2025年人教版八年级数学寒假预习：矩形的性质（2个知识点+7大考点举一反三+过关测试）

第10讲矩形的性质

T模块导航一T素养目标A

模块一思维导图串知识1.理解矩形的概念；

模块二基础知识全梳理（吃透教材）2.探索并证明矩形的性质定理和判定定理，并能运用

模块三核心考点举一反三

模块四小试牛刀过关测它们进行证明和计算；

3.理解直角三角形斜边的中线定理，运用其进行计算。

模块一思维导图串知识

定义有一个角是直角的平行四边形是矩形

矩

形

矩形的对边平行且相等

的

性性质矩形的四个角都是直角

质

矩形的对角线相等

7直角三角形斜边中线定理卜直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

6模块二基础知识全梳理------

知识点1：矩形的概念与性质

1.概念：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

2,性质：（1）矩形的对边平行且相等；

（2）矩形的四个角都是直角；

（3）矩形的对角线相等。

知识点2：直角三角形斜边上的中线

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

6模块三核心考点举一反三

考点一：利用矩形的性质求角度

例1.（23-24八年级上•四川遂宁•期末）如图，矩形力BCD中，连接AC,延长至点E,使BE=AC,

连接DE,若乙4cB=40°,则NE的度数是（）

1

AD

【变式1-1］（23-24九年级上•四川成都•阶段练习）如图，矩形力BCD的对角线AC与8。相交于点。，过点。

作。E_LBD,交CD于点E,连接BE.若NCOE=20°,则44BD=.

【变式1-2］（23-24八年级下•湖南衡阳•期末）如图，在矩形力BCD中，对角线"与BD相交于点。，过点力

作ZE_LBD,垂足为点E,若NE力C=2NG4D,贝!UCOD=度.

【变式1-3］（23-24八年级下•福建福州•期末）如图，在矩形力BCD中，AB^AO,对角线AC与相交于点

O,以点4为圆心，以力。的长为半径作弧，交力。于点£,连接。E,则NDOE=<

考点二：根据矩形的性质求线段长

2.（23-24八年级下•贵州黔东南•期中）如图，矩形4BCD的两条对角线相交于点。，4AOD=

60。，AD=4,则该矩形的周长是（

A.16B.4+4V3D.16V3

2

【变式2-1］（23-24八年级下•全国•单元测试）已知：如图，矩形2BCD中，AB=5,BC=12,对角线AC、

BD相交于点。，点P是线段力。上任意一点，且PE14C于点E,PF1BD于点F,贝iJPE+PF等于（）

A.6B.5C.—D.—

1312

【变式2-2］（22-23八年级下•广东深圳•期末）如图，在矩形4BCD中，P,Q分别是BC,DC上的点，E,F分别

是4P,PQ的中点.BC=12,DQ=5,在点P从B移动到C（点Q不动）的过程中，则线段EF=.

【变式2-3］（23-24八年级下•江苏镇江•期中）如图，点。是矩形ABCD的对角线BD的中点，点E是BC的

中点，0E=3,AD=8,则。4的长为.

考点三：根据矩形的性质求面积

例3.（23-24八年级下•山东滨州•阶段练习）如图，EF过矩形力BCD对角线的交点O,且分别交

AB,CD于E、F,那么阴影部分的面积是矩形4BCD的面积的（）

【变式3-1］（23-24八年级下•河南周口•阶段练习）矩形的两条对角线之和为20,其中一条边长为6,则

该矩形的面积为（）

A.60B.48C.40D.24

3

【变式3-2］（23-24八年级下•河南新乡•期末）如图，点P是矩形4BCD的对角线BD上一点，过点P作EF〃BC,

分别交力B,CD于点E,F,连接P4PC.若BE=b,PF=3<3,则图中阴影部分的面积

为.

【变式3-3］（23-24八年级下•重庆大足•期末）如图，点£是矩形4BCD内任一点，若A8=6,BC=8.则

图中阴影部分的面积为.

考点四：利用矩形的性质证明

Qf］例4.（23-24八年级下•全国•期末）如图，在矩形力BCD中，对角线4C的垂直平分线分别与边48和边

CD的延长线交于点M,N,与边力D交于点£,垂足为点。

（1）求证：△力。M三△CON

（2）若AB=3,4）=6,请直接写出2E的长为

【变式4-1］（23-24八年级下•全国•单元测试）如图，四边形力BCD是矩形，点£在力。边上，点尸在的

延长线上，且BE=CF.

求证：四边形EBCF是平行四边形.

4

【变式4-2］（23-24八年级下•贵州黔东南•期中）如图所示，矩形4BCD中，力C与BD交于。点，BE1AC

于E,CF1BD^F,求证：BE=CF.

【变式4-3］（23-24八年级下•山东泰安•期中）如图，在矩形A8CD中，E是BC边上的点，AE=BC,DF1AE,

垂足为尸，连接DE.

⑴求证：AB=DF；

(2)若CE=2,AF=6,求DF的长.

考点五：求矩形在坐标系中的坐标

5.（22-23九年级下•山东济南•阶段练习）在平面直角坐标系中，长方形力BCD如图所示，A（-

6,2）,B（2,2）,C（2,-3）,则点。的坐标为（）

A.(-6,3)B.(3,-6)C.(-6,-3)D.(-3,-6)

【变式5-1］（23-24八年级下•河南新乡•阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的四个顶点坐标均已

标出，那么a—b的值为（）

5

(a,13)

/>(15,b)

(5,SK^2)、

O\JC

A.-3B.-1C.3D.1

【变式5-2](22-23八年级下•重庆江津•期中)如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形。ABC的顶点4-2,1),

C(2,4),点B在y轴上，则点B的坐标为.

【变式5-3](23-24八年级下•云南昆明・期中)如图，在平面直角坐标系中，矩形。4BC的顶点4C的坐标

分别为(10,0),(。,4),点。是。力的中点，点P在BC上运动，当OP=PD时，点P的坐标是()

A.(2.5,4)B.(3,4)C.(4,4)D.(5,4)

考点六：矩形与折叠问题

例6.(23-24八年级下•全国•开学考试)已知：将长方形力BCD沿直线4c对折，将点B折到点E处，AE

交CD于点F,

(1)求证：△力CF是等腰三角形；

(2)若CD=16cm,AD=8cm,求△4CF的面积.

6

【变式6-1］（23-24八年级下•云南昆明•期中）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对

图1图2

【操作】如图1，在矩形4BCD中，点M在边AD上，将矩形纸片力BCD沿MC所在的直线折叠，使点。落

在点D'处，MD'与BC交于点N.

【猜想】（1）请猜想线段MN、CN的数量关系，并证明.

【应用】（2）如图2,继续将矩形纸片ABCD折叠，使4M恰好落在直线MD'上，点月落在点4处，点B

落在点B'处，折痕为ME.若CD=4,MD=8,求EC的长.

【变式6-2］（23-24八年级下•全国・单元测试）把一张矩形A8CD纸片按如图方式折叠，使点/与点E重合,

点C与点尸重合（£、/两点均在BD上），折痕分别为DG.

（1）求证：四边形BGDH为平行四边形;

（2）若AB=6,BC=8,求线段FG的长.

7

【变式6-31（23-24八年级下•广东广州•期中）在矩形力BCD中，AB=5,BC=13,在DC上取一点E,将^BCE

沿直线BE折叠，得到△BEF.

（1）如图1,若点下刚好落在力D上时，求DE的长；

（2）如图2,若点E从C到。的运动过程中，N4BF的角平分线交EF的延长线于点求M到力。的距

离.

考点七：斜边的中线等于斜边的一半

，、例7.（23-24八年级下•河北保定•期末）已知/,B,C三地的位置及两两之间的距离如图所示.若D

地位于4,C两地的中点处，则2,。两地之间的距离是（）

A.2.5kmB.6kmC.6.5kmD.7.5km

【变式7-1]（23-24八年级下•全国•期末）如图，在△ABC中，乙4cB=90。,8。=5,力C=12,。为力B的中

点，贝！ICD的长为（）

A.5B.5.5

【变式7-2]（23-24八年级下•全国・期末）如图，在△力BC中，D是8C上一点，连接2D,AB=AD,E、F

分别是力C、BD的中点，连接EF、AF,

A.V6B.2V6

8

【变式7-3］（23-24八年级下•贵州黔西•期末）如图，在△4BC中，AB=10,点。，E分别是ZB,BC的中

点，连接DE,在DE上有一点R且EF=3,连接力F,BF.^AFLBF,则力C的长为（）

6模块四小试牛刀过关测-------------------------------

一、单选题

1.（23-24八年级下•云南昆明・期末）如图，矩形4BC。的对角线/C与8。相交于点。，440B=60°,已知ZB=1,

贝1伤。的长度是（）

AD

BC

A.1B.2C.yD./

2.（23-24八年级下•山西•期末）如图，已知矩形力BCD沿着直线折叠，使点。落在C'处，BC'交AD于E,

AD=8,4B=4,贝UDE的长为（）

/

8y...............七

A.3B.4C.5D.6

3.（23-24八年级下•云南红河•期末）如图，在直角三角形2BC中，乙4cB=90°,AC=5,BC=12,CD

为△ABC的中线，贝!|CD的长为（）

k

C°-----

A.5B.6C.6.5D.13

9

4.（23-24八年级下•全国•期末）如图，在矩形COED中，点。的坐标是（1,3）,则CE的长是（

5.（23-24八年级下•吉林松原•期末）如图，在矩形力BCD中，对角线4c与BD相交于点O,若力。=力B,则

的度数（）

6.（23-24八年级下•吉林长春•开学考试）如图，矩形4BCD中，AB=3,AD=1,48在数轴上，若以点/

为圆心，对角线4C的长为半径作弧交数轴的正半轴于则点M表示的实数为（）

7.（23-24八年级下•福建福州•期中）如图，在矩形4BCD中，AD=7,CD=4,点、E,b分别在BC,CD

上，BE=3,CF=2,若G是4E的中点，〃是BF的中点，连接G“，则G"的长为（）

二、填空题

8.（23-24八年级下•全国•单元测试）如图，在RtaABC中，CD是斜边上的中线，乙4=20。，则

ZBCD=<

9.（23-24八年级下•全国•单元测试）如图，在矩形48CD中，4B=6,=8,对角线AC,BD相交于点

10

。，点E,尸分别是40,4D的中点,

10.（23-24八年级下•全国•单元测试）把一张矩形纸片（矩形4BCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合,

折痕为EF,若28=3cm,BF=5cm,则重叠部分△DEF的面积是.cm乙2.

三、解答题

11.（23-24八年级下•江苏徐州•期中）已知：如图，矩形力BCD的对角线AC、BD相交于点O,CE||DB,交

力B的延长线于点E.

（1）求证：四边形CDBE是平行四边形;

（2）若AC=8,求EC的长.

12.（23・24九年级上•福建莆田•期末）已知如图，将矩形ZBCD绕点。按顺时针方向旋转得到矩形FECG,

点5与点E对应，点E恰好落在4。边上，BHJ.CE交于点H,

求证：

(1)ABCH=ACED

(2)AB=BH.

11

第10讲矩形的性质

T模块导航一T素养目标A

模块一思维导图串知识1.理解矩形的概念；

模块二基础知识全梳理（吃透教材）2.探索并证明矩形的性质定理和判定定理，并能运用

模块三核心考点举一反三

模块四小试牛刀过关测它们进行证明和计算；

3.理解直角三角形斜边的中线定理，运用其进行计算。

模块一思维导图串知识

定义有一个角是直角的平行四边形是矩形

矩

形

矩形的对边平行且相等

的

性性质矩形的四个角都是直角

质

矩形的对角线相等

直角三角形斜边中线定理卜直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

6模块二基础知识全梳理------

知识点1：矩形的概念与性质

3.概念：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

4.性质：（1）矩形的对边平行且相等；

（2）矩形的四个角都是直角；

（3）矩形的对角线相等。

知识点2：直角三角形斜边上的中线

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

◎模块三核心考点举一反三

考点一：利用矩形的性质求角度

例1.（23-24八年级上•四川遂宁•期末）如图，矩形4BCD中，连接力C,延长BC至点E,使BE=AC,

连接DE,若N71CB=40。，贝lUE的度数是（）

12

AD

A.40°B.50°C.60°D.70°

【答案】D

【分析】本题主要考查了矩形的性质以及等腰三角形的判定与性质，利用矩形的对角线相等是解决问题

的关键.

连接BD,依据矩形的性质，即可得到NCBD=乙4cB=40°,再根据AC=BD,AC=BE,即可得出BD=

BE,进而得到NE的度数.

【详解】解：如图，连接BD交4C于点。，

:矩形力BCD中，NACB=40。，OC=OB,AC=BD,

：.4CBD=乙ACB=40°,

vAC=BD,AC=BE,

：.BD=BE,

•••NE=g(180°-乙DBE)=|(180°-40°)=70°,

故选:D.

【变式1-1](23-24九年级上•四川成都•阶段练习)如图，矩形力BCD的对角线4C与BD相交于点。，过点。

作。E_LBD,交CD于点E,连接BE.若NCOE=20°,则44BD=_.

【答案】35735度

【分析】本题考查了矩形的性质，根据垂直的定义及角的和差求出NBOC=70。，根据矩形的性质推出

13

OA=OB,根据等腰三角形的性质及三角形外角性质求解即可.熟记矩形的性质是解题的关键.

【详解】解：・.・OE1BD,

••・(BOE=90°,

•••(COE=20°,

Z.BOC=乙BOE-乙COE=70°,

•・泗边形ABCD是矩形，

•••AC=BD,OB=OD,OA=OC,

OA=OB,

・•.Z.OAB=乙OBA,

•・•/-BOC=Z.OAB+Z-OBA,

••・乙OBA=35°,BPzXBD=35。，

故答案为：35°.

【变式1-2](23-24八年级下•湖南衡阳•期末)如图，在矩形2BCD中，对角线AC与BD相交于点。，过点力

作AE1BD,垂足为点E,若=2Z.CAD,贝l]zT。。=度.

【答案】45

【分析】本题考查了矩形的性质，三角形的外角性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握矩

形的性质.根据矩形的性质可得到。4=。0,推出4。力。=4。04，根据三角形的外角性质和NE4C=

2/LCAD,可得NEAC=N40E,由4E1BD,即可求解.

【详解】解：•••四边形4BC0是矩形,

AC=BD,OA=OC,OB=OD,

OA—OD,

・•.Z.OAD=乙ODA,

・•・Z-AOE=Z.OAD+Z.ODA=2Z-OAD,

•••Z.EAC=2/.CAD,

•••Z-EAC=Z.AOE,

•・•AE1BDf

・•・乙EAC=乙4OE=45°,

••・乙COD=Z.AOE=45°,

故答案为：45.

14

【变式1-3］（23-24八年级下•福建福州•期末）如图，在矩形4BCD中，AB=A0,对角线4C与BD相交于点

0,以点/为圆心，以4。的长为半径作弧，交力D于点E,连接。E,贝此DOE=

【答案】45

【分析】此题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定，等边对等角和三角形内角和定理，解题

的关键是掌握以上知识点.

首先证明出△04B是等边三角形，得到NQ48=乙40B=60。，然后利用等边对等角和三角形内角和定

理求出4E。力=3180。-NE力。）=75°,进而求解即可.

【详解】：四边形4BCD是矩形

AOA=OB,ABAD=90°

■：AB=AO

。力=OB=AB

.♦.△OAB是等边三角形

：.^OAB=Z.AOB=60°,

：.^OAD=^BAD-^OAB=30°

:以点N为圆心，以4。的长为半径作弧，交4D于点£,

：.AE=AO

：.AEOA=|(180°-NEA。)=75°

."DOE=180°-4AOB-Z.AOE=45°.

故答案为：45.

考点二：根据矩形的性质求线段长

、］例2.（23-24八年级下•贵州黔东南­期中）如图，矩形力BCD的两条对角线相交于点。，AAOD=

60°,AD=4,

A.16

【答案】C

15

【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，矩形对角线的性质和利用勾股定理求边长，熟练掌

握矩形及等边三角形的性质是解题的关键.

根据矩形的对角线互相平分且相等可得。。=。。,乙4。。=60。,△4。。是等边三角形，可求出BD,勾股

定理可求出48,即可求出矩形的面积.

【详解】解：•••四边形4BCD是矩形，

OA=OD=OB=OC,

•・•/,AOD=60°,

是等边三角形，

AD=OD=AO=4,

BD=2AD=8,

•••AB=<BD2-AD2=V64-16=4百，

.•.矩形的周长=2X48+2X4=8V3+8,

故选：C.

【变式2-1］（23-24八年级下•全国•单元测试）已知：如图，矩形ABCD中，4B=5,BC=12,对角线AC、

BD相交于点。，点P是线段力D上任意一点，且PE14C于点E,PF1BD于点F,贝iJPE+PF等于（）

【答案】C

【分析】此题考查了矩形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键.

连接OP,利用矩形的性质和勾股定理求出。4。。的长，然后由So。。USMOP+S^DOP求得答案.

【详解】解：连接P。，

:矩形4BCD中，AB=5,BC=12,

16

'S矩形/BCD="B'BC=60,OA—OC,OB=OD,AC=BD,乙ABC=90°,

；.AC=7AB2+BC2=V52+122=13,

1I13

•“△ZOD=矩形ARC。=15，％=°。=5人0=万，

,**^/\AOD=^/\AOP+S^DOP，

-1-1-11IQ

即：-PE+50D-PF=；OA(PE+PF)=楙X£X(PE+PF)=15,

：.PE+PF

13

故选：c.

【变式2-2](22-23八年级下•广东深圳•期末)如图，在矩形力BCD中，P,Q分别是BC,DC上的点，E,尸分别

是4P,PQ的中点.BC=12,DQ=5,在点P从B移动到C(点Q不动)的过程中，则线段EF=.

【答案】6.5

【分析】本题考查矩形的性质及三角形中位线定理.因为Q点不动，所以4Q不变，根据中位线定理,

可得EF的长.

【详解】解：连接力Q

EF为△4PQ的中位线，

・•・HBCD是矩形

•­•力D=BC=12,Z.ADC=90°

EF=^AQ=[xy/AD2+DQ2=|xV122+52=6.5,

故答案为：6.5.

【变式2-3]（23-24八年级下•江苏镇江•期中）如图，点。是矩形4BCD的对角线的中点，点£是8c的

中点，0E=3,4D=8,则。4的长为.

【答案】5

17

【分析】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键.由

三角形中位线定理求出。E=3,由勾股定理求出BD的长，根据直角三角形的性质即可得到结论.

【详解】解：:。为BD的中点，E是的中点，

1

OE=-DC,

2

•・•0E=3,

DC=6,

・・•四边形4BCD是矩形，

AB=CD=6,ABAD=90°,

vAD=8,

・•・BD=y/AD2+AB2=V82+62=10,

1

AO=-BD=5

2

故答案为：5.

考点三：根据矩形的性质求面积

、］例3.（23-24八年级下•山东滨州•阶段练习）如图，EF过矩形A8CD对角线的交点O,且分别交

AB,CD于E、F,那么阴影部分的面积是矩形力BCD的面积的（）

【答案】B

【分析】本题主要根据矩形的性质，得△EB。三△FD。，再由△力08与△OBC同底等高，AAOB^AABC

同底且aaoB的高是△力BC高的（得出结论.本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有

自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质.

【详解】解：,••四边形为矩形，

•••OB=OD=OA=OC,AB||CD

."EBO=4FD0

在△EBO与NDO中,

/-EOB=乙DOF

OB=OD,

乙EBO=Z.FDO

・•.△EBO=△FDO(ASA),

・•・阴影部分的面积=SA4E0+S4EBO=SAAOB，

18

△AOB^AABC同底且△4。3的高是△高的白

，SMOB=S^OBC=］S矩形ABCZT

故选：B.

【变式3-1］（23-24八年级下•河南周口•阶段练习）矩形的两条对角线之和为20,其中一条边长为6,则

该矩形的面积为（）

A.60B.48C.40D.24

【答案】B

【分析】本题考查矩形的性质和勾股定理，根据矩形的性质求出对角线的长，再根据勾股定理求出矩形

的另一边长，即可求出矩形的性质.利用勾股定理求出矩形的另一边长是解题的关键.

【详解】解：•••矩形的两条对角线之和为20,

矩形的一条对角线长为：20+2=10,

:矩形的一边长为6,

又•..矩形的相邻两边与一条对角线构成直角三角形，

与矩形边长为6相邻的另一边长为：-102-62=8,

矩形的面积为：6x8=48.

故选：B.

【变式3-2］（23-24八年级下•河南新乡•期末）如图，点P是矩形力BCD的对角线BD上一点，过点P作E/〃BC,

分别交力B,CD于点E,F,连接P4PC.若BE=H,PF=3®则图中阴影部分的面积

为

【答案】9

【分析】本题考查了矩形的性质、三角形的面积等知识.先作辅助线，然后根据矩形的性质可得到两

个矩形面积相等.

【详解】解：作PML力。于点河,

贝U四边形AEPM,DFPM,CFPN,BEPN都是矩形,

CF=BE=V3,S^ABD-S^BCD，S&BPE­S^BPN，^APDM=^APDF»^^AEP-S&，S^CFP-S^CNP，

•'S矩形4EPM=S^ABD-(S&BPE+^APDM)),矩形0尸「可=^ABCD-(S4BPN+^APDFJ'

'",矩形4EPM=$矩形CFPN'

19

•'•^AAEP=SACFP=|xPFxCF=1x3V3xV3=I，

・••图中阴影部分的面积为S阴=1+1=9,

故答案为：9.

【变式3-3］(23-24八年级下•重庆大足・期末)如图，点E是矩形4BCD内任一点，若AB=6,BC=8.则

图中阴影部分的面积为.

【答案】24

【分析】本题考查了矩形的性质、三角形面积的计算.根据三角形面积公式可知，图中阴影部分面积

等于矩形面积的一半；即可得出结果.

【详解】解：•••四边形4BCD是矩形,

：.AB=DC=6,

设两个阴影部分三角形的底为4B,CD,高分别为后，h2,则比+%2=BC=8,

11111

S

•''/\ABE+S&DCE=5ABxhl+-CDxh2=-AB(hx+/i2)=~BCx/IF=-x6x8=24,

...图中阴影部分的面积为24；

故答案为：24.

考点四：利用矩形的性质证明

［、］例4.(23-24八年级下•全国・期末)如图，在矩形力BCD中，对角线力C的垂直平分线分别与边4B和边

CD的延长线交于点M,N,与边力。交于点E,垂足为点。.

(1)求证：△力。M三△CON

(2)若48=3,4。=6,请直接写出AE的长为

【答案】(1)见解析

若

【分析】(1)利用矩形的性质和线段垂直平分线的性质证明三角形全等即可.

(2)连接CE,根据垂直平分线得出CE=4E,设AE=CE=久，则DE=6-久，在Rt^CDE中，根据

20

勾股定理求解即可.

【详解】（1）证明：:MN是ZC的垂直平分线,

：.A0=CO,乙40M="ON=90。.

・・•四边形ABCD是矩形，

:・AB〃CD,

・"M=乙N.

在△40M和△CON中，

(乙M=乙N

卜ZOM=乙CON，

(AO=CO

：.△AOMCON(AAS).

(2)解：如图所示，连接CE,

：MN是AC的垂直平分线，

CE=AE,

设4E=CE=x,则DE=6—x,

•・•四边形A8CD是矩形，

/.Z.CDE=90°,CD=AB=3,

・•・Rt△CDE中，CD2+DE2=CE2,

即32+（6—x）2=x2,

解得：x=¥，即ZE的长为手，

44

故答案为：

【点睛】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理和全等三角形的判定等知识点，

解答关键是证明三角形全等.

【变式4-1]（23-24八年级下•全国•单元测试）如图，四边形2BCD是矩形，点£在4D边上，点尸在AD的

延长线上，且BE=CF.

求证：四边形EBCF是平行四边形.

21

【答案】见解析

【分析】本题考查矩形的性质、平行四边形的判定.由Rt△BAEmRt△(?£>?,推出N1=NF,推出BE||

CF,又BE=CF,即可证明四边形EBCF是平行四边形.

【详解】证明：•••四边形2BCD是矩形，

：.Z.A=乙CDF=Z.ABC=90°,AB=DC,AD=BC,

在Rt△BAE和Rt△CDF中，

(AB=DC

iBF=CF'

：.Rt△BAE=RtACDF,

=乙F,

：.BE||CF,

又'：BE=CF,

四边形EBCF是平行四边形.

【变式4-2](23-24八年级下•贵州黔东南•期中)如图所示，矩形ABCD中，HC与BD交于。点，BE1AC

于E,CF工BD于F,求证：BE=CF.

【答案】见解析

【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，证明aBOE三△COF(AAS),即可得出结论.

【详解】证明：：矩形4BCD,

AOA=OB=OC=OD,

,：BE1AC^-E,CFLBD于F,

:.4BEO=乙CFO=90°,

在△8。5和4C。尸中

22

Z.BEO=7.CFO

斗EOB=Z.FOC

BO=CO

：.ABOE=△COF(AAS),

：.BE=CF.

【变式4-3](23-24八年级下•山东泰安・期中)如图，在矩形A8CD中，E是边上的点，AE=BC,DF1AE,

垂足为F,连接DE.

(1)求证：AB=DF；

(2)若CE=2,AF=6,求DF的长.

【答案】(1)见解析

(2)277

【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；

(1)根据矩形是性质可以证明aABE三△£)"!,即可得4B=DF；

(2)结合(1)证明Rt^DFEmRtaDCE(HL),再根据勾股定理即可求出DF的长.

【详解】(1)•••四边形A8CD是矩形，

•••BC^AD,AD//BC,N8="=90。，

••・Z.DAF=乙AEB,

vDFLAE,AE=BC,

AAFD=90°,AE=AD,

ABE=△DF^(AAS),

・•.AB=DF；

(2),：AABE=△DFA,

.・.AF=BE=6,DF=AB=CD,

•••乙DFE=乙DCE=90°,DE=DE,

RtADFE=RtADCE(HL),

.・.CE=EF=2,

AE=6+2=8,

在RtZiABE中，根据勾股定理，得AB=,82一a=2巾.

DF=AB=2V7.

23

考点五：求矩形在坐标系中的坐标

5.（22-23九年级下•山东济南•阶段练习）在平面直角坐标系中，长方形力BCD如图所示，4（-

(-3,-6)

【答案】C

【分析】根据长方形的性质求出点。的横、纵坐标即可获得答案.

【详解】解：•••四边形4BCD为长方形，

：.AB//CD,AD//BC,

：A（-6,2）,B（2,2）,C（2,—3）,

.•.点D的横坐标与点力相同，为一6,

点D的纵坐标与点C相同，为-3,

二点D的坐标为（—6,—3）.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，解题关键是利用矩形“对边平行且相等”的性质解决问题.

【变式5-1］（23-24八年级下•河南新乡•阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的四个顶点坐标均已

标出，那么a—b的值为（）

A.-3B.-1C.3D.1

【答案】D

【分析】本题考查代数式求值，涉及矩形性质、中点坐标公式等知识，熟练掌握矩形性质及中点坐标公

式是解决问题的关键.由矩形的对角线交于一点，且对角线相互平分，从而由中点坐标公式求出对角线

交点。的坐标，列方程求解即可得到a,b的值，代入代数式求解即可得到答案.

【详解】解：如图所示：

24

（5,5）/9,2）

O

由中点坐标公式可知AC中点0的坐标为（一,詈），即0（等,葭）;

BD中点。的坐标为（等,等），即。得,同；

fa+9=20

8+b=15'

解得k/,

a—b=11-10=1,

故选：D.

【变式5-2］（22-23八年级下•重庆江津•期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形。ABC的顶点4（-2,1）,

C（2,4）,点B在y轴上，则点B的坐标为

【答案】（0,5）

【分析】由两点距离公式可求AC的长，由矩形的性质可求。8=4C,即可求解.

【详解】解：连接4C,

•••四边形力BCO是矩形,

•••OB=AC=5,

25

二点B的坐标为(0,5),

故答案为：(0,5).

【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，掌握矩形的对角线相等是解题的关键.

【变式5-3](23-24八年级下•云南昆明•期中)如图，在平面直角坐标系中，矩形O4BC的顶点A,C的坐标

分别为(10,0),(。,4),点。是。力的中点，点P在BC上运动，当OP=PD时，点P的坐标是()

A.(2.5,4)B.(3,4)C.(4,4)D.(5,4)

【答案】A

【分析】此题主要考查了坐标与图形的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，由点。是。力的中点，可得

出点D的坐标，当。P=PD,由等腰三角形的性质即可得出点P的坐标

【详解】解：过点P作PM1。。于点M,

■.■矩形6MBe的顶点4c的坐标分别为(10,0),(0,4),点。是04的中点,

•••点。(5,0)

vOP=PD,PM1OD,

OM=DM,

即点M(2.5,0)

•••点P(2.5,4),

故选：A

考点六：矩形与折叠问题

例6.(23-24八年级下•全国•开学考试)已知：将长方形4BC0沿直线AC对折，将点B折到点E处，AE

交CD于点F,

(1)求证：△4CF是等腰三角形；

(2)若CD=16cm,AD=8cm,求△4CF的面积.

【答案】(1)见解析

⑵44CF的面积为40cm2

【分析】本题考查了矩形中的折叠问题，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握相

关的知识.

26

（1）根据矩形的性质可得4B||CD,得到乙4CF=ABAC,结合折叠的性质可得々CF=^FAC,即可证

明；

（2）设4F=CF=x,则£>F=16-x,在RtAADF中，由勾股定理求出久，最后根据S》CF=初广力。，

即可求解.

【详解】（1）证明：••・四边形4BCD是矩形，

AB||CD,Z.D=90°,

Z.ACF=Z-BAC,

由折叠可得：N凡4c=/-BAC,

Z.ACF=Z.FAC,

AF=CF,

・•・△4CF是等腰三角形；

（2）解：设4F=CF=x,则DF=CD—CF=16一居

在Rt^ADF中，由勾股定理可得：AF2-DF2^AD2,即/一（16—x）2=82,

解得：x=10,

CF=10cm,

11o

SAACF=2CF-AD=-X10x8=40cm2.

【变式6-1］（23-24八年级下•云南昆明•期中）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对

称性质解决的相关问题.数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动.

图1图2

【操作】如图1，在矩形4BCD中，点M在边ZD上，将矩形纸片力BCD沿MC所在的直线折叠，使点。落

在点D'处，MD'与BC交于点N.

【猜想】（1）请猜想线段MN、CN的数量关系，并证明.

【应用】（2）如图2,继续将矩形纸片4BCD折叠，使4M恰好落在直线MD'上，点月落在点4处，点B

落在点B’处，折痕为ME.若CD=4,MD=8,求EC的长.

【答案】（1）证明见解析；（2）10

【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识，熟

练掌握折叠的性质是解题关键.

（1）由折叠的性质可得NCMD=NCM。'，再证明NCMD=NMCN,易得NCM。'=NMCN,即可证明

MN=CN；

（2）由折叠的性质可得乙D=Z.D=90°,DC=DC=4,MD=MD'=8,设MN=NC=x,易得ND,=

27

8-x,在RtaND'C中，由勾股定理解得x的值，易知MN=NC=5,同理可证明EN=MN=5,然后

计算EC的长即可.

【详解】（1）解：MN=CN,理由如下：

:矩形纸片ABCD沿MC所在的直线折叠，

:.乙CMD=4CMD',

..•四边形4BCC是矩形，

J.AD//BC,

：.ACMD=乙MCN,

：.^CMD'=乙MCN,

：.MN=CN；

（2）:矩形48CD沿MC所在直线折叠，

：2D=Z£>'=90°,DC=DC=4,MD=MD'=8,

设MN=NC=x,

:.ND'MD'-MN=8-x,

在RtZkND'C中,AD'=90°,

；.ND'2+D'C2=NC2,

.,.（8-x）2+42=%2,解得x=5,

：.MN=5,

：.MN=CN=5,

同理可证明EN=MN=5,

：.EC=EN+CN=10.

【变式6-2］（23-24八年级下•全国•单元测试）把一张矩形ZBCD纸片按如图方式折叠，使点/与点E重合,

点C与点尸重合（E、尸两点均在BD上），折痕分别为BH,DG.

⑴求证：四边形8GDH为平行四边形；

（2）若AB=6,BC=8,求线段FG的长.

【答案】（1）见解析

（2）3

【分析】本题主要考查了与矩形有关的折叠问题，平行四边形的证明及勾股定理，准确分析计算是解

题的关键.

（1）根据矩形的性质和折叠的性质证明即可；

28

(2)由折叠可得FG=CG,DF=DC=6,/DFG=NC=90。，在根据勾股定理计算即可；

【详解】(1)证明：•・•四边形4BCD为矩形，

・•.AB//C