2025年高考一轮复习第三次月考卷（测试范围：除解析几何、统计概率外）（解析版）

2025年高考一轮复习第三次月考卷01（测试范围：除解析几何、统计概率外）

（满分150分，考试用时120分钟）

一■选择题

1.已知集合河={%1%vO},N={%]—2v，v4},则他M)cN=()

A.{x\x>-2}B.[x\—2<x<0]

C.{x\x<4]D.{x|0<x<4}

【答案】D

【分析】由集合的补集和交集运算可得.

【解析】^M={x\x?0},

所以他M)cN={x|0<x<4},

故选：D.

2.命题〉％3”的否定是（)

A.Vx>0,x2>x3B.Vx>0,x2<x3

C.Vx<0,x2<x3D.Bx>0,x2<x3

【答案】B

【分析】根据存在量词命题的否定即可得解.

[解析]命题〃自>0,>>%3〃的否定是〃V%>0,%2<%3〃.

故选：B.

3.已知忖=2同，若日与5的夹角为60。，则21-5在5上的投影向量为（）

1fl33

A.—bB.——rbC.——rbD.—br

2222

【答案】B

【分析】应用向量的数量积及运算律，结合投影向量公式计算即可得解.

【解析】因为W=2同，五与5的夹角为60。，

所以无B=同|5卜0$60。=同x2同=，

则（22—孙5=2无5—52=2同2—4同2=_2同2,

（2a-b\b5-2司251-

所以2N-B在石上的投影向量为

\b\\b\2a\2\a\2

故选：B.

4-已知小）="；」；：盘贝厅6-3））=（）

A.--B.0C.-D.—

222

【答案】D

【分析】先求〃-3）=g,再求〃/（-3））=/,J=si吟，即可求解.

【解析】根据已知〃-3）=-（-3尸=g,

所以/（〃-3））=C=sing=#.

故选：D.

5.a、B、7是平面，a,b,c是直线，以下说法中正确的是（）

A.aVy,yn10B.\i_b,cLbnallc

C.a±y,0Ly,al/?=a=a_LyD.blla,6//£na//£

【答案】C

【分析】利用空间中直线、平面的位置关系一一判定选项即可.

【解析】对于A,。，。可以平行，也可以相交，

对于B,a,c可以平行，可以相交，也可以异面，

对于D,a,夕可以平行，也可以相交，

对于C,不妨设夕口7=机,6r|y=〃，在平面a内作

因为a，/,则同理在平面夕内作则f，7,

所以//",

又S，tuB，贝/〃尸，而cc，=。，所以/〃a,所以。，乙即C正确.

故选：C

6.清代的苏州府被称为天下粮仓，大批量的粮食要从苏州府运送到全国各地.为了核准粮食的数量，苏州

府制作了"小嘴大肚”的官斛用以计算粮食的多少，五斗为一斛，而一只官斛的容量恰好为一斛，其形状近似

于正四棱台，上口为正方形，内边长为25cm,下底也为正方形，内边长为50cm,斛内高36cm,那么一斗

米的体积大约为立方厘米？（）

A.10500B.12500C.31500D.52500

【答案】A

【分析】利用棱台的体积公式，即可计算得出答案.

【解析】一角斗米的体积为V=g（S上+S下+JS上S下）/Z=1X（252+502+25X50）X36=52500（cm3）,

因为五斗为一斛，所以一斗米的体积为g=10500（cm3）,

故选：A.

7.已知正项等比数列｛%｝满足%=3,且-3q,%,生成等差数列，则数列｛q｝的前〃项和为（）

„3"+1-3、3”-3「3m+3C3"+1-1

A.---------B.-------C.---------D.--------

2244

【答案】A

【分析】设正项等比数列｛4｝的公比为以4>0）,根据等差中项的性质及等比数列通项公式得到方程，求出

4,再由等比数列求和公式计算可得.

【解析】设正项等比数列｛a,,｝的公比为q（q>0）,

由为=3,且-3%,a2,a3成等差数列,

12

得2a2=%_341，BP1aAq=axq-3a；,BP6q=3q-9,

解得4=3或q=T（舍去）.

・S-3(1一3")3用-3

“1-32

故选：A.

%一11

8.已知函数〃力满足对任意的羽”。，位）且xv,都有了y

1—孙x*+5〃+5

HEN*，则q+4+。3T+〃2024)

253253253253

A.f

385380765760

【答案】D

%一

【分析】根据了y,再用裂项相消法求

1—xy

%+%+。3+…+。2024的值.

x—y

【解析】回函数八%）满足对任意的羽y«i,+8）且都有了

1—xymi

x—y(〃+2)-(〃+3)1

回令x=〃+2,y=〃+3,则

1-xy1一(〃+2)(〃+3)n2+5n+5

111

回

+5〃+5〃+2"十3

111

回。］+%+。3+，，+4024+,••+/

34I20262027

13-2027253

I20271-3x2027760

故选：D

【点睛】关键点点睛：本题主要考查数列的求和问题，关键是理解数列的规律，即研究透通项，本题的关

111

键是将通项分析为：a=f

n+5〃+5n+2〃+3

二、多选题

9.已知Q>0,Z?>0,ab=2,则（）

A.log2a•log?6的最大值为:B.2"+4"的最小值为8

1A3

c.〃+犷的最小值为4后D.；的最小值为:

ba2

【答案】BCD

【分析】利用基本不等式判断A、B、C,由+令〃6）=彳+62仅>0）,利用导数说明函数

的单调性，即可求出函数的最小值，从而判断D.

【解析】因为。>0,b>0,ab=2,

alo

对于A：log2«.log2b<p°g2+g2,^J=^12^J=；当且仅当°=6=0时等号成立，故A错误;

对于B：2"+4,=2"+2?'22'2"•2?》S*2b22)2?应"=8，当且仅当〃=2,b=l时等号成立，故B正确;

对于c：6Z3+Z?3=(a+b)(〃2一〃人+62)=(4+6)(〃2-2+^2),

又〃+人22y[ab=2\/2,a2+b2>2ab=4,a2+b2—2>2

所以〃3+〃3»4及，当且仅当Q=b=行时等号成立，故C正确;

设/(6)=|+/仅>0),贝I」/3=_1+26=^^=2(1-：邛+1),

所以当0<b<l时/'㈤<0,则外6)单调递减，

当。>1时/色)>0,则46)单调递增,

所以/'0)2/(1)=3,

所以1;+2h的最小值为3:，当且仅当6=1、。=2时取等号，故D正确.

ba2

故选：BCD

10.函数〃x)=Asin(0x+0)[A>O,0>O,|d<m的部分图象如图所示，则()

A.该图像向右平移BTT个单位长度可得>=3sin2x的图象

B.函数y=/(x)的图像关于点[/。)对称

C.函数y=f(x)的图像关于直线工=-25兀对称

2兀71

D.函数y=/（%）在一■上单调递减

3o

【答案】ABC

【分析】利用图象求出函数的解析式，利用三角函数图象变换可判断A选项.利用正弦型函数的对称性可判

断BC选项；利用正弦型函数的单调性可判断D选项;

【解析】由图象知，A=3,函数的周期7=4后一方卜无，则。=豪=2,贝l]〃x）=3sin（2x+。），

由=3得2xA+9=g+2E，%eZ,而悯＜?,则％=0,。=?,因此“无）=3si42尤+1对于A,函

数＞=〃力图象向右平移煮个单位长度，得小f=3sin2尤即y=3sin2尤的图象，故A正确,

对于B,71-^j=3sin^-|+|j=0,则〃x）的图象关于点对称，故B正确；

对于C,/f-^=3sinf-^+^=-3,则函数〃x）的图象关于直线工=-誓对称，故C正确;

\!■NJ\UD/J.Z

对于D,当尤e时，2x+汨-兀,0],当2x+1=q,即彳=-需时，”尤）取得最小值，所以函

27r7T

数y=/（x）在一7，-]上不单调，故D错误.

故选:ABC

11.在长方体耳G2中，AD=2AB=2AAt=4,E是棱Bg的中点，过点2,E,2的平面。交

棱AO于点片尸为线段。酒上一动点（不含端点），则（）

A.三棱锥尸-ABE的体积为定值

B.存在点尸，使得OPLc

C.直线PE与平面8CG5所成角的正切值的最大值为加

D.三棱锥外接球的表面积的取值范围是（12万,44万）

【答案】ACD

【分析】对于选项A,利用面面平行的性质，得到。/〃平面ABC,从而可判断出选项A正确；对于选项

B,假设存在，可推出所，平面①。。，从而判断选项B错误；对于选项C,利用线面角的定义，找出线

面角为NPEP,从而在Rt^PPE中，求出tanNPEP的值，进而判断选项C正确.对于选项D,利用球的截

面圆的几何性质，找出球心在直线002上，利用产=/+屋，建立方程|0。|2+|0田|2=|。02|2+|02尸|2,

从而求出球的表面积的取值范围.

【解析】对于A,因为平面4412A//平面

根据面面平行的性质，平面a与这两个平面的交线互相平行，

即D尸//BE,因为D/Z面ABE,3Eu面ABE,

所以//平面ABE,又点尸在线段RF上，

所以三棱锥尸-ABE的体积为定值，故A正确；

对于B,若存在点P,使得因为班'ua,

则因为尸，DD、cDP=D,

OA，r»Pu平面A412n，所以3尸_L平面441A。，

与题意矛盾，故B错误；

对于C,如图1所示，

图1

取BC的中点。，连接GQ，则点尸在平面3CG旦内的射影尸，在CQ上,

直线PE与平面3CG瓦所成角即/PEP,

且有tanNPEP=詈，由已知可得IPP'\=2,

|£尸'1最小为四,所以tan/尸EP的最大值为正，故C正确;

对于D,如图2,

取42的中点G,连接AG,分别取BE,AG的中点。1,02,

连接。02,因为是等腰直角三角形，

所以三棱锥尸-8瓦£外接球的球心O在直线002上,

设三棱锥P-BB.E外接球的半径为R,则|031=|OP^R,

所以|。。『+10网2=|OR1+1a尸『,

设|OQ|=d,则筋+2=(2-dy+ia尸F，

所以d=J_+吆小，当点P与尸重合时，

24

102Pl取最小值夜,此时d=l,R2=3,

三棱锥外接球的表面积为4兀代=12兀，

当点P与，重合时，102Pl取最大值历，

止匕时d=3,R2=11,二棱锥尸-明石外接球的表面积为4欣2=44%,故D正确.

故选：ACD.

【点睛】关键点点睛：对于选项D,利用球的截面圆的几何性质，找出球心在直线。|。2上，利用铸=产+屋,

22

建立方程1。&『+1。乃『=1OO2|+|O2P|,从而求出球的表面积的取值范围.

三、填空题

12.已知2=》+同,羽”口1是虚数单位，复数六+i是实数.则忖的最小值为.

【答案】&

【分析】

根据复数代数形式的除法运算化简复数2+i,依题意可得x+；+2=o,即旷=一了-2,再计算忖，由

二次函数的性质求出最小值.

7元+yiIi_(x+V)(l+i)

【解析】因为百+i=+i

1-i-(l-i)(l+i)

_x-y+(x+y)i._x-yx+y+2.

222

又复数三+i是实数，所以x+f+2=o,即y=-x-2,

l-i2

所以回=yjx2+y2=J%?+(_兀_2/-也%〉+4。+4=++2,

所以当x=—l,丁=一1时|z1mhi=6.

故答案为：也

13.已矢口直线＞=质伏wO)与曲线y=2/—3d相切，贝|」左=

【答案】-1

【分析】利用导数的几何意义以及切线过点（0,0）求切线的斜率.

【解析】设直线＞=丘（4片0）与函数“彳户？/7%3相切，切点为：尸（%,2%：-3片），

因为/'（0=8「-9尤2,所以切线斜率为：1=F（%）=阮一9片.

所以切线方程为：＞-（2片-3片）=（8片-9片）（x-x°）.

由切线过点（0,0）,得：-（2父一3喇=一飞（8第一9%）

所以一片（2%-3）=-片（8%-9）,解得:%=0或%=1.

所以左=/（o）=o（舍去）或左=/（1）=-1.

故答案为：-1

14.已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为4#,高为6拒,其内切球与面B4B切于点球面上与P距离最

近的点记为N,若平面。过点M,N且与AB平行，则平面。截该正四棱锥所得截面的面积为.

【答案】9V3

【分析】取筋，8中点Q，R，连PQ，网，。尺，取“中点S,连PS,则PS±平面ABCD,根据已知可得APQR

为正三角形，正棱锥尸-ABCD内切球的球心为正APQR的内心。，与面R4B切于点M为尸。中点，球面上

与尸距离最近的点为OP与球面的交点，即在OP之间且ON长为内切球的半径，连MN并延长交尸R于/,

平面a过与A3平行，可得平面a分别与平面「45、平面尸CD的交线为过M,1与AB平行的直线，即

可得到截面为梯形，根据长度关系，即可求解.

【解析】取中点Q，R,连PQ,PR,QR,取。R中点s,连PS,

则RQLAB,S为正方形A3CD的中心，四棱锥P-ABCD是正四棱锥，

所以PSL平面A3C。，.•.尸S=60，

在R3SQ中，PQ=^PS2+（年产=在2+24=476,

同理PR=4而，所以APQR为正三角形，

所以正四棱锥尸-ABCD内切球的球心为正APQR的内心。，

内切球的半径是正APQR的内切圆半径为20,

内切球与平面R4B的切点〃为正APQR内切圆与直线PQ的切点，

所以M为PQ中点，球面上与P距离最近的点为连OP与球面的交点，

即在OP之间，且ON=20因此N为。P中点，

连并延长交尸R于/,平面a过M,N,/与直线平行，

设平面a分别与平面上钻、平面PCD交于E£G”,

因为ABu平面F4B,所以所〃AB,又因为AB〃CD,CD^a,

所以CO〃a,同理可证G〃〃CD,所以EF"GH,连GF,HE,

则梯形£FG”为所求的截面，因为

尸5口尺。=5,所以AB,平面PQR,/Mu平面尸QR,

所以〃跖，所以防，的，

连OQ,则。。为NPQS的角平分线，所以4QO=30。，

又因为M,N分别为PQ,PO的中点，所以“N〃。。，

所以/尸必=/尸。。=30。，而NMP/=60。，所以NP/M=90。，

所以MI=PMcos30°=3y/2,PI=PMsin30°=76=—,

4

又“G〃CD,所以HG=8=",

4

所以截面梯形EFGH的面积S=1M/-(EF+GH)=1X3A/2X3A/6=9^.

故答案为：9K.

【点睛】本题以多面体的内切球为背景，考查空间线、面位置关系，应用直线与平面性质确定截面是解题

的关键，要注意平面几何知识的应用，考查直观想象、逻辑推理能力，属于较难题.

四、解答题

15.已知a/,c分别为V4BC的内角A,B,C的对边，且c(acos3—bsinA)=〃一〃.

⑴求A；

(2)若a=2,VA3C的面积为2,求6+c.

【答案】⑴A=：

⑵2+2正

【分析】(1)根据余弦定理代入化简，结合角的范围即可求解;

(2)根据三角形面积公式和余弦定理代入求解即可.

n2-h2

【解析】（1）在VA3C中，由余弦定理得，cos2=

2ac

代入c(acosB-bsinA)=a2-b2,

(a+C1-b1.z2

则ca------------bsmA\=a2-b,

IlacJ

即a2-^-c2-b2-20csinA=2a2-2b2,

日n..b2+c2-a2.

即sinA=---------=cosA,

2bc

因为Ae(O,7t),所以tanA=l,贝！]A=；

(2)因为VA3C的面积为2,

所以gbcsinA=2,即6c=40，

_jr

又因为a?=/+/_2bccosA,Q=2,A=—,所以82+，=]2,

4

则(6+c)2=62+c2+2尻=12+8及，则6+c=2+20

16.如图，已知正三棱柱ABC-A4G，皿=&A4,，D，E分别为棱的中点.

（1）求证：A3,平面AC］。；

⑵求二面角A-CQ-E的正弦值.

【答案】⑴证明见解析

⑵如

3

【分析】利用线面垂直判定定理来证明；用向量法计算两平面夹角的余弦值，再求夹角的正弦值；

【解析】（I）取中点尸，由正三棱柱性质得，A与。G，EB互相垂直，以。为原点，分别以皿QG，

。产所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

不妨设A4j=2,则44=2血,

则用一在0,0）,4（-夜,0,2）风在0,2）,。1（0,#,0）,符冬半，2.

\7

证明：4B=（2^,0,2）,DA=（-V2,0,2）,Dq=（0,A/6,0）,D£=|^,^,2

由率•市=（2忘,0,2）•卜应,0,2）=-4+0+4=0,得AB_LAO,

由福・西=仅"0,2）.（0,而0）=0+0+0=0,得ABLDG，

因为AD,DQu平面AC.D,ADADC,=D,所以，平面AQD.

（2）

由(1)可知率=(2忘,0,2)为平面AG。的一个法向量，设否=(x,y,z)平面CQE的法向量,

ri'DE=0

则<

n-DCy=0

（x,y,z）.（0,指,0）=0.

令z=l,得面GOE的一个法向量为法=卜20,0,1),

设二面角A-CQ-E的值为6,

‘所以‘二面角4一。一"的正弦值为当

则|cosq=

丽RI

17.已知(为正项数列｛%J的前〃项的乘积，且为=3,窘=。产.

⑴求数列｛厮｝的通项公式;

(2)设么二"9,数列出"的前"项和为S“，证明：S„>n-1.

°”十1

【答案】⑴氏=3

(2)证明见解析

【分析】(1)根据题意可求出片，然后两边取对数得出ga“+i=(〃+l)lgq,从而得出数列且上是

常数列，从而可求解;

2

(2)根据(1)中结论可求出勿=1-匕，从而可得出S,，再结合放缩法及等比数列的前〃项和公式即可

证明.

【解析】(1)"=。片，

所以*=。工an+2

谭r，即服=<1

an

+1

两边取常用对数得lg<+1=lg<，

得〃lga向=(n+l)lgan,所以星"=里"=…=毕=坨3,

〃+1n1

所以数列[幽4为常数列，所以1g4=〃1g3=lg3",

所以册=3".

a-13M-12

(2)证明：由(1)知%=3",所以"=鼠=一=1一正力,

则fHU>…+[1-累

J1111

(甲+132+13"+1)

又因为3〃+]<-，

111111

所以----------1------------1------1----------<—H——H-----1------=

+132+13"+131323〃

故”-24+1+…+-q

>n-1.

32+13n+lJ

18.如图①，将"个完全一样质量均匀长为L的长方体条状积木，一个叠一个，从桌子边缘往外延伸，最

多能伸出桌缘多远而不掉下桌面呢？这就是著名的"里拉斜塔问题”.

长为g，如图③，若"=2,欲使整体伸出桌缘最远，在保证所有积木最长棱与桌缘垂直的同时，可先将上

面积木的重心与最下方的积木伸出桌外的最远端齐平，然后设最下方积木伸出桌外的长度为％,将最下方积

木看成一个杠杆，将桌缘看成支点，由杠杆平衡原理可知，若积木恰好不掉下桌面，则上面积木的重力G乘

以力臂x,等于最下方积木的重力G乘以力臂得出方程GX=G]:-'，求出x=（.所以当叠放

两个积木时，伸出桌外最远为£+|-芋，此时将两个积木看成整体，其重心恰与桌缘齐平.如图④，

使前两块积木的中心。2与下方的第三块积木伸出桌外的最远端齐平，便可求出〃=3时积木伸出桌外的最远

距离.依此方法，可求出4个、5个直至〃个积木堆叠伸出桌外的最远距离.（参考数据：50<e4<55,e为

自然常数）

⑴分别求出〃=3和〃=4时，积木伸出桌外的最远距离.（用L表示）；

（2）证明：当〃=64时，积木伸出桌外最远超过2L;

⑶证明：当"=352时，积木伸出桌外最远不超过手.

11125

【答案】⑴当力=3时，最远距离为"工，当〃=4时，最远距离为c

127247

⑵证明见解析

⑶证明见解析

【分析】（1）将前”-1个看成一个整体，结合题意列式计算即可得；

（2）将前”-1个看成一个整体，设第〃个积木伸出桌外的长度为尤“，可得当=£,即有当”=64时，积木

2n

堆叠伸出桌外的最远距离为…构造函数/（0=尤-:ln（x+l）,结合导数研究函数单调性

n+1，即可得〃将〃代入即可得证;

可得一〉In1+,+…+L>ln(+1),=64

nn2nv7

n+11―-111

(3)构造函数g(x)=ln(尤+1)-缶■，结合导数研究函数单调性可得In>7，故有—■+—H-----1—<qInn,

n〃+l23n

将〃=352代入即可得证.

|-xLLLLU

【解析】(1)当〃=3时，有2Gx=G,则nil九=一，一+—I—=—LT,

624612

|-xL,,11L_25

当〃=4时，有3Gx=G'则尤=京‘故丘"十五人T

故当〃=3时，积木伸出桌外的最远距离为小,

25

当〃=4时,积木伸出桌外的最远距离为五L,

(2)当〃个积木堆叠伸出桌外时，前〃-1个看成一个整体,

设第〃个积木伸出桌外的长度为X“，则有(〃-1)X.G=G](-X.

，解得玉

2n

故当〃=64时，积木堆叠伸出桌外的最远距离为:

LLLL+雪—

-----1------F•••H------------——1

242x6422364

1丫

^/(x)=x-ln(x+l)(x>0),贝U尸(x)=l--^=合>0,

人i1A-iJL

故了(%)在(0,+8)上单调递增，故/(%)>"0)=0,

令尤=1，则有！_in(，1+“>0,即工1>ln〃+1

nnnnn

故23

1+;+…+->ln-+ln-+...+ln-^l=ln—X—X••,x=ln(n+l),

n12n12

即1+/+-----H—>In65,又50<匕4<55,故In65>Ine"=4,

LiinLL

故一1+—+—+•••+—>—x4A=2£,

212364J22

即当〃=64时，积木伸出桌外最远超过2L;

(3)由(2)知，当〃=352时，积木堆叠伸出桌外的最远距离为:

LLLL

—I-----1--------1--------------=——1+LL..+J-

242x352223352

4>^(x)=ln(x+l)-—^-(x>0),

则()x+l-xX

gx=±>0

(x+1)2(x+1)2

故g(%)在(0,+8)上单调递增,故g(力>g(0)=0,

即有In(%+1)>在(0,+8)上恒成立，

1

令X」，则有In(四］〉-j~^二，p

n\nJJ_+|n+1

n

w213J〃)111

12\n—lJ23n

BP—+-+­­•+—<lnn,则1+)+」+…+^—<l+ln352,

23n23352

要证当“=352时，积木伸出桌外最远不超过半，

4

只需证g(l+ln352)〈手，即证ln35246.5,

352

由50—<55,^ln352-4<ln—=ln7.04,

即只需证In7.04<2.5,由7.042=49.5616<50<e4,

故ln7.04<2,即得证.

【点睛】关键点点睛：本题关键点有两个，一个是由题意得到第〃个积木伸出桌外的长度为x“时，有

(n-l)x„G=G^--xI,可得x“=奈即可得”个积木堆叠伸出桌外的最远距离为耳法，第二个是证明

(2)、(3)问时，构造对应函数/(x)=x-ln(x+l)及g(x)=ln(x+l)-±,通过研究函数单调性，得到

14----F,,H—>In(n+1)—I----F,••H—<Inn.

2nv723n

19.若函数〃x)在区间〃上有定义，〃x)在区间M上的值域为N,且NgM,则称M是〃x)的一个"值

域封闭区间

⑴已知函数/⑺=3/+2x2,区间M=[0,>0)且M是f(x)的一个"值域封闭区间”，求t的取值范围;

⑵已知函数g(x)=ln(x+l)+[x3,设集合p