2025年人教版八年级上册数学寒假提升训练：轴对称证明题（含解析）

2024-2025学年人教版八年级上册数学寒假提升训练：轴对称证

明题

1.如图，已知/ABC=90。，。是直线48上的点，AD=BC.过点A作并截取

AF=BD,连接

D

(1)判断CDF的形状并证明；

(2)若BC=6,A尸=2,求4B的长.

2.已知VABC是边长为6的等边三角形，。是边AC上的动点(点。不与点A,C重合),

以80为边作等边三角形RDE(点E在A3的上方).

(1)如图①，当。为边AC的中点时，求证：DEA.BC；

2025年

(2)如图②，连接CE,求证：CE//AB；

(3/为边BC的中点，连接跖，当EF+EB取得最小值时，延长BE与直线AC相交于点G,

求线段CG的长(直接写出结果即可).

3.如图，点3,C,E在同一条直线上，VABC与VADE都是等腰直角三角形，NB4c和

—ZME都是直角，连接CO.

⑴求证：CD=BE.

⑵判断CO和BE之间有怎样的位置关系，并说明理由.

4.如图，在ASC中，30平分/ABC,C。平分/ACB,"N经过点0,与AB,AC相

交于点M,N,且MN〃BC.

A

⑵若BC=15,AAW的周长是25,求ABC的周长.

5.如图，在VA5C与VADE中，AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE,点。在8C上,

连接CE.

汪△&<?_£吗？请说明理由；

(2)若分1AC,垂足为点G,点/在线段CE上，且CF=2,FE=3,求BC的长.

6.如图，AD是VABC的角平分线，DE,DF分别是和ACD的高.

2025年

(1)求证：垂直平分跖；

⑵若AB=3,AC=2,VABC的面积是4,求DE.

7.如图，在VABC中，边的垂直平分线人与边BC相交于点。，边AC的垂直平分线4与

边BC相交于点E(。在E的左侧).若VADE的周长为8,ZZM£=60°.

(1)求2C的长；

(2)求/R4C的度数.

8.如图，点C是线段8。上一点(不与端点重合)，分别以边BC和边CD为一边，在线段8£)

的同侧作等边三角形，得到VA2C和CDE.连接AD,3E相交于点忆连接C/,GH.

A

(1)求证：VACD^BCE；

⑵求证：△CHG是等边三角形;

⑶求证：AF+CF^BF.

9.如图，VABC是等边三角形，过点A的直线/交BC于点。，设/C4r>=a(0°<c<30。),

线段AE与线段AC关于直线I对称，连接BE并延长交直线/于点G,连接EC交直线/于点尸.

⑴求ZAGB的度数；

⑵求证：AG=BG+2GF.

10.在VABC中，是中线.

2025年

⑵如图2,AE是，ACD的中线，若C4=CD,求证：AB=2AE.

11.如图，在VABC中，将ZVICB沿直线折叠，使点C与点8重合，连接BM.

(1)若/4=78。,/。=42。，求乙的f的度数;

(2)若43=6,AC=9,求_ABM的周长.

12.已知VABC是等边三角形，E、F分别是边BC、AC上的点，AE与跳'相交于点G,

且BE=CF.

⑴如图1,/AGP的度数为二

⑵如图2,若垂足为且。G=3,BF^ll,则BG的长度为一；

(3)如图3,以48为边在左侧作等边△ABD,连接DG,求证：DG^AG+BG.

13.在等边三角形ABC中，。为AC所在直线上的一个动点，E为BC延长线上一点,BD=DE.

(1)如图1,若点。在边AC上，求证：AD=CE.

(2)如图2,若点。在边AC的延长线上，(1)中的结论是否成立？请判断并说明理由.

14.如图，VABC与VADE是等边三角形.

2025年

(1)求证：Z\ABD^Z\ACE；

(2)延长CE交8。于点尸，判断N3FC的大小并证明.

15.如图，7ABC是一个锐角三角形,分别以AB、AC为边向外作等边三角形△ABD、AACE,

连接BE、CD交于点、F,连接AF.

B

⑴求证：AABE乌AADC；

⑵求/EbC的度数；

(3)求证：AF平分/DFE.

16.如图，在VABC中，点E是BC边上的一点，连接AE,BD垂直平分AE,垂足为R

交AC于点D连接DE.

(1)若VABC的周长为19,DEC的周长为7,求4B的长;

⑵若ZABC=30°,ZC=45°,

①求/E4c的度数；

②若DE=3,求4D的长.

17.在等腰VABC中，AB=AC,点。是AC上一动点，点E在5。的延长线上，且AB=AE,

AF平分/C4E交OE于点f，连接FC.

⑴如图1,求证：ZABE^ZACF；

(2)如图2,当NABC=60。时，在BE上取点使BM=EF,连接AAf.求证：△加射是

等边三角形.

18.已知等腰直角三角形ABC,其中NACB=9O。，AC=BC.在A8上方作射线AD交2C

于点。，使/54D=15。，E为射线AD上的一个动点，连接CE.

2025年

(D如图1,若AC=2,CE1AD,求线段CE的长.

(2)如图2,过点C作CFLCE,且CP=CE,连接即与射线AD交于点G.求证：AG±BF.

(3)在图2的基础上，连接点E在射线AQ上运动的过程中，当E尸所在直线与VABC的

边所在直线垂直时，请直接写出NAEC的度数.

2025年

《2024-2025学年人教版八年级上册数学寒假提升训练：轴对称证明题》参考答案

1.(1)CDF为等腰直角三角形.理由见解析

⑵4

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质.

(1)“SAS”证明ADFWBCD得到DF=CD,ZADF=/BCD,再利用

/5CD+NCOS=90。得到/CDF=90。，则可判断CDF为等腰直角三角形；

(2)由40斤卫方。。得到4£>=3。=6,AF=BD=2,然后计算AD—网>即可.

【详解】(1)解：CZ小为等腰直角三角形.理由如下：

•/AF±AB,

AZZMF=90°,

•//ABC=90。，

ZCBD=90°=ZZMF,

AF=BD

在GAT乃和BCD中,<NDAF=NCBD,

AD=BC

/.ADF&BCD6网,

：.DF=CD,ZADF=NBCD,

•//BCD+/CDB=90。,

：.ZADF+ZCDB=90°,即ZCDF=90°,

•••CD下为等腰直角三角形；

(2)解：ADFgBCD,

：.AD=BC=6,AF=BD=2,

：.AB=AD-BD=6-2=4.

2.(1)见解析

(2)见解析

(3)3

【分析】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，轴

对称的性质，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等

三角形解决问题.

(I)根据等边三角形的性质和三线合一的性质即可得结论；

2025年

(2)根据“SAS”证明ABD^BCE,得/A=/3CE=60。，再根据内错角相等，两直线平

行可得结论；

(3)根据CE/AB可知：点E在过点C与A8平行的射线CM上运动，如图③，作点8关

于直线CE的对称点8',连接EB'交直线CM于E,连接88'，此时EF+EB的值最小，根据

全等三角形的性质和判定即可解答.

【详解】(1)证明：VABC是等边三角形，。为边AC的中点，

:.ZABC=60°,

NABD=ZCBD=-ZABC=30°,

2

V3DE是等边三角形，

:./DBE=60°,BD=BE,

\?CBE60?30?30?,

:.NCBE=NCBD,

:.DE±BC；

(2)证明：VABC和V3DE是等边三角形，

:.AB=BC,BD=BE,ZABC=ZDBE=ZABC=60°,

:.ZABD=NCBE,

"①泾△BCE(SAS),

.•.ZA=N3CE=60。，

:.ZBCE=ZABC,

;.CE〃AB；

(3)解：尸为边BC的中点，AB=6,

:.CF=-AB=3,

2

由(2)知：CE^AB,

二点E在过点C与AB平行的射线CM上运动，

ZBCE=ZACB=60°,

ZECG=180°-60°-60°=60°=Z.BCE,

如图③，作点B关于直线CE的对称点E,连接FB'交直线CM于E,连接BB',

2025年

」.CE垂直平分班',

:.EF+EB=EF+EB'>FB',ZCEG=ZCEF,

CE=CE,ZECG=ZECF=60°,

：.ACEG^ACEF(ASA),

：.CG=CF=3.

即线段CG的长为3.

3.(1)见解析

(2)CD工BE,理由见解析

【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，垂直的定义，掌握全

等三角形的判定及性质是解题的关键.

(1)根据等腰直角三角形的性质得到AD=AEAB=AC,ZBAC=ZEAD=90°,继而得

到=通过“SAS”证明ABEgACD,由全等三角形的性质即可得证;

(2)由ABE^ACD,得到NABE=ZACD,从而

/BCD=ZBCA+ZACD=ZBCA+ZABE=90°,因此CD_L3E.

【详解】(1)证明：和VADE都是等腰直角三角形,

/.AD=AE,AB=AC,ABAC=ZEAD=90°,

：.ABAC+ZCAE=ZEAD+ZCAE,

...在.ABE和ACD中

2025年

AB=AC

<ZBAE=ZCAD,

AE=AD

：.AABE^AACD(SAS),

:.BE=CD,

(2)解：CD^BE,理由如下：

•・•.ABEmAACD,

：.ZABE=ZACD,

：.ZBCD=ABCA+AACD=ZBCA-^-ZABE=180°-ABAC=90°,

・•・CD±BE.

4.(1)证明见解析

(2)40

【分析】(1)由角平分线的有关计算可得=由两直线平行内错角相等可得

/MOB=/OBC,进而可得NMBO=NMO5,然后由等角对等边即可得出结论；

(2)由(1)可知=,同理ON=CV,于是可推出AM+Q0+ON+4V=A5+AC,

根据，AW的周长是25可得AB+AC=25,据此即可求出ABC的周长.

【详解】(1)证明：•・•80平分/ABC,

:"MBO=/OBC,

u：MN//BC,

:.ZMOB=AOBC,

:.ZMBO=ZMOB,

:.BM=MO；

(2)解：由(1)可知：OM=BM,

同理，ON=CN,

:.AM+OM+ON+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC,

・・・，AAW的周长是25,BC=15f

:.AB+AC=25,

二•ABC的周长=AB+AC+BC=25+15=40.

【点睛】本题主要考查了角平分线的有关计算，两直线平行内错角相等，根据等角对等边证

明边相等，线段的和与差等知识点，根据角平分线的有关计算及两直线平行内错角相等得出

2025年

ZMBO=ZMOB是解题的关键.

5.(l)AABD^AACE,理由见解析

(2)5。=7

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解

题的关键.

(1)根据题意证明〃4D=ZE4C,即可根据SAS证明三角形全等；

(2)根据三角形全等得到=NACE,证明，CGD空CG。根据

BC=BD+CD=CE+CF=CF+EF+CF,即可求出答案.

【详解】(1)解：△ABD也△ACE,

理由：ZBAC=ZDAEf

ZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC,

ZBAD=ZEACf

在△ABD和AACE中,

AB=AC

<ZBAD=ZEAC,

AD=AE

..ABO总ACE(SAS)；

(2)解：△ABD2△ACE,

ZB=ZACE,

AB=AC,

NB=ZACB,

AZACB=ZACEf

在△CGD和△CG/中，

ZACB=NACE

<CG=CG,

/CGD=/CGF=90。

.・CGD绦,CGF,

CF=CD,

由(1)可知，.AftD=ACE(SAS),

BD=CE，

2025年

•.BC=BD+CD=CE+CF=CF+EF+CF=7.

6.（1）证明见解析；

（2）|.

【分析】（1）由角平分线的性质得=再由Rt△皿（丝RtA4fD（HL）,得AE=AF,

从而证明结论；

（2）根据三角形的面积SABC=SABD+sACD，代入计算即可；

本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识,

熟练掌握角平分线的性质是解题的关键.

【详解】（1）证明：：AD是VABC的角平分线，DE,DR分别是△ABD和ACD的高,

DE=DF,

在RtAAED与RtAAFZ）中，

[AD=AD

\DE^DF'

：.RtAAED^RtAAFD(HL),

AE=AF,

,:DE=DF,

：.AO垂直平分EF；

(2)解：,;DE=DF,

••由SABC=SABD+SACD'

则|ABED+1ACDF=^DE(AB+AC)=4,

*.*AB=3,AC=2,

A|DEX(3+2)=4,

DE=|，

7.(D8

（2）120°

【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的内角和定理等知识

点，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键.

2025年

(1)由线段垂直平分线的性质可得ZM=Qfi,EA=EC,再结合位＞+。£；+隹=8即可得

解；

(2)由(1)可得94=。口，EA=EC,由等边对等角可得NB=NS4D,NC=NCAE,由

三角形的内角和定理可得ZDAE+ZB+ZC+ZBAD+ZCAE=180°,进而可得

ZBAD+ZCAE=60°,然后根据Z.BAC=NDAE+ZBAD+ZCAE即可求出ABAC的度数.

【详解】(1)解：1•在VA3C中，边A3的垂直平分线4与边2C相交于点。，边AC的垂直

平分线4与边BC相交于点E,

VADE的周长为8,

DA=DB,EA=EC,AD+DE+AE=8,

:.BD+DE+EC=8,

3c=8；

(2)解:由(1)可得：DA=DB,EA=EC,

:.ZB=/BAD,/C=/CAE,

ZDAE+ZB+ZC+ZBAD+ZCAE=180°,/Q4E=60°,

ABAC=ZDAE+ZBAD+ZCAE=600+60°=120°.

8.(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质等知识，通过作辅

助线，构造全等三角形和等边三角形是解题关键.

(1)先根据等边三角形的性质可得AC=3C,CD=CE,ZACB=/ECD=60。，从而可得

NBCE=ZACD,再利用SAS定理即可得证；

(2)先求出/ACH=/BCG=60。，再根据全等三角形的性质可得NC4H=NCBG,然后证

出.ACHZ/BCG,根据全等三角形的性质可得CH=CG,最后根据等边三角形的判定即可

得证；

(3)在即上取一点使得=连接CM,先证出.3CMWACF,根据全等三

角形的性质可得C0=CF,NBCM=ZACF,从而可得/MCF=60。，再证出△MB是等

边三角形，根据等边三角形的性质可得=由此即可得证.

2025年

【详解】(1)证明：•••VA5C和都是等边三角形，

/.AC=BC,CD=CE,ZACB=ZECD=60°,

，ZACB+ZACE=NECD+ZACE,即NBCE=ZACD,

在.ACD和BCE1中，

AC=BC

<ZACD=ZBCE,

CD=CE

.ACD^BCE(SAS).

(2)证明：VZACB=ZECD=60°,

ZACH=180°-ZACB-ZECD=60°,

ZACH=NBCG=6O。,

由(1)已证：VACD^VBCE,

ZCAH=NCBG,

在.ACH和3CG中，

ZACH=ZBCG

<AC=BC,

ZCAH=NCBG

-ACH乌BCG(ASA),

CH=CG,

.,.△CHG是等腰三角形，

又：ZACH=60°,

.,.△CHG是等边三角形.

(3)证明：如图，在防上取一点使得连接CM,

在45cM和△AC5中,

2025年

BC=AC

<ZCBM=ZCAF,

BM=AF

：.BCM与ACF(SAS),

:.CM=CF,ZBCM=ZACF,

ZMCF=ZACF+ZACM=ZBCM+ZACM=ZACB=60。，

△MCF是等边三角形，

CF=MF,

：.AF+CF=BM+MF=BF,

即A/+Cr=B/.

9.(1)60°

(2)见解析

【分析】(1)根据等边三角形性质得AB=AC,ZABC^ZBAC^60°,再根据轴对称的性

质得NC4D=NE4O=c,AC=AE,贝|/BAE=60。-a,AB=AE,进而得

ZAEB=ZABE=6Qo+a,然后再根据三角形的外角性质可得出/AG3的度数；

(2)在线段G4上截取GQ=GE,连接QE,先证明，GEQ是等边三角形得QE=GE=GQ,

ZEQG=60°,由此可证明..3GC/AQE(AAS),则3G=AQ,然后根据等边三角形的性质

得GF=FQ,由此即可得出结论.

【详解】(1)解：,线段AE与线段AC关于直线/对称，ZCAD=a,

:.AE^AC,AG垂直平分EC.

:.ZCAD=ZEAD=af

...ABC为等边三角形，

:.AB=AC,ZABC=ZBAC=60。，

.'.AB=AE,ZBAE=ABAC-ZEAC=60°-la,

ZBAG=ZBAC-ZCAF=6Q°-a,

NABE=ZAEB=1(180°-NBAE)=60。+a,

:.ZAGB=ZAEB-ZEAD=60°+a-a=60°；

(2)证明：连接GC,在线段G4上截取GQ=GE,连接QE,

2025年

ZAGB=60°,

・•.△GEQ是等边三角形，

:.QE=GE=GQ,NEQG=60。，

:.ZAQE=1800-ZEQG=nO°,

线段AE与线段AC关于直线/对称，

:.AG±EC,且AG平分EC,

;.GE=GC,ZAGC=ZAGE=60°,

：.QE=GC,ZBGC=ZAGC+ZAGE=120°,

ZAQE=NBGC,

又：ZCBG=ZABE-ZABC=a,

:"CBG=NEAQ,在,3GC与一AQE中，

ZCBG=ZEAQ

<NBGC=ZAQE,

GC=QE

BGCQAQE(AAS),

BG=AQ,

又・，QE=GE,AG1EC,

：.GF=FQ,

即QG=2GF,

:.AG=AQ+QG=BG+2GF.

【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，轴对称的性质，熟

练掌握全等三角形的判定与性质，理解等边三角形的性质，轴对称的性质，正确地作出辅助

线构造等边三角形和全等三角形是解决问题的关键.

2025年

313

10.(1)-<AD<一

22

(2)见详解

【分析】(1)延长AD到点E使FD=">,连接FB,则AF=2AD,\^ZFDB=ZADC,

BD=CD,即可根据“SAS”证明&FOB空ADC,则FB=AC=5,而A5=8,由

AB-FB<AF<AB+FB,然后可求解；

(2)延长AE到点”，使=,连接加>,则4H=2AE，而C4=CD,所以。3=CD=C4,

ZCDA=ZCAD,可证明VHED丝VAEC,得DH=CA=DB,ZHDE=ZC,再证明

_ADH工ADB,进而问题可求解.

【详解】(1)解：如图1,延长也到点凡使FD=AD,连接EB,贝i」AF=2AD,

图1

・・・4。是VABC的中线，AB=8,AC=5,

：.BD=CD,

在△FD5和八位)。中，

BD=CD

</FDB=NADC,

FD=AD

；・_FDBgADC(SAS),

：.FB=AC=5,

VAB-FB<AF<AB+FB,SP3<AF<13,

3<2AD<13,

(2)证明：如图2,延长A£到点H,使HE=AE,连接"D,则AH=2AE,

2025年

图2

：AD是VABC的中线，AE是，ACD的中线，CA=CD,

：.DB=CD=CA,DE=CE,ACDA=ACAD,

'：ZAEC=NDEH,

：.VHEDAAEC(SAS),

：.DH=CA=DB,ZHDE=ZC,

：.ZADH=ZCDA+ZHDC=ZCAD+ZC,

'：ZADB=ZCAD+ZC,

/.ZADH=ZADB,

•/AD^AD,

：.VADH^VADB(SAS),

AH=AB,

：.AB^2AE.

【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系等

知识，正确地作出辅助线是解题的关键.

11.⑴/ASM=18°；

(2)ABM的周长=15.

【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形的内角和定理等知识点，

⑴先由三角形的内角和定理求得NABC,再根据折叠的性质，得到NMBN=/C=42。,从而

即可求解；

(2)根据折叠的性质，得到MB=MC,进而计算周长即可；

熟练掌握折叠的性质和三角形的内角和定理是解题的关键.

【详解】(1)解:.^A+^C+^ABC=180°,=78°,ZC=42°,

ZABC=180°—78°-42°=60°,

由折叠可知，NMBN=NC=42°,

2025年

_■ZABC=NABM+NMBN,

ZABM=ZABC-/MBN=60°-42°=18°；

(2)解：由折叠可知，MB=MC,

ABAf的周长=AB+AM+=AB+AM+CM=AB+AC=6+9=15.

12.(1)60°

(2)5

(3)证明过程见详解

【分析】(1)运用SAS证明△BCF四△ABE,再由/BAG=/FBE即可求出NAG/的度数;

(2)求出"FG=30。，根据直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半可得

GF=2DG=6,由此即可求出3G的长度；

(3)延长GE至使GH=GB,连接初，可得V3GH为等边三角形，再证明出

DBG^ABH(SAS),根据全等三角形的性质得到DG=AH,从而证得OG=AG+BG.

【详解】(1)证明：：VABC是等边三角形，

:.AB=BC,ZABC=ZC=60°,

在V5B和石中，

'AB=BC

<NABC=/C,

BE=CF

BCF学ABEKAS),

:.ZBAG=Z.FBE,

ZAGF=ZBAG+ZABG=NFBE+ZABG=ZABC=60°；

故答案为：60°；

(2)解：由(1)得，NAGb=60。，

DF±AE,且OG=3,BF=ll,

.\ZDFG=30°,

:.GF=2DG=6,

,\BG=BF-GF=11-6=5；

故答案为：5；

(3)解：延长G£至〃，使GH=GB,连接次7,如图：

2025年

H

ZBGE=ZAGF=60°,

BGH为等边三角形,

:.BG=BH=GH,ZGBH=60°,

「ABD为等边三角形，

:.AB=BD,ZABD=60°,

ZABH=Z.GBH+ZABG,ZDBG=ZABD+ZABG,

:.ZAB*/DBG,

在△DBG和一A5”中，

DB=AB

<NABH=ZDBG,

BG=BH

DBG^ABH(SAS),

:.DG=AH,

QAH=AG+GH,

:.DG=AG+BG.

【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定

和性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等

三角形解决问题.

13.(1)详见解析

(2)成立，理由见解析

【分析】(1)过点。作。尸〃3C,交48于点P,根据等边三角形的判定也是等边

三角形，然后利用AAS即可证出BPD四。。CE,根据全等三角形的性质可得PD=CE,从

而证出结论；

(2)过点。作。P〃BC,交A3的延长线于点尸，根据等边三角形的判定也是等边

2025年

三角形，然后利用AAS即可证出一踮。gMCE,根据全等三角形的性质可得PD=CE,从

而证出结论.

【详解】(1)证明：如图，过点。作交回于点尸.

・・・VABC是等边三角形，DPBC,

：.ZAPD=ZABC=ZADP=ZACB=60°,

・・・也是等边三角形，

.・・AP=PD=AD.

;DB=DE,

：./DBC=NDEC.

*：DP//BC,

：.ZPDB=ZCBD,

：.ZPDB=ZDEC.

XVABPD=ZA+ZADP=120°,ZDCE=ZA+AABC=120°,

:.ZBPD=ZDCE.

在△5尸。和△DCE中，

'/PDB=/DEC

<ZBPD=ZDCE

DB=DE

：.,BPD均DCE,

：.PD=CE,

：.AD=CE；

(2)解：AD=CE成立,理由如下，

如图，过点。作。P〃3C,交A5的延长线于点尸.

2025年

・・・VABC是等边三角形，DPBC,

：.ZAPD=ZABC=ZADP=ZACB=6Q°f

・•・也是等边三角形，

:.AP=PD=AD.

•:DB=DE,

：.NDBC=/DEC.

,：DP//BC,

：.ZPDB=ZCBD,

：.ZPDB=ZDEC,

在Z\BPD和△_DCE中，

ZPDB=ZDEC

<ZP=ZDCE=ZACB=60°

DB=DE

・；BPD金DCE,

：.PD=CE,

：.AD=CE.

【点睛】此题考查的是等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和平行线的性质，

掌握等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和平行线的性质是解决此题的关键.

14.⑴见解析

(2)120°,见解析

【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，证明出全等是解题关键.

(1)根据等边三角形的性质，利用“SAS”即可证明全等；

(2)由全等的性质得到/4/汨=/4石。，进而得至IJNPFD=ND4E=6O。，即可求出尸C

的大小.

【详解】(1)证明：ABC与VAPE是等边三角形，

:.AB=AC,AD=AE,ABAC=ZDAE=6Q0,

2025年

:.ZBAC+ZCAD^ZDAE+ZCAD,即NB4D=/C4£,

在△ABD和ZXACE中，

AB=AC

<ABAD=NCAE,

AD=AE

ABD咨ACE(SAS)；

(2)解：ABD^.：ACE,

:.ZADB=ZAEC,

ZDPF=ZAPE,

•/ZPFD=180°-ZADB-ZDPF,ZDAE=1800-ZAEC-ZAPE,

ZPFD=ZDAE=60°,

ZBFC=180°-NPFD=120°.

15.(1)见解析;

(2)60°；

(3)见解析.

【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、角平分性的判定

知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.

(1)由△ABD、AACE是等边三角形，易证=继而可证AABE名△ADC；

(2)由AABE注AADC,得到ZAEB=ZACD,进一步得到ZCEF+ZECF=ZAEC+ZACE,

由三角形内角和得到答案；

(3)作AH_L£)C于点ANLBE干■煎N,证明■=由〃/_LL>C,AN±BE,即

可得到结论.

【详解】(1)证明：ABD、"CE是等边三角形，

DA=AB,AC=AE,4DAB=ZEAC=60°,

：.ZDAC=ZBAE,

ABE名ADC(SAS)；

(2)解：AABE^AADC,

:.ZAEB=ZACD,

：.ZCEF+ZECF=ZAEC+ZACE=120°,

2025年

•.ZEFC=60°；

(3)证明：如图，作AHLOC于点"，ANLBE于点、N,

AABE^AADC,

:.DC=BE,ABE和△ADC的面积相等，

\AH=AN,

AHLDC,ANLBE,

:.AF平分NDFE.

16.(1)AB=6

(2)①N£4C=30。；②AD=6

【分析】(1)先证明=AD=DE,结合VABC的周长为19,DEC的周长为7,

可得AB+3E=19-7=12,从而可得答案；

(2)①先求解N54C=18O。-30。-45。=105。，然后利用等边对等角和三角形内角和定理得

到ZBAE=ZBE4=J(180O-NABC)=75°,进而求解即可，②利用由30度角的直角三角形

的特征进行计算即可.

【详解】(1)解：是线段AE的垂直平分线，

:.AB=BE,AD=DE,

：VABC的周长为19,DEC的周长为7,

AB+BE+CE+CD+AD=19,CD+EC+DE=CD+CE+=1,

：.AB+BE=19—7=12,

：.AB=BE=6；

(2)解：①：ZABC=30°,ZC=45°,

ABAC=180°-30°-45°=105°,

•/AB=BE,

NBAE=NBEA=；(180°-NABC)=75。

：.ZE4c=ABAC-ZBAE=30°；

2025年

②：/E4c=30。，NAFD是直角，

AD=2DF=6.

【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，

三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握其性质并能灵活运用是解决此题的关键.

17.(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性

质，解题的关键是掌握相关知识.

(1)根据角平分线的定义可得NE4F=NC4F,根据题意可推出AE=AC,证明

△ACF^/XAEF,得到NACF=