2025年南宁二模数学试题及答案

南宁二模数学试题及答案姓名：____________________

一、选择题（每题5分，共50分）

1.已知函数$f(x)=2x^3-3x^2+4x-5$，则函数的对称中心是：

A.（1，2）B.（1，3）C.（1，-2）D.（1，-3）

2.在平面直角坐标系中，点A（3，4），B（-2，-1），若AB的中点坐标为（1，1），则线段AB的长度为：

A.5B.10C.5√2D.10√2

3.已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=3^n-2^n$，则数列的前$n$项和$S_n$为：

A.$3^n-2^n$B.$3^n+2^n-3$C.$3^n+2^n$D.$3^n-2^n+3$

4.若$y=2x-3$，$x=4$，则$y$的值为：

A.5B.7C.9D.11

5.已知函数$f(x)=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的图像开口向上，且顶点坐标为（-1，2），则下列说法正确的是：

A.$a>0$，$b<0$，$c<0$B.$a>0$，$b<0$，$c>0$C.$a<0$，$b<0$，$c<0$D.$a<0$，$b<0$，$c>0$

二、填空题（每题5分，共25分）

6.已知等差数列$\{a_n\}$的首项为2，公差为3，则第10项$a_{10}$的值为__________。

7.在△ABC中，已知角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则角C的度数为__________。

8.函数$f(x)=x^2+2x+3$的图像的顶点坐标为__________。

9.已知函数$g(x)=2x^3-3x^2+4x-5$，则$g'(x)$的值为__________。

10.在平面直角坐标系中，若点P（1，2）到直线$2x+y-5=0$的距离为__________。

三、解答题（每题10分，共20分）

11.（1）若函数$f(x)=x^2-4x+5$的图像关于x轴对称，求实数a的值；

（2）若数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=3^n-2^n$，求$\lim_{n\rightarrow\infty}a_n$。

12.（1）已知函数$f(x)=2x^3-3x^2+4x-5$，求函数的极值点；

（2）若函数$g(x)=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的图像开口向上，且顶点坐标为（-1，2），求函数的解析式。

四、解答题（每题10分，共20分）

13.（1）已知等差数列$\{a_n\}$的前三项分别为3，5，7，求该数列的通项公式；

（2）若数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n=3n^2-2n$，求第10项$a_{10}$的值。

14.（1）在平面直角坐标系中，若点P（3，4）关于直线$y=2x+1$的对称点为Q，求点Q的坐标；

（2）已知函数$f(x)=x^2-4x+5$，求函数图像与x轴的交点坐标。

五、应用题（每题15分，共30分）

15.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n=3n^2-2n$，求该数列的通项公式和第10项$a_{10}$的值。

16.在平面直角坐标系中，直线$y=x+b$与圆$(x-1)^2+y^2=1$相交于点A和B，求直线$y=x+b$的截距b的取值范围。

六、证明题（每题15分，共30分）

17.已知函数$f(x)=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的图像开口向上，且顶点坐标为（-1，2），证明：$b^2-4ac>0$。

18.已知等差数列$\{a_n\}$的首项为2，公差为3，证明：对于任意的正整数n，都有$a_n>0$。

试卷答案如下：

一、选择题（每题5分，共50分）

1.答案：C

解析思路：函数$f(x)=2x^3-3x^2+4x-5$的对称中心可以通过求导数等于0的点来找到，即求$f'(x)=6x^2-6x+4=0$的解，解得$x=1$，将$x=1$代入原函数得$f(1)=2(1)^3-3(1)^2+4(1)-5=-2$，所以对称中心为（1，-2）。

2.答案：C

解析思路：中点公式为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$，代入A（3，4）和B（-2，-1）得中点为（\frac{3-2}{2},\frac{4-1}{2})=(\frac{1}{2},\frac{3}{2})$，线段AB的长度为$\sqrt{(\frac{1}{2}-3)^2+(\frac{3}{2}-4)^2}=\sqrt{(\frac{-5}{2})^2+(\frac{-1}{2})^2}=\sqrt{\frac{26}{4}}=5\sqrt{2}$。

3.答案：B

解析思路：数列的前$n$项和$S_n$可以通过将数列的通项公式代入求和公式得到，即$S_n=\sum_{i=1}^{n}(3^i-2^i)$，这是一个等比数列的求和问题，根据等比数列求和公式，$S_n=\frac{3(1-3^n)}{1-3}-\frac{2(1-2^n)}{1-2}=3^n-2^n-3+2=3^n-2^n-1$。

4.答案：A

解析思路：直接将$x=4$代入$y=2x-3$，得$y=2(4)-3=8-3=5$。

5.答案：B

解析思路：函数的顶点坐标可以通过求导数等于0的点来找到，即求$f'(x)=2ax+b=0$的解，解得$x=-\frac{b}{2a}$，将$x=-1$代入得$2a(-1)+b=0$，即$b=2a$，由于图像开口向上，$a>0$，所以$b>0$，故选B。

二、填空题（每题5分，共25分）

6.答案：$a_{10}=3+3(10-1)=3+3(9)=3+27=30$

解析思路：等差数列的通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$，代入首项2和公差3，得$a_{10}=2+(10-1)\cdot3=2+27=29$。

7.答案：$C=90^\circ$

解析思路：根据余弦定理，$c^2=a^2+b^2-2ab\cosC$，代入a=3，b=4，c=5，得$5^2=3^2+4^2-2\cdot3\cdot4\cosC$，解得$\cosC=\frac{3^2+4^2-5^2}{2\cdot3\cdot4}=\frac{1}{4}$，所以$C=90^\circ$。

8.答案：顶点坐标为（-1，2）

解析思路：函数$f(x)=x^2+2x+3$是一个二次函数，其顶点坐标可以通过求导数等于0的点来找到，即求$f'(x)=2x+2=0$的解，解得$x=-1$，将$x=-1$代入原函数得$f(-1)=(-1)^2+2(-1)+3=1-2+3=2$，所以顶点坐标为（-1，2）。

9.答案：$g'(x)=6x^2-6x+4$

解析思路：函数$g(x)=2x^3-3x^2+4x-5$的导数为$g'(x)=6x^2-6x+4$。

10.答案：距离为$\frac{1}{\sqrt{5}}$

解析思路：点到直线的距离公式为$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$，代入点P（1，2）和直线$2x+y-5=0$的系数，得$d=\frac{|2\cdot1+1\cdot2-5|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{|-1|}{\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$。

三、解答题（每题10分，共20分）

11.（1）答案：$a=2$

解析思路：函数$f(x)=x^2-4x+5$关于x轴对称，说明其图像在x轴上方，即开口向上，因此a>0。对称轴的方程为$x=-\frac{b}{2a}$，代入对称中心（1，2）得$1=-\frac{-4}{2a}$，解得$a=2$。

（2）答案：$\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=\lim_{n\rightarrow\infty}(3^n-2^n)=\infty$

解析思路：由于$3^n$的增长速度远大于$2^n$，当$n$趋向于无穷大时，$3^n-2^n$也趋向于无穷大。

12.（1）答案：极值点为$x=1$

解析思路：函数$f(x)=2x^3-3x^2+4x-5$的导数为$f'(x)=6x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$，解得$x=1$，这是函数的极值点。

（2）答案：函数的解析式为$g(x)=2x^2-4x+4$

解析思路：函数$g(x)=ax^2+bx+c$的顶点坐标为（-1，2），代入得$2=a(-1)^2+b(-1)+c$，即$2=a-b+c$。由于图像开口向上，$a>0$，所以$2=a-b+c$，又因为顶点坐标为（-1，2），代入得$2=a(-1)^2+b(-1)+c$，即$2=a-b+c$，解得$a=2$，$b=-4$，$c=4$，所以函数的解析式为$g(x)=2x^2-4x+4$。

四、解答题（每题10分，共20分）

13.（1）答案：通项公式为$a_n=3+3(n-1)=3n$

解析思路：等差数列的通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$，代入首项3和公差3，得$a_n=3+3(n-1)=3n$。

（2）答案：$a_{10}=3\cdot10=30$

解析思路：将n=10代入通项公式$a_n=3n$，得$a_{10}=3\cdot10=30$。

14.（1）答案：点Q的坐标为（-5，0）

解析思路：点P（3，4）关于直线$y=2x+1$的对称点Q可以通过找到直线$y=2x+1$的垂线，然后找到垂足，最后根据对称性找到点Q的坐标。垂线的斜率为直线$y=2x+1$斜率的负倒数，即$-\frac{1}{2}$，垂足的坐标可以通过解方程组得到，解得垂足为（-5，0），因此点Q的坐标为（-5，0）。

（2）答案：函数图像与x轴的交点坐标为（2，0）和（3，0）

解析思路：函数$f(x)=x^2-4x+5$与x轴的交点坐标可以通过解方程$f(x)=0$得到，即$x^2-4x+5=0$，解得$x=2$和$x=3$，所以交点坐标为（2，0）和（3，0）。

五、应用题（每题15分，共30分）

15.（1）答案：通项公式为$a_n=3n$，$a_{10}=30$

解析思路：根据题意，数列的前$n$项和为$S_n=3n^2-2n$，由数列的前$n$项和与通项公式的关系可得$a_n=S_n-S_{n-1}$，代入得$a_n=(3n^2-2n)-[3(n-1)^2-2(n-1)]=6n-5$，所以通项公式为$a_n=6n-5$，代入n=10得$a_{10}=6\cdot10-5=55$。

（2）答案：直线$y=x+b$的截距b的取值范围为$b\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$

解析思路：直线$y=x+b$与圆$(x-1)^2+y^2=1$相交，说明直线与圆的距离小于等于圆的半径，即$\frac{|1-b|}{\sqrt{2}}\leq1$，解得$b\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$。

六、证明题（每题15分，共30分）

17.（1）答案：$b^2-4ac>0$

解