹布置而成，如图（1）所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组表示出来，就是

3x+ly=23'类似的，图（2）所示的算筹图用方程组表示出来，就是

IIIII-HIII-II

I川1二WWIW二T

图(1)图(2)

24.（23-24七年级下•浙江宁波•期末）我国南宋数学家杨辉在其所著《续古摘奇算法》中的攒九图一节中提

出了"幻圆"的概念.如图是一个二阶幻圆模型，其内外两个圆周上四个数字之和以及外圆两直径上的四个数

字之和都相等，贝必—a=.

考点七：二元一次方程组的应用一年龄问题

25.（23-24七年级下•河南洛阳•期中）某学生想知道李老师的年龄，李老师说："我像你这么大时，你才2

岁，你长到我这么大时，我就35岁了."请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁.

26.（23-24七年级下•山西临汾•期中）根据图中的对话，请聪明的你算出小亮今年的年龄.

27.（23-24七年级上•福建三明•期中）在我国传统文化中,"喜寿"、"米寿"、"白寿"分别是77岁、88岁、99

岁的雅称.小花在她年龄是她妈妈年龄的拊，曾为奶奶贺喜寿，她在年龄为妈妈年龄的:时，又为奶奶贺米

寿，则小花在岁时，将为奶奶贺白寿.

28.（21-22七年级下•云南・期中）今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学

40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是

云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95,而爸爸的年龄恰好比爷爷的

年龄小40.已知小明今年13岁，妹妹今年4岁.

（1）求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答）

（2）假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？

考点八：二元一次方程组的应用一分配问题

29.（23-24七年级下•辽宁大连•期末）为了响应国家“脱贫致富”的号召，某煤炭销售公司租用了甲、乙两种

类型的货车若干辆为贫困地区运输了880吨的煤炭，已知每辆甲类型货车运输煤炭40吨，每辆乙类型货车

运输煤炭50吨，所有甲类型货车运输的煤炭比所有乙类型货车运输的煤炭多80吨，求煤炭销售公司租用

甲乙两种类型货车各多少辆？

30.（23-24七年级下•湖北襄阳•期末）据资料统计，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1：2,现要把一

块长200m、宽100m的长方形土地，分成两块小长方形土地，分别种植这两种作物，怎样划分这块土地，

使甲、乙两种作物的总产量的比是2：1?请你设计两种不同的种植方案.

图1图2

31.（23-24七年级下•山东淄博•期中）用白铁皮做罐头盒，每张白铁皮可制作盒身16个，或盒底48个，一

个盒身与两个盒底配成一套罐头盒.现有15张白铁皮用于制作盒身和盒底，问可以恰好配成多少套罐头

盒？

32.（23-24七年级下•江苏南通・期中）列方程组解应用题

（1）根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（600g）和小瓶装（200g）两种产品的销售数量（按瓶计算）比为3:5.某

厂每天生产这种消毒液28t,这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？

（2H地至8地的航线长9750km,一架飞机从/地顺风飞往8地需12.5h,它逆风飞行同样的航线需13h、

求飞机无风时的平均速度与风速.

考点九：二元一次方程组的应用一销售、利润问题

33.（24-25七年级上,湖南邵阳•期末）春节前夕，某商场用18000元购进/、8两种饮料共400箱，两种饮

料的成本价与销售价如表所示：

类别成本价（元/箱）销售价（元/箱）

A3045

B5080

求：

⑴购进/、8两种饮料各多少箱？

（2）该商场售完这400箱饮料，可获利多少元？

34.（24-25七年级上,全国•期末）某电器商场销售进价分别为120元、190元的/,8两种型号的电风扇,

如下表所示是近两周的销售情况（进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本）：

销售数量

销售时段销售收入

A种型号B种型号

第一周562310

第二周893540

（1）求H8两种型号的电风扇的销」售单价.

（2）若商场再购进这两种型号的电风扇共120台，并且全部销售完，该商场能否实现这批电风扇的总利润恰

好为8040元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由.

35.（24-25八年级上•广东深圳•期中）根据如表素材，探索完成任务.

背景深圳某学校在组织开展知识竞赛活动，去奶茶店购买A、B两种款式的奶茶作为奖品.

素材若买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元：若买15杯A型奶茶，10杯

1B型奶茶，共需270元.

学

素材为了满足市场的需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可

以自主选择加料一份或者不加料.

2A款B款

问题解决

任务

问A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？

1

任务在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花220元，请问有几种购买方

2案？

任务根据素材2,小华恰好用了380元购买A、B两款奶茶，其中A款不加料的杯数是总杯数的（则其

3中B型加料的奶茶买了多少杯？

考点十：二元一次方程组的应用一和差倍分问题

36.（23-24七年级下•全国•期末）为鼓励居民节约用电，广州市自2012年以来对家庭用电收费实行阶梯电

价，即每月对每户居民的用电量分为三个档级收费，第一档为用电量在180千瓦时（含180千瓦时）以内

的部分，执行基本价格；第二档为用电量在180千瓦时到450千瓦时（含450千瓦时）的部分，实行提高

电价；第三档为用电量超出450千瓦时的部分，比第二档的单价每千瓦时提高0.05元.海珠区的李白同

学家今年2月份用电330千瓦时，电费为213元，3月份用电240千瓦时，电费为150元.己知我市的另一

位居民杜甫家今年4、5月份的家庭用电量分别为200和490千瓦时，请你依据题目条件，计算杜甫家4、

5月份的电费分别为多少元？

37.（23-24七年级下•浙江宁波•期中）甲、乙两人各有书若干本，如果甲从乙处拿10本，那么甲所有的书

就比乙所有的书多5倍；如果乙从甲处拿10本，那么两人所有的书相等.问：甲、乙两人原来各有书多少

本？

38.（23-24七年级下,吉林四平,期末）"体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运兴

则体育兴".为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，某校开展了大课间活动，七年级一班拟组织学

生参加跳绳活动，最初男生报名人数比女生多3人，后来又有15名女生报名参加了跳绳活动，这时女生人

数恰好是男生人数的2倍，求最初报名时女生与男生各有多少人？

39.（23-24七年级下•湖北荆门•期中）用1块/型钢板可制成2块C型钢板、1块。型钢板；用1块3型

钢板可制成1块C型钢板、2块。型钢板.现需15块C型钢板、18块。型钢板，可恰好用/型钢板、B

型钢板各多少块？

考点十一：二元一次方程组的应用一几何问题

40.（23-24七年级下•河南南阳•期中）如图是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中三块横放

的墙砖比一块竖放的墙砖高10cm,两块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低40cm,则每块墙砖的长是.

41.（23-24七年级下•全国•期中）如图，射线。C的端点。在直线上，N1的度数X。比N2的度数y。的2倍多

10°,则列出关于x,y的方程组是

42.（23-24七年级下•浙江杭州•期中）把一副三角板按如图方式摆放，且N1的度数比N2的度数大48。，则

43.（24-25七年级上•全国•期末）如图，长方形4BCD含有3个正方形，①号和②号一样大，若长方形的长

为14cm,宽为10cm,则③号正方形的边长为.

44.（24-25七年级上•黑龙江哈尔滨•期中）如果41的两条边所在直线与42的两条边互相垂直，且N1是N2的

2倍少30度，则N1的度数为°,

考点十二：二元一次方程组的应用一图表信息题

45.（23-24七年级下•湖北黄石•期末）每年5月的第二个星期日为母亲节.母亲节那天，很多同学给妈妈准

备了鲜花和2礼盒号，从图金中信£息可知一束鲜花的价格是元;

共55元共90元

46.（23-24七年级下•北京石景山•期末）八达岭长城是北京市著名的旅游景点，史称天下九塞之一，是万里

长城的精华.五一假期期间，某校七年级历史兴趣小组游览八达岭长城，乘坐缆车的费用如下表所示:

乘坐缆车方式乘坐缆车费用（单位：元/人）

往返140

单程100

已知小组成员每个人都至少乘坐一次缆车，去程时有18人乘坐缆车，返程时有20人乘坐缆车，他们乘坐

缆车的总费用是3320元，则该小组共有人.

47.（23-24七年级下•浙江金华・期末）某校计划购置篮球、钢笔、笔记本作为期末奖品，采购员小慧在某文

体用品店购买完毕，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不消楚，如图所示：

货物或应税劳务、服务名称规格型号单位数量单位金额税率税额

篮球6100.00600.00

钢笔15.00

笔记本5.00

合计46900.00

价税合计（大写）0玖佰元整（小写）900.00

请根据发票中现有的信息，帮助小慧复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额.

考点十三：二元一次方程组的应用一古代问题

48.（23-24七年级上•江苏淮安・期末）我国古代数学著作《增删算法统宗》有关于“绳量井"的记载："一口井

一条绳，绳比井长一度.折回绳却量井，却比井短一度"其大意为：现有一口井和一条绳，用绳去量井，绳

比井长5尺;如果将绳对折后再去量井，就比井短5尺.设绳长尤尺，井深y尺，则符合题意的方程组是.

49.（23-24七年级下•山东烟台•期末）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题："今有黄

金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两.问金、银一枚各重几何？"，意思是：甲袋

中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋

互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄

金重x两，每枚白银重y两，根据题意得：（）

[11%=9yClOy+%=8%+y

A,l（10y+x）-（10y+%）=13I9x+13=lly

（9x=llyf9x=lly

,1（8%+y）—（10y+x）=13't（10y+x）—（8x+y）=13

50.（23-24七年级下•湖南邵阳•期末）明代数学家程大位所著的《算法统宗》全称《直指算法统宗》，是中

国古代数学名著，某数学兴趣小组发现《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中,

一房七客多九客，一房九客少七客.诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有9人无房可住；

如果每一间客房住9人，那么就有一间房少7人.

⑴请列方程组，求出该店有客房多少间？房客多少人？

（2）假设店主李三公将客房进行改造后，共有50间客房，每间客房收费50钱，且每间客房最多入住3人，一次

性定客房25间以上（含25间），房费按八折优惠，若诗中"众客"再次一起入住，他们如何订房更合算？

51.（23-24七年级下•吉林松原•期中）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九

两；牛二、羊五，直金十六两.问牛、羊各直金几何？"译文："假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头

牛、5只羊，值16两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？"

根据以上译文，提出以下两个问题：

（1）求每头牛、每只羊各值多少两银子？

（2）若某商人准备用11两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请你为商人列出所有可

能的购买方法.

52.（2024•海南省直辖县级单位•二模）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，一车空：二人共

车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余1辆车：若每2人共乘

一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？

考点十四：二元一次方程组的应用一其它问题

53.（24-25七年级上•江苏镇江•期中）已知|a—+|b+5|=6+5,且|2a—6—1|=0,那么ab=.

54.（24-25八年级上•黑龙江大庆•阶段练习）如图，在数轴上，点/、8分别表示数°、b,且a+b=2.若

48=4,则点/表示的数为.

-------1-----------------1——>

AB

55.（23-24七年级上•重庆沙坪坝•期末）对于一个三位正整数n,如果律满足：它的百位数字、十位数字之和

与个位数字的差等于7,那称这个数为“七巧数".例如：的=452,：4+5—2=7,452是"七巧数"；

n2=724,••・7+2-4=5片7,•••724不是"七巧数".若"七巧数满足:所有数位的数字之和是9的倍数,

且它的百位数字大于十位数字，则小的最大值是.

56.（23-24七年级下•吉林・期末）【阅读感悟】

有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题:

已知实数%,y满足5x-y=6①，4x+2y=7②，求x-3y和13x+3y的值.

本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得久、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运

算量比较大.其实，仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数

式的值，如由①一②可得x—3y=—1,由①+②X2可得13x+3y=20.这样的解题思想就是通常所说

的"整体思想

【解决问题】

（1）已知二元一次方程组后W-5,则X—y=，x+y=；

（2）某旅行团组织游客乘船夜游松花江，要购买一些船票，若买4张过江船票，2张观光船票共需72元；买

7张过江船票，3张观光船票共需111元，则购买15张过江船票，7张观光船票共需多少元？

⑶对于实数x,y,定义新运算：x*y-ax+by+c,其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运

算.已知1*2=5,1*3=12,求1*1=

57.（24-25七年级上•河南南阳•期中）【概念学习】在数轴上，若将表示数1的点记为。，我们把到。点距离

相等的两个不同点M和N,称为基准1的对称点.例如，下图中，点M表示数一1,点N表示数3,它们与表

示数1的点。的距离都是2个单位长度，点M与点N互为基准1的对称点.

MON

<------>1<------>1

]___I_______।_______।__I»

-3-2-1023

⑴己知点4表示数a,点B表示数上点4与点B互为基准1的对称点.

①如果a=4,则6=_

②如果点4与点B之间有8个单位长度，求a和b的值，

（2）若点P与点Q互为基准1的对称点，点P表示数p,点Q表示数q,对点P进行如下操作：现将点P沿着数轴向

右移动5个单位长度，再向左移动2个单位长度可得到点Q,求点P表示的数.

考点十五：三元一次方程组的应用

58.（23-24七年级下•全国•期末）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，

买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需元.

59.（23-24七年级下•湖南邵阳,期末）"六一儿童节"当天，商场推出铅笔，练习本、圆珠笔三种特价学习用

品，若购铅笔2支，练习本1本、圆珠笔3支共需6元；若购铅笔3支、练习本4本、圆珠笔2支共需9

元.现购铅笔1支，练习本1本，圆珠笔1支，共需元.

60.（23-24七年级下•天津和平•期末）在等式y=ax?+bx+c中，当x=l时，y=—2；当x=—1.时，

y=20；当％=2时，y=5.则。=,b=,c=.

61.（23-24七年级下•四川内江•期中）/、B、C三辆车在同一条直路上同向行驶，某一时刻，4在前，C在后，

B在4C正中间.10分钟后，C追上B；又过了5分钟，C追上力.问再过分钟，B追上4

6模块四小试牛刀过关测-------------------1.（24-25八年级

上•全国•期末）中国古代数学著作《算法统宗》中记录了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，

四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和

甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个.问：苦果、甜果各有几个？设苦果有x个,

甜果有y个，则可列方程组为（）

（x+y=1000（%+y=1000

A，\-x+—y=999B.|Z%+—y=99

【79l411z

（x+y=1000（x+y=1000

（7%+9y=999>l4x+lly=99

2.（23-24七年级下•广东湛江•期末）用8块相同的小长方形地俳拼成一个大长方形，则每块小长方形地砖

的面积是（）

40

v

A.600B.500C.300D.200

3.（23-24七年级下•广东湛江•期末）如图，在△4BC中，AD是边BC上的中线，△4BD的周长比△4DC的

周长多3,4B与4C的和为13,贝口B的长为（）

B.6C.7D.8

4.（22-23八年级上•广东深圳•期末）《九章算术》中有这样一道题："今有善行者一百步，不善行者六十

步.今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？"意思是：走路快的人走100步时，走路慢的人

只走60步，走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？设走路快的人走x步才能追上走路

慢的人，此时走路慢的人走了y步，则可列方程组为（）

x=y+100%=y+100

A.x_yB.x_y

-100-60-60-100

x=y—100x=y—100

C.x_yD.x_y

■Too-6060-100

5.（24-25七年级上•全国•期末）甲、乙两列火车分别在两条平行的车轨上行驶，甲车长。米，乙车长6米

（a>b）.若两车相向而行，从车头相遇到车尾离开共需要10s；若甲车从后面追赶乙车，从车头追上乙车

的车尾并完全超过乙车共需要100s.下列结论正确的是（）

9a+9b

A.快车速度-B.慢车速度

―200100

9a-9b.9a—9b

C.快车速度D.慢车速度

100.200

6.（21-22九年级下•上海咱主招生）甲是乙现在的年龄时，乙15岁；乙是甲现在的年龄时，甲30岁，那

么()

A.甲比乙大5岁B.甲比乙大10岁

C.乙比甲大10岁D.乙比甲大5岁

7.（23-24七年级下•山东青岛・期末）为防控新冠状病毒，小航同学在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯

整齐地叠放在一起（如图），如果把这袋60个纸杯整齐叠放在一起，它的高度为（）

15cm

10cm

A.200cmB.112.5cmC.106cmD.57.5cm

8.（23-24七年级下•全国•期末）为了改善住房条件，小亮的父母考察了某小区的/、8两套楼房，/套楼房

在第3层楼，3套楼房在第5层楼，2套楼房的面积比/套楼房的面积大24平方米，两套楼房的房价相同,

第3层楼和第5层楼的房价分别是平均价的L1倍和0.9倍.为了计算两套楼房的面积，小亮设/套楼房的

面积为x平方米，8套楼房的面积为y平方米，根据以