2024-2025学年江西省宜春一中高一（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江西省宜春一中高一（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合M={x|x≤1或x≥3}，N={x|log2x≤1}，则集合M∩N=A.(−∞,1] B.(0,1] C.[1,2] D.(−∞,0]2.设θ∈R，则“θ=π6，是“sinθ=12A.必要不充分条件 B.充分不必要条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：30，31，37，m，42，60；乙组：28，n，33，44，48，70，若这两组数据的第30百分位数，第50百分位数都分别对应相等，则m+n=(

)A.60 B.65 C.70 D.714.若函数f(x)=(m−3)xa是幂函数，则函数g(x)=loga(x+m)+1(其中a>0且A.(−3,1) B.(2,1) C.(−3,0) D.(3,1)5.一个容器装有细沙acm3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，tmin后剩余的细沙量为y=aebt(cmA.8min B.12min C.16min D.18min6.已知定义域为R的函数f(x)=2a+acosx+3sinx2+cosx(a、b∈R)有最大值和最小值，且最大值与最小值的和为6，则a=A.1 B.2 C.3 D.47.已知0<a<b<3，则下列不等式一定正确的是(

)A.(a+1)b>1 B.loga(b+1)>1

8.一场数字游戏在两个非常聪明的学生甲、乙之间进行，老师在黑板上写出2，3，4，…，2024共2023个正整数，然后随意擦去一个数，接下来由乙、甲两人轮流擦去其中一个数(即乙先擦去其中一个数，然后甲再擦去一个数)，如此下去，若最后剩下的两个数互为质数(如2和3)，则判甲胜；否则(如2和4)，判乙胜，按照这种游戏规则，甲获胜的概率是(

)A.10112023 B.10122023 C.10132023二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法错误的是(

)A.命题p：∃x>2，x2−3x−4<0的否定为∀x≤2，x2−3x−4≥0

B.若x1，x2都是第一象限角，且x1>x2，则sinx1>sinx2

10.连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，用数字x表示第一次抛掷骰子的点数，数字y表示第二次抛掷骰子的点数，用(x,y)表示一次试验的结果.记事件A=“x+y=7”，事件B=“x≤3”，事件C=“xymod5≡1”，则(

)

[注：余数运算amodb≡c(b≠0)表示整数a除以整数b所得余数为c.]A.P(C)=736 B.A与C为对立事件 C.A与B相互独立 D.B与11.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意x∈R，有f(1−x)=−f(1+x)，当x∈[0,1]时，f(x)=x2+x−2，则A.f(x)是以4为周期的周期函数

B.点(−3,0)是函数f(x)的一个对称中心

C.f(2025)+f(2026)=−2

D.函数y=f(x)−log2(x+1)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在某次调查中，采用分层随机抽样的方法得到10个A类样本，30个B类样本.若A类样本的平均数为5.5，总体的平均数为4，则B类样本的平均数为______．13.以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形弧就是勒洛三角形.如图，已知中间正三角形的边长为2，则该勒洛三角形的面积与周长之比为______．14.设min{x,y}表示实数x，y中的最小值，若函数f(x)=min{2x2+4x+2,2−x}，函数g(x)=[f(x)]2四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

(1)化简：log49⋅log38+cos4π3+lg0.01+21+lo16.(本小题12分)

高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：y=[x](x∈R)，用[x]表示不超过x的最大整数，例如：[1.3]=1，[2]=2，[−1.2]=−2．

(1)已知x∈(2,3)，正数a，b满足a+b=[x]，求1a+1b+1的最小值；

(2)设方程[|x−12|]=0的解集为A，集合17.(本小题12分)

十三届全国人大四次会议表决通过了关于“十四五”规划和2035年远景目标纲要的决议，纲要指出：“加强原创性引领性科技攻关”.某企业集中科研骨干，攻克系列“卡脖子”技术，该企业使用新技术对某款芯片进行试生产，该款芯片的性能以某项指标值k(70≤k<100)为衡量标准，性能指标的等级划分如表：性能指标值k90≤k<10085≤k<9080≤k<8575≤k<8070≤k<75等级ABCDE为了解该款芯片的生产效益，该企业从试生产的产品中随机抽样并测量了每件产品的指标值，以组距为5画频率分布直方图.设“频率组距=Y”，当5n≤k<5n+5时(n为正整数)，Y满足：2n−25300,n≤17a⋅220−n,n>17．

(1)试确定n的所有取值，并求a；

(2)从样本性能指标值不小于85的产品中采用分层随机抽样的方法抽取5件产品，然后从这18.(本小题12分)

已知函数f(x)=ax+m−1ax(a>0,a≠1)是定义域为R的奇函数．

(1)求实数m的值；

(2)若f(1)<0，不等式f(x2+bx)+f(1−x)<0在x∈[2,3]上恒成立，求实数b的取值范围；

(3)若f(1)=19.(本小题12分)

已知函数f(x)的定义域为D，对于给定的正整数k，若存在[a,b]⊆D，使得函数f(x)满足：函数f(x)在[a,b]上是单调函数且f(x)的最小值为ka，最大值为kb，则称函数f(x)是“倍缩函数”，区间[a,b]是函数f(x)的“k倍值区间”．

(1)判断函数f(x)=x3是否是“倍缩函数”？(只需直接写出结果)

(2)证明：函数g(x)=lnx+3存在“2倍值区间”；

(3)设函数ℎ(x)=8x4x2+1，x∈[0,12]，若函数ℎ(x)参考答案1.B

2.B

3.D

4.A

5.B

6.C

7.A

8.B

9.ABD

10.AC

11.ABD

12.3.5

13.1−14.(2,515.解：(1)log49⋅log38+cos4π3+lg0.01+21+log23=log216.解：(1)由题意，正数a，b满足a+b=2，则a+(b+1)=3，

因此1a+1b+1=13[a+(b+1)](1a+1b+1)=13(2+b+1a+ab+1)≥43，

当且仅当b+1a=ab+1，即b+1=a=32时取等号，

所以当a=32,b=12时，1a+117.解：(1)根据题意，70≤k<100，按组距为5可分成6个区间，

分别是[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90)，[95,100)，

∵70≤k<100，由5n≤k<5(n+1)，n∈N∗，

得n的取值集合为{14,15,16,17,18,19}，

每个小区间对应的频率值为5Y=2n−2560 ,n∈{14,15,16,17}5a⋅220−n,n∈{18,19}，

∴n的取值集合为{14,15,16,17,18,19}，

∴3+5+7+960+5a×(22+2)=1，

解得a=150；

(2)等级A产品的频率为5×150×(22+2)=35，等级B产品的频率为2×17−2560=320，

∴等级A产品与等级B产品的频率炎比为35：320=4：1，

∴从样本性能指标值不小于85的产品中采用分层抽样的方法抽取5件产品，

等级A产品的件数为4，等级B产品的件数为1，

∴从样本性能指标值不小于85的产品中采用分层随机抽样的方法抽取5件产品，

A等级产品的件数为4，分别记为a1，a2，a3，a4，

B等级产品的件数为1，记为b．

从这5件产品中任意抽取2件产品，所有的可能情况有：

(a1,a2)，(a118.解：(1)因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)=0，

即1+(m−1)=0，解得m=0，

检验知，m=0时，f(x)=ax+−1ax=ax−a−x是R上的奇函数．

(2)由(1)知，f(x)=ax−1ax，其中a>0且a≠1；

因为f(1)<0，所以a−1a<0，

又因为a>0且a≠1，所以0<a<1，

所以函数y=ax与y=−1ax均为R上的单调减函数，

所以f(x)=ax−1ax是R上的单调减函数，

又f(x)是定义域为R的奇函数，

所以f(x2+bx)+f(1−x)<0，等价于f(x2+bx)<f(x−1)，

等价于x2+bx>x−1，等价于b>(−x−1x+1)max，x∈[2,3]，

令g(x)=−x−1x+1，则g(x)在区间[2,3]上单调递减，

所以g(x)的最大值为g(2)=−32，

所以b的取值范围是{b|b>−32}.

(3)由(1)知，f(x)=ax−1ax，其中a>0且a≠1，

因为f(1)=32，所以a−1a=32，解得a=2或a=−12(舍去)，19.解：(1)取k=1，a=−1，b=1，

∵f(x)=x3在[−1,1]上单调递增，

∴f(x)=x3在[−1,1]上的最小值为f(−1)，最大值为f(1)，且f(−1)=−1=1×(−1)，f(1)=1=1×1，

故函数f(x)=x3是“倍缩函数”．

(2)证明：取k=2，

∵函数g(x)=lnx+3在[a,b]上单调递增，

若函数g(x)=lnx+3存在“2倍值区间”，等价于存在0<a<b，使得lna+3=2alnb+3=2b成立，

等价于lnx+3=2