2024-2025学年四川省宜宾市高一上学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1四川省宜宾市2024-2025学年高一上学期期末数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合（）A B. C. D.【答案】A【解析】.故选：A.2.命题“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，的否定是，.故选：C.3.函数的零点所在区间为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】易知单调递增；，，所以零点所在区间为.故选：B.4.下列函数中最小正周期为，且为奇函数的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】对于A，因为，偶函数，错误；对于B，由，偶函数，错误；对于C，最小正周期为：，错误；对于D，令，可判断为奇函数，最小正周期为：，D正确.故选：D.5.函数与的图象（）A.关于x轴对称 B.关于y轴对称C.关于原点对称 D.关于直线y=x对称【答案】C【解析】令，则，与的图象关于原点对称，、的图象关于原点对称.故选：C.6.下列命题为真命题的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】D【解析】对于A：当时，故A错误；对于B：因为，所以，所以，所以，即，故B错误；对于C：由，则，，所以，故C错误；对于D：由，所以，所以，故D正确.故选：D.7.稀土是半导体产业重要材料，被称为工业维生素，某稀土元素生产工艺每进行一次提纯可减少杂质10%，要将杂质减少到原来的1%以下，至少需要提纯的次数为（参考数据：）（）A.42次 B.43次 C.44次 D.45次【答案】C【解析】设原来杂质含量为，提纯次后杂质含量为.因为每进行一次提纯可减少杂质，也就是每次提纯后杂质含量变为原来，那么经过次提纯后，杂质含量.要将杂质减少到原来的以下，即，也就是.两边取常用对数可得.则.又因为，.所以.将，代入，.则.由于为提纯次数，必须为正整数，所以取44.故选：C.8.已知，则有（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函数的定义域为，，则函数是偶函数，当时，，任意，，，则，于是，而，因此，函数在上单调递增，又则，所以.故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.以下说法中正确的是（）A.若角是锐角，则是二象限角B.C.在中，D.若角终边关于y轴对称，则【答案】BC【解析】对于A，，则，故不一定是二象限角，A错误；对于B，，故B正确；对于C，在中，，故C正确；对于D，若角终边关于y轴对称，则，故D错误.故选：BC.10.若，且，则（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】已知，因为，那么.设（），则，移项得到.因为，即，也就是，两边平方可得，所以A选项正确、B选项错误.由可得，因为，所以，当且仅当时取等号，所以C选项正确.根据完全平方公式，由前面可知，.，当且仅当时取等号，所以D选项正确.故选：ACD.11.已知函数，则对关于x的方程正确的说法有（）A.当时，方程只有1个实数根 B.当时，方程有3个实数根C.不存在，使得方程有4个实数根 D.，方程都有实数根【答案】BCD【解析】解的个数等价于图象交点个数，作出函数的图象，如图所示：对于，当时，直线与的图象有2个交点，所以当时，方程有2个实数根，故不正确；对于，当时，直线与的图象有3个交点，所以方程有3个解，故正确；对于C，由图象可得不存在，使得方程有4个实数根，故C正确；对于，由图象可知方程始终有解，故正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若角的终边上一点的坐标为，则____________．【答案】【解析】由角的终边上一点的坐标为，可得：，所以.13.计算：____________．【答案】【解析】.14.已知函数，若存在实数a，b，c满足，且，则的取值范围是____________．【答案】【解析】作出函数的图象，如图所示：令，则，又因为，，，所以.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知集合．（1）求；（2）集合，若“”是“”是的充分条件，求实数a的取值范围．解：（1），且为R上的增函数，，又，，.（2）∵“”是“”是的充分条件，，又，，．16.已知函数．（1）求的最小正周期及单调增区间；（2）若，满足，求.解：（1）最小正周期，令的单调增区间是，且由得，单调递增区间.（2）又，，.17.定义在R上的奇函数（a，b为常数）满足．（1）求的解析式；（2）若，都有成立，求实数的取值范围．解：（1）是R上的奇函数，，∴，又，∴，，此时，满足是定义在R上的奇函数.（2），，∴当时，，由对勾函数性质可得，在上单调递减，故，∴，又是奇函数，，，，或.18.为推动新质生产力的发展，我市某高新企业于2024年年初用98万元购进一台生产设备，并立即投入生产使用．已知该设备使用后，每年的总收入为50万元，使用x年后，其x年来所需维修保养费用的总和为万元，设该设备产生的盈利总额为y万元（盈利总额=总收入—总支出）．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）该设备从第几年开始盈利（盈利总额为正值）；（3）使用若干年后，对设备的处理方案有两种：①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数）；②当盈利总额达到最大值时，以12万元价格处理该设备．试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由．解：（1）.（2）令，得，，故，故从第3年该设备开始盈利.（3）按照方案①计算，当且仅当时，即时等号成立．到2030年，年平均盈利额达到最大值，该设备可获利万元按照方案②计算，当时，．故到2033年，盈利额达到最大值，该设备可获利万元．因为两种方案企业获利总额相同，而方案①所用时间较短，故方案①比较合理．19.已知是定义在R上的奇函数，且当时，．（1）求的解析式；（2）设函数，①若，不等式恒成立，求实数a的取值范围；②对包含实数0的区间D，若，以为长度的三条线段都能构成三角形．将区间记为I，定义，设，求的最大值．解：（1）是定义在上的奇函数，，且，当时，，综上，的解析式为：.（2）①，令，，在上单调递增，∴当时，，∴不等式恒成立，转化为：，i当时，恒成立，ii当时，恒成立，iii当时，，则，由i，ii，iii知：不等式恒成立的m的取值范围是.②不妨设依题意中的“，都存在以为三角形的三条边长”，等价于，等价于所包含的任意子区间．由（2）知，，令，则．又，当时，有，∴所有符合条件的区间D上，满足，即为：，等价于，等价于，综上，，有.四川省宜宾市2024-2025学年高一上学期期末数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合（）A B. C. D.【答案】A【解析】.故选：A.2.命题“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，的否定是，.故选：C.3.函数的零点所在区间为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】易知单调递增；，，所以零点所在区间为.故选：B.4.下列函数中最小正周期为，且为奇函数的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】对于A，因为，偶函数，错误；对于B，由，偶函数，错误；对于C，最小正周期为：，错误；对于D，令，可判断为奇函数，最小正周期为：，D正确.故选：D.5.函数与的图象（）A.关于x轴对称 B.关于y轴对称C.关于原点对称 D.关于直线y=x对称【答案】C【解析】令，则，与的图象关于原点对称，、的图象关于原点对称.故选：C.6.下列命题为真命题的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】D【解析】对于A：当时，故A错误；对于B：因为，所以，所以，所以，即，故B错误；对于C：由，则，，所以，故C错误；对于D：由，所以，所以，故D正确.故选：D.7.稀土是半导体产业重要材料，被称为工业维生素，某稀土元素生产工艺每进行一次提纯可减少杂质10%，要将杂质减少到原来的1%以下，至少需要提纯的次数为（参考数据：）（）A.42次 B.43次 C.44次 D.45次【答案】C【解析】设原来杂质含量为，提纯次后杂质含量为.因为每进行一次提纯可减少杂质，也就是每次提纯后杂质含量变为原来，那么经过次提纯后，杂质含量.要将杂质减少到原来的以下，即，也就是.两边取常用对数可得.则.又因为，.所以.将，代入，.则.由于为提纯次数，必须为正整数，所以取44.故选：C.8.已知，则有（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函数的定义域为，，则函数是偶函数，当时，，任意，，，则，于是，而，因此，函数在上单调递增，又则，所以.故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.以下说法中正确的是（）A.若角是锐角，则是二象限角B.C.在中，D.若角终边关于y轴对称，则【答案】BC【解析】对于A，，则，故不一定是二象限角，A错误；对于B，，故B正确；对于C，在中，，故C正确；对于D，若角终边关于y轴对称，则，故D错误.故选：BC.10.若，且，则（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】已知，因为，那么.设（），则，移项得到.因为，即，也就是，两边平方可得，所以A选项正确、B选项错误.由可得，因为，所以，当且仅当时取等号，所以C选项正确.根据完全平方公式，由前面可知，.，当且仅当时取等号，所以D选项正确.故选：ACD.11.已知函数，则对关于x的方程正确的说法有（）A.当时，方程只有1个实数根 B.当时，方程有3个实数根C.不存在，使得方程有4个实数根 D.，方程都有实数根【答案】BCD【解析】解的个数等价于图象交点个数，作出函数的图象，如图所示：对于，当时，直线与的图象有2个交点，所以当时，方程有2个实数根，故不正确；对于，当时，直线与的图象有3个交点，所以方程有3个解，故正确；对于C，由图象可得不存在，使得方程有4个实数根，故C正确；对于，由图象可知方程始终有解，故正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若角的终边上一点的坐标为，则____________．【答案】【解析】由角的终边上一点的坐标为，可得：，所以.13.计算：____________．【答案】【解析】.14.已知函数，若存在实数a，b，c满足，且，则的取值范围是____________．【答案】【解析】作出函数的图象，如图所示：令，则，又因为，，，所以.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知集合．（1）求；（2）集合，若“”是“”是的充分条件，求实数a的取值范围．解：（1），且为R上的增函数，，又，，.（2）∵“”是“”是的充分条件，，又，，．16.已知函数．（1）求的最小正周期及单调增区间；（2）若，满足，求.解：（1）最小正周期，令的单调增区间是，且由得，单调递增区间.（2）又，，.17.定义在R上的奇函数（a，b为常数）满足．（1）求的解析式；（2）若，都有成立，求实数的取值范围．解：（1）是R上的奇函数，，∴，又，∴，，此时，满足是定义在R上的奇函数.（2），，∴当时，，由对勾函数性质可得，在上单调递减，故，∴，又是奇函数，，，，或.18.为推动新质生产力的发展，我市某高新企业于2024年年初用98万元购进一台生产设备，并立即投入生产使用．已知该设备使用后，每年的总收入为50万元，使用x年后，其x年来所需维修保养费用的总和为万元，设该设备产生的盈利总额为y万元（盈利总额=总收入—总支出）．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）该设备从第几年开始盈利（盈利总额为正值）；（3）使用若干年后，对设备的处理方案有两种：①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数）；②当盈利总额达到最大值时，以12万元价格处理该设备．试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由．解：（1）.（2）令，得，，故，故从第3年该设备开始盈利.（3）按照方案①计算，当且仅当时，即时等号成立．到2030年，年平均盈利额达到最大值，该设备可获利万元按照方案②计算，当时，．故到2033年，盈利额达到最大值，该设备可获利万元．因为两种方案企业获利总额相同，而方案①所用时间较短，故方案①比较合理．19.已知是定义在R上的奇函数，且当时，．（1）求的解析式；（2）设