2025年沪科版七年级数学寒假预习：幂的运算

第06讲寨的运算

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模块一思维导图串知识1.掌握同底数塞、塞的乘方和积的乘方的运算法

模块二基础知识全梳理（吃透教材）则和公式；

模块三核心考点举一反三2.会借助塞的运算公式进行逆运算；

模块四小试牛刀过关测

模块一思维导图串知识

HJKBIMia,IK0t不亶，搭皎履加

司M161VB13个IX上fHBII

■的事方.鹿■不更.

krf

融的蒙方，等于西Rg一个一式妙IM方，再也所修的厚相看

F=a'b"c

<r=(o-r

6模块二基础知识全梳理-----------------------------

知识点1同底数塞的乘法

"（加，〃为正整数），即同底数幕相乘，底数不变，指数相加。

注意：（1）法则对于三个或三个以上的同底数相乘仍然适用，即

am-an-ap=am+n+p（加,〃，夕为正整数）.

（2）不要忽略指数是1的因数，如。=储。

（3）底数可以是数也可以是单项式或多项式。

⑷注意法则的逆用：am+n=於⑶"（见〃为正整数）。

知识点2塞的乘方

（暧）"=*（见〃为正整数），即幕的乘方，底数不变，指数相乘。

/mnP=amnp（私%为正整数）；

【补充和拓展［（1）法则推广：p

（2）法则逆用：amn=（am］（加，〃为正整数）。

知识点3积的乘方

（ab）"=。"6"（〃为正整数），即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幕相乘。

【补充和拓展】

⑴法则可以推广到三个或三个以上因式的积的乘方，tO（abc）n=anbncn（〃为正整数）。

（2）法则逆用：a?"=（"）"（〃为正整数）。

知识点4同底数幕的除法与0指数塞

1.同底数幕的除法=。％"（。/0,加,〃都是正整数，并且加〉〃）；即同底数幕相除，底数不变，指

数相减。

注意：（1）同底数幕的除法和同底数幕的乘法互为逆运算。

（2）被除式、除式底数相同，被除式指数大于除式指数。

（3）底数。可以是一个数，也可以是单项式或多项式。

（4）当三个或三个以上同底数幕相除时，也具有这一性质，如am：a""=am+P

（aw0,加，凡夕是正整数，且加＞〃+夕）.

2.零指数幕的性质：a0=1（。中0）即任何不等于0的数的0次幕都等于I0

（1）底数。可以为单项式也可以是多项式，但是。不能为0,否则，式子没有意义。

（2）任何一个常数都可以看作与字母0次方的积，因此常数项可以看作是0次单项式。

6模块三核心考点举一反三------------------------------

考点01:同底数塞相乘

例题1.（24-25七年级上•上海黄浦・期中）计算：%4-（-%）=

【变式1-1】计算：e-36）5.（36-4=（结果用幕的形式表示）.

【变式1-2】计算：-（。-6）4（6-。）7=.（结果用幕的形式示）

【变式1-3］计算：（-x6）（-x）2=

考点02：同底数塞乘法的逆用

例题2.计算：2"=4，2"=16,则=

【变式2-1】计算：（-2尸°+（-2）99的值是（）

A.-2100B.-2"C.2100D.2"

【变式2-2】计算：0.125*8皿=.

【变式2-3］若2匚22"1=16，贝|x=.

考点03：暴的乘方运算

2

a例题3.若2x+3y=4,贝!|4<8>的值为

【变式3-1】计算的结果是（）

A.a5B.a6C./D./

【变式3-2］下列计算中正确的是()

A.b3-b3=2b3B.x4-x4=x14

25w

C.(a)=aD.„2./=Q9

【变式3-3］已知。，b,。为自然数，且满足2"x3°x4，=192,则〃+6+c的取值不可能是（）

A.5B.6C.7D.8

考点04：幕的乘方的逆用

例题4.（1）已知2x-3y+6=0,则代数式4川.82r的值为.

（2）若见"均为正整数，且2为TX4"=32,则加+〃的值为.

【变式4-1】已知：5m=a，5"=b,则52"+3,=

【变式4-2］已知4Y=，3＞，+1=27x-2,贝!Jx-y=.

【变式4-3］已知2x+5y-7=0,求4”32下的值.

考点05：积的乘方运算

［例题5.若尤"=6,/=8,则⑻"=.

【变式5-1］=

【变式5-2］（24-25七年级上•重庆开州•期中）y4-y3-y2-y=,（-x2y）2=

23222

【变式5-3】计算：（-3a）+（a）-a.

考点06：积的乘方的逆用

［、］例题6.已知加=89,〃=炉，试用含外〃的式子表示7272.

【变式6-1］（23-24七年级上•福建三明•期中）已知3?"-9"T=72,则〃=.

【变式6-2】计算：1xl.52024x（-l）2025=.

【变式6-3］（24-25七年级上•山东德州•期中）计算（-0.25产，（-4片的结果是.

考点07：同底数暴的除法

【变式7-1］（22-23七年级下•福建宁德•期中）下列计算正确的是（）

3

A.a3-a4=a12B.3a1+a?=4/

236

C.(3a)=9aD.a6-i-a3=a3

【变式7-2】计算：a9^a6-a3

【变式7-3］已知优=3,或=5,求的值是.

考点08：同底数暴的除法的逆用

|］例题8.已知3"=4,324"=S，求2025"的值.

【变式8-1］已知优=2，优'=6,那么的值为

【变式8-2］若x"=3,x2"-»=与，则/的值为

【变式8-3］若3"'=5,3"=4,则32™-3"=

考点0%嘉的混合运算

9.(1)已知X3"=3,求(-2x2")3+4『的值.

(2)已知4a-36+7=0,求3?、乡?"；27"的值.

【变式9-1】计算/尸3卜-1）3的正确结果是（）

11

A.-B.xC.—D.xy

xxy

【变式9-2］（23-24八年级上•广东广州•期中）计算：28x5?ax?）?.

【变式9-3］（23-24八年级上•江西南昌•期末）已知x"=2,xb=4,xc=8.

(1)求证：a+c=2b；

⑵求产"2。的直

考点10：零指数累

10.（22-23七年级上•河北邯郸•期末）若实数加、“满足帆_2|+(〃_2023『=0,则

-1,0

m+n=

【变式10-1］若（2x-3）°无意义，则整式/-X的值为.

【变式10-2］若a=（-2）-2,6=（-2）°,c=（-g）T,则%Ac大小关系是.（按从小到大顺序排列）

【变式10-3】阅读材料：

①1的任何次幕都等于1:

②-1的奇数次幕都等于-1;

③-1的偶数次幕都等于1;

④任何不等于零的数的零次幕都等于1.

4

试根据以上材料探索使等式（2a-l）-2=l成立的。的值.

6模块四小试牛刀过关测

一、单选题

1.⑵一24七年级下•安徽宿州•期末）下列运算正确的是（）

A.a3+a2=a5B.a2I-

C丫62422

V-/•九♦人—人D.(3a)=6a

2.（23-24七年级下•安徽阜阳•期末）下列计算正确的是（）

金3『_64910*12

A.x3+x2=x5B.C.x2-x3D.X3|=x

3.（23-24七年级下•安徽蚌埠•期末）“无风才到地，有风还满空.缘渠偏似雪，莫近鬓毛生”是唐朝诗人雍

裕之描写每年四月许多地方杨絮、柳絮如雪花般漫天飞舞的诗句,柳絮带给人们春天的讯息外也让人们不

堪其扰，据测定，杨絮纤维的直径约为0.00000105m,该数值用科学记数法表示为（）

A.0.105x10-5B.1.05x10-6C.105x10-7D.1.05x10-5

4.（23-24七年级下•河南郑州・期末）若a+26=3,贝！］27=

A.8B.12C.16D.24

二、填空题

5.（23-24七年级下•广东清远•期末）6x（105）2的结果用科学记数法表示为

6.（23-24七年级下•安徽亳州•期末）计算我+（万-3）。=

7.（23-24七年级下•安徽亳州・期末）已知2a+36-3=0,则的值为

三、解答题

2

8.（23-24七年级下•安徽安庆•期末）计算：＞/9+A/-27-+(1-V3)°.

9.（23-24七年级下•安徽亳州・期末）先化简，再求值：（_叫3..3+（_4./_5（*3+，£|,其中。=一1.

10.（23-24七年级下•江苏扬州•期末）若屋"=。"（a>0且awl,机、”是正整数），则一=〃.

利用上面结论解决下面的问题：

⑴如果3、=3“，则x=；

⑵如果8,=29,求x的值.

⑶如果52-5向=100,求x的值.

5

第06讲寨的运算

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模块一思维导图串知识1.掌握同底数塞、塞的乘方和积的乘方的运算法

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模块一思维导图串知识

,iMMWW：=a"

/t

/■的■方.底■不叟.措■利事

//-----------------------

I/『事的集方1J卜/I=尸

幕的运算K

_________J\\G=.丁

\枳的祟方.■于后却的,一个因式分切・方.的・的・

\11..................--■in--.........

后赢片:/（必|T=a"bV

模块二基础知识全梳理

知识点1同底数塞的乘法

1.暧・屋=4加+'（加，〃为正整数），即同底数暮相乘，底数不变，指数相加。

注意：（1）法则对于三个或三个以上的同底数相乘仍然适用，即

am•/=/""+。（加,〃,0为正整数）.

（2）不要忽略指数是1的因数，如。=储。

（3）底数可以是数也可以是单项式或多项式。

（4）注意法则的逆用：am+"=am-a"（见〃为正整数）。

知识点2寨的乘方

（暧）"=d"（加，〃为正整数），即幕的乘方，底数不变，指数相乘。

【补充和拓展】⑴法则推广：卜）”1=V（加，”为正整数）；

6

（2）法则逆用：amn=（膻，（加，"为正整数）。

知识点3积的乘方

（"）"（〃为正整数），即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幕相乘。

【补充和拓展】

⑴法则可以推广到三个或三个以上因式的积的乘方，如（abc）"=，6"c"（〃为正整数）。

（2）法则逆用：anb"=（汨"（〃为正整数）0

知识点4同底数辱的除法与0指数幕

1.同底数幕的除法=。”"（。00,加，〃都是正整数，并且加＞〃）；即同底数幕相除，底数不变，指

数相减。

注意：（1）同底数幕的除法和同底数幕的乘法互为逆运算。

（2）被除式、除式底数相同，被除式指数大于除式指数。

（3）底数。可以是一个数，也可以是单项式或多项式。

（4）当三个或三个以上同底数幕相除时，也具有这一性质，如am+a"+aP=am-『P

（aw0,九凡夕是正整数，且加〉〃+p）.

2.零指数幕的性质：a°=1（。W0）即任何不等于0的数的0次幕都等于lo

（1）底数a可以为单项式也可以是多项式，但是a不能为0,否则，式子没有意义。

（2）任何一个常数都可以看作与字母0次方的积，因此常数项可以看作是0次单项式。

6模块三核心考点举一反三------------------------------

考点01:同底数嘉相乘

[X例题1.（24-25七年级上•上海黄浦・期中）计算：/•（-%）=.

【答案】-Xs

【解析】解：/.（_幻=_尤5；故答案为：

【变式1-1]计算：（a-3b）'-（36-祝=（结果用幕的形式表示）.

【答案】（。-36）9

【解析】解：（。-34•（36-a）“=（°-34・（a-36）4=（"36）9,故答案为：（°一36丫.

【变式1-2】计算：-（°-6）4（6-。）7=.（结果用事的形式示）

【答案】（。-犷

【解析】解：原式=-（"6广]一（。-6）7]

=（6Z-/?）4（a-4

7

=(Q.

故答案为：(。-6)”.

【变式1-3】计算:(-x6)(-x)2=

【答案】-丁

【解析】解：(-x6)(-x)2=-x6-x2=-x8.故答案为：

考点02：同底数募乘法的逆用

I、.例题2.计算：2"=4，2"=16，则2"+2=_

【答案】128

【解析】解：：2"=4，2〃=16，

•2。+力+1

=2°x2'x2

=4x16x2

=128,

故答案为：128.

【变式2-1】计算：(-2)1°°+(-2)"的值是()

A.-2100B.-2"C.2100D.2"

【答案】D

【解析】解：(-2户°+(-21

=(一2)"x(一2)+(一2厂

=(-2fx(-2+l)

=(-2)"x(-l)

=293

故选：D.

【变式2-2】计算：0.125x8101=.

【答案】8100

【解析】解：O.125x8101=O.125x8x8100=lx8100=8100.故答案为：8,0°.

［变式2-3］若2,.22X+1=16，则％=.

【答案】1

［解析］解：：2*•22X+1=23Kl=16=24

3x+1=4,

解得：x=\,

8

故答案为：1.

考点03：塞的乘方运算

例题3.若2x+3y=4,贝U4,.8,的值为.

【答案】16

【解析】解：,••2x+3了=4,

23,2+3,4

4工-8〉=2X-2J=2X'=2=16,

故答案为：16.

【变式3-1】计算/的结果是（）

A.aB.a6C.a8D.a9

【答案】B

【解析】解：（a?7=孔故选：B

【变式3-2］下列计算中正确的是（）

A.b3-^=2b3B.x4-x4=x14

C.（«2）5=a10D.(a3)*-a4=a9

【答案】C

【解析】解：A.b3-b3=b6,原计算错误,不符合题意;

448

B.x.x=x,原计算错误,不符合题意;

C.（二）5=/。，原计算正确，符合题意;

D.（/）2./=/./=储。，原计算错误，不符合题意；

故选：C.

【变式3-3】已知。，b,C为自然数，且满足2"x3"x4。=192,则a+6+c的取值不可能是（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

【解析】解：：2"x3"x4。=192,

/.2"x3"x22。=2叭3，

...2a+2cx3b=26X3,

••a+2c—6,b=1,

:a,b,c为自然数,

・••当4=0时，c=3,止匕时a+6+c=0+3+l=4,

当a=2时，c=2,止匕时a+6+c=2+2+l=5,

当Q=4时，c=1,止匕时a+6+c=4+1+1=6,

9

当Q=6时，c=0,止匕时a+6+c=6+1+0=7,

综上所述，a+b+c的取值不可能是8,

故选：D.

考点04：幕的乘方的逆用

［一\］例题4.(1)已知2x-3y+6=0,则代数式4川.8f的值为

(2)若机，"均为正整数，且2"ix4"=32,则机+〃的值为

【答案】44或5

【解析】解：(1)••-2x-3y+6=0,

2%—3y=-6.

4乂+1_22X+2.>2^-3y_22x_3y+8_>^-6+8_22_4

故答案为：4.

(2)v2w-1x4n=2m-l+2n=32=25,

・••加-1+2〃=5.

.6-m

..77=-------.

2

•.•力，”均为正整数,

6-26-4

当=2时，n=------=2；当机=4时，n=----=1.

22

所以机+〃=2+2=4或机+”=4+1=5.

故答案为：4或5

【变式4-1】已知：5"=a，5"=b,则/+3”=

【答案】a2b3

【解析】解：：5'"=a，5"=b，

,^2m+3n

=52m-53"

=5m

=a2b3.

故答案为：a2b3.

【变式4-2］已知4%=2f3k1=27'一2,则x—V=

【答案】-9

【解析】解:根据题意可得4、=22，,27一=3乂1),

X2y+1

/.4=2X=2片1，3=2T-2=『a-2),

10

2x-y=-1

3x-y=7

x=8

解得,

7=17

/.尤一y=8-17=-9

故答案为：-9.

【变式4-3]已知2x+5y-7=0,求4*.32,的值.

【答案】128

【解析】解：因为2x+5y-7=0,

所以2x+5y=7,

所以4*•321=22X-25y=22x+5y=27=128.

考点05：积的乘方运算

【答案】48

【解析】解：(孙)"=x"-y"=6x8=48,故答案为：48.

【变式5-1】(-/).(r)2.(r)3=

【答案】『

【解析】解：(-%2)-(-%)2-(-%)3=(-%2)--p)=%7；故答案为：x7.

【变式5-2](24-25七年级上•重庆开州・期中)/yy-y=,(-x2y)2=

【答案】

故答案为：炉°,x4/.

【变式5-3】计算：(-3/丫+(/)2”

【答案】-26a,

【解析】解：原式=-27/+04用

考点06：积的乘方的逆用

,例题6.已知加=8\"=98,试用含在"的式子表示7272.

11

【答案】加，9

9

【解析】解：VW=8,n=9\

?9

:.7272=（8X9产=872X铲=x=⑹）4（9）=疗”9.

【变式6-1］（23-24七年级上•福建三明•期中）已知3?"-9"T=72,则"=.

【答案】2

【解析】解：；32"-9"一

=32,!-2X8

=72,

即2〃-2=2,

解得n=2,

故答案为：2.

（、2。25

【变式6-2】计算：1X1.52024x（-1）皿5=.

2

【答案】

【解析】解：（xl.52024x（-l）2025

024

=2|X图<2YxL5*（f

-x（一

3（3J

=--xl2024

3

_2

=~3；

、2

故答案为：-］

【变式6-3］（24-25七年级上•山东德州•期中）计算（-0.25）2°22x（—4户”的结果是

【答案】-4

12

故答案为：-4.

考点07：同底数塞的除法

、j例题7.计算:(-3am)2-a,,,+1-aM-1+2(am+1)2-a2.

【答案】10户

【解析】解：（一3屋了一屋

=9a2m-a2m+2a2m+2^a2

=yca2m-a2m+.2ca2m

=10/，".

【变式7-1］（22-23七年级下•福建宁德•期中）下列计算正确的是（）

A.a3-a4=a12B.3a2+a2=4a4

C.（3**=9/D.八/=/

【答案】D

【解析】解：A.a3-a4=a\故选项错误，不符合题意；

B.3a2+a2=4a2,故选项错误，不符合题意；

C.（3/丫=27/,故选项错误，不符合题意；

D./+/=》故选项正确，符合题意；

故选：D

【变式7-2】计算：/+/./=.

【答案】a6

【解析】解：

=。9-6+3

=a6，

故答案为：a6.

【变式7-3】已知/=3,/=5，求的值是.

【答案】|

【解析】解：：优=3,

/.（a'）2=32,即/=9，

；/=5，

Q

j。2r=〃2</=9+5='

5

9

故答案为：—

13

考点08：同底数幕的除法的逆用

例题8.已知3"=4,3»4"=。求2025"的值.

【答案】2025

【解析】解：；3"=4，

4加44

"一当一声一加’

即34"=81=34，

4〃=4,

解得"=1,

2025"=2025.

【变式8-1］已知疝=2,。"=6,那么小尸3工的值为.

9

【答案】

【解析】解：：优=2，=6,

/y-3x=aly+fl3x=（优=

9

故答案为：—.

2

Q

【变式8・2】若f=3，/”防=最，则«的值为

【答案】5

【解析】解：,••一“-3〃=1"）一+/6=痍，/=3,

（行=9

a

-=9+—=125,

125

（x4）3=125=5，

xb=5-

故答案为：5.

【变式8-3］若3”=5，3"=4,贝U32*3"=.

【答案】||

【解析】解：・・・3加=5，3〃=4,

14

95

故答案为：—.

64

考点09：易的混合运算

例题9.(1)已知”=3,求(-2针丫+4，广的值.

(2)已知4a-36+7=0,求3?xf"；27"的值.

【答案】(1)—36；(2)—

27

【解析】解：⑴(一2/了+4(/广

=-8尤6"+4/"

=-Ax6"

=-4①J,

把x'"=3代入得：原式=-4x3?=-36.

(2)；4。-36+7=0,

4。-36=—7，

一亨

1

~27

【变式9-1】计算一/3卜-、丫的正确结果是()

1「1

A.—B.%C.—D.9

xxy

【答案】A

【解析】x2y-3(x-'y)3

=x2y-3-x-3y3

二x

1

故选A.

15

【变式9-2］（23-24八年级上•广东广州•期中）计算：28;</+（一7//）+（2/）2.

【答案】0

【解析】解：原式=-4尤4+4x“

=0.

【变式9-3］（23-24八年级上•江西南昌•期末）已知x"=2,，=4,x°=8.

（1）求证：a+c-2b；

⑵求产H2c的值.

【答案】（1）见解析（2）32

【解析】⑴证明:•.•2x8=42,

即xa+c=xu.

：.a+c—2b

（2）解：xa-b+2c=■（xc）2=2+4x82=32.

考点10：零指数嘉

10.（22-23七年级上•河北邯单B・期末）若实数小、ZZ满足帆-2|+（〃-2023）2=0,则

m-1+,n0=•

3

【答案】7

2

【解析】解：•••何一2|+但一2023）2=0,

m—2=0,n—2023=0,

解得：m=2,n—2023,

.io113

22

3

故答案为：—.

【变式10-1］若（2x-3）°无意义，则整式/-X的值为.

3

【答案】4

4

【解析】解：；（2尤-3）°无意义,

2x—3=0,

.3

16

3

故答案为：—.

4

【变式10-2］若。=（-2尸,6=（一2）°,C=（_；）L贝心,Ac大小关系是.（按从小到大顺序排列）

【答案】c<a<b

【解析】解：。=（一2）=—7=7.

b=（-2）°=1,

：,c<a<b.

故答案为：c<a<b.

【变式10-3】阅读材料：

①1的任何次幕都等于1;

②-1的奇数次幕都等于-1;

③-1的偶数次幕都等于1;

④任何不等于零的数的零次幕都等于1.

试根据以上材料探索使等式（2a-1广2=1成立的。的值.

【答案】。的值为1或0或-2

【解析】①当2"1=1时，。=1；

②当=时，a=0,指数。+2=2为偶数，所以符合题意；

③当a+2=0时，a=—2,且2x（-2）-1=-5*0,所以符合题意;

综上所述：。的值为1或0或-2.

6模块四小试牛刀过关测-----------------

一、单选题

1.（23-24七年级下•安徽宿州•期末）下列运算正确的是（）

A.a3+a2=a5B.（叫:苏

C.D.（3d!）2=6a2

【答案】C

17

【解析】解：A./与/不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；

B.（/丫=/,故本选项不合题意；

C./+一=工4,正确，符合题意；

D.（3a）2-9a2,故本选项不合题意.

故选：C.

2.（23-24七年级下•安徽阜阳•期末）下列计算正确的是（）

A.%3+工2=尤5B.（X3）3=X6C.X2-X3=x6D.（X3）4=X12

【答案】D

【解析】解：A.V与公不能合并，故该选项不正确，不符合题意；

B.（X3）3=X9,故该选项不正确，不符合题意；

C.故该选项不正确，不符合题意；

D.（X3）4=X“，故该选项正确，符合题意；

故选：D.

3.（23-24七年级下•安徽蚌埠•期末）“无风才到地，有风还满空