高考备考资料之数学人教B版全国用课件第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ22

§2.2

函数的单调性与最值第二章

函数概念与基本初等函数Ⅰ基础知识

自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习

增函数减函数定义设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M⊆A，如果取区间M中任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1>0，则当

时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数

时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数1.函数单调性的定义知识梳理Δy＝f(x2)－f(x1)<0Δy＝f(x2)－f(x1)>0图象自左向右看图象是______自左向右看图象是______下降的上升的2.单调性与单调区间如果一个函数在某个区间M上是______或是_______，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为_________.增函数减函数单调区间3.函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I，都有________；(2)存在x0∈I，使得_________(3)对于任意的x∈I，都有________；(4)存在x0∈I，使得________结论M为最大值M为最小值f(x)≤Mf(x0)＝Mf(x)≥Mf(x0)＝M【知识拓展】(3)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数.(4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)<f(3)，则函数f(x)在R上为增函数.(

)(2)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞).(

)(3)函数y＝

的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).(

)(4)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到.(

)基础自测××√×1234567题组二教材改编2.函数f(x)＝x2－2x的单调递增区间是____________________.3.函数y＝

在[2,3]上的最大值是___.4.若函数f(x)＝x2－2mx＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m的取值范围是_________.答案[1，＋∞)(或(1，＋∞))2(－∞，2]解析由题意知，[2，＋∞)⊆[m，＋∞)，∴m≤2.解析1234567题组三易错自纠5.函数y＝

的单调递减区间为___________.解析答案(2，＋∞)6.若函数f(x)＝|2x＋a|的单调增区间是[3，＋∞)，则a的值为________.－612345677.函数f(x)＝

的最大值为________.解析当x≥1时，函数f(x)＝

为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x＜1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.解析答案21234567题型分类深度剖析命题点1给出具体解析式的函数的单调性典例

(1)(2017·全国Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是A.(－∞，－2) B.(－∞，1)C.(1，＋∞) D.(4，＋∞)题型一确定函数的单调性(区间)多维探究答案√解析解析由x2－2x－8＞0，得x＞4或x＜－2.设t＝x2－2x－8，则y＝lnt为增函数.要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8的单调递增区间.∵函数t＝x2－2x－8的单调递增区间为(4，＋∞)，∴函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞).故选D.(2)函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递减区间是__________________.答案[－1,0]，[1，＋∞)解析由题意知，当x≥0时，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4；当x<0时，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，二次函数的图象如图.解析由图象可知，函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递减区间为[－1,0]，[1，＋∞).命题点2解析式含参数的函数的单调性解答典例

判断并证明函数f(x)＝ax2＋

(其中1＜a＜3)在[1,2]上的单调性.证明：设1≤x1＜x2≤2，由1≤x1＜x2≤2，得x2－x1＞0,2＜x1＋x2＜4，又因为1＜a＜3，所以2＜a(x1＋x2)＜12，从而f(x2)－f(x1)＞0，即f(x2)＞f(x1)，故当a∈(1,3)时，f(x)在[1,2]上单调递增.如何用导数法求解本例？引申探究解答因为1≤x≤2，∴1≤x3≤8，又1＜a＜3，所以2ax3－1＞0，所以f′(x)＞0，确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连接.思维升华跟踪训练

(1)(2017·郑州模拟)函数y＝

的单调递增区间为解析答案√(2)函数f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是A.[1,2]

B.[－1,0]C.(0,2] D.[2，＋∞)解析答案√当x≥2时，[2，＋∞)是函数f(x)的单调递增区间；当x<2时，(－∞，1]是函数f(x)的单调递增区间，[1,2]是函数f(x)的单调递减区间.解析答案题型二函数的最值自主演练解析由于y＝

在R上单调递减，y＝log2(x＋2)在[－1，1]上单调递增，所以f(x)在[－1,1]上单调递减，故f(x)在[－1,1]上的最大值为f(－1)＝3.32.已知函数f(x)＝

则f(x)的最小值是________.解析当x≤1时，f(x)min＝0，解析答案3.(2017·浙江)若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0,1]上的最大值是M，最小值是m，则M－mA.与a有关，且与b有关

B.与a有关，但与b无关C.与a无关，且与b无关

D.与a无关，但与b有关解析答案√解析方法一设x1，x2分别是函数f(x)在[0,1]上的最小值点与最大值点，显然此值与a有关，与b无关.故选B.方法二由题意可知，函数f(x)的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形状一定.随着b的变动，相当于图象上下移动，若b增大k个单位，则最大值与最小值分别变为M＋k，m＋k，而(M＋k)－(m＋k)＝M－m，故与b无关.随着a的变动，相当于图象左右移动，则M－m的值在变化，故与a有关，故选B.求函数最值的五种常用方法及其思路(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)均值不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值.思维升华命题点1比较大小典例

已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，设a＝

，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为A.c>a>b

B.c>b>aC.a>c>bD.b>a>c题型三函数单调性的应用多维探究解析答案√命题点2解函数不等式典例

若f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，且满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，则当f(x)＋f(x－8)≤2时，x的取值范围是A.(8，＋∞) B.(8,9]C.[8,9] D.(0,8)解析答案√解析

2＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)，由f(x)＋f(x－8)≤2，可得f

[x(x－8)]≤f(9)，因为f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，命题点3求参数范围典例

(1)(2018·郑州模拟)函数y＝

在(－1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是A.a＝－3 B.a＜3

C.a≤－3 D.a≥－3解析答案√∴a的取值范围是a≤－3.(2)已知f(x)＝

是(－∞，＋∞)上的减函数，则a的取值范围是解析答案√函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小.(2)解不等式.利用函数的单调性将“f”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域.(3)利用单调性求参数.①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较；②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.思维升华跟踪训练

(1)已知函数f(x)＝x|2x－a|(a>0)在区间[2,4]上单调递减，则实数a的值是____.解析答案8(2)(2017·珠海模拟)定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且

＝0，则不等式f()>0的解集为________________.解析答案f(x)在(－∞，0)上也单调递增.课时作业1.下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是A.y＝

B.y＝(x－1)2C.y＝2－x

D.y＝log0.5(x＋1)基础保分练12345678910111213141516解析答案√解析答案√解析由－x2＋x＋6＞0，得－2＜x＜3，故函数的定义域为(－2,3)，令t＝－x2＋x＋6，则y＝

，易知其为减函数，由复合函数的单调性法则可知本题等价于求函数t＝－x2＋x＋6在(－2,3)上的单调递减区间.利用二次函数的性质可得t＝－x2＋x＋6在定义域(－2,3)上的单调递减区间为

，故选A.123456789101112131415163.已知函数f(x)＝

则“c＝－1”是“函数f(x)在R上递增”的A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件答案12345678910111213141516√解析若函数f(x)在R上递增，则需log21≥c＋1，即c≤－1.由于c＝－1，即c≤－1，但c≤－1不能得出c＝－1，所以“c＝－1”是“函数f(x)在R上递增”的充分不必要条件.解析4.已知函数y＝log2(ax－1)在(1,2)上是增函数，则实数a的取值范围是A.(0,1] B.[1,2]C.[1，＋∞) D.[2，＋∞)答案12345678910111213141516√解析要使y＝log2(ax－1)在(1,2)上是增函数，则a>0且a－1≥0，即a≥1.解析5.(2017·天津)已知奇函数f(x)在R上是增函数.若a＝

，b＝

f(log24.1)

，c＝f(20.8)，则a，b，c的大小关系为A.a<b<c

B.b<a<c

C.c<b<a

D.c<a<b解析答案12345678910111213141516√解析∵f(x)在R上是奇函数，又f(x)在R上是增函数，且log25＞log24.1＞log24＝2＞20.8，∴f(log25)＞f(log24.1)＞f(20.8)，∴a＞b＞c.故选C.6.设f(x)＝

若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为A.[－1,2] B.[－1,0]C.[1,2] D.[0,2]解析答案12345678910111213141516√解析∵当x≤0时，f(x)＝(x－a)2，f(0)是f(x)的最小值，∴a≥0.当x＞0时，f(x)＝x＋

＋a≥2＋a，当且仅当x＝1时取“＝”.要满足f(0)是f(x)的最小值，需2＋a≥f(0)＝a2，即a2－a－2≤0，解得－1≤a≤2，∴a的取值范围是0≤a≤2.故选D.[3，＋∞)解析设t＝x2－2x－3，由t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3.所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞).因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数t在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增.所以函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞).解析答案12345678910111213141516答案12345678910111213141516解析[0,1)函数g(x)的图象如图所示，其单调递减区间为[0,1).解析

作函数f(x)的图象如图所示，由图象可知f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4.解析答案123456789101112131415169.(2017·潍坊模拟)设函数f(x)＝

若函数y＝f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是____________________.(－∞，1]∪[4，＋∞)10.已知函数f(x)＝

若f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________.解析由题意，得12＋

a－2≤0，则a≤2，又y＝ax－a(x>1)是增函数，故a>1，所以a的取值范围为1<a≤2.解析12345678910111213141516答案(1,2]11.已知f(x)＝

(x≠a).(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)上单调递增；证明

设x1＜x2＜－2，证明12345678910111213141516因为(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递增.(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围.解设1＜x1＜x2，解答12345678910111213141516因为a＞0，x2－x1＞0，所以要使f(x1)－f(x2)＞0，只需(x1－a)(x2－a)＞0恒成立，所以a≤1.综上所述，0＜a≤1.12.函数f(x)＝4x2－4ax＋a2－2a＋2在区间[0,2]上有最小值3，求a的值.解答1234567891011121314151612345678910111213141516∴f(x)min＝f(0)＝a2－2a＋2.12345678910111213141516f(x)min＝f(2)＝a2－10a＋18.技能提升练答案12345678910111213141516解析13.已知函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝

在区间(1，＋∞)上一定A.有最小值

B.有最大值C.是减函数

D.是增函数√解析12345678910111213141516答案14.已知f(x)＝

不等式f(x＋a)>f(2a－x)在[a，a＋1]上恒成立，则实数a的取值范围是____________.(－∞，－2)解析二次函数y1＝x2－4x＋3的对称轴是x＝2，∴该函数在(－∞，0]上单调递减，∴x2－4x＋3≥3，同样可知函数y2