2025年高考数学解答题专项突破：定点、定值、定线问题

»圆锥曲线的综合问题

［考情分析］从近几年的新高考试题来看，解析几何是高考的重点，通常以一大两小的模式

命题.对解析几何大题的考查综合性较强、难度较大，通常作为两道压轴题之一.下面我们

重点讲解一下解析几何部分常考问题的解题方法.

第1课时定点、定值、定线问题

考点一定点问题(多考向探究)

考向1直接推理法求定点问题

例1(2023•浙江校考模拟预测)已知点4(2,0),小|,一§在椭圆M-.^+^=l(a>Z»0)

上.

⑴求椭圆"的方程;

(2)直线/与椭圆M交于C,。两个不同的点(异于A,B),过C作x轴的垂线分别交直线

于点P,Q,当尸是C。的中点时，证明：直线/过定点.

解⑴由题意知a=2,又椭圆经过8(一小一六)，代入可得&(—D+乐］一号=1，解得

〃=1,

y2

故椭圆"的方程为点+y2=l.

(2)证明：由题意知，当轴时，不符合题意，故/的斜率存在，设直线/的方程为>=日

+m,

y=kx+m,

联立消去A

彳十丁9匕

得(4标+l)f+8Zmx+4机2—4=0,

则J=64^m2—16(m2—1)(4^+1)=16(4^—m2+1)>0,

即4於+l>m2.

—8kmA—4

X1X2=

设C(xi，yi),D(X2,y2)，%1+尬=正百，4^+r

直线AB的方程为y=；(x—2),

令x=xi，得尸Qi，七2)，

直线AD的方程为y='\(L2),

X2—2

令X=X1,得°Q1，二|)j,

由尸是C。的中点，得y=yi+"%2,

乙X2-Z

即已

XI—2X2—22

即(辰1+m)(x2—2)+(kx2+m)(xi—2)

即（1—4左）西工2+（4左一2m—2）（xi~\~xi）+4+8m=0,

即4m2+（16女+8）根+163+16%=0,

所以（机+2左）（机+2女+2）=0,

得m=-2k—2或m=-2k.

当根=一2%一2时，由49+1>m2,

3

得N—符合题意；

O

当相=—2左时，直线/经过点A,与题意不符，舍去.

所以直线/的方程为y=kx~2k—2,

即y=k（x—2）—2,

所以直线/过定点（2,-2）.

名师点拨】

探索直线过定点时，注意讨论直线的斜率是否存在.若直线的斜率存在，可设直线方程为y

=kx+m,然后利用条件建立机，A之间的等量关系，消元后借助于直线系的思想找出定点.

训练

1.（2023•福建名校联盟模拟）设抛物线C：丁=2/无。>0）的焦点为F,点、A的坐

标为（3,-2）.已知点尸是抛物线C上的动点，|朋|+行尸|的最小值为4.

（1）求抛物线C的方程；

(2)若直线以与C交于另一点Q,经过点2(3,-6)和点。的直线与C交于另一点T,证明:

直线PT过定点.

2

解⑴若A和尸在抛物线产=2t的同侧，贝ij(-2)2<3x2p,解得

设点P在准线上的射影为H,于是|尸网=|尸H|.

过A作A/T与准线垂直，垂足为"，

故|PF|+1朋|=|PH|+1必|N|AH'|=3+5=4,

2

当且仅当A,P,反三点共线时取等号，由此得p=2>?符合题意;

2

若A和尸在抛物线的异侧或A在抛物线上，则pW?

由|尸引十陷|N|AF|=q(3—，+(-2)2=4,

当且仅当A,P,尸三点共线(或A与尸重合)时取等号，得到p=6±4小(舍去).

综上所述，抛物线C的方程为y2=4x.

(2)设Q©，yo)，尸©，V)，好，立).

直线。尸的斜率炀=言=意？

4

则其方程为y=&;G—?+加=今言”.

同理可得直线。7的方程为TU；，

直线PT的方程为了=©?”

yi+y2

12+joyi

yo+yi

将A(3,-2),B(3,—6)分别代入直线。尸，QT的方程，可得《、一消去州，可

_12±W2

、yo+^2

得”V2=12，

代入直线尸T的方程y=4x?叱

yi-ry2

八AZrZH4x+124.

化简得y=-T-=-T-(x+3),

yi-ry2yi+y2

故直线尸丁过定点(一3,0).

考向2逆推法求定点问题

例2(2024.辽宁锦州一模)已知椭圆C5+乐=1(4心1)的离心率为竽其上焦点到直线

bx-\~lay~y[2=0的距离为•

(1)求椭圆。的方程；

(2)过点0)的直线I交椭圆C于A,B两点.试探究以线段AB为直径的圆是否过定点.若

过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.

解⑴由题意得，旺=坐，

又/=〃+。2,所以〃=也。，C=b.

\2ac-y[2\y[2

[/+叱3

所以〃=1,4=2,

故椭圆c的方程为A-n.

(2)当轴时，以线段A8为直径的圆的方程为

当ABLy轴时，以线段A8为直径的圆的方程为f+y2=i.

可得两圆交点为。（-1,0）.

由此可知，若以线段为直径的圆恒过定点，则该定点为。（一1,0）.

下证0（—1,0）符合题意.

设直线/的斜率存在，且不为0,

其方程为W）,代入5+天2=1,

21

并整理得（F+ZM2—w&+gS—2=0.

设A（xi，y。,Bgm），

幻23女2—18

则用+4=3（於+2），为X2=9（7+2）'

所以国•途=（X1+1）（%2+1）+%p2=即兀2+沏+%2+1+sQ1-'口2—'=（1+^）-XlX2+

（1一1）（X1+X2）+1+/严=（1+官）,*5）工+l+*=0,

故道，砂，即。（一1,0）在以线段A3为直径的圆上.

综上，以线段AB为直径的圆恒过定点（一1,0）.

名师点拨】

定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊（或极端）位置猜想，如直线的

水平位置、竖直位置，即京=0或上不存在时.找出定点，再证明该点符合题意（运用斜率相

等或者三点共线）或证明与变量无关.

⑥^训练2.（2023・湖南长沙模拟）已知定点A（T,0）,FQ,0）,定直线/：x=1,不在x

轴上的动点尸与点尸的距离是它到直线/的距离的2倍.设点P的轨迹为E,过点厂的直线

交E于B,C两点，直线AB,AC分别交/于点M,N.

（1）求E的方程；

（2）试判断以线段MN为直径的圆是否过定点.若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，说

明理由.

解（1）设P（x,y）,依题意有U（X—2）2+y2=2'—二,化简可得E的方程为x2-f=l（^0）.

⑵假设以线段MN为直径的圆过定点，由对称性可知该定点必在x轴上.

若BCLLx轴，则3（2,3）,直线的方程为y=x+1,

所以点M的坐标为e，D，同理可得点N的坐标为e，—D，此时以MN为直径的圆的方程

该圆与龙轴交于点£）i（2,0）和。2（—L0）.下面进行验证:

设直线BC的方程为x=my+2,

x=my-\-2,

由（.y2消去工得（3疗一1»2+12M丁+9=0,

K3=1>

由题意，知3M2—1和,J>0.

设5a1，%），C（X2，m），

12%7Q

则以+"=一而三'而二1

因为直线48的方程为y=U，（x+l），

所以点M的坐标为G'2（；"），

同理可得，点N的坐标为G，2者1））.

因为屈公卜1，2（;%））'员Q二-1，2（51）y

所以曲际=23+："+1）

=9__________9yly2______________

44[m2yly2+3m（川+丁2）+9]

81

93m2—1

-4+（9m2_36-2、一°・

4（3源—13m2—1J

同理可得，网a=o.

所以以线段MN为直径的圆过定点（2,0）和（一1,0）.

考点二定值问题（多考向探究）

考向1直接消参法求定值问题

例3（2024・武汉调研）如图，椭圆E：，+^=13乂>0）经过点4（0,—1）且离心率为坐.

（1）求椭圆E的方程;

（2）经过点（1,1）,且斜率为左的直线与椭圆E交于不同的两点P,。（均异于点A）,证明：直

线AP与的斜率之和为定值.

解（1）由题设知5=当，b=\,结合〃=尻+，，解得啦，

所以椭圆E的方程为^+>2=1.

⑵由题设知，直线P。的方程为y=©x—1）+1（时2）,代入与+产=1,

得(1+2S)x2—4k(k—l)x+2Z(左一2)—0,

由已知/>0,设已（为,X）,12（X2,丁2），

…_4k(fe-1)2k(左一2)

易知为12#0,则X1+X2=1+2上，XlX2~

1+2F

从而直线AP,AQ的斜率之和为

.vi+1.?+1fcvi+2-k奴2+2-kAl.1%i+%2

+="+-=2

kAP+kAQ=左+(2—左)(京+高)=2左+(2—k)=2k

,4k(Z—l)

十(2—%(k—2)

=2左一2（左一1）=2（为定值）.

方法总结】

圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略

（1）证明代数式为定值.依题设条件得出与代数式参数有关的等式，代人所求代数式，化简得

出定值.

⑵求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的表达式，再利用题设条件

化简、变形.

（3）求某线段长度为定值.利用两点间距离公式求得表达式，再根据条件对其进行化简、变形

即可.

训练3.（2024•山西太原联考一）已知双曲线C：，一£=1（。>0,6>0）与双曲线，一弓=

1有相同的焦点，且C的一条渐近线与直线x—2y+2=0平行.

（1）求双曲线C的方程；

（2）若直线/与双曲线C右支相切（切点不为右顶点），且/分别交双曲线C的两条渐近线于点A,

B,O为坐标原点，试判断AAOB的面积是否为定值.若是，求出定值；若不是，请说明理

由.

〃c=,2+3=小,

a—2,

（1）设双曲线。的焦距为2c（c＞0）,由题意可得＜，=〃+户'则4匕=1，则双曲线c

解

b=l

Ja~2f

的方程为?一＞2=1.

（2）由于直线/与双曲线C右支相切（切点不为右顶点），则直线/的斜率存在，设直线/的方程

为y=kx-\-m,

y=kx-\-m,

由<一得(4启一1)於+8左mx+4M2+4=0,

彳一尸1，

则A—64k1ni2—4(4Z^—1)(4m2+4)=0,可得1—43=—病.

设/与X轴的交点为。（一£,0）,

ni.11-m|—m|

==XA

则S^AOBS^AOD+SABOD=^OD\-\yA-yB\2k•\k\-\XA-XB\=2•\一切|

又双曲线两条渐近线的方程为y=±&,

2m

y=kx-\-m,X1C7，

联立《1解得不妨令A

m

y=2x,

产T工？

同理可得B（&-2Tm,m\

2k+ir

G~\~m\,,2m,2m|一洲4m|一m|

=2定值).

贝US^AOB-2~.1羽一切I=21—2k1+2左21—4s2—nr=2(

考向2特殊转化法求定值问题

例4（2023•张家口模拟）已知椭圆C：，+捻=1（。金＞0）上的点到它的两个焦点的距离之和为

4,以椭圆C的短轴为直径的圆。经过这两个焦点，点A,8分别是椭圆C的左、右顶点.

⑴求圆。和椭圆C的方程；

（2）已知P,Q分别是椭圆C和圆。上的动点（P,Q位于y轴两侧），且直线尸。与x轴平行,

直线AP,2尸分别与y轴交于点M,N.求证：/MQN为定值.

2〃=4,

解（1）由题意，得＜c=。，

^a2—b2=c2,

解得〃=2,b=c=也,

所以圆O的方程为f+F=2,

22

椭圆C的方程为a+5=1.

（2）证明：设点尸的坐标为（xo,刃）（泗邦），点。的坐标为（X。，死）,

季樽=1,［焉=4—2谛

则2即2；

〔用+网=2,〔功=2—w

由直线AP的方程为y=j%（x+2）,

得点M的坐标为（0,康5），

由直线BP的方程为y=U］（x—2）,得点N的坐标为（0，一B

所以勋=（—X。，患—泗）=（—X。，一费），

效=（一和，—岩—yj=（一X。，—督），

所以如•9=班十普=2—%+上等贽=0,

所以QM_LQV,即NMQN=90。，为定值.

1名师点拨】

将一般问题转化为特殊问题的特征，比如角转化为斜率或向量的夹角，线段比转化为坐标比，

然后利用题设条件解决问题.

金伞训练4.（2024•北京房山模拟）已知椭圆C：5+奈=1（°>6>0）的长轴的两个端点分别

为A（—2,0）,8（2,0）,离心率为4-.

⑴求椭圆。的标准方程；

（2）M为椭圆。上除A,3外任意一点，直线AM交直线x=4于点N,O为坐标原点，过点O

且与直线2N垂直的直线记为/,直线交y轴于点P,交直线/于点。，求证：舐为定

值.

解（1）由已知，得。=2,

又e=：=］=当，所以c=小，

所以b=yja2—c2=1,

所以椭圆C的标准方程为］+y2=i.

2

（2）证明：设M%1，州），y#0,则号+必=1,Xi+4yi=4,直线AM的方程为尸京^^（%+2）,

6yl

令x=4,得

6yl

xi+23yixi+2xi+2

即4,因为江8M所以g—恐,直线’的方程为尸一刀

，kBN=4-2%i+2’

x.因为直线8M的方程为》=武善一2),令x=0,得尸一至，

缶尸I仅尸一切I|0-2|14…估

所以IPCI—II—Ir八1—为定值.

HQI\XQ-XP\|—6—0|3

考点三定线问题

例5(2023•新课标II卷)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(一2小，0),离心率为小.

(1)求C的方程;

(2)记C的左、右顶点分别为4,A2,过点(一4,0)的直线与C的左支交于M,N两点，M在

第二象限，直线MAi与乂42交于点P.证明：点P在定直线上.

解(1)设双曲线C的方程为a一方=130，6>0)，

由焦点坐标可知c=2小，

则由e=\=小可得a=2,b=y]c2—a2-=4,

故C的方程为土方1.

(2)证法一：由(1)可得4(-2,0),A2(2,0),设M(xi，yi),N(x2,y2),

显然直线A/N的斜率不为0,所以设直线MN的方程为无=»jy—4,且一3<相弓,

与三一猿=1联立可得(4川一l)y2—32my+48=0,且/=64(4浮+3)>0,

外,32m48

则以十竺=帘二?州”一帘二?

直线MAi的方程为y=々_0（X+2）,直线Uh的方程为y=4式冗-2）,

X1IZX2-乙

联立直线MAi与直线Mh的方程可得,

x+2/(为+2)丁2(切1—2)

x~2yi(%2—2)yi(my?-6)

切1>2-2(yi+>2)+2y

myiy2-6yi

48-32m,小

m4m2—14m2—1"

48

m，4m2-l6yl

-16加

4m2—12yl]

=48m~=~39

4m2—19

x+21

由---—彳可得x=—1，即无?=—1，

x—23

据此可得，点P在定直线x=—1上.

证法二：由题意得4（-2,0）,A2（2,0）.

设Af（xi,力），N（尤2,yi）＜直线A/N的方程为x=my—4,

则兴一器=1，即4xi-ji=16.

如图，连接四4，

,,*V.元4——16/

%""%必2—为+2尤1—2一后—4一XT-4—4①

X2V2

由^一京=1，得4，一丁=16,4[(x—2)+2]2—j/=16,

4(x—2)2+16(x—2)+16—丁=16,4(x—2)2+16(x—2)—y2=0.

由4,得x—2=?ny—6,my—(x—2)=6,^my—(x—2)]=l.

1QQ

4(x—2)2+16(x—2)-g[my—(x—2)]—y2=0,4(x—2)2+^(x—2)my—^(x—2)2—=0,

两边同时除以(X—2)2,得方+等.六一(^[=0,

即(MF竽m—e

yi-2

%]—2,左岫2=及二2'

4

=

由根与系数的关系得kMA2,kNA2—②

由①②可得左肪＜1=-3kNA?.

加句：(x+2)=-3左(%+2)，

=

INA2-ykNA2

[y=13fcvA(x+2)，

由彳z2八解得％=—1.

U=fcvA2(工一2),

所以点尸在定直线X=-l上.

名师点拨】

定线问题的求解思路

定线问题是指因图形的变化或点的移动而产生的动点在定线上的问题.这类问题的核心在于

确定点的轨迹，一般先求出点的坐标，看横、纵坐标是否为定值，或者找出横、纵坐标的关

系.

⑥^训练5.(2024•江西赣州模拟预测)如图，过抛物线V=4x的焦点尸的直线与抛物线

交于A,B两点，AM,AN,BC,BD分别垂直于坐标轴，垂足依次为M,N,C,D.

(1)若矩形ANOM和矩形8A0C的面积分别为Si，S2,求S「S2的值;

(2)求证：直线与直线CD的交点在定直线上.

解（1）抛物线y2=4x的焦点尸（1,0）,显然直线A8不垂直于y轴，设其方程为x=my+l,

x=my+1,

由

y=4x,

消去工,整理得丁2—4M＞一4=0.

设A(%i，yi),5(X2,》2)，

则"+'2=4根，yiy2=-4,

矩形ANOM和矩形BDOC的面积分别为

|yi||舅|

51-lxiyil=1^1,52=咫”|=詈，

grp,„&同1/I-4)-

所以豆⑤一“彳―16~4-

(2)证明:由(1)得M(xi，0),N(0,yi),C(x2,0),0(0,y2),

于是得直线MN的方程为y=-3+州，直线。的方程为y=一去+”，

AlA2

（尸一2+”，（、

由《边消去y,整理得©弋尸yf，

['=一?+竺，

V.4

壬11V2_llV24（V2—V1）

而为.愈一邕―yiy2—PL/，

44

因此有x=l,即直线MN与直线C£）的交点在直线x=l上.

所以直线MN与直线C。的交点在定直线x=l上.

课时作业

1.已知椭圆E：'+^=1（。泌＞0）的左、右焦点分别为品，Fz，离心率e=乎，P为椭圆上

一动点，△PRB面积的最大值为2.

（1）求椭圆E的方程；

⑵若C,D分别是椭圆E长轴的左、右端点，动点M满足KDLCD,连接CM交椭圆于点N,

。为坐标原点.证明：风•而为定值.

a~2'

解（1）当P为短轴端点时，△PFiB的面积最大，即6c=2,故〈八

DC一Z,

^a2=b2+c2.

解得〃=2,b=c=y[^.

72

故椭圆E的方程为a+尹1.

(2)证明：由(1)知，C(-2,0),0(2,0),

设直线CM：y=k(x+2),NQi，9)，

因为M£>_LC£),所以M(2,4A-),

仁+八

联立"42'整理，得(2乃+1)/+83犬+8研-4=0,

,y=k(x+2),

Qp—4

由根与系数的关系，得—2元1=而不p

2—4右4k

则XI=2否1'%=网制+2)=2F+r

所以A(左若，3)，威・苏=2x云4+4左、3=4，

故威.苏为定值4.

2.(2023•广东茂名五校联考)已知产是抛物线C：V=2pMp>0)的焦点，不过原点的动直线交

抛物线C于A,8两点，M是线段的中点，点/在准线/上的射影为N,当#=防时，

|4川=2<1

(1)求抛物线C的方程；

(2)当福•址=1时，求证：直线45过定点.

解(1)当#=防时，A8_Lx轴且A8过点R

不妨设A在x轴上方，则A@，P)，

此时M(^,0),A^—2>。)，

因为|训=2w，所以@+以+p2=8,

解得p=2,

故抛物线C的方程为y2=4x.

⑵证明：当直线A8的斜率为0时，显然不符合题意；

当直线AB的斜率不为0时，

设直线AB：x=my+n,M(xo,州)，人自，yi),8俘，以

\y2=4x,

由J化简，得y2—4my—4〃=0,

(x=my+nf

,0।,丁1+,2T

/=16(机+几)>0,yi+y2=4zn,yiy2=一4〃，yo=~-=2m,N(—1,2m),NA=by\-2mI,

曲=1,y2—2m],

丽•福二+(yi—2m)(j2—2附二号母+(」+—；--？21^+]+/]?-2m(yi+yi)

16加2+8”

+47"2=〃2]^1—4«—8/w2+4m2=M2—2n+L

4

若福•址=1,则〃2—2〃+1=1,

解得〃=0（舍去）或n=2,

所以直线AB过定点（2,0）.

、.A/5

3.（2023•全国乙卷）已知椭圆C：的禺心率是点4（一2,0）在。上.

（1）求C的方程;

（2）过点（一2,3）的直线交C于P,。两点，直线AP,A。与y轴的交点分别为M,N,证明:

线段MN的中点为定点.

'b=2,

4=3,

a2=b2+c2,

解（1）由题意可得＜解得《b=2,

c

e=~。=小，

a3'

27

所以C的方程为5+5=1.

（2）证明：由题意可知，直线尸。的斜率存在，设直线尸。：y=k（x+2）+3,尸（为，?）,。（松,

”），联立方程

y=k（%+2）+3,

则/=642(2%+3)2—64(43+9)(右+3左)=一1728%>0,解得NO,

,8k（24+3）16（出+3左）

可传％1+尬=_41+9'为必=47+9

因为A(—2,0),则直线AP：y=广占(%+2),

如2y2

口xi+2&+2k（xi+2）+3k（愈+2）+3

'2为+2%2+2

[Axi+（2Z+3）[（m+2）+〔依2+（2左+3）]（%i+2）

（冗1+2）（乃+2）

2fcvi%2+（4Z+3）（即+尬）+4（24+3）

X1X2+2（X1+X2）+4

32k（/+3左）8k（4Z+3）⑵+3）

卜4⑵+3）

4^+9~4一+9

16（王+3%）16%（2左+3）

~4-+9—一—4一+9-+

108。

=~36~3,

所以线段MN的中点是定点(0,3).

4.(2024•山东泰安模拟)已知曲线C上的动点尸满足|PE|—|PB|=2,且尸1(一2,0),F2(2,

0).

⑴求曲线C的方程；

(2)若直线与C交于A,8两点，分别过A,8作C的切线，两切线交于点P，.在以下两个

条件①②中选择一个条件，证明另外一个条件成立.

①直线AB经过定点M(4,0)；

②点P'在定直线x=9上.

解⑴因为IPFil—|产后|=2<4=尸16|,所以曲线C是以尸1,改为焦点，2为实轴长的双曲线

的右支,

所以2〃=2,即〃=1,

又因为B(—2,0),b2(2,0),所以。=2,得/=3,

所以曲线C的方程为『一曰=1(x^1).

⑵若选择①，证明②成立.

依题意，点A,B在双曲线右支上，此时直线A8的斜率必不为0,

设直线方程为％=my+4,A(xi，y。，B(x2,yi),不妨设A在第一象限，B在第四象限.

因为x2一k=1(%21),所以贯=3"一3,

3Y

且y=y]3x2—3,求导得y'=l亍U

f无1/、

所以过点A的切线方程为了一竺=小不寸f)，

化简得与1=3尤1尤一3,(i)

同理yy2=3&x-3,(ii)

，y2一“

X一，

xiy2-X2yi

联立方程(i)(ii),解得4°\

3x2—3xi

y=，

Ixiy2-JC2yi

所以口产人，上^),

\xiy2—X2yixiy2-X2yiJ

因为点A,B在直线A3上，所以修=机刃+4,入2=9y2+4,

所以xiy2=my\y2+4y2，x2yi=myiy2+4y1,

所以点P的横坐标为小一产=4广一\4

xiy2~X2yi4(y2—yi)4

,、/3尬―3即3m(刈一男)3m

点P的纵坐标为--------~1=才.

xiy2-X2^i4(中一9)4

即点P在定直线工=:上.

若选择②，证明①成立.

不妨设A在第一象限，5在第四象限，A(xi，州)，Bg,").

因为x2一女=1(%21),所以g=34—3,

且y=y[3^—3,

求导得旷=下空:

所以过点A的切线方程为y—yi=^==(x-xi),

化简得»1=3为％—3,(i)

同理yy2=3x2T—3,(ii)

联立方程(i)(ii)得，交点P的横坐标为

阳丁2-元2'1'

由题意,知

即一九2%=4y2-4刃=4。2一%).(iii)

因为A(%i，yi)93(x2,及)，

所以直线A5的方程为

y2-yi.、

y~yi=(x—xi),

X2~Xi

SP(X2—Xi)(y—yi)=(j2-yi)(x—Xi),整理得xiy2—X2yi=(y2—yi)x+(xi-xi)y.

联立(iii)式可得①一yD(%—4)+(©—%2)y=0，

易知x=4,y=0,即直线AB经过定点M(4,0).

5.(2023•河南郑州统考二模)已知抛物线C丁=2*⑦>0),。为坐标原点，焦点在直线2x+4y

—1=0上.

⑴求抛物线的标准方程；

(2)过点(4,0)作动直线/与抛物线。交于“，N两点,直线。M,ON分别与圆1)2+丁=1

交于点尸，。(异于点。)，设直线OM,ON的斜率分别为自，fo.

①求证：为定值；

②求证：直线尸。恒过定点.

解⑴易知直线2x+4y—1=0与x轴交于点Q,0),

即焦点坐标为6，0),所以今=3，p=l,

则抛物线的标准方程为y2=2x.

(2)证明：①设直线MN的方程为x=my+4,M(x\,%),Ng,m)，

fx=my+4,

联立方程j2—2得9一2加丁一8二0,

货=2xi，

所以yi'2=-8,又

或=2X2,

所以定强=4为%2=64,即XIX2=16,

向7JU2-8_1

则kvk72~xiX2~16~~2-

②设直线尸。的方程为X=^+mP（X3,g），2（X4,>4），

[x=ty+n,

联立方程，.、，，，

[（X-1）2+产=1,

得（P+1）;/+2*W-l）y+/—2〃=0,

2t（n—1）"2——9n

所以乃+%=—»+