2025年全国普通高等学校招生模拟考试数学卷2（云南、安徽、山西、吉林、黑龙江五省）含答案与解析

绝密★启用前

2025年全国普通高等学校招生模拟考试卷（二）

数学

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.已知集合A={1,3,/},8={l,a+2},=则实数。的值为（）

A.{2}B.{-1,2}C.U,2}D,{0,2}

2.已知复数z满足z=^（aeR）,若|z|=J而，则复数2为（）.

A.3-iB.-l-3i

C.3-i或-l-3iD.3-i或3+i

3.的展开式中14的系数为（）

A.50B.100C.150D.300

4.甲、乙、丙、丁、戊共5名同学参加劳动技术比赛，决出第一名到第五名的名次.甲和乙去询问成绩，

回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军，”对乙说：“你不是最差的.”从这两个回答分析，5人的

名次排列可能有（）不同的排列

A.36B.54C.60D.72

5.2021年5月15日，中国首次火星探测任务天问一号探测器在火星成功着陆.截至目前，祝融号火星车在

火星上留下1900多米的“中国脚印”，期待在2050年实现载人登陆火星.已知所有行星绕太阳运动的轨道都

是椭圆，且所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的二次方的比值都相等.若火星与地球的公转周

期之比约为9:5,则地球运行轨道的半长轴与火星运行轨道的半长轴的比值约为（）

6.如图，在已知直四棱柱中，四边形ABCD为平行四边形，尸分别是

的中点，以下说法错误的是（）

A.若BC=1,朋=血，则0PABC1

B.MN//CD

C.ACV〃平面GDE

D.若AS=3C,则平面平面

7.若a=log45,Z2=^log26,c=g］，则（）

A.b>a>cB.a>b>cC.c>b>aD.c>a>b

8.设点A（l,0）,3（4,0）,圆C|：1+白『+（y_3『=4,点尸满足2|网=|尸用，设点P的轨迹为C。，G与

C?交于点N,。为直线。G上一点（。为坐标原点），则旃.诙=（）

A.4B.2石C.2D.73

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部

选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知向量M=（l,2）,B=（l,-3）,c=（2,r）,则下列说法正确的是（）

A.若B//2,则方=-6

B.若M_L（2+/l5）,贝

C.若B益+4=|34一目，则（22+35）%=15

D.若向量&与工的夹角为锐角，则实数，的取值范围是（-1,内）

22

10.已知0为坐标原点，椭圆C：上+匕=1的左、右焦点分别为小F2,椭圆的上顶点和右顶点分别为4

169

B,点、P、。都在C上，且所=回，则下列说法正确的是（）

A.周长的最小值为14

B.四边形尸与可能是矩形

9

C.直线网，Q5的斜率之积为定值-

71T6

D.△尸。工的面积最大值为3«

11.已知函数力⑺=sin"x+cos"x,（〃eN*）,则下列说法正确的是（）

TT7T

A.工（x）在区间上单调递增

B.力（力的最小正周期为T

C.力（X）的值域为-孝，孝）

D.%（%）的图象可以由函数g（x）="in4x的图象，先向左平移三个单位，再向上平移;个单位得到

12.如图，已知四棱锥P-ABC。的外接球的直径为4,四边形A8CD为正方形，平面ABCD人平面APS

G为棱PC的中点，PA±PB,BP=46,则（）

C.AC与平面P2C所成角的正弦值为受

4

D.四棱锥P-ABCD的体积为4c

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若“3xwR,无2—6依+3。＜0”为假命题，则实数。的取值范围为.

14.已知在等比数列也｝中，的、%分别是函数y=x、6尤2+6x-l的两个驻点，则氏=.

22

15.已知椭圆C:鼻+当=1（。＞人＞0）的左、右焦点分别为月（一。，0）,鸟（G。），点加（5,%）小＞。）是C上

ab

一点，点A是直线咽与y轴的交点，的内切圆与加耳相切于点N,若|MN|=及彷闾，则椭圆C的

离心率e=.

,、ln（x+l）,x＞0,

16.已知曲线,八过曲线上两点A,8分别作曲线的切线交于点P,API.BP.记

一11

A,8两点的横坐标分别为再,马,则一+—=.

四、解答题：共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2

17.设数列｛4｝的前”项和为S,，Sn=n+n,｛〃｝是等比数列，打=竽.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)求数列的前n项和Tn.

18.在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且easin3=2匕cos2gte.

2

(1)求角A的大小；

⑵若BC边上的中线=1,求AABC面积的最大值.

19.如图，四棱锥S-ABCD中，侧面SCO_L底面A8CD,ADIIBC,AD^BC,SD=SC=y/2AD，DC=2AD,

E,尸分别是SC和AB的中点，ZADC^60°.

(2)点P在棱SA上，当尸产与底面ABCD所成角为30。时，求二面角C-P尸-A的正弦值.

20.为进一步巩固提升全国文明城市，加速推行垃圾分类制度，铜川市推出了两套方案，并分别在A、3两

个大型居民小区内试行.方案一：进行广泛的宣传活动，向小区居民和社会各界宣传垃圾分类的意义，讲解

分类垃圾桶的使用方式，垃圾投放时间等，定期召开垃圾分类会议和知识宣传教育活动；方案二：在小区

内设立智能化分类垃圾桶，智能垃圾桶操作简单，居民可以通过手机进行自动登录、称重、积分等一系列

操作.并建立激励机制，比如，垃圾分类换积分兑换礼品等，以激发带动居民参与垃圾分类的热情.经过一段

时间试行之后，在这两个小区内各随机抽取了100名居民进行问卷调查，记录他们对试行方案的满意度得

分(满分100分)，将数据分成6组：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100),并整理

(1)请通过频率分布直方图分别估计两种方案满意度的平均得分，判断哪种方案的垃圾分类推广措施更受居

民欢迎（同一组中的数据用该组中间的中点值作代表）；

（2）以样本频率估计概率，若满意度得分不低于70分认为居民赞成推行此方案，低于70分认为居民不赞成

推行此方案，规定小区居民赞成率不低于70%才可在该小区继续推行该方案，判断两小区哪个小区可继续

推行方案？

（3）根据（2）中结果，从可继续推行方案的小区所抽取100人中再按居民态度是否赞成分层抽取一8人样本

作为代表团，从代表团中选取两人做汇总发言，求至少有一个不赞成的居民被选到发言的概率.

21.已知抛物线€?:y=2加（°>0）的焦点为尸，A3分别为C上两个不同的动点，0为坐标原点，当ACMB

为等边三角形时，|A3|=8月.

（1）求C的标准方程；

⑵抛物线C在第一象限的部分是否存在点尸，使得点尸满足丽+丽=4而，且点P到直线的距离为2?

若存在，求出点P的坐标及直线A8的方程；若不存在，请说明理由.

22.已知函数〃元）=6，-£龙2+2依，aeR,其中e为自然对数的底数.

⑴若〃无）有两个极值点，求。的取值范围；

（2）记/'（x）有两个极值点为毛、巧，试证明：石马<2（西+々）-3.

参考答案

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.已知集合4={1,3,叫，8={l,a+2},AuB=A,则实数。的值为（）

A.{2}B.{-1,2}C.U,2}D.{0,2}

【答案】A

【分析】由题设知2=A,讨论a+2=3、4+2=/求。值，结合集合的性质确定。值即可.

【详解】由AuB=A知：BA,

当。+2=3,即a=l,则/=1,与集合中元素互异性有矛盾，不符合；

当”+2=1，即a=-l或。=2,

若a=-1,则/=i,与集合中元素互异性有矛盾，不符合；

若。=2,则4={1,3,4},8={1,4},满足要求.

综上，a-2.

故选：A

2.已知复数z满足z=£4（a£R）,若忖=厢，则复数2为（）.

A.3-iB.-l-3i

C.3—i或-l—3iD.3—i或3+i

【答案】C

【分析】根据复数的模的计算求得。的值，再根据复数的除法运算即可求得答案.

【详解】由■有|。+*|=|4+24，即Jk+l.回=2后,

解得〃=±1,

当。=1时，z=^^-=^4+2^1-1^=（2+i）（l-i）=3-i,

当a=-l时，z=j^-=^4+21^~1"1^=（2+i）（-l-i）=-l-3i.

-1+i2v7

故选：C

3.1+'）2a+b）6的展开式中成4的系数为（）

A.50B.100C.150D.300

【答案】D

【分析】写出展开式通项，令。的指数为3,求出参数的值，代入通项即可得解.

【详解】（2〃+36的展开式通项为％=C：.（2a）i=晨.26^•齐加（々=0,1,2,…,6）,

在aC"■/卜/一2=Ck.264°7T.化=0」,2,…,6）中，令7—左=3可得％=4,

h2

在幺C>26-ra6-rbr=C；-26-ra5-rbr+2（r=0,1,2,…,6）中，令5-r=3可得r=2,

因此，展开式中//的系数为C：-于+或"=15x4+15x16=300.

故选：D.

4.甲、乙、丙、丁、戊共5名同学参加劳动技术比赛，决出第一名到第五名的名次.甲和乙去询问成绩,

回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军，”对乙说：“你不是最差的.”从这两个回答分析，5人的

名次排列可能有（）不同的排列

A.36B.54C.60D.72

【答案】B

【分析】利用特殊元素特殊位置优先考虑，结合分步乘法计数原理即可求解.

【详解】分三步完成：冠军有A；种可能，乙的名次有A；种可能，余下3人有A；种可能，所以5人的名次排

列有A；A；A；=3x3x3x2x1=54种不同情况.

故选：B.

5.2021年5月15日，中国首次火星探测任务天问一号探测器在火星成功着陆.截至目前，祝融号火星车在

火星上留下1900多米的“中国脚印”，期待在2050年实现载人登陆火星.已知所有行星绕太阳运动的轨道都

是椭圆，且所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的二次方的比值都相等.若火星与地球的公转周

期之比约为9:5,则地球运行轨道的半长轴与火星运行轨道的半长轴的比值约为（）

2581,5,9

A.3,B.3,C.3D.3

8?25

【答案】A

【分析】根据已知先设周期再应用分数指数累与根式的互化得出比值.

【详解】设地球的公转周期为5T,则火星的公转周期为9T.

设地球、火星运行轨道的半长轴分别为加，〃,

33

则-_=_^,

25T之8IT2

于是竺=（25

nY81

故选:A.

6.如图，在已知直四棱柱ABC。-A4G2中，四边形为平行四边形，瓦尸分别是

BC,明,4。,的的中点，以下说法错误的是（）

A.若BC=1,A4,=72,则DP人BCX

B.MN//CD

C.ACV〃平面GDE

D.若AB=BC,则平面44CC，平面

【答案】B

【分析】利用正切值相等可说明NAR4=ZAPD,由此可得AR±DP,结合平行关系可知A正确；由

CD!IMP,=M可知B错误；通过证明四边形为平行四边形可得由线面平行

判定可知C正确；根据BDVAA^,由线面垂直和面面垂直的判定可知D正确.

【详解】对于A,连接AR,

47)

+/人n.MMAVtanZAPD=——

tan=—^=V2,

A[〃]nCAP

jr7T

.-.ZAD^=ZAPD,XZADJA+ZOJAA,=-,:.ZAPD+Z^AA,=-,gpAD1±DP；

VQDJ/CD//AB,CR=CD=AB,:.四边形ABCR为平行四边形，；.BCJ/AD,,

.'.DPIBC,,A正确；

对于B,连接MP,CM,

,.,”/分别为8月，44中点，；.加尸〃45，又ABHCD,:.MPUCD,

♦.♦MVcMP=M,.•.肱V与8不平行，B错误；

对于C,连接EM,BC，

•；ABJ/CD,44=CD,四边形4瓦。为平行四边形，\DHBfi,AD=BC，

QN为AD中点，:.ND=gAD,ND//EM,ND=EM,

四边形DEMN为平行四边形，,DE//MN,

又DEu平面GOE,MNU平面C「E,〃平面CQE,C正确;

对于D,连接48,

■.■AB=BC,四边形ABCD为平行四边形，，四边形ABCD为菱形，，3D，AC；

e_L平面ABC。，BDu平面ABCD,A±BD,

又441nAe=A,4VAeu平面441GC,.•.BD_L平面441GC,

Q3Du平面AB。，平面AAGC_L平面AB。，D正确.

故选：B.

7.若a=log45,Z?=^log26,c=QJ，则()

A.b>a>cB.a>b>cC.c>b>aD.c>a>b

【答案】A

【分析】运用对数的运算法则和指数函数的性质求解.

【详解】a=lo§45=r^7=^loSi5'b=^lo§2^-'-b>a>l,

log2422

对于指数函数y=[g),当x>0时，0<y<l,,]£|<1,

b>a>c；

故选：A.

8.设点A(l,0),3(4,0),圆G：(X+73)2+(J-3)2=4,点尸满足2|以卜|尸用，设点尸的轨迹为C?,G与

C?交于点M,N,。为直线。G上一点(。为坐标原点)，则砺.诙=()

A.4B.26C.2D.73

【答案】C

【分析】求出P点的轨迹方程（得出轨迹是圆），两圆方程相减得直线MN方程，由几何法求得弦相交的

长，根据平面向量数量积的运算律与定义计算：MN-MQ=MN-（MO+OQ）=MN-MO=^\MN^.

【详解】设P（x,y）,由2|%=忸回，得241）2+/=屏_4『+9,

整理得：x2+y2=4.即C2：%2+/=4；又圆G：（尤+6『+（y-3）2=4,则OQL必V,

MNMQ=MN\Md+OQ^=MN-MO,

联立G与G，得MN：3y+6=0.

•••0点到直线跖V的距离”=强§=若.

则I脑V|=2doM2-d。=2J4-3=2,

丽.诙=丽•（诙+珂=丽•屈=对2=1X22=2.

故选：C.

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部

选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分。

9.已知向量4=（1,2）,B=（l,-3）,c=（2,t）,则下列说法正确的是（）

A.若加"，贝！k=-6

B.若五_L（万+25）,贝!]4=一1

C.若|3讶+@=|3口-目，则（2方+3方）2=15

D.若向量口与"的夹角为锐角，则实数f的取值范围是（T,口）

【答案】AC

【分析】根据向量平行的坐标表示列方程求f,判断A,根据向量垂直的向量表示结合数量积的坐标运算求

2,判断B,由桓+相3”@两边平方可得L,结合数量积坐标运算求f,再求（2,+35）2判断C,由

条件可得\">0,且向量力与之不共线，列不等式「的取值范围，判断D.

【详解】对于A,因为5=（1,-3）,c=（2,/）,所以lxf=2x（—3）,所以t=-6,A正确；

对于B,因为E_L（6+XB）,所以无（a+aB）=o,

所以益•方+彳翦5=0,又商=（1，2）,jj-（1,-3）,

所以5+X（l*l—2x3）=0,所以4=1,B错误；

对于C,由|34+c|=|3万一c|可得，（3N+c）=（3Z-c）,

所以9/+67"+/=9/-672+7,所以£工=0，由苕=（1，2）,c=（2,r）,

可得2+2f=0,所以f=-l,所以1=（2,-1）,5=（1,-3）,

所以（2商+3WU=2Z1+3站4=3（2+3）=15,C正确;

对于D,由向量方与之的夹角为锐角，可得7">0,且向量商与之不共线，

所以2+2f>0,且Ixtw2x2,所以实数r的取值范围是（—1,4）U（4,+8）,D错误；

故选：AC.

22

10.已知。为坐标原点，椭圆C：土+匕=1的左、右焦点分别为耳、尸2,椭圆的上顶点和右顶点分别为A、

169

B,点、P、。都在C上，且历=回，则下列说法正确的是（）

A.工周长的最小值为14

B.四边形「不。工可能是矩形

9

C.直线尸3,。8的斜率之积为定值

16

D.AP。用的面积最大值为3s

【答案】ACD

【分析】对四个选项一一判断：对于A：利用椭圆的对称性，判断出尸。为椭圆的短轴时，《尸。八周长最

小.即可判断；对于B：判断出月后，从而四边形尸耳。"不可能是矩形.即可判断；对于C：设尸（x,y）,

直接计算出%・%=-5.即可判断；对于D.由△尸相的面积为S=京。川%-为|.即可判断

【详解】由而=而，可知P,。关于原点对称.

对于A.根据椭圆的对称性，|P9+|P阊+|。段=|PQ|+|P引+|世|=|PQ|+8,当尸。为椭圆的短轴时，|尸。|有

最小值6,所以APQ与周长的最小值为14.故A正确；

对于B.因为tan//AO=£=立，所以,

1b34

-rr-rr

则/与4居<5,故椭圆上不存在点尸，使得/片2g=5，

又四边形尸耳是平行四边形，所以四边形尸G。居不可能是矩形.故B不正确.

对于C由题意得3(4,0),设尸(x,y),则。(f—y),

所以"k=y-v=/=91一9.故C正确；

•他^二^即二一一尤2_16一记

对于D.设△P&Q的面积为S=Jo刊外,-％],所以当PQ为椭圆的短轴时，屏-财=6最大，所以

5=/0叶小-%卜夫夜、6=3夜.故口正确.

故选：ACD.

11.已知函数力⑺=sin"尤+cos"x,(〃eN*),则下列说法正确的是()

A.工(无)在区间-衬上单调递增

B.九⑺的最小正周期为冷

c.力(X)的值域为-当，¥

I2ZJ

D.力(x)的图象可以由函数g(x)=；sin4x的图象，先向左平移1个单位，再向上平移;个单位得到

【答案】ABD

【分析】对于A：整理可得/(x)=梃sin(x+T，结合正弦函数单调性分析判断；对于B、D：整理可得

13

力(x)=：cos4%+j进而可求周期判断选项B,根据图形变换分析运算，可判断选项D；对于C：

(x)=(sinx+cosx)(1-sinxcosx),换元£=sinx+cosx,可得y=$一;一，

构建g⑺=5-夕，re卜也0],利用导数求其最值.

【详解】对于A：由题意可得：/(x)=sinx+cosx=J^sin[x+]1,

则x+畀卜卷闱，且尸sinX在卜鼻事上单调递增，

J叶T,[乙N1.乙乙

JT1T

•••4(x)在区间-§7上单调递增，故A正确;

对于B、D：由题意可得：(x)-sin4x+cos4=(sin2x+cos2-2sin2x-cos2x

1I.2。1Il-cos4xI.3

=l——sin2x=\——x--------=—cos4x+—

22244

故力(X)的最小正周期为7=子=5,故B正确；

函数g(x)=1sin4x的图象，先向左平移r个单位，得到

(兀)1.兀、1・乙兀)1

y=s\x+—=—sm4x+—=—sin4x+—=—cos44x,

I8)4I8)4I2j4

a13

再向上平移1个单位，得到y=：cos4x+T=力(x),故D正确；

444'，

对于C：由题意可得：73(x)=sin3x+cos3x=(sinx+cosx)^sin2x-sinxcosx+cos2x)

=(sinx+cosx)(l-sinxcosx),

令％=sinx+cosx=V^sin[x+e]e[—0,拒],贝ljsinxcosx=^^,

可得y='1-^：^=|/一$3,

构建g(f)=?-g/，fe[一0,0],则g«)=H，

令g'⑺>0,解得令g'⑺<0,解得-五。<一1或l<fV忘；

故g⑺在(-1,1)上单调递增，在［-及=1),(1,3］上单调递减，

且8(忘)=-g卜近)=,，g⑴=1，g(-1)=-1，

显然一1〈一堂〈走<1,

22

故g⑺在［-夜，应］上的值域为［-M］,

所以力(X)的值域为［-1』,故C错误；

故选：ABD.

12.如图，己知四棱锥尸-ABCD的外接球的直径为4,四边形A8CO为正方形，平面ABCD1平面AP8,

G为棱PC的中点，PA±PB,BP=46,贝I()

P

A.AB//平面PCD

B.AP±BG

c.AC与平面PBC所成角的正弦值为立

4

D.四棱锥P-ABCD的体积为4"

【答案】ABC

【分析】A.由A8〃CD,利用线面平行的判定定理判断；B.易得AP工平面P8C,再利用线面垂直的性质定

理判断;C.易知ZACP为AC与平面P2C所成的角求解判断;D.根据平面ABC。」平面APB,过尸作尸HLAB,

由面面垂直的性质定理，得到PH_L平面ABC。，再由Vp_ABC£>=g-A22，PH求解判断.

【详解】解：因为AB、、CD,CDu平面尸CD,ABC平面PC。，所以AB//平面PC。，故A正确；

平面ABCD人平面APB,且3CJ_AB,所以\.PAA.PB,BC[}PB=B,从而AP工平面PBC,所

以AP_LBG,故B正确；

易知APLPC,所以四棱锥尸—ABCD的外接球的直径为AC,所以AC=4,所以AB=2忘，所以AP=夜，

因为AP工平面P8C,所以ZACP为AC与平面PBC所成的角，所以sin/ACP=正，故C正确；

4

如图所示：

因为平面ABCD1平面AP3,过尸作尸“_LAB,根据面面垂直的性质定理，可知;W_L平面A8CQ,因为

PHAB=PAPB,所以PH=如，所以力=、AB2.PH=地，故D错误.

故选：ABC

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若“3xwR,无2—6依+3。<0”为假命题，则实数。的取值范围为.

【答案】0,1

【分析】由“VxeR,尤2-6ax+3aN0”为真命题，利用判别式法求解.

【详解】解：由条件可知",€此/_6依+3°20”为真命题，

贝IA=36/-12a<0,即OWaWg.

故答案为：0,；

14.已知在等比数列｛%｝中，的、％分别是函数y=x3-6/+6x-l的两个驻点，则％=.

【答案】垃

【分析】根据题意利用导数及韦达定理可得生，%的关系，后利用等比数列的性质可得答案.

【详解】由题意可得：了=3尤2-12x+6,

C=4>0

则。3、%是函数，'=3/-12》+6的零点，贝叶二八，

[%%=2>0

且｛%｝为等比数列，设公比为4片0,

%>0

可得<%>0,解得%=±^2,

=〃3〃7=2

注意到〃5=〃3d>0，可得为=8.

故答案为：&.

22

15.已知椭圆C:=+2r=1(。>6>0)的左、右焦点分别为月(-c,0),耳(c,0),点加(%,%)(%>0)是C上

ab

一点，点A是直线加乙与y轴的交点，AAM片的内切圆与相切于点N,若耳闻，则椭圆C的

离心率e_.

【答案】显

4

【分析】设内切圆与AM切于。，与A耳切于P,由切线性质知加制=|凿|,结合椭圆定义建立a，c的关系

求得。

设内切圆与AM切于0,与前切于P,由切线性质知|肱V|=|MQ卜次闺司=20c，国N|=山外,|AP|=|A0,

由对称性知|相|=|然I，

所以|「耳|=|。阊，即|N£|=|Q段，

所以2a=四图+1岬|=(|MQ|-|°段)+(|的|+加胤)=|MQ|+\MN\=4缶，

所以e—=V==0

a4,24

故答案为：变

4

/、ln(x+l),x>0,

16.已知曲线“％=；z-1八过曲线上两点A,3分别作曲线的切线交于点P,APIBP.记

'7-ln(x+l),-l<x<0,

一11

A,8两点的横坐标分别为再,%2,则一+—=______.

xxx2

【答案】-1

【分析】根据导数的几何意义，结合图象及垂直的斜率关系计算即可.

【详解】当无>0时，当x<o时，/(无)=一一^,

根据导数的几何意义结合图象，不妨设玉<0,x2>0.

因为曲线在点A,3处的两条切线互相垂直，所以一———―=-1,整理得占/+%+%=。，所以是

I1I1

四、解答题：共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2

17.设数列｛%｝的前〃项和为S,,S„=n+n,｛〃,｝是等比数列，…,4=竽.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

(2)求数列；的前〃项和7“.

【答案】⑴"2〃

(2)7；=—+2"+1-2

【分析】(I)利用。“与S”之间的关系，可得数列｛%｝的通项公式；

(2)利用等比数列的通项公式可得利用裂项相消法与分组求和法可得4.

2

【详解】(1)Slt=n+n,

.,.当九=1时，％=S[=2,

当“22时，S"_j=5-1)2+5-1),

-

a”—Sn—Snl-n~+n—[(?/—I)+(«—1)]=2n,

当”=1时，q=2符合上式，

故数列｛凡｝的通项公式为an=2n；

(2)由⑴得见=2",贝|g=4,

:.瓦=%=2,打=罗=4,

bc

在等比数列｛2｝中，公比夕=”?=2,.•.2=2〃,

4

1-^—+2"=---—+2",

+2n+nnn+1

，数歹4(+6」的前〃项和

1

Tn1111132(1-2")n+1

〃223nn+1v7n+11-2〃+1

R4r

18.在AABC中，角A,B,C的对边分别为〃，b,c,且若“sin3=2bcos?--------.

2

(1)求角A的大小；

⑵若BC边上的中线AD=1,求A/RC面积的最大值.

兀

【答案】(l)2g

⑵6

【分析】(1)通过三角恒等变换和正弦定理化简即可.

(2)将中线A£)=l转化为向量纪土AC的模长，从而求出|而||正|的最大值，即可求出面积的最大值.

2

【详解】(1)依题意有gasin3=26cos2W^=(l-cosA)6.

二A/3sinAsinB=(1-cosA)sinB,又sinBW0,

•.百sinA=l-cosA,Xsin2A+cos2A=1,

解得sinA=，^,cosA=-LAG(0,71),

22

/.A,=2—兀；

3

(2)因为|而|=|”+AC通+正|=2,

2

所以|福|2+1工F+2|A5||AC|cos—=|AB|2+|AC|2-\AB\AC\=4>\AB\\AC\,

3

:.(\AB\\AC\)1mx=4,当且仅当|通|=|蔗|=2时成立，

故AASC面积的最大值为S=g|布||*|sinA=g.

19.如图，四棱锥S-ABCD中，侧面SCD_L底面A8C£),ADIIBC,AD=BC=\,SD=SC=y/2AD>DC=2AD,

E,尸分别是SC和AB的中点，ZADC=60°.

⑴证明：£F〃平面SA。；

⑵点P在棱SA上，当尸尸与底面ABC。所成角为30。时，求二面角C-尸尸-A的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

(2)叵

7

【分析】（1）设M为的中点，证明A"〃正，根据线面平行判定定理证明结论；

（2）设N是。C的中点，由面面垂直判定定理证明SNL平面A5CD,再证明AN1.NB,以点N为原点，

建立空间直角坐标系，求直线尸尸的方向向量和平面ABCD的法向量，由向量夹角公式求点尸的坐标，再求

平面CFP和平面AFP的法向量，利用向量夹角公式求结论.

【详解】（1）设加为SD的中点，连接ME,MA,

因为ME是△SOC的中位线，所以其£=工。。=4。=1,

2

又因为AD=BC,且仞〃3C,所以底面ABC。为平行四边形.

所以AF=LA2=1,又ME〃DC,且OC7/AB,故.MEHAB,

2

且ME=AF=1,所以四边形AFEM是平行四边形，

所以AM〃FE,又Wu平面SA£）,EF仁平面&4£）,

所以EFP平面1s4£).

(2)因为SZ)=SC=0AD=0,又。C=2,

所以SZ^+SC?=DC2,故SZ)_LSC.

设N是。C的中点，连接SN,因为S£>=SC,

所以SN_LOC,又平面SDC_L平面ABC。，

SNu平面SDC,平面SDCI底面AfiCD=CD,

所以SNL平面ABCD.

连接NA,NB,NF,在△ADN中，ZADN=60°,DN=DA,

所以△ADN是正三角形，

在ABCN中，NBCN=120。,NC=CB=l,所以N3NC=ZA«C=30。,

所以ZAA®=90。，即⑷V_LNB.

因为NS,W4,N8两两互相垂直，故以N为坐标原点，

以向量丽，丽，福为x,»z轴的正方向建立空间直角坐标系N-wz.

在ANCB中，由余弦定理得NB=71+l-2xlxlxcosl200=73.

过点尸作尸"〃SN,PHC\AN=H,

因为SN1.平面ABCD,所以尸”，底面ABCD,

因为PH//SN,所以及APHA与曲△SN4相似，

因为SN=N4=1,所以=

设P的坐标为。,0/)(/>0),

则N(0,0,0),A(l,0,0),3(0,百,0),尸，,4,o],C,挛o],

(22JI22J

—(1指)

(22)

设底面ABCD的法向量为庆=(0。1),

当尸产与底面A3C。所成角为30。时，而与庆所成角为60。.

故卜os伍丽〉卜mPF1

\m\\PF\5'

解得旧.

港」且_1

1,PC=一万,PA=

77

设平面PC尸的法向量为4=(x,y,z),

6z

——y——=0,

n,■PF=022

则「一，即

n-PC=0,61n

t-x-\-----y——z=0,

22

取y=l,可得尤=0,z=百，

所以［=(0,1,6)为平面PCP的一个法向量,

设平面的法向量为Z=(p,r,q),

J=0

n,-PA=Q22

则2_，即

n-PF=073q门

2——r--=0

L22

取r=l,可得p=乖＞,q=A/3,

所以％=(后,1,石)为平面PCV的一个法向量,

%•几2_4_2>/7

故COS(〃1，〃2

匐•国A/?xV77

所以二面角C-PF—A的正弦值为亘.

7

20.为进一步巩固提升全国文明城市，加速推行垃圾分类制度，铜川市推出了两套方案，并分别在A、3两

个大型居民小区内试行.方案一：进行广泛的宣传活动，向小区居民和社会各界宣传垃圾分类的意义，讲解

分类垃圾桶的使用方式，垃圾投放时间等，定期召开垃圾分类会议和知识宣传教育活动；方案二：在小区

内设立智能化分类垃圾桶，智能垃圾桶操作简单，居民可以通过手机进行自动登录、称重、积分等一系列

操作.并建立激励机制，比如，垃圾分类换积分兑换礼品等，以激发带动居民参与垃圾分类的热情.经过一段

时间试行之后，在这两个小区内各随机抽取了100名居民进行问卷调查，记录他们对试行方案的满意度得

分(满分100分)，将数据分成6组：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100),并整理

(1)请通过频率分布直方图分别估计两种方案满意度的平均得分，判断哪种方案的垃圾分类推广措施更受居

民欢迎(同一组中的数据用该组中间的中点值作代表)；

(2)以样本频率估计概率，若满意度得分不低于70分认为居民赞成推行此方案，低于70分认为居民不赞成

推行此方案，规定小区居民赞成率不低于70%才可在该小区继续推行该方案，判断两小区哪个小区可继续

推行方案?

(3)根据(2)中结果，从可继续推行方案的小区所抽取100人中再按居民态度是否赞成分层抽取一8人样本

作为代表团，从代表团中选取两人做汇总发言，求至少有一个不赞成的居民被选到发言的概率.

【答案】(1)A小区平均分为72.7,8小区平均分为78.3,方案二的垃圾分类推行措施更受居民欢迎

(2)8小区可继续推行方案二

13

(3)—

28

【分析】(1)根据频率分布直方图中平均数的求法分别计算，即可得出结论；

(2)分别求出A小区即方案一中，满意度不低于70分的频率和8小区即方案二中，满意度不低于70分的

频率，由此即可得出结论；

(3)结合(2)的结论，利用古典概型的概率计算公式即可求解.

【详解】(1)设A小区方案一的满意度平均分为最，则

1=(45x0.006+55*0.014+65x0.018+75x0.031+85x0.021+95x0.010)x10=72.7设3小区方案二的满意度

平均分为7，贝!)3=(45x0.005+55x0.010+65x0.010+75*0.020+85x0.032+95x0.023)x10=78.3;

72.7<78.3.方案二的垃圾分类推行措施更受居民欢迎.

(2)由题意可知：

A小区即方案一中，满意度不低于70分的频率为(0.031+0.021+0。10)><1。=0.62,以频率估计概率，赞成

率为62%

2小区即方案二中，满意度不低于70分的频率为(0.020+0.032+0.023)x10=0.75,以频率估计概率，赞成

率为75%.

小区可继续推行方案二.

（3）由（2）中结果，在8小区不赞成25人中，取8x25%=2人，赞成的75人中取8x75%=6人组成代表

团，设至少有一个不赞成居民做汇总发言的概率为尸，记不赞成的两人为。力，赞成的6人为1,2,3,4,5,6,

从中任选两人，则有以下情况：

ab,。2,a3,。4,a5,a6,bl,bl,b3,b4,b5,Z>6,12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56共28种情况，其中至

少有一个不赞成的居民被选到发言的有，

ab,al,a2,a3,a4,a5,a6,bl,b2,b3,Z?4,b5,b613种，

13

由古典概型的概率计算公式可得尸==.

28

21.已知抛物线。：^=2加（。>0）的焦点为尸，A2分别为C上两个不同的动点，。为坐标原点，当

为等边三角形时，|AB|=8后.

（1）求C的标准方程；

⑵抛物线C在第一象限的部分是否存在点尸，使得点