2025年高考数学复习易错题：数列（原题版）

专题10数列

目录

易错点01忽略数列的定义域出错

易错点02由S.求an忽略n=\的讨论

易错点03等比数列问题忽略公比q的讨论

易错点04裂项相消法求和时漏项、添项或忽视系数而致错

易错点05错位相减求和错判项数、公比或符号出错

易错点01：忽略数列的定义域出错

易错陷阱与避错攻略

典例(2025高三•全国•专题练习)数列包,｝的通项公式为%="-2而伽=1,2「.).若｛。“｝为递增数列，

则2的取值范围是()

A.[1,+<»)B.[T'+s]C(一°°，1]D.1

【答案】D

【分析】由数列｛%｝的通项公式为4=*-2加(〃=1,2,…)，且｛凡｝为递增数列，所以凡<a„+1对于wN*都

成立，即+；对于V/zeN*都成立，从而求得参数的取值范围.

【详解】因为数列｛q｝的通项公式为a,="-2加(〃=1,2,…)，且｛4｝为递增数列，

所以％<an+l对于y,7GN*都成立，

所以/-2/U<(〃+1)?—+1)对于VMGN*都成立，即“2-2力z<n2+2n+l-2An-2A,

所以”<2〃+1对于V〃wN*都成立，所以力<〃+；对于V〃eN*都成立,

所以2<l+g=|,即2的取值范围是

故选：D.

【易错剖析】

本题容易混淆数列｛a,｝的定义域与函数/(%)=*—2尢c定义域的差异而得出彳<1出错.

【避错攻略】

1.数列的概念及一般形式

（1）数列的定义：按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，各项

依次成为这个数列的第1项（或首项），第2项……，组成数列的数的个数称为数列的项数。

（2）数列的一般形式可以写成巧,出，生，……，%,……,其中4表示数列的第〃项（也称〃为a“的

序号，其中〃为正整数，即〃cN+）,称为数列的通项。此时一般将整个数列简记为｛4｝

【解读】与集合中元素的性质相比较，数列中的项的性质具有以下特点：

①确定性：一个数是或不是某一数列中的项是确定的，集合中的元素也具有确定性；

②可重复性：数列中的数可以重复，而集合中的元素不能重复出现（即互异性）；

③有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列顺序有关，而集合中的元素

没有顺序（即无序性）；

④数列中的每一项都是数，而集合中的元素还可以代表除数字外的其他事物.

2.数列的通项公式

一般地，如果数列的第〃项斯与〃之间的关系可以用。“=黄”）来表示，其中五"）是关于w的不含其他未

知数的表达式，则称此关系式为这个数列的通项公式.

【解读】①数列的通项公式实际上是一个以正整数集N+或它的有限子集｛1,2,3,…，〃｝为定义域的函

数解析式.

②和所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式.

③有通项公式的数列，其通项公式在形式上不一定是唯一的.

易错提醒：（1）从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表：

定义域正整数集N+（或它的有限子集｛1,2,3,…，«））

解析式数列的通项公式

值域由自变量从小到大依次取正整数值时对应的函数值构成

表示方法（1）通项公式（解析法）；（2）列表法；（3）图像法

（2）在处理数列的求值、分析数列的性质时一定要注意数列的定义域是离散的，不是连续的，故不能对数列

的通项公式求导.

举—反三

1.（24-25高三上•江苏徐州•阶段练习）函数"V7,若数列｛%｝满足%=/（“），WEN*,

Cl,X〉/

且｛%｝是递增数列，则实数a的取值范围是（）

A.|,3jB.（I，3]C.（1,3）D.（2,3）

2.（24-25高三上•河南•期中）已知函数=V—南+l（6eR）,若。“=/（〃）,则“匕42”是“｛%｝是递增数

歹旷的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件

3.（24-25高三上•广东汕头•开学考试）己知数列则数列｛%｝的前100项中的最小

项和最大项分别是（）

A•%,4100B.〃45'044C.〃45，4D.〃44，"100

易错题通关

1.（24-25高二上•全国•课后作业）若数列｛。”｝的通项公式为。“=4”-5,则关于此数列的图象叙述正确的是

（）

A.此数列不能用图象表示

B.此数列的图象仅在第一象限

C.此数列的图象为直线y=4x-5

D.此数列的图象为直线y=4尤-5上满足xeN+的一系列孤立的点

2.（24-25高三上•甘肃天水•阶段练习）已知数列｛4｝的通项公式-9〃-10,记S“为数列｛外｝的前〃项

和，若使S“取得最小值，则〃=（）

A.5B.5或6C.10D.9或10

3.（24-25高三上•湖南长沙•阶段练习）已知5”为数列｛。“｝的前〃项和，且S“=2%-2,若加2Zlog?。,,+3

对任意正整数〃恒成立，则实数4的最小值为（）

75

A.4B.-C.3D.-

22

4.（24-25高三上•天津•阶段练习）在无穷数列｛风｝中，%=1,QI+2%=0（〃〉2,〃£N*）,数列｛q｝的前〃

项和为S〃，则S”的最大值与最小值的差为（）

1

D.无法确定

c.2

（|—Q]〃+2,M>8*

5.（24-25高三上•安徽六安•阶段练习）已知数列｛可｝满足%=（2）,若对于任意“eN*

a,!-7,M<8

都有则实数。的取值范围是（）

〃一2

6.（24-25高三上•云南玉溪•阶段练习）已知数列｛丽｝的通项公式为二前w项的和为则S"取得

2«-13

最小值时”的值为（）

A.5B.6C.7D.8

易错点02：由Sn求斯忽略n=l的讨论

易错陷阱与避错攻略

典例（24-25高三•江苏淮安・期中）数列｛。“｝的前〃项和为S“，若4=1,a„+1=3S„（n>l）,则g=（）

4453

A.3x4B.3X4+1C.4D.4+1

【答案】A

【分析】利用退位相减法可得数列从第2项起，是以g=3为首项，4为公比的等比数列，故可求必，或者

利用结论可求

【详解】已知4+i=3S",则当时，4=3%,

两式作差，得--6=3⑸-S“_J=3%,

即4+1=4%,也即数列从第2项起，是以g=3为首项，4为公比的等比数列，

从而%=3-4"-2,让2.

f1,〃=1,

由于％=1,%=3%=3,则为=平-2于是g=3'4.

【易错剖析】

本题求解时容易忽略〃=1的讨论，而错误的得出数列的通项公式为a“=4'T出错.

【避错攻略】

1.已知S,=/(w)求an

已知S“=/5）求通项，步骤可分为三步：（1）当"22时见=s“-S”T；（2）当〃=1时，4=1；（3）

检验能否合写，即〃=1和“22两种情况能否合写成一个公式，否则就写为分段的形式.

2.已知Sn与an的关系求an

根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化.

（1）利用a〃=S“一Si（n>2）转化为只含s”Si的关系式，再求解；

（2）利用S“一（M>2）转化为只含出,的关系式,再求解.

易错提醒：利用S“与诙的关系求％,作差后往往会得到一个项或和的递推关系式，这是一定要检验递推关

系是否对所有的正整数都成立，然后再根据递推关系求通项公式.

举一反三

1.（23-24高二下•北京大兴•期中）已知数列｛与｝的前〃项和S"=1+l,则数列｛%｝的通项公式为（）

A.an=7?+1B.an=2n-\

2,”=1,

C.a=2M+1D.a=

nn2n-l,n>2

2.（24-25高二上•天津红桥•阶段练习）已知数列｛g｝的前〃项和为S“，且S“=2/+3〃-1,则数列的通项公

式为a”=

3.（24-25高三上•全国•课后作业）已知数歹!）｛%｝的前〃项和S“满足S”=2-则｛4｝的通项公式为

易错题通关

1.（24-25高三上•辽宁•期中）数列｛氏｝中，已知对任意自然数〃吗+生+。3+…+。“=2〃-1,则

H-----F等于()

2.（24-25高二上•甘肃酒泉•期中）设S“为数列｛a“｝的前〃项和，若S"=2a,-1,则的值为（）

"10十42

A.8B.4C.-D.-

48

3.（23-24高二下•广东汕头•阶段练习）设数列｛4｝的前〃项和为S,，4=2,2S“,/ieN\则%=.

4.（24-25高三上•湖南益阳•阶段练习）己知数列｛q｝的前〃项和为S“，且S“=-5%+23,〃eN*,则数列｛a,,｝

的通项公式是.

5.（2024高三.全国•专题练习）已知数列｛凡｝的前〃项和为S“，若％=1,2邑=。用，则数列｛q｝的通项公

式.

3

6.（24-25高三上•河南•阶段练习）使不等式二二VI成立的一个必要不充分条件是（）

2-x

A.（fo,-l）U（2,+oo）B.（-oo,-l]U（2,+oo）

C.（-oo,-1）D[2,+oo）D.（-oo,-1]D[2,+oo）

7.（24-25高二上•黑龙江牡丹江•阶段练习）设数列｛%｝的前〃项和是S”,如果它的前〃项和S.=/—2几+3,

那么=

8.（2024高三・全国・专题练习）已知数列｛4｝的前〃项和为S“，且满足a„+3ssl=0（〃22且〃eN*）,6=g,

则S“=.

9.（24-25高二上•天津东丽•阶段练习）在数列｛4｝中，4=6,且图1M—（7z+2）S“=〃（〃+1）（〃+2）,则

易错点03:等比数列问题忽略公比q的讨论

易错陷阱与避错攻略

典例（2024.新疆乌鲁木齐.二模）设等比数列｛4｝的首项为1,公比为4,前〃项和为%若应+1｝也是等

比数列，则0=（）

A.1或2B.g或2C.1D.2

【易错剖析】

本题容易忽略等比数列的求和公式成立的前提条件,没有对q=l或gw1的讨论而出错.

【避错攻略】

1.等比数列的概念及公式

（1）等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这

个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。

数学语言表达式："二q（ra>2,q为非零常数）.

an-\

（2）等比中项性质：如果三个数a,G,〃成等比数列，那么G叫做。与6的等比中项，其中G=±疝.

注意：同号的两个数才有等比中项。

（3）通项公式及前”项和公式

①通项公式：若等比数列｛〃“｝的首项为%,公比是4,则其通项公式为。“=%0口；

nm

通项公式的推广：an=amq-.

②等比数列的前〃项和公式：当q=i时，s“=叼；当"W1时，

1-q1-q

2.等比数列的性质

已知｛4｝是等比数列，5,是数列｛4｝的前n项和.

（1）等比数列的基本性质（了解即可）

①相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即％,ak+m,%+2„,,…仍是等比数列，公比为

②若｛%｝，帆｝（项数相同）是等比数列，则｛取｝（人0）,1｝［，｛砌，｛%也｝,］修仍是等比数列.

③若左+/=加+〃（左，/，加,〃eN*）,则有纵9=44,推广：a；=a时卜-a*k（n,k£N*,且n-kN1）

（2）等比数列前〃项和的性质

⑴在公比qW-1或q=T且"为奇数时,S“S2n-Sn,S3n-S2n,……仍成等比数列,其公比为q"；

nal9q=l

易错提醒：注意等比数列的求和公式是分段表示的：s,=<q,］,所以在利用等比数列求和公式

求和时要先判断公比是否可能为1,,若公比未知，则要注意分两种情况q=l和q+\讨论.

举一反三

1.（24-25高二•全国•课后作业）已知数列a,a（l-a）,a。-”）"..是等比数列，则实数。的取值范围是（）.

A.awlB.或awlC.D.且awl

2.（24-25高三上•浙江绍兴•期中）已知等比数列｛4｝,首项为%,公比为4,前〃项和为S,，若数列｛S”+l｝

是等比数列，则（）

A.ax-q=\B.q-ax=\

n

C.Sn-q〃WD.Sn-axq=\

3.（2025高三•全国•专题练习）已知在等比数列也｝中，%=7,前三项之和S3=21,则公比4的值是（）

A.1B.--C.1或一白D.—I或!

222

>易错题通关.

1.（24-25高二下•浙江湖州•期末）设S“为等比数歹!],“｝的前几项和，已知3邑=%—3,3邑=的一3,则公比

q=（）

A.3B.4C.5D.6

2.（2024高三.全国.专题练习）已知正项等比数列｛““｝的首项为1,前〃项和为S“〃eN*,若5s3-55-4=0,

则$2024=（）

A.22024B.22023C,22024-lD.22023-l

3.（24-25高三上•安徽•期中）记S.为正项等比数列｛%｝的前〃项和，若Ss=3,Sg=21,则Sf=（）

A.6B.9C.12D.15

4.（24-25高三上•山东淄博•阶段练习）（多选）已知等比数列｛%｝中（”eN*）,其公比为4,前〃项和为S.，

则下列选项正确的是（）

A.若数列｛%｝为递增数列，则一定有4>0

B.若%<%，则数列｛。“｝为递增数列

C.若%=3",数列7-导_n的前〃项和恒成立

D.Sn,Sln-Sn,S”-邑“一定成等比数列

5.（24-25高三上•广东深圳•阶段练习）S“是等比数列｛4｝的前〃项和，已知%+83=6,83=3%，贝U

6.（24-25高三上•江苏南通•阶段练习）设等比数列｛%｝的前〃项和为S“，若4s2=3'+$3,贝i],=.

7.（24-25高三上・江苏泰州•期中）记S“为等比数列｛%｝的前〃项的和，若星=（，56=y,贝ij%=.

易错点04：裂项相消法求和时漏项'添项或忽视系数而致错

易错陷阱与避错攻略

典例（2024.湖南长沙.模拟预测）数列｛%｝为等差数列，为正整数，其前〃项和为数列｛2｝为等比

数列，且4=3,伪=1,数列｛%｝是公比为64的等比数列，研2=64.

⑴求见也；

,1113

（2）求证：-+—+

【答案】⑴%=2〃+1也=8"T

⑵证明见解析.

【分析】（1）利用基本量代换，列方程组求出&q,即可得到％,为；

（2）利用裂项相消法求和即可证明.

【详解】（1）设｛q｝的公差为d,｛2｝的公比为分则d为正整数，

%=3+（“-=q"T

bn3+nd

-^±L=-----==64=2，

依题意有％/+（"—”①.

S2b2=（6+d）g=64

由（6+d）q=64知4为正有理数，故1为6的因子1,2,3,6之一，

解①得4=2应=8

故%=3+2(九-1)=2〃+1,2=8'i

(2)S„=3+5+...+(2n+l)=n(n+2),〃(〃+2)

1111111

*---1----F…H=-----1------1------F…H；-----

¥S2Sn1x32x43x5〃(几+2)

111]

—+--+•

232435n+2

31113

------------1------<—

42\n+1n+24

即证.

【易错剖析】

利用裂项相消法求数列的和时要注意两点，一是裂项是否需要凑系数，二是相消后前后各剩几项，这

是在解题过程中最容易出错的地方.

【避错攻略】

裂项相消法就是把数列的每一项分解(常见分解为两式之差)，使得相加后项与项之间能够相互抵消,

但在抵消的过程中，有的是依次项抵消，有的是间隔项抵消.

裂项常见形式：

(1)分母两项的差等于常数

1_1(11)；上』1+___________________1______

n(n+k)knn+k4H2—122n-l2〃+l4n2-14(2«+l)(2«-l)

⑵分母两项的差与分子存在一定关系

2〃11

(2〃一1)(2n+1-l)2n—12"i—l'

2n+l11n+1_111

n2(n+l)2n2(n+1)2.n2(n+2)24/-5+2)2

(3)分母是三项的积

1_11]

n(n+1)(〃+2)2n(n+1)(〃+1)(〃+2)

1_]_J_1]

n(n2-1)n(n-1)(H+1)2(n-l)n+1)

3〃+l_4(几+1)(〃+3)_火」])_(」])

(n+l)(n+2)(〃+3)(〃+l)(n+2)(〃+3)n+2n+3n+1n+2

(4)分母含无理式

勒布=户i—丑行%；1后一向

易错提醒：用裂项相消法求和时，裂项后可以产生连续相互抵消的项，但是要注意抵消后并不一定只剩下

第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，一般来说前面剩余几项后面也剩余几项，若前

面剩余的正数项，则后面剩余的是负数项。

举一反三

1.(2025高三・全国•专题练习)己知数列｛“"｝满足对任意正整数p，q恒有+且

出一8%+8=0,么=(〃+]；；+2),贝IJ｛2｝的前30项的和为()

A.225B.225-1C.226D.226-1

2.(24-25高三上•陕西•阶段练习)已知在数列｛4｝中，“2=44,且当“22时，a„=3an_x+2.

（1）求｛叫的通项公式;

（2）设或=乌色，数列｛2｝的前〃项和为S“，证明：S“＜；

anan+l4

3.（23-24高三下•山东德州•开学考试）已知数列｛4｝前九项和为S“，满足6s,=（3”+2）%+2.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

⑵若bn=㈠Ml）,求数列出｝的前I。。项和小.

a„a„+l

，易错题通关.

1.（24-25高二上•天津滨海新•阶段练习）等比数列｛〃"｝中，4=3,%=81,则数列----:------的前2022

[10g3iZ„-10g3fZ„+J

项和为（）

20202021—20222021

A.------B.------C.------D.------

4044202220234046

2.（23-24高二下.重庆九龙坡.阶段练习）数列｛%｝的前〃项和为%且S“=1+2”,

2

bn=（nGN*,n>1）则数列｛2｝的前〃项和为北=）

A.y/2n+1—y/2n—1B.V2M+3-1

c.C"2D.V2/1+3-V3

（T）"（4〃+4）

3.（2024高二•全国•专题练习）设〃=则数列也｝的前2〃项和Q=.

（2n+l）（2zz+3）

4.（2024高二•全国•专题练习）已知数列的前〃项和S“=9,«的值为.

5.（24-25高三上•河北•期中）已知数列｛%｝为等差数列，且为=4,S4=20.

⑴求数列｛4｝的通项公式；

⑵数列｛2｝满足2=gf，求数列也｝的前〃项和却

6.（24-25高三上•江苏无锡•阶段练习）已知数列｛g｝的前〃项和为S“，且满足S“=2（%-1）,„GN,.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

⑵设a=鲁」，设数列｛4｝的前〃项和1,求证：Tn<\.

7.（24-25高三上•天津河东•阶段练习）己知等比数列｛0｝的各项均为正数，2a5、%、4%成等差数列，且

满足包=4心等差数列数列也｝的前〃项和S“，2+瓦=6,,54=10.

⑴求数列｛%｝和也,｝的通项公式；

（2）设4=与5册,weN*,｛4｝的前〃项和（，求

“2〃+1。2〃+3

易错点05：错位相减求和错判项数'公比或符号出错

易错陷阱与避错攻略

典例（24-25高三上•天津滨海新•阶段练习）设数列｛%｝的前〃项和为S“，若对任意的〃©N*,都有邑“=茯.

（左为非零常数），则称数列也,｝为“和等比数列”，其中左为和公比.若｛2｝是首项为1,公差不为0的等差

数列，且也｝是“和等比数列“，令、=号,数列｛%｝的前鼠项和为

（1）求也｝的和公比；

⑵求T,；

3"+4

⑶若不等式（-节鲁对任意的“eN*恒成立，求机的取值范围.

【答案】（1）4

8_J«±£

□"99x221

3

⑶（《）・

【分析】（1）设等差数列出,｝的公差为』，前〃项和为4，由题意4“=也，化简可得％值；

（2）由（1）得%,用错位相减法求和；

（3）设匕=（-第二，匕”-匕>0,按〃的奇偶性分类求解可得参数范围.

【详解】（1）设等差数列电｝的公差为d,前〃项和为4,则4=她+及/14=弓/+（1一:1）〃，

所以4〃=2d"+（2-d）n,

kdkd

因为｛么｝是“和等比数列“，所以4“二风，即2而2+（2_〃）〃=券/+伏_m泣，对任意〃CN*恒成立,

2d=—

2k=4

所以,解得

d=2

2-d=k-—

2

所以｛或｝的和公比为4；

(2)由(1)知勿=1+2(〃-1)=2〃一1,cn=^^

所以LHg+A…+号，

匕匚21_12n-\n

所以您(=垓+尹+…+声r+声r，

相减得％=；+5+*+…+/f_卡r*小n23〃+4

1-22n+1-3-3x22n+1

1-

所以北=|-3〃+4

9x22n-1

3〃+483〃+43〃+48103〃+4

（3）设巴=看一--------XZ~7~

99x22n-1-22n-199----22n-1

Pnl~Pn=-2空-一也±1）>0,

+9922〃-14〃

匕+1＞4，｛匕｝是递增数歹U,

3n+4

不等式（一黄F＞（T）"机一2对任意的"eN*恒成立，即不等式匕2对任意的“eN*恒成立,

当〃为奇数时，-机-2＜（匕）1nto=q=-3,则加＞1,

13

当〃为偶数时，m-2＜（Pn）nin=P2=--,则根

3

综上，m的取值范围是（L》

【易错剖析】

本题在求解过程容易将等比误认为!而出错。

_____________2

【避错攻略】

错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,这个数列的前〃项和可

用错位相减法求解.

错位相减法求和时，应注意：①在写出“S,”与“qS“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，

以便于下一步准确地写出“S“-qS,J的表达式.

②应用等比数列求和公式必须注意公比q是否等于i,如果g=1,应用公式"=〃4.

易错提醒：利用错位相减法求和时，首先要判断两边需要乘的公比是多少；二是相减后最后一项要变号；

三是利用等比数列求和公式求和时要判断项数，四是要注意对结果化简，另外可以用n=l代入检验结果是

否成立.

举一反三

1.（2024高三.全国.专题练习）已知数列｛%｝的前"项和为s“，且/=M（〃eN*）.若恒成立，则

左的最小值是（）

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A.—B.4