高考备考资料之数学人教B版全国用课件第三章导数及其应用32第1课时

§3.2

导数的应用第三章导数及其应用基础知识

自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习1.函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)

0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减.2.函数的极值(1)一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：①如果在x0附近的左侧

，右侧

，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧

，右侧

，那么f(x0)是极小值.知识梳理<f′(x)>0f′(x)<0f′(x)>0f′(x)<0(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程

的根；③考察f′(x)在方程

的根附近的左右两侧导数值的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得

；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得

.f′(x)＝0f′(x)＝0极大值极小值3.函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值.(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则

为函数的最小值，

为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则

为函数的最大值，

为函数的最小值.(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求函数y＝f(x)在(a，b)内的

；②将函数y＝f(x)的各

与

处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.f(a)f(b)f(a)f(b)极值极值端点1.在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件.2.可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零.3.对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件.【知识拓展】题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.(

)(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性.(

)(3)函数的极大值不一定比极小值大.(

)(4)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件.(

)(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.(

)基础自测×√√×123456√78题组二教材改编12456答案32.如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下面判断正确的是A.在区间(－2,1)上f(x)是增函数B.在区间(1,3)上f(x)是减函数C.在区间(4,5)上f(x)是增函数D.当x＝2时，f(x)取到极小值√解析解析在(4,5)上f′(x)>0恒成立，∴f(x)是增函数.7812456答案解析3.设函数f(x)＝

＋lnx，则A.x＝

为f(x)的极大值点

B.x＝

为f(x)的极小值点C.x＝2为f(x)的极大值点

D.x＝2为f(x)的极小值点√当0<x<2时，f′(x)<0，当x>2时，f′(x)>0，∴x＝2为f(x)的极小值点.3784.函数f(x)＝x3－6x2的单调递减区间为_______.解析f′(x)＝3x2－12x＝3x(x－4)，由f′(x)<0，得0<x<4，∴函数f(x)的单调递减区间为(0,4).解析124563(0,4)答案785.函数y＝x＋2cosx在区间

上的最大值是________.解析∵y′＝1－2sinx，解析124563答案78题组三易错自纠6.函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)A.无极大值点、有四个极小值点B.有三个极大值点、一个极小值点C.有两个极大值点、两个极小值点D.有四个极大值点、无极小值点解析12456解析导函数的图象与x轴的四个交点都是极值点，第一个与第三个是极大值点，第二个与第四个是极小值点.3答案√787.已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)＝3，且f(x)的导数f′(x)在R上恒有f′(x)<2(x∈R)，则不等式f(x)<2x＋1的解集为____________.解析12456解析

令g(x)＝f(x)－2x－1，∴g′(x)＝f′(x)－2<0，∴g(x)在R上为减函数，g(1)＝f(1)－2－1＝0.由g(x)<0＝g(1)，得x>1.∴不等式的解集为(1，＋∞).3(1，＋∞)答案788.设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是______________.解析12456解析∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.∵函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，∴方程y′＝ex＋a＝0有大于零的解，∵当x>0时，－ex<－1，∴a＝－ex<－1.3(－∞，－1)答案78几何画板展示题型分类深度剖析第1课时导数与函数的单调性题型一不含参数的函数的单调性自主演练答案解析√2.已知函数f(x)＝xlnx，则f(x)A.在(0，＋∞)上单调递增B.在(0，＋∞)上单调递减C.在

上单调递增D.在

上单调递减解析答案√解析因为函数f(x)＝xlnx的定义域为(0，＋∞)，所以f′(x)＝lnx＋1(x>0)，3.(2018·开封调研)已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsinx＋cosx，则f(x)的单调递增区间是______________________.解析答案解析f′(x)＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx.令f′(x)＝xcosx>0，确定函数单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域.(2)求f′(x).(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间.(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.思维升华典例

已知函数f(x)＝ln(ex＋1)－ax(a>0)，讨论函数y＝f(x)的单调区间.解答题型二含参数的函数的单调性师生共研①当a≥1时，f′(x)<0恒成立，∴当a∈[1，＋∞)时，函数y＝f(x)在R上单调递减.②当0<a<1时，由f′(x)>0，得(1－a)(ex＋1)>1，由f′(x)<0，得(1－a)(ex＋1)<1，∴当a∈(0,1)时，综上，当a∈[1，＋∞)时，f(x)在R上单调递减；(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点.思维升华跟踪训练

已知函数f(x)＝ex(ax2－2x＋2)(a>0).试讨论f(x)的单调性.解答解由题意得f′(x)＝ex[ax2＋(2a－2)x](a>0)，②当a＝1时，f(x)在(－∞，＋∞)内单调递增；命题点1比较大小或解不等式解析题型三函数单调性的应用问题多维探究答案√解析(2)设f(x)是定义在R上的奇函数，f(2)＝0，当x>0时，有

<0恒成立，则不等式x2f(x)>0的解集是__________________.答案(－∞，－2)∪(0,2)∴在(0，＋∞)上，当且仅当0<x<2时，φ(x)>0，此时x2f(x)>0.又f(x)为奇函数，∴h(x)＝x2f(x)也为奇函数.故x2f(x)>0的解集为(－∞，－2)∪(0,2).解答命题点2根据函数单调性求参数典例

(2018·石家庄质检)已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝

ax2＋2x(a≠0).(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；由于h(x)在(0，＋∞)上存在单调递减区间，所以a>－1.又因为a≠0，所以a的取值范围为(－1,0)∪(0，＋∞).解答(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上单调递减，求a的取值范围.几何画板展示解因为h(x)在[1,4]上单调递减，1.本例(2)中，若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上单调递增，求a的取值范围.引申探究解因为h(x)在[1,4]上单调递增，所以当x∈[1,4]时，h′(x)≥0恒成立，解答所以a≤－1，即a的取值范围是(－∞，－1].2.本例(2)中，若h(x)在[1,4]上存在单调递减区间，求a的取值范围.解h(x)在[1,4]上存在单调递减区间，则h′(x)<0在[1,4]上有解，解答所以a>－1，又因为a≠0，所以a的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞).根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集.(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.(3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题.思维升华跟踪训练

已知函数f(x)＝

－2x2＋lnx在区间[1,2]上为单调函数，求a的取值范围.解答典例

(12分)已知函数g(x)＝lnx＋ax2－(2a＋1)x，若a≥0，试讨论函数g(x)的单调性.用分类讨论思想研究函数的单调性思想方法思想方法指导规范解答思想方法指导含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论，常见的分类讨论标准有以下几种可能：①方程f′(x)＝0是否有根；②若f′(x)＝0有根，求出根后判断其是否在定义域内；③若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法.规范解答∵函数g(x)的定义域为(0，＋∞)，由g′(x)>0，得0<x<1，由g′(x)<0，得x>1. [4分]综上可得：当a＝0时，函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；课时作业1.函数f(x)＝x2－2lnx的单调递减区间是A.(0,1) B.(1，＋∞)

C.(－∞，1) D.(－1,1)基础保分练12345678910111213141516∴当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)为减函数；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数.解析答案√2.(2018·济南调研)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是A.f(b)>f(c)>f(d)B.f(b)>f(a)>f(e)C.f(c)>f(b)>f(a)D.f(c)>f(e)>f(d)答案√12345678910111213141516解析由题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(－∞，c)上是增函数，因为a<b<c，所以f(c)>f(b)>f(a)，故选C.解析3.已知m是实数，函数f(x)＝x2(x－m)，若f′(－1)＝－1，则函数f(x)的单调增区间是答案12345678910111213141516解析√解析∵f′(x)＝3x2－2mx，∴f′(－1)＝3＋2m＝－1，解得m＝－2，∴由f′(x)＝3x2＋4x>0，123456789101112131415164.已知函数f(x)＝

x3＋ax＋4，则“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件解析答案12345678910111213141516故“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件.√5.若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是A.(－∞，－2] B.(－∞，－1]C.[2，＋∞) D.[1，＋∞)解析答案√因为f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，123456789101112131415166.(2018·重庆质检)函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)<0，设a＝f(0)，b＝

，c＝f(3)，则A.a<b<c

B.c<b<a

C.c<a<b

D.b<c<a解析答案12345678910111213141516√解析由题意得，当x<1时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，1)上为增函数.解析答案123456789101112131415167.若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为(－1,3)，则b＋c＝_____.－12解析f′(x)＝3x2＋2bx＋c，由题意知，－1<x<3是不等式3x2＋2bx＋c<0的解，∴－1,3是f′(x)＝0的两个根，∴b＝－3，c＝－9，∴b＋c＝－12.答案123456789101112131415168.(2018·昆明调研)已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)＝1，f(x)的导数f′(x)<，则不等式f(x2)<

的解集为________________.{x|x<－1或x>1}解析12345678910111213141516即函数F(x)在R上单调递减.12345678910111213141516∴F(x2)<F(1)，而函数F(x)在R上单调递减，∴x2>1，即不等式的解集为{x|x<－1或x>1}.解析答案由已知得g′(x)≤0在[1,2]上恒成立，1234567891011121314151610.设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)＜0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是_________________.解析12345678910111213141516(－∞，－1)∪(0,1)答案解析因为f(x)(x∈R)为奇函数，f(－1)＝0，所以f(1)＝－f(－1)＝0.12345678910111213141516则g(x)为偶函数，g(1)＝g(－1)＝0.故g(x)在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数.所以在(0，＋∞)上，当0＜x＜1时，由g(x)＞g(1)＝0，12345678910111213141516所以f(x)＞0.综上知，使得f(x)＞0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1).11.(2018·大理质检)已知函数f(x)＝

(k为常数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行.(1)求实数k的值；解答12345678910111213141516(2)求函数f(x)的单调区间. 12345678910111213141516所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减.由h(1)＝0知，当0＜x＜1时，h(x)＞0，所以f′(x)＞0；当x＞1时，h(x)＜0，所以f′(x)＜0.综上，f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，＋∞).解答12.(2018届信阳高级中学考试)已知函数f(x)＝

－1(b∈R，e为自然对数的底数)在点(0，f(0))处的切线经过点(2，－2).讨论函数F(x)＝f(x)＋ax(a∈R)的单调性.12345678910111213141516解答解

因为f(0)＝b－1，12345678910111213141516当a≤0时，F′(x)<0恒成立；当a>0时，由F′(x)<0，得x<－lna，由F′(x)>0，得x>－lna.故当a≤0时，函数F(x)在R上单调递减；当a>0时，函数F(x)在(－∞，－lna)上单调递减，在(－lna，＋∞)上单调递增.12345678910111213141516技能提升练答案12345678910111213141516解析13.(2017·承德调研)已知f(x)是可导的函数，且f′(x)<f(x)对于x∈R恒成立，则A.f(1)<ef(0)，f(2017)>e2017f(0)B.f(1)>ef(0)，f(2017)>e2017f(0)C.f(1)>ef(0)，f(2017)<e2017f(0)D.f(1)<ef(0)，f(2017)<e2017f(0)√12345678910111213141516所以g(1)<g(0)，g(2017)<g(0)，故f(1)<ef(0)，f(2017)<e2017f(0).解析1234567891011121314