《线性变换的有理标准型及矩阵的相似不变量分析》4500字（论文）

PAGE14线性变换的有理标准型及矩阵的相似不变量分析目录TOC\o"1-2"\h\u32133线性变换的有理标准型及矩阵的相似不变量 1266821矩阵的最小多项式 1161441.1基本概念与性质 2132091.2最小多项式求解 3289402线性变换的有理标准型 553753矩阵相似的完全不变量 7194473.1相抵标准型与初等因子 7224103.2域F上矩阵相似的充分必要条件 11摘要：本文将通过研究矩阵最小多项式的不同情形，进而研究线性变换的有理标准型，寻求最简单的矩阵描述形式，探索空间分解的方法.关键词：最小多项式、有理标准型、矩阵的相似不变量.1矩阵的最小多项式1.1基本概念与性质定义1.1.1假设是域上的线性空间V上的一个线性变换，在的所有非零的零化多项式中，次数最低的且首项系数为1的多项式称为的最小多项式.定义1.1.2假设是域上的一个级矩阵，的所有非零的零化多项式中，次数最低的且首项系数为1的多项式称为矩阵的最小多项式.证明假设是域上的维线性空间V上的一个线性变换，是在V的一个基下的矩阵.因为为的一个零化多项式，当且仅当为的零化多项式，所以，由为的最小多项式，推出也为矩阵的最小多项式.性质1.1.3级矩阵的最小多项式唯一，.性质1.1.4为的一个最小多项式，是的任一零化多项式，特别的，有，.证明必要性假设为的一个零化多项式，做带余除法，得：用代入上式，则.因为，所以.因此为的一个零化多项式，，所以.充分性假设，存在，使.代入，得.所以为的一个零化多项式.性质1.1.5设为的一个最小多项式，为的特征多项式，则与有相同根（可以有不同重数）.证明因为，所以的每个根也都为的根.设为的其中一个根，因此为的一个特征值.于是，存在，，使.设，则又因为，则.所以是的一个根.性质1.1.6相似矩阵有相同的最小多项式.证明设为矩阵的最小多项式，为矩阵的最小多项式.因为，可知，可逆.因此，.又由性质1.1.4可知，，同理可得，.又因为与的首项系数都是1，所以.性质1.1.7设是维线性空间的线性变换，则在中一定存在一组基，使在这组基下的矩阵是Jordan形.1.2最小多项式求解矩阵的最小多项式求解方法多种多样，通过对以上概念性质的学习，下面主要探讨四种基本的求解方法.1.2.1由特征多项式求解最小多项式设是矩阵的所有不同的特征值，，则的特征多项式为由性质1.1.5可知，矩阵的最小多项式一定有下列形式：如果矩阵的特征值是单根，则；如果矩阵的特征多项式，则，其中，是能使的最小次数.1.2.2待定系数法设是矩阵的最小多项式，且，则可按以下步骤求解：当，对求解；若有解，则；若无解，进行第二步；当，对求解；若有解，则；若无解，进行第三步；当，对求解；若有解，则；若无解，进行下一步；按上述方式循环，直至求出使矩阵方程成立的为止.1.2.3初等变换法设矩阵的特征矩阵为，则其为一个矩阵，对此特征矩阵进行初等变换（行/列）化为标准型，然后通过求得的标准型，求出矩阵的所有不变因子，则特征矩阵的最后一个不变因子就是矩阵的最小多项式，即.或者也可以先求出特征矩阵的阶与阶行列式因子，则可求出的最小多项式.1.2.4利用Jordan标准型求解设是矩阵的所有不同的特征值，，则：当为单特征值，为一阶Jordan块；当为矩阵的重特征值，则为以为对角元素的Jordan块的阶数的和.设为以为对角元素的Jordan块的最大阶数，则的最小多项式为：又因为当矩阵化为标准型后，每个Jordan块一一对应于的初等因子，则由性质1.1.7可知的最小多项式就是所有这些初等因子的最小公倍式.2线性变换的有理标准型2.1循环子空间定义2.1.1假设是域F上的线性空间V上的一个线性变换，若存在，可使线性无关，可以由线性表出，亦或，则可称是由生成的（强）循环子空间.定理2.1.2假设是域F上的线性空间V上的一个线性变换,V是一个循环子空间，当且仅当的最小多项式与特征多项式相等.记为.2.2多项式的友矩阵与不变因子定义2.2.1是域F上的一个多项式，则是多项式的友矩阵.定义2.2.2矩阵的标准型，其中的首项系数为1，且，则主对角线上的所有非零元素称为矩阵的不变因子.性质2.2.3多项式的友矩阵的特征多项式与最小多项式相等.即性质2.2.4（1）多项式的友矩阵的行列式为.（2）多项式的友矩阵的不变因子是1（个）与.（3）为有理标准型矩阵的不变因子，其中1的个数为的次数和减.2.3循环分解与有理标准型定理2.3.1（循环分解）设是域上的一个维线性空间，是的线性变换，则：其中，为由生成的非零循环子空间.注：的最小多项式、特征多项式及的最小零化子，三者相等.定理2.3.2设是域上维线性空间的线性变换，是域上的首一不可约多项式，，是线性变换的最小多项式，是线性变换的特征多项式.若，则该线性空间能分解为个维的循环子空间的直和，且.则线性空间中存在一个基，使线性变换在此基下的矩阵为：其中，是的友矩阵，则矩阵称为的一个有理标准型.注：线性变换的有理标准型唯一.2.4有理标准型求解根据有理标准型的定义，按下列步骤进行求解计算：设是域上的任一阶方阵，则：第一步求出方阵的所有不变因子；第二步写出每个次数大于零的不变因子所对应的友矩阵；第三步写出的有理标准型3矩阵相似的完全不变量3.1相抵标准型与初等因子定理3.1.1任一非零级矩阵与一个对角矩阵相抵：若，且所有非0的的首项系数为1，则称是的一个相抵标准型，也称Smith标准型.证明设任一非零级矩阵，，对交换两行或两列，使，且次数最小.（1）若不能整除或，对其作带余除法：且.将第一列的倍加到第列，交换第1列与第列，使为第1行第1列的元素.同样的，如果，经过一系列初等变换，使为第1行第1列的元素.于是经过有限次变换后，第1行与第1列中的元素均能被整除.再将变换后的矩阵的第1行（或第1列）的适当倍加到各行（或各列），则可化为（2）对作相同的初等行列变换，则变为且.若，作带余除法：且，重复上述步骤（1）与步骤（2），最终将矩阵化为且，经一系列初等行列变换，.根据数学归纳法，最终可得.定理3.1.2设级矩阵，其特征矩阵的相抵标准型为且，，首项系数都为1；并且，是矩阵的特征多项式.证明利用定理3.1.1，可以知道，因为，所以的相抵标准型的行列式的值为.因此每个，且首项系数都为1，则.定理得证.定义3.1.3矩阵的所有阶非零子式的首一最大公因式记为，称为的行列式因子.定理3.1.4相抵的矩阵的行列式因子相同.证明即证初等变换不改变矩阵各阶行列式因子.设则的阶子式是的阶子式的线性组合，所以的各个阶子式的首一最大公因式可以整除，从而的各个阶子式的首一最大公因式可以整除的各个阶子式的首一最大公因式.因为初等变换可逆，则同理可得.于是，又因为它们的首项系数都为1，所以.设则的任一阶子式要么等于的某个阶子式的倍，要么等于的某个阶子式.所以的阶子式的首一最大公因式与的阶子式的首一最大公因式相等.设则的任一阶子式要么等于的某个阶子式的倍，要么等于的某个阶子式.所以的阶子式的首一最大公因式与的阶子式的首一最大公因式相等.综上，定理得证.定义3.1.5级非零矩阵的相抵标准型里主对角线上的非零元称作的不变因子.定理3.1.6级非零矩阵的相抵标准型唯一.证明根据定理3.1.1与定理3.1.4，可知的行列式因子与其相抵标准型的行列式因子相同，为于是，的行列式因子决定着其相抵标准型里的不变因子，因此，初等变换也不改变的不变因子.定理得证.综上，我们可知，两个矩阵相抵，当且仅当它们的行列式因子组相同，或不变因子组相同.定义3.1.7设级矩阵，若有Jordan标准型，则把中所有Jordan块的最小多项式称作的初等因子.因为矩阵的Jordan标准型除Jordan块的排序外唯一，所以对有Jordan标准型的矩阵来说，其初等因子除排序外也唯一.定义3.1.8设级非零矩阵，将的不变因子中所有次数大于0的多项式分解为中两两互不相等的首项系数为1的不可约多项式的方幂的乘积，则称所有这些不可约多项式的方幂（相同的按其出现次数计算）为的初等因子.定义3.1.9设级矩阵，其特征矩阵的初等因子称为的初等因子.3.2域F上矩阵相似的充分必要条件定义3.2.1设两个级矩阵，若存在阶可逆矩阵，使，则称矩阵与相似.命题3.2.2设级矩阵，若都有Jordan标准型，则与相似，当且仅当与有相同的Jordan标准型（除Jordan块的排序外）.证明设分别为矩阵的Jordan标准型，则有.因此，，则和可以被看做域上维线性空间上的同一线性变换在不同基下的矩阵.所以，和都是线性变换的Jordan标准型，它们除了Jordan块的排序外都是一样的.于是，由定义3.1.6与命题3.2.2，可得：命题3.2.3设级矩阵，若都有Jordan标准型，则与相似，当且仅当与有相同的初等因子（除排序外）.因为复数域（或代数封闭域）上级矩阵都有Jordan标准型，所以由上述命题3.2.3，可得：推论3.2.4复数域（代数封闭域）上两个级矩阵相似的充要条件为它们有相同的初等因子（除排序外）.于是，在复数域（或代数封闭域）上所有级矩阵组成的集合中，初等因子是矩阵相似关系下的一组完全不变量.定理3.2.5相似矩阵的特征多项式相等，相似矩阵的特征值相同.证明设级矩阵，，则存在阶可逆矩阵，使.则定理3.2.6设两个级矩阵相似，当且仅当与相抵.证明必要性设级矩阵，，则存在阶可逆矩阵，使，则即可以由经过一系列初等变换得到，所以与相抵.充分性设与相抵，即可以由经过一系列初等变换得到，则存在可逆的矩阵与，使.则.假设存在级矩阵，与域上的级矩阵，使将其代入上述式子，整理上式，得.则：（1）当，式子右边的矩阵为；（2）当，式子右边的矩阵为；则左边方括号里的矩阵应为域上的级矩阵，记为.则整理可得，将代入，得，整理可得，因为是域上得矩阵，所以式子右边必须为零矩阵，则.于是，矩阵在域上可逆.则，于是，因此，综上，与相似.定理3.2.7设两个级矩阵相似，当且仅当它们有相同的不变因子.证明设级矩阵，，则与相抵，所以它们有相同的不变因子.注：的不变因子与其行列式因子互相唯一确定.于是，由两矩阵,相似可知，它们的不变因子相同，因此，它们的的行列式因子相同.又由初等因子得定义可知，矩阵的不变因子可以唯一确定其初等因子，则初等因子也相同.由此可得，特征多项式、矩阵的秩、特征值、最小多项式都是矩阵相似的完全不变量.在域上由所有级矩阵组成的集合里，不变因子、行列式因子以及初等因子都是相似关系下的几组完全不变量.参考文献[1]丘维声.高等代数（上册）[M].北京：清华大学出版社，2010.[2]陈影影.最小多项式的性质及应用[J].当代教育实践与教学研究，2020(05)：165-166.[3]安军.最小多项式的一个重要性质的多种证法及应用[J].高等数学研究，2020，23(01)：111-114.[4]冯福存.矩阵的最小多项式的求解及其应用[J].宁夏师范学院学报，2017，38(06)：28-32.[5]谭玉明.特征多项式与最小多项式相等的充要条件及其应用[J].滁州学院学报，2010，12(05)：1-3.[6]魏洪增.矩阵理论与方法[M].北京：电子工业出版社，2005．

[7]冯福存.矩阵的Jordan标准形及其应用[J].绵阳师范学院学报，2016，35(5)：11-15．[8]黄瑞芳.矩阵在各种变换下的不变量及其运用分析[J].科技资讯，2019，17(09)：211-212.[9]陈红.矩阵的不变量、标准形及其应用[J].湖南人文科技学院学报，2004(06)：115-117.[10]赵社安，聂锂.矩阵在各种变换下的不变量及其应用[J].新乡师范高等专科学校学报，2001(02)：68-69.[11]刘学鹏，张琨.矩阵在各种变换下的不变量及其应用[J].菏泽师专学报，1995(04)：37-39.[12]周金良，宋云飞.域上线性变换标准型的构造[J].南开大学学报(自然科学版)，2010，43(01)：108-111.[13]张贤科，许甫华.高等代数学（第二版）[M].北京：清华大学出版社，2004.[14]北京大学数学系代数与几何教研室前代数小组.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2013.[15]YuBo，ZhangJintao，XuYanyan．TheＲCHMethod

forComputingMinimalPolynomialsofPolynomialMatri-

ces

[J].J.Syst.Sci.Complex，2015，25：

190-209.[16]LipschutzS.Theoryan