2025年华东师大版七年级数学寒假提升讲义：图形的初步认识（含答案）

专题03图形的初步认识

——•模块导航•考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢

重点专攻：知识点和关键点梳理,查漏补缺

难点强化：难点内容标注与讲解,能力提升

提升专练：真题感知+精选专练，全面突破

考点聚焦

目录

考点一：几何体的识别4

考点二：点、线、面、体6

考点三：三视图7

考点四：正方体的展开图11

考点五：直线、射线、线段的相关概念13

考点六：线段和直线的基本性质问题15

考点七：角的表示方法16

考点八：方位角、钟面角问题17

考点九：求一个角的余角、补角20

考点十：尺规作线段或角21

考点十一：与线段及线段中点有关的计算23

考点十二：与余角、补角有关的计算26

考点十三：与角平分线有关的计算问题29

考点十四：几何图形中动角探究数量关系问题32

<»重点专攻------------------------------------------

【知识点01】立体图形的认识

1.有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等）的各部分不都在

同一个平面内，这就是立体图形.

2.立体图形分类：除了按照柱体、锥体、球分类，也可以按照围成几何体的面是否有曲面

试卷第1页，共25页

划分：①有曲面：圆柱、圆锥、球等；②没有曲面：棱柱、棱锥等.

3.棱柱的有关概念及其特征：

①在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱，棱柱所有侧棱长

都相等，棱柱的上下底面的形状、大小相同，并且都是多边形；棱柱的侧面形状都是平行四

边形.

②棱柱的顶点数、棱数和面数之间的关系：底面多边形的边数力确定该棱柱是〃棱柱，它

有2〃个顶点，3〃条棱，〃条侧棱，有〃+2个面，〃个侧面.

【知识点02】点、线、面、体的关系

①体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点.

②点动成线，线动成面，面动成体.

③点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界.

【知识点03】三视图

①会判断简单物体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图.

②能根据三视图描述基本几何体或实物原型.

注意：①看的见得棱画实线，看不见的棱画虚线；②圆锥从上面看不要丢了圆心点.

【知识点04】正方体的平面展开图

正方体是特殊的棱柱，它的六个面都是大小相同的正方形，将一个正方体的表面展开，可以

得到11种不同的展开图，把它归为四类：一四一型有6种；二三一型有3种；三三型有1

种；二二二型有1种.

正方体展开图口诀：①一线不过四；田凹应弃之；②找相对面：相间，"Z’端是对面；③

找邻面：间二，拐角邻面知.

【知识点05】线段、射线、直线

1.直线，射线与线段的区别与联系

类别、直线射线

图形AB1AB1AB1

①袅示两端点的两

①两个大写字母；两个大写字母，表示

表示方法个大写字母;②一个

②一个小写字母端点的字母在前

小写字母

端点个数无1个2个

延伸性向两方无限延伸向一方无限延伸不可延伸

性所两点碟定一条直或两点之间，蚁段最短

度-不可以不可以可以

作图叙述过4、8作支线48以4为端点作射饯,48连接48

试卷第2页，共25页

2.基本性质

（1）直线的性质：两点确定一条直线.（2）线段的性质：两点之间，线段最短.

要点诠释：

①本知识点可用来解释很多生活中的现象.如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就

可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线.

②连接两点间的线段的长度，叫做两点间的距离.

3.画一条线段等于已知线段

（1）度量法：可用直尺先量出线段的长度，再画一条等于这个长度的线段.

（2）用尺规作图法：用圆规在射线4C上截取43=a,如下图：

4.线段的比较与运算

（1）线段的比较：

比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法.

（2）线段的和与差：

如下图，WAB+BC=AC,或NC=a+b；AD=AB-BD.

（3）线段的中点：

把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点.如下图，有：AM=MB=^AB

♦・♦

AMI）

要点诠释：

①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有则点M为线段的

中点.

②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图，

点M,N,尸均为线段的四等分点.

试卷第3页，共25页

AM=MN=NP=PB=-AB

4

【知识点06】角与角的和差

1.角的定义与换算

（1）角的定义

1.角的定义：角也可以看成是一条射线绕着它的一个端点旋转到另一个位置所成的图形.

2.角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两

条射线是角的两条边；止匕外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.

（2）角的表示方法

角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字

母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图：

要点诠释：（1）用三个字母表示角时，表示顶点的字母必须写在另两个字母的中间.如

乙衣JB；

（2）在不引起混淆的情况下，角还可以用它的顶点字母来表示.如

（3）角可以用希腊字母来表示，一般地，用希腊字母表示一个角时，需在角内靠近顶点处

画上弧线.如Na；

（4）角可以用一个数字来表示，一般地，用一个数字表示一个角时，需在角内靠近顶点处

画上弧线.如41.

（3）角度制及角度的换算

1周角=360。，1平角=180。，1。=60',1'=60",以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度

制.

要点诠释：

①度、分、秒的换算是60进制，与时间中的小时分钟秒的换算相同.

②度分秒之间的转化方法：由度化为度分秒的形式（即从高级单位向低级单位转化）时用

乘法逐级进行；由度分秒的形式化成度（即低级单位向高级单位转化）时用除法逐级进行.

③同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超60进一，减一成

60.

试卷第4页，共25页

（4）角的分类

邛锐角直角钝角平角周角

范围0<少<90。乙6=90。90°<z^<180°4=180。”=360。

（5）画一个角等于已知角

（1）借助三角尺能画出15。的倍数的角，在0〜180。之间共能画出11个角.

（2）借助量角器能画出给定度数的角.

（3）用尺规作图法.

2.角的比较与运算

（1）角的比较方法：①度量法；②叠合法.

（2）角的平分线：

从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如

下图，因为。C是乙402的平分线，所以N1=N2=；ZJO2,或ZJO5=2N1=242.类似地，还

有角的三等分线等.

【知识点07】余角、补角

1.余角、补角

余角：如果两个角的和是一个直角，那么这两个角互为余角.

补角：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角.

（1）若41+42=90。，则N1与N2互为余角.其中N1是N2的余角，42是N1的余角.

（2）若41+22=180°,则N1与N2互为补角.其中N1是N2的补角，42是N1的补角.

（3）结论：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等.

要点诠释：

①余角（或补角）是两个角的关系，是成对出现的，单独一个角不能称其为余角（或补

角）.

②一个角的余角（或补角）可以不止一个，但是它们的度数是相同的.

试卷第5页，共25页

③只考虑数量关系，与位置无关.

④”等角是相等的几个角”，而“同角是同一个角”.

2.方位角

以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角.

要点诠释：

（1）方位角还可以看成是将正北或正南的射线旋转一定角度而形成的.所以在应用中一要

确定其始边是正北还是正南.二要确定其旋转方向是向东还是向西，三要确定旋转角度的大

小.

（2）北偏东45。通常叫做东北方向，北偏西45。通常叫做西北方向，南偏东45。通常叫做

东南方向，南偏西45。通常叫做西南方向.

（3）方位角在航行、测绘等实际生活中的应用十分广泛.

提升专练

一考点剖析

考点一：几何体的识别

例题：（23-24七年级上•辽宁大连•期末）

1.下面几何体中，是圆锥的为（）

【变式训练】

（23-24七年级上•浙江台州•期末）

（23-24七年级上•山西大同•期末）

3.下列几何体中，属于棱锥的是（）

试卷第6页，共25页

A.B.

考点二：点、线、面、体

例题：（23-24七年级上•河南许昌•期末）

4.中国扇文化有着深厚的文化底蕴；历来中国有“制扇王国”之称.如图，打开折扇时，随

着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为（）

A.点动成线B.线动成面C.面动成体D.两点确定一条直线

【变式训练】

⑵-24七年级上•山东德州•期末）

5.朱自清的《春》一文里，在描写春雨时有“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这

里用数学的眼光来看其实是把雨滴看成了把雨看成一，说明一（）

A.点；直线；点动成线B.点；线；点动成线C.线；面；线动成面

D.线；面；面动成体

（23-24七年级上•安徽阜阳•期末）

6.如图，由所给的平面图形绕虚线旋转一周，可得到的几何体是（）

试卷第7页，共25页

A.B.C.D.

（23-24七年级上•云南文山•期末）

7.已知长方形的长为内宽为6,将其绕着它的一边所在的直线旋转一周，得到一个立体图

形.

（1）用含a、b的代数式表示这个立体几何的体积；（结果保留兀）

（2）若”=3cm,b=4cm,求这个几何体的体积.（it取3）

考点三：三视图

例题：（23-24七年级上•四川遂宁•期末）

8.一个几何体由一些大小相同的小正方体组成，如图是它的主视图、左视图和俯视图，那

么组成该几何体所需小正方体的个数是—.

incG

主视图左视图俯视图

【变式训练】

（22-23七年级上•山东济南•期中）

9.如图是由棱长都为1cm的6块小正方体组成的简单几何体.

主视图左视图俯视图

（1）请在方格中画出该几何体的三个视图.

（2）如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持主视图和左视图不变，最多可以再添

试卷第8页，共25页

加块小正方体，

(3)直接写出添加最多的小正方体后该几何体的表面积(包含底面).

(23-24七年级上•江苏常州•期末)

10.把边长为1厘米的10个相同正方体如图摆放.

(1)画出该几何体的主视图、俯视图；

⑵该几何体的表面积为一cm。；

(3)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的主视图和俯视图

不变，那么最多可以再添加_个小正方体.

(23-24七年级上•江苏徐州•期末)

11.如图是用10个棱长是1cm,大小相同的小正方体搭成的几何体.

(1)请你画出该几何体的三种视图(不要涂成阴影).

(2)这个几何体的表面积是一cn?(包含底部)；

(3)如果要保证俯视图和左视图不变，最多可以增加_个小正方体;

(4)如果要保证三个视图都不变，最多可以增加_个小正方体.

考点四：正方体的展开图

例题：(2024七年级上•全国•专题练习)

12.如图所示为几何体的平面展开图，从左到右，其对应的几何体名称分别为()

A.圆锥，正方体，三棱柱，圆柱B.圆柱，正方体，四棱柱，圆锥

C.圆锥，正方体，四棱柱，圆柱D.正方体，圆锥，圆柱，三棱柱

【变式训练】

试卷第9页，共25页

（24-25七年级上•全国・期末）

13.如图是正方体纸盒的展开图，若在三个正方形B,C内分别填入适当的有理数，使

得它们折成正方体后相对面上的两个数互为相反数，则填入三个正方形4B,C内的三个

C.—,0,-2D.-2,0,--

33

（22-23七年级上•河南三门峡・期末）

（23-24七年级上•河南新乡•期末）

15.如图是一个正方体的展开图.

(2)己知/=x,B=-X2+3X,C=-3,D=\,E=X2023,F=6.若字母/表示的数与它对

试卷第10页，共25页

面的字母表示的数互为相反数，求8,£的值.

考点五：直线、射线、线段的相关概念

例题：（23-24七年级上•天津宁河・期末）

16.下列直线、射线、线段中,

【变式训练】

（23-24七年级上•河南平顶山・期末）

17.如图，对于图中直线的描述，正确的是（）

A.图中有直线以8B.图中有直线

C.直线。加与直线交于点OD.直线。/与直线加交于点。

（23-24七年级上•福建三明•期末）

18.下列关于作图的语句中，正确的是

A.画射线48=10cmB.画直线03=10cm

C.画线段MN,在线段MN上任取一点AD.以点M为端点画射线

考点六：线段和直线的基本性质问题

例题：（23-24七年级上•广东汕头•期末）

19.如图1,4、2两个村庄在一条河/（不计河的宽度）的两侧，现要建一座码头，使它到

A、8两个村庄的距离之和最小.如图2,连接N8,与/交于点C,则C点即为所求的码头

的位置，这样做的理由是（）

试卷第11页，共25页

AA

A.经过一点有无数条直线B.两点确定一条直线

C.两直线相交只有一个交点D.两点之间，线段最短

【变式训练】

（23-24七年级上•河南新乡•期末）

20.如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线,

能解释这一实际应用的数学知识是_____

M1

（23-24七年级上•重庆南岸•期末）

21.如图：已知从工地到8地共有五条路，小红应选择第____________路，用数学知识解

释为：________________________________

①

考点七：角的表示方法

例题：（23-24七年级上•贵州六盘水・期末）

22.下列四个图形中，能用Nl,ZO,三种方法表示同一个角的是（）

AX.

'-D

试卷第12页，共25页

【变式训练】

（23-24七年级下•山东淄博•期末）

23.下列图中的/I也可以用NO表示的是（

（23-24七年级上•贵州安顺•期末）

A.点尸在直线机上B.N1可以表示成或

C.直线”和〃相交于点。D,射线。4和射线表示同一条射线

考点八：方位角、钟面角问题

例题：（24-25七年级上•全国•期末）

25.如图，点/在点。的北偏东60。方向上,点8在点。的南偏西30。方向上，则

的度数为--

南

【变式训练】

（23-24六年级下•山东烟台・期末）

26.如图，点A,B,。分别表示手绘地图中实践基地、公园、学校的大体位置.经测量

NAOB=65。，公园在学校的北偏东27。方向，则实践基地在学校的方向.

试卷第13页，共25页

实践z

（23-24六年级下•黑龙江哈尔滨•期末）

27.如图是一个时钟的钟面，此时钟面上的时间是下午1点30分，时钟的分针与时针所成

（23-24七年级上•福建福州•期末）

考点九：求一个角的余角、补角

例题：（23-24七年级上•湖北孝感・期末）

29.48。6,7”的余角是,它的补角是.

【变式训练】

（23-24七年级上•江苏连云港•期末）

30.已知/々=68。42',则Na的余角为.

（23-24七年级上•河北承德•期末）

31.乙4=30。30',则—Z的余角为°,的补角为°，

考点十：尺规作线段或角

例题：（23-24七年级上•甘肃庆阳•期末）

32.如图，平面上有四个点读下列语句，并画出符合下列所有要求的图形.

试卷第14页，共25页

•A

•B

*D

C

(1)画射线连接BC,并与射线40相交于点。；

(2)画直线CD.

【变式训练】

(22-23六年级下•山东淄博・期末)

求作：NA0B,使=一为.

要求：保留画图痕迹，不写画法.

画图：

(23-24七年级上•新疆喀什•期末)

34.如图，在平面上有4B,C,。四点，请按照下列语句画出图形.

D*

A*

*C

*

B

(1)画直线48；

(2)画射线3。；

(3)连接8,C；

(4)线段/C和线段相交于点0.

考点十一：与线段及线段中点有关的计算

例题：(24-25七年级上•全国•期末)

35.追本溯源

题(1)来自于课本中的定义，请你完成解答，利用定义完成题(2).

(1)如图1,点M把线段4B分成相等的两条线段与MB,点M叫做线段4B的

试卷第15页，共25页

AM=MB=_AB.

i।।

AMB

图1

拓展延伸

（2）如图2,线段/C上依次有。，B,E三点，AD=^DB,E是BC的中点，

BE=-AC=2.

5

IIIII

ADBEC

图2

①求线段2B的长；

②求线段DE的长.

【变式训练】

（23-24六年级下•山东东营•期末）

36.如图，点M在线段4B上，线段BM与4W的长度之比为5:4,点N为线段的中点.

IIII

ANMB

⑴若48=27cm,求3N的长.

⑵在线段N3上作出一点£,满足8M=3EB,若EB=t,请直接写出的长（用含/的代

数式表示）.

（23-24七年级上•湖南娄底•期末）

37.如图.线段/5=20,C是线段的中点，。是线段BC的中点.

I।।।

ACDB

⑴求线段的长；

⑵在直线/C上有一点E,CE=^BC,求/£的长.

考点十二：与余角、补角有关的计算

例题：（23-24七年级上•云南红河・期末）

38.如图，点4。、3在同一直线上，ZBOD=70°,0。平分/50C,O尸平分

NDOE,NAOF=3Q°.

试卷第16页，共25页

E-

AB

⑴求/CO尸的度数；

(2)判断与//OC是否互余，并说明理由.

【变式训练】

(23-24七年级上•天津津南•期末)

39.与互为补角，OE、。产分别平分/80C与(题目中的涉及的角

均指小于平角的角).

图1图2

(1)如图1,当点8、O、C三点在一条直线上，

①请找出图中与相等的一个角，并说明理由；

②若的度数比/COD的度数的一半小36。，求N/OC的度数.

(2)如图2,当点B、。、C三点不在一条直线上，求NEO9的度数.

(23-24七年级上•河南许昌•期末)

40.如图，点。为直线上一点，将一个直角三角板。儿亚的直角顶点放在点。处，射线

OC平分ZMOB.

图1

(1)如图(1),若NCON=18。，贝|JN/(W=_；

试卷第17页，共25页

（2）在图（1）中，若ZCON=a,求/NOM的度数（用含a的式子表示）；

（3）将图（1）中的直角三角板OACV绕顶点。旋转至图（2）的位置，若边加在直线45的

上方，另一边ON在直线的下方，试探究和NCON之间的数量关系，并直接写

出你的结论，不必说明理由.

考点十三：与角平分线有关的计算问题

例题：（24-25七年级上•辽宁・期末）

41.如图，已知。C、是内的两条射线，OE平分//OC,OF平分NBOD.

⑴若4408=132。，/COD=22。，求NEO厂的度数；

（2）若=ZCOD=/3,求/NO8的度数.（用含外方的代数式表示）

【变式训练】

（23-24七年级上•河北廊坊•期末）

42.三角尺NAP的直角顶点尸在直线CD上，点工,8在直线CD的同侧.

⑴如图①，若N4PC=40。，求/2PD的度数；

（2）如图②，若平分//PC,PN平分NBPD,求/MPN的度数.

（23-24七年级上•陕西渭南•期末）

43.【问题背景】已知OC是内部的一条射线，且/4O8=3/4OC.

【问题再现］（1）如图①，若4408=120。，平分/NOC,ON平分/AOB,求ZMON

试卷第18页，共25页

的度数；

【问题推广】（2）如图②，ZAOB=90°,从点。出发在ZBOC内引射线。。，满足

ZBOC-ZAOC=ZCOD,若平分NCOD,求的度数；

【拓展提升】（3）如图③，在//0C的内部作射线。尸，在二80C的内部作射线。。，若

NCOP：NBOQ=1：2,求440P和NC。。的数量关系.

考点十四：几何图形中动角探究数量关系问题

例题：（23-24七年级上•陕西渭南•期末）

44.【问题背景】已知0c是内部的一条射线，且/46®=3/4OC.

的度数；

【问题推广】（2）如图②，4403=90。，从点。出发在。内引射线OD,满足

ZBOC-ZAOC=ZCOD,若■平分NC。。，求的度数；

【拓展提升】（3）如图③，在N/OC的内部作射线OP,在28OC的内部作射线。0,若

NCOP：/BOQ=1：2,求N/OP和/C。。的数量关系.

【变式训练】

（22-23七年级上•浙江台州•期末）

45.如图1,点。是直线肱V上一点，三角板（其中4408=30。）的边/O与射线重合,

将它绕。点以每秒机。顺时针方向旋转到边。与ON重合；同时射线。。与ON重合的位置

开始绕。点以每秒〃。逆时针方向旋转至OM,两者哪个先到终线则同时停止运动，设运动

时间为1秒.

试卷第19页，共25页

（1）若机=3,力=2,/=10秒时,NBOC=°；

（2）若冽=3,n=2,当CM在OC的左侧且平分/MOC时，求才的值；

（3）如图2,在运动过程中，射线OP始终平分N/OC.

①若加=3,n=2,当射线OB,。尸中，其中一条是另两条射线所形成夹角的平分线

时，直接写出"秒；

②当。/在OC的左侧，且/COP与/始终互余，求加与〃之间的数量关系.

真题感知

一、单选题

（23-24七年级上•湖北宜昌•期末）

46.下列四个几何体中，是圆柱的是（）

（24-25七年级上•辽宁沈阳•期末）

47.如图是由完全相同的6个小立方体组成的几何体，则该几何体从左面看到的形状图为

（23-24七年级上•湖北宜昌•期末）

48.如图，下面说法中，不正确的是（）

试卷第20页，共25页

南

A.射线。4表示北偏东30。B.射线08表示西北方向

C.射线。C表示西偏南80。D,射线表示南偏东70。

（24-25七年级上•全国•期末）

49.毛泽东主席在《水调歌头游泳》中写道“一桥飞架南北，天堑变通途”.正如从黄果树风

景区到关岭县城的坝陵河大桥建成后，从黄果树风景区到关岭县城经大桥通过的路程缩短

20公里，用所学数学知识解释这一现象恰当的是（）

A.过一点可以画多条直线B.两点确定一条直线

C.两点之间线段最短D.连接两点间线段的长度是两点间的距离

（24-25七年级上•河南郑州•期末）

50.如图是一个正方体的展开图，其中相对的面上的数字互为相反数，则单项式砂2的值是

B.4C.-16D.16

（23-24七年级上•河北石家庄•期末）

51.点C是线段N8上任意一点，点M、N分别是NC、8c的中点，下列说法正确的是

（）

IIIII

AMCNB

A.AM=CNB.当点C为的中点时，AN=2MC

C.如果MC=CN,那么=D.如果3C=2NC,那么

4

二、填空题

（23-24七年级下•河南郑州•期末）

试卷第21页，共25页

52.已知乙4=32。，则—4的余角的度数为.

（24-25七年级上•山西晋中•期中）

53.如图，节日的焰火可以看成由点运动形成的，可以说明这一现象的数学原理是.

（2024七年级上•全国•专题练习）

54.在我国古代，人们用“铜壶滴漏”的方法计时，把一昼夜分为十二时辰，对应于今天的二

十四小时，又划为九十六刻，一刻对应于今天的十五分钟.已知寅时为凌晨三点到五点.则

寅时二刻所对应钟表时间的时针和分针之间所夹的角度为.

（24-25七年级上•山西太原•阶段练习）

55.在一个仓库里堆积若干个大小相同的小正方体货箱，由此搭成的一个几何体的三视图如

图所示，则搭成这个几何体的货箱个数是个.

（24-25七年级上•河北衡水•期中）

56.有一正方体，六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6,有三个人从不同的角度观察

的结果如图所示.如果记6的对面的数字为a,2的对面的数字为6,那么6的值为.

（23-24七年级上•山东枣庄•期末）

57.如图，已知NN03=100。，ZCOD=40°,0P平分/4OC,。。平分Z8。。，将NCOD

绕点。按逆时针方向旋转，当NBOC=30。时，NP。。的度数为.

三、解答题

试卷第22页，共25页

(23-24七年级上•广东广州•期末)

58.如图，点C是线段上的一点，点M是线段NC的中点，点N是线段8c的中点.

B_NCMA

(1)如果=12cm,AM=5cm,求8c的长；

(2)如果MN=8cm,求48的长.

(22-23七年级上•河南信阳•期末)

59.如图，点C在/的边08上.请按要求进行尺规作图并回答问题.

⑴在的另一边。/上取一点。，使

(2)画直线DC；

(3)数数看，此时图中线段共有一条，射线共有一条；

(4)NA0B还可以记着一再写出两种).

(23-24七年级上•辽宁沈阳•期末)

60.用小立方块搭一几何体，它的主视图和俯视图如图所示，这个几何体最少要。个立方块,

最多要6个立方块.

⑴则4=，b=；

⑵若有理数x,V满足x=。，回=6,且孙＜0,求x+y的值.

(3)画出几何体最多时的左视图.

(22-23九年级上•山东日照・期末)

61.如图①是一个组合几何体，图②是它的两种视图.

试卷第23页，共25页

(1)在图②的横线.上填写出两种视图的名称;

(2)根据两种视图中的数据(单位：cm),计算这个组合几何体的表面积.

(23-24七年级上•天津・期末)

62.探究题：已知。为直线4。上的一点，以。为顶点作/COE=90。，射线O尸平分

ZAOE.

(1)如图1,若NDOE=54。，贝|40C=.

(2)若将NCOE绕点O旋转至图2的位置,射线OF仍然平分NAOE,请写出ZCOF与ZDOE

之间的数量关系，并说明理由；

(3)若将/COE绕点。旋转至图3的位置，射线。尸仍然平分乙4。£,求2NC0F+4DQE的度

数.

(24-25七年级上•全国•期末)

63.(1)将一副直角三角板43C,NAE按如图1所示位置摆放，NB4C=45。，

ZEAD=60°.分别作/A4E,NC/。的平分线4W,AN.试求的度数；

(2)将三角板NOE从图1位置开始绕点A顺时针旋转到图2所示的位置，AM,4N仍然

是/B4E,NC4D的平分线.试求/M4N的度数；

(3)将三角板从图1位置开始绕点/顺时针旋转&(0°<a<360。)，AM,NN仍然

是NBAE,/C4D的平分线.在旋转的过程中，NM4N的度数会发生改变吗？请说明理由.

试卷第24页，共25页

AC

备用图

试卷第25页，共25页

1.A

【分析】本题主要考查的是几何体的有关知识，熟练掌握常见几何体的形状是解题的关

键.根据圆锥的定义即可求解.

【详解】A、该图形为圆锥，符合题意；

B、该图形为球体，不符合题意；

C、该图形为圆柱，不符合题意；

D、该图形为长方体，不符合题意；

故选：A.

2.C

【分析】本题考查圆柱体的识别，根据常见几何体的特征逐项判断即可.

【详解】解：A,抽象出来是六棱柱，不合题意；

B,抽象出来是球，不合题意；

C,抽象出来是圆柱，符合题意；

D,抽象出来是圆锥，不合题意；

故选：C.

3.D

【分析】本题考查的是棱锥的识别，掌握棱锥的概念是解题的关键；

根据棱锥的定义:如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形,

那么这个多面体叫做棱锥，再逐一分析各选项即可得到答案；

【详解】解：A、是六棱柱，不符合棱锥的定义，故A不符合题意；

B、是圆锥，不符合棱锥的定义，故B不符合题意；

C、是长方体，不符合棱锥的定义，故C不符合题意；

D、是四棱锥，符合棱锥的定义，故D符合题意；

故选：D.

4.B

【分析】本题考查了线、面的关系，根据题意，结合线动成面的数学原理：某一条线在运动

过程中留下的运动轨迹会组成一个平面图形，这个平面图形就是一个面，即可得出答案.熟

练掌握线动成面的数学原理是解本题的关键.

【详解】解：打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为

线动成面，

答案第1页，共33页

故选：B.

5.B

【分析】本题考查点动成线，根据点动成线直接判断即可得到答案；

【详解】解：由题意可得，

这里用数学的眼光来看其实是把雨滴看成了点，把雨看成线，说明点动成线，

故选：B.

6.D

【分析】本题主要考查了面动成体，根据立体图形的形状，平面图形旋转的性质即可求解.

【详解】解：所给的平面图形绕虚线旋转一周，可得到的几何体是D,

故选：D.

7.（1）当以长为旋转轴时忆=""2,当以宽为旋转轴时厂=万02b

（2）当以长为旋转轴时，144cm2；当以宽为旋转轴时，108cm?

【分析】（1）由题意可得这个几何体是圆柱体；根据当以长为旋转轴时，当以宽为旋转轴时,

分别求得体积即可求解；

（2）将字母的值代入（1）的结果进行计算即可求解.

【详解】（1）解：由题意可得这个几何体是圆柱体；

・・•当以长为旋转轴时：V=Ttab2;

当以宽为旋转轴时：V=Tta2b;

（2）解：当。=3cm,6=4cm时,

当以长为旋转轴时：V=7tab2=3x3x42=144cm3：

当以宽为旋转轴时：V=na2b=3x32x4=108cm3.

【点睛】本题考查了平面图形旋转后得到的立体图形，列代数式，代数式求值，分类讨论是

解题的关键.

8.6

【分析】本题主要考查了从不同的方向看几何体，根据三个方向看到的图形确定每个位置的

小立方体数即可得到答案.

【详解】解：由三视图可知，在俯视图中每个位置的小正方体数如下所示：

俯视图

答案第2页，共33页

•••一共需要小正方体的个数是1+1+1+1+2=6,

故答案为：6.

9.⑴见详解

(2)2

(3)28cm2

【分析】本题考查了画三视图、求几何体的表面积、根据三视图求添加小正方体个数，熟练

掌握三视图是解题的关键.

(1)根据三视图的定义画出图形即可；

(2)要保持主视图和左视图不变，可在原图最底层、离视线最近的单独的小正方体的左右

两侧各添加块小正方体；

(3)将主视图、左视图、俯视图面积相加，再乘2即可得出这堆几何体的表面积.

主视图左视图俯视图

(2)解：•••要保持主视图和左视图不变，

・•・可在原图最底层、离视线最近的单独的小正方体的左右两侧各添加1块小正方体，即最多

可以再添加2块小正方体，

故答案为：2.

(3)解：•••小正方体的棱长都为1cm,

•••1块小正方形的面积=1、1=1(；1112,

,这堆几何体的表面积=(5+3+6)x2=28cm2；

答：添加最多的小正方体后该几何体的表面积为28cm2.

10.(1)画图见解析；

⑵38；

⑶3.

【分析】(1)根据几何体三视图的画法解答；

(2)将各个不同方向的正方形面积相加即可得到答案；

答案第3页，共33页

(3)为不影响主视图和俯视图，可不改变底部的个数，增加高度即可，据此分析解答；

此题考查了画几何体的三视图，求几何体的表面积，添加小正方体，熟记几何体三视图的画

法是解题的关键.

【详解】(1)如图，

主视图主视图

(2)该几何体的表面积=7+7+6+6+6+6=38(cm2),

故答案为：38；

(3)解：再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的主视图和俯视图不变，可使第

一列的高度均为3,

二最多可添加3个小正方体，

故答案为：3.

11.(1)画图见解析

⑵36

(3)4

(4)1

【分析】本题主要考查简单几何题的三视图的画法，熟练掌握主视图、左视图、俯视图的画

法是解题的关键.

(1)根据三视图的概念求解即可；

(2)直接利用三视图分别乘以2求解即可；

(3)根据俯视图和左视图求解即可；

(4)根据主视图，俯视图和左视图求解即可.

答案第4页，共33页

.-.（6+6+6）x2=36（cm2）

这个几何体的表面积是36cm2；

（3）解：要使俯视图和左视图不变，

即在主视图的上面加放小立方体，

故最多可加4个；

（4）解：要使主视图，俯视图和左视图不变，

只能最下面一层的中间小正方体上增加1个小正方体

故最多可加1个.

12.A

【分析】本题考查了常见几何体的展开图；熟记常见几何体的平面展开图的特征，是解决此

类问题的关键.根据常见的几何体的展开图进行判断，即可得出结果.

【详解】解：根据几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为：圆锥,

正方体，三棱柱，圆柱.

故选：A.

13.B

【分析】本题考查了正方体的展开图，相反数，由图可知，N与卜2|=2是相对面，3与;是

相对面，C与0是相对面，根据相反数的定义可得由图可知，N对应一2,8对应-g,C对

应0,即可得.

【详解】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，

/与卜2|=2是相对面，2与〈是相对面，C与0是相对面，

•••折成正方体后相对面上的两个数互为相反数，

.■.A,B,C内的三个有理数依次为-2,-1,0.

故选：B.

14.D

【分析】本题考查了正方形的展开图，通过观察和动手操作即可做出选择.

【详解】A.无图案，不符合题意；

B、C折成正方形后，两个有斜线的面相对，不符合题意；.

D.折成正方形后，两个有斜线的面相邻，符合题意，

答案第5页，共33页

故选：D.

15.(1)。，E

(2)3的值为-4,£的值为-1

【分析】本题主要考查的是正方体相对两个面上的文字，从实物出发，结合具体的问题，辨

析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题

的关键.

(1)依据N对面的字母是3对面的字母是公

(2)依据字母/表示的数与它对面的字母。表示的数互为相反数，即可得到x的值，进而

得出2,E的值.

【详解】(1)解：由图可得，4与B、C、E、尸都相邻，故/对面的字母是

E与A、C、D、尸都相邻，故8对面的字母是£；

故答案为：D,E；

(2)解:因为字母/表示的数与它对面的字母：。表示的数互为相反数，

所以x+l=O,解得x=-l.

所以8表小的数为-x?+3x=-1)+3x(—1)=—4；

E表示的数为*3=(_1)2。23=一1.

所以8的值为-4,£的值为-1.

16.A

【分析】本题考查了直线、射线、线段.熟练掌握直线两端都可以无限延长，射线有一个端

点，可向一边无限延长，线段不可延长是解题的关键.

根据直线两端都可以无限延长，射线有一个端点，可向一边无限延长，线段不可延长逐项判

断即可.

【详解】解：由题意知，A中直线CD与直线4B能相交，故符合要求；

B中射线CD与直线48不能相交，故不符合要求；

C中射线CD与线段力B不能相交，故不符合要求；

D中线段CD与线段A8不能相交，故不符合要求；

故选：A.

17.D

【分析】本题考查的是直线的表述方法，直线与直线的交点的含义，根据直线的表示方法逐

答案第6页，共33页

一判断即可.

【详解】解：图中有直线心，直线”，直线。4,直线05,

直线加与直线”交于点。，直线。/与直线加交于点O,

•1.A,B,C错误，不符合题意；D正确，符合题意；

故选：D.

18.C

【分析】本题考查射线、直线和线段定义与作图，根据射线、直线和线段定义与作图逐项判

断即可得到答案，熟记射线、直线和线段定义与作图是解决问题的关键.

【详解】解：A、根据射线定义，射线一端无限延长，不可能得到射线/8=10cm,该选项

表述错误，不符合题意；

B、根据直线定义，射线两端无限延长，不可能得到直线=10cm,该选项表述错误，不

符合题意；

C、画线段在线段"N上任取一点A说法正确，符合题意；

D、根据射线定义，射线从固定端点出发，向另一端无限延长，以点M为端点画射线M4,

而不是以点〃为端点画射线4W,该选项表述错误，不符合题意；

故选：C.

19.D

【分析】本题考查线段的性质，理解两点之间线段最短的性质是正确判断的前提.根据线段

的性质进行判断即可.

【详解】解：A,8两个村庄在一条河/（不计河的宽度）的两侧，现要建一座码头，使它到

/、8两个村庄的距离之和最小，图2中所示的C点即为所求的码头的位置，那么这样做的

理由是两点之间，线段最短，

故选：D.

20.两点确定一条直线

【分析】本题主要考查直线的性质，掌握直线的性质：两点确定一条直线是解题的关键.根

据直线的性质：两点确定一条直线即可得.

【详解】解：能解释这一实际应用的数学知识是：两点确定一条直线，

故答案为：两点确定一条直线.

21.③两点之间，线段最短

【分析】根据题意，连接两点的所有的线中，应选连接A、8的线段，根据线段的性质，两

答案第7页，共33页

点之间线段最短即可.此题为数学知识的应用，考查知识点是两点之间线段最短.

【详解】解：依题意，

从A地到8地共有五条路，小红应选择第③路，用数学知识解释为两点之间，线段最短.

故答案为：③，两点之间，线段最短

22.B

【分析】本题考查了角的表示方法的应用，根据角的表示方法和图形逐个判断即可，解题的

关键正确理解角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示，其中顶点字母要写

在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不

清这个字母究竟表示哪个角.

【详解】解：A、因为顶点。处有四个角，所以这个角不能用N1,/。，/40B表示,故

本选项错误；

B、因为顶点。处只有一个角，所以这个角能用Nl,/O,NAOB表示,故本选项正确；

C、因为顶点。处有三个角，所以这个角不能用/I,NO,N/O8表示，故本选项错误；

D、因为顶点。处有两个角，所以这个角不能用Zl,NO,/AOB表示,故本选项错误；

故选：B.

23.A

【分析】本题考查了角的表示方法；

角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示.其中顶点字母要写在中间，唯有

在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究

竟表示哪个角.角还可以用一个希腊字母（如/夕，4,N，、…）表示，或用阿拉伯数字

（Z1,表示，据此进行分析即可.

【详解】解：A.N1可以用表示，符合题意；

B./I可以用/NOC表示，但不能用N。表不，不符合题意；

C.N1可以用//0C表示，但不能用表示，不符合题意；

D.21可以用NBOC表示，但不能用N。表示，不符合题意；

故选：A.

24.C

【分析】本题主要考查了角的表示方法，射线和直线的相关概念，根据以上知识逐项分析判

断，即可求解.

【详解】解：A、点户不在直线加上，原说法错误，不符合题意；

答案第8页，共33页

B、N1可以表示成2/Q8,不可以表示成N。，原说法错误，不符合题意；

C、直线加和〃相交于点。，原说法正确，符合题意；

D、射线。4和射线/。表示的不是同一条射线，原说法错误，不符合题意；

故选：C.

25.150°##150度

【分析】本题考查了与方向角有关的运算，先根据题意得出/尸。4=60。，得出

ZAOE=30°,根据，4。3=/2。6+/£。6+//。£代入数值，进行计算，即可作答.

【详解】解:如图：

南

••・在点。的北偏东60。方向上，点8在点。的南偏西30。方向上，

ZFOA=60°,ZBOG=30°,

.•.//0£=90。-60。=30。，

4BOG=30°,NEOG=90°,

r.408=30。+90。+30。=150。，

故答案为：150。.

26.北偏西