2025年高考数学二轮复习专练：平面向量的概念及线性运算【六大题型】

专题4.1平面向量的概念及线性运算【六大题型】

【新高考专用】

1、平面向量的概念及线性运算

平面向量是高考的热点内容，属于高考的必考内容.从近几年的高考情况来看，平面向量的概念、平面

向量的线性运算是高考的热点内容，主要以选择题、填空题的形式考查，难度较易；有时也会与三角函数、

解析几何结合出现在综合性大题中，难度中等.

►知识梳理

【知识点1平行向量有关概念的归纳】

1.平行向量有关概念的四个关注点

(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.

(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.

(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆.

->-»

(4)非零向量。与符的关系：得是与。同方向的单位向量.

【知识点2平面向量线性运算问题的解题策略】

1.平面向量线性运算问题的求解思路：

（1）解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加

减法相互转化；

（2）在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中

位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示.

2.向量线性运算的含参问题的解题策略：

与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法

运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值.

3.利用共线向量定理解题的策略：

（l）aIIboa=2b（b中0）是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用.

（2）当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即三点共线O石，就共线.

->—>->->

（3）若。与b不共线且痴=岫,贝IJX=〃=0.

（4）d=%苏+q,〃为实数），若A,B,c三点共线，贝iU+〃=i.

【方法技巧与总结】

1.中点公式的向量形式：若尸为线段AB的中点，。为平面内任一点，则苏=：（亩十方）.

2.51=2万+水记〃为实数），若C三点共线，贝度+M=L

3.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是考虑向量的方向；二是

要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件.

►举一反三

【题型1平面向量的基本概念】

【例1】（24-25高二上•黑龙江佳木斯•阶段练习）下列量中是向量的为（）

A.体积B.距离

C.拉力D.质量

【解题思路】由向量的定义即可判断

【解答过程】A,B,D只有大小，C既有大小又有方向

故选:C.

【变式1-1]（23-24高一下.黑龙江大庆.阶段练习）下列命题中，正确的是（）

A.若忻।=|同，则a=BB.若|例>同，贝皈>3

C.若江=3,贝展||bD.若N||b,b||c,则N||c

【解题思路】根据向量的概念逐一判断.

【解答过程】对于A：若㈤=同，贝皈是只是大小相同，并不能说方向相同，A错误;

对于B：向量不能比较大小，B错误；

对于c：若a=3,贝底,3方向相同，c正确；

对于D：若日||b,b||c,如果另为零向量，则不能推出2,3平行，D错误.

故选：C.

【变式1-2]（23-24高一下•黑龙江绥化•阶段练习）关于平面向量，下列说法正确的是（）

A,向量可以比较大小B.向量的模可以比较大小

C,速度是向量，位移是数量D.零向量是没有方向的

【解题思路】根据向量的相关概念直接判断即可.

【解答过程】向量不可以比较大小，但向量的模是数量，可以比较大小，A错误，B正确；

速度和位移都有方向和大小，是向量，C错误；

零向量方向任意，D错误.

故选：B.

【变式1-3]（23-24高一•全国•假期作业）已知向量江如图所示，下列说法不正确的是（）

.__________________>

MN

A.也可以用而表示B.方向是由M指向N

C.起点是MD.终点是M

【解题思路】根据向量的几何表示，直接进行判断即可.

【解答过程】由向量的几何表示知，A、B、C正确，D不正确.

故选D.

【题型2向量的几何表示与向量的模】

[例2]（2024・福建南平•模拟预测）已知正方形ABC。的边长为1,点M满足荏+正=2AM,则|说|=

（）

A-1B.1C.fD.V2

【解题思路】根据几何关系求解.

【解答过程】

如图，AB+BC=AC=2AM,所以A/是AC的中点，|说|=匏。=争

故选：C.

【变式2-1]（23-24高一下•山东荷泽•阶段练习）如果一架飞机向西飞行150km,再向南飞行350km,记飞

机飞行的路程为s,位移为2,则（）

A.s>\d\B.s=|a|C.s<|a|D.s与|N|不能比较大小

【解题思路】根据题意，作图，结合向量的几何意义，可得答案.

【解答过程】由题意，作图如下：

则该飞机由4先飞到8,再飞到C,贝SB=150km,BC=350km,a=AC,

则飞机飞行的路程为s=500km,|a|=V1502+3502—50,58km,

所以s>|a|.

故选：A.

【变式2-2]（23-24高一下.安徽合肥.阶段练习）在如图所示的半圆中，AB为直径，点。为圆心，C为半

圆上一点，S.AOCB=30°,|荏|=2,则|尼|等于（）

A.1B.V2C.V3D.2

【解题思路】根据|方|=[OB\,可得以BC=乙OCB=30°,进一步得出答案.

【解答过程】如图，连接AC,

由I西=\OB\,得乙4BC=4OCB=30°.

因为C为半圆上的点，所以N4CB=90°,

所以国|=（画=1.

故选：A.

【变式2-3］（23-24高一下•上海•课后作业）若江是任一非零向量，3是单位向量，下列各式：①同＞|瓦；

②五〃B；③向＞0；@\b\=1；⑤高=丸其中正确的有（）

A.③④⑤B.②③⑤C.①③④D.③④

【解题思路】根据向量模的概念可判断①；利用向量共线的定义可判断②；利用向量模的概念可判断③、

④；根据单位向量的概念可判断⑤.

【解答过程】①IaI＞IBI不正确，a是任一非零向量，模长是任意的，故不正确；

②，〃人则R与3为共线向量，故不正确；

③同＞o,向量的模长是非负数，故正确；

@IKI=1,故正确；

⑤工是单位向量，3是单位向量，两向量方向不一定相同，故不正确.

故选：D.

【题型3向量加、减法的几何意义】

【例3】（2024・湖南岳阳•模拟预测）在AOMN中，而一而+而=（）

A.0B.2M0C.20MD.0

【解题思路】根据平面向量的加减法运算计算即可.

【解答过程】W-MW+MO=OW+W+MO=OM+MO=0.

故选：A.

【变式3-1X2024•宁夏石嘴山•二模）如图，已知△4BC中，。是4B边上一点，若丽=3CD=瓦+mCB,

则m=（）

A.-2B.2C.-1D.3

【解题思路】根据平面向量加减法运算求解即可.

【解答过程】连接CD,如图所示：

A

D.

BC

因为丽=

所以而=市+而=不+|屈=方+|(9-5)=:方+|方，

所以3丽=刀+2方，所以m=2.

故选：B.

【变式3-2](2024・浙江・二模)设M是平行四边形ABC。的对角线的交点，则加+2通+2流+丽=()

—>>>1—>

A.B.C.D.

ABCD2AB-2CD

【解题思路】根据平行四边形对角线平分及向量加减法计算可得.

【解答过程】M是平行四边形4BCD的对角线的交点，则加=-MC,MD=-MB,

所以加+2丽+2MC+MO=MX+MC+MC+MS+W+MO=MC+MB=MB-AM=^S.

故选：A.

【变式3-3](2024•全国•模拟预测)在正方形A2C£>中，〃是3C的中点.若尼=万，AM=n,则丽=()

A.4m—3nB.4m+3n

C.3m—4nD.3m+4n

【解题思路】作图，根据图像和向量的关系，得到丽=2(尼-而)=2沅-2元和荏=前-丽=万-

2m+2n=2n-m,进而利用前=说+方=就一荏，可得答案.

【解答过程】

如图，AC^m,AM^n,且在正方形48co中，AB^DC

VAC-AM=MC=：BC,・•・BC=2(AC-AM)=2m-2n,

vAC=AB+BC,AB=AC-BC=m—2m+2n=2n—m,

.・.=BC+CO=BC-AB=2m—2n-2n+m=3m—4n

故选：C.

【题型4向量的线性运算】

【例4】(2024.湖南岳阳.模拟预测)已知向量匕丸贝吃0+3)-(五-3)=()

A.a+bB.a—b

C.3a+bD.a+3b

【解题思路】直接由向量的线性运算即可求解.

【解答过程】由题意2伍+b')—(^a.—=2d+2b—d+b=a+3b.

故选：D.

【变式4-1](2024.全国.模拟预测)在△ABC中，AM+1VC=0,W=2MC,则()

A.NM=--AB--ACB.NM=-AB--AC

3636

------->i----->i----->------->i----->1----->

C.W=--AB+-ACD.NM=-AB+-AC

3636

【解题思路】根据题意，结合向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解.

【解答过程】在A4BC中，因为福+配=6,所以N为4C的中点，

又因为丽=2所乙所以M为线段的靠近C的三等分点，

所以丽=CM-~CN=^CB-^CA=^(AB-AC")+^AC=^AB+^AC.

故选：D.

【变式4-2](24-25高二上•北京朝阳•阶段练习)*2+23一3弓一3(2-23—,)=()

A.--a—4cB.--a+4b—2c

22

c5Tz3fc5f19f

C.—a+7bH—cD.—CLH-Sb—c

2222

【解题思路】根据向量的加减法即可得到答案.

【解答过程】|(a+2h-3c)-3(a-2d-c)=-ja+7b+|c.

故选：C.

【变式4-3](2024•四川德阳•模拟预测)在AABC中，点。在边BC上，且BD=抑,E为AD的中

点，则就=()

A.2AB+6AEB.6AB+2AEC.-2AB+6AED.6AB-2AE

【解题思路】由前=3而及向量的加减运算即可解.

【解答过程】如图所示：

因为前=3而，所以就一而=3(而一屈),

得前=3AD-2AB,

得前=3x2AE-2AB,

得尼=-2AB+6荏，

故选：C.

【题型5根据向量线性运算求参数】

【例5】(2024.山东.模拟预测)在正六边形4BCDEF中，CH=2HD,若丽=久乐+;/而，则x+y=()

A.-B.3C.-D.-

333

【解题思路】根据向量的线性运算法则和运算律求解即可.

【解答过程】AH=AB+BC+CH=AB+BC+^CD=AB+^AD+^AF

-->-->-->2-->-->c-->

=AB+AB+AF-AF=2AB4--AF,

33

所以x=2,y=|,所以x+y=3

故选：D.

【变式5-1](2024.贵州铜仁•模拟预测)如图，在△ABC中，M是边8c的中点，P是AM上一点，且前=|瓦？+

mBC,则m=()

【解题思路】设而=%前，根据图形由向量的加法法则运算即可.

【解答过程】设而=4而，因为M是边BC的中点，所以前=之前，

所以前=^M-BA=^BC-BA,

BP=BA+AP=BA+XAM=BA+|ZBC-ABA=(1-A)BA+|ABC,

fl-A=-

又巨？=2瓦？+小正，所以413,解得加,=1

36

I2

故选：A.

【变式5-2](2024.广西.模拟预测)在△ABC中，AB=4AD,CE=2ED.^BC=AAE+11CD,贝!j()

1

A.4+〃=5B.A-/z=1C.A/z=6D.—=3

【解题思路】将向量丽，而看作基底，利用向量的加减法法则以及数乘的运算法则，得到前=-3AE-

2而即可.

【解答过程】依题意，AB=4AD,

所以阮=~DC-~DB=-CD-3AD=-CD-3（AE+前），

又因为丽=2ED,

所以丽=-CD-3AE-3前=-CD-3AE-CD=-3AE-2CD,

所以2———3,林———2,

所以4+〃=—5,A—//=—1,2〃=6,只有选项C正确；

故选：C.

【变式5-3］（2024•山西晋中•模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，M为BC的靠近点C的三等分点，力C与

MD相交于点P,若布=%祐+丫而，贝｝y=（）

【解题思路】利用平行分线段成比例得到低=3,进而利用向量加法的平行四边形法则即可得解.

【解答过程】因为平行四边形48CD中，M为的靠近点C的三等分点，4C与MD相交于点P,

所以一=一=3,

PCCM

所以标=:左=|（荏+而）=1荏+;而，又族=久而+丫同，

所以％=y=?,xy=—.

/4/16

故选：B.

【题型6向量共线定理及其应用】

【例6】（2024•浙江•模拟预测）已知向量瓦，诙是平面上两个不共线的单位向量，且说=瓦+2备，BC=

-3e1+Ze2,DA=3e1—6e2,贝U（）

A.4、B、C三点共线B.4、B、。三点共线

C.力、C、。三点共线D.B、C、。三点共线

【解题思路】根据向量a石共线则a=wGR）判断即可.

【解答过程】对A,因为荏=瓦+2&，前=-3Z+2&,不存在实数；I使得四=4阮，故2、B、C三点

不共线，故A错误；

对B,因为荏=瓦+2各，DA=3ei-6e2,不存在实数4使得荏=4瓦?，故2、8、。三点不共线，故B

错误；

对C,因为前=同+就=-2瓦+4备，瓦？=3瓦一6备，则前=-|瓦?，故4、C、D三点共线，故C正

确；

对D,因为阮=-3瓦+2e2,BD=-DA-AB=DA=-3瓦+6e2—瓦一2e2=-4瓦+4e2,不存在实数

2使得前=2而，故B、C、。三点不共线，故D错误.

故选：C.

【变式6-1］（2024•内蒙古赤峰•二模）已知出3是两个不共线的向量，命题甲：向量出+另与2-2反共线；

命题乙：1=一］则甲是乙的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解题思路】利用向量共线定理即可判断.

【解答过程】对于命题甲，可设京+3=2（2—2»,^ta+bXa-2Xb,

则｛：=_以，所以t=2=/

对于命题乙，t=时，ta+fa=—|（a—2b）,则有向量4+3与2-2坂共线.

故甲是乙的充要条件.

故选：C.

【变式6-2］（2024•河北•模拟预测）已知点A,B,C是直线1上相异的三点，。为直线砂卜一点，5.20A=3OF+

MC,贝奴的值是（）

11

A.TB.1C,--D.-

【解题思路】化简得m=I砺+（泥，再利用三点共线系数和为1的结论即可得到方程，解出即可.

【解答过程】2瓦？=30F+AOC,即瓦？=+|0C,

因为点4是直线Z上相异的三点，则点4,B,C三点共线，

则1+2=1,解得2=-1.

故选：A.

【变式6-3］（2024•陕西咸阳・模拟预测）已知向量2万不共线，AB^Aa+b,AC^a+iib,其中2〉0,〃>0,

若4B,C三点共线，贝U+4H的最小值为（）

A.5B.4C.3D.2

【解题思路】根据向量共线定理和基本不等式即可求解.

【解答过程】因为三点共线，

所以存在实数左，使易=k兄，即42+3=+〃另），

又向量1万不共线，所以［，二］今加=1,

由4>0,〃>0,所以2+4〃>2J44〃=4,

当且仅当/I=44=2时，取等号，

即％+4〃的最小值为4.

故选：B.

1.（2022•全国•高考真题）已知向量五万满足⑷=1,|山=百,|五一2同=3,则针3=（）

A.-2B.-1C.1D.2

【解题思路】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.

【解答过程】解：；伺一2瓦2=|叫2_曲不+4同2,

又：同=l,\b\=y［3,\a-2b\=3,

,9=l-4a-fo+4x3=13-4a-fo,

/.a-6=1

故选：C.

2.（2023•全国•高考真题）已知向量必江,满足同=\b\=1,同=VL且,+3+m=6,则cos〈五一/花一。=

（）

【解题思路】作出图形,根据几何意义求解.

【解答过程】因为益+3+3=1所以a+3=—您

即江2+12+22-一=*,即1+14-2a-K=2,所以2-6=0.

如图，设。/=a,OB=b,OC=c,

由题知,04=0B=lf0C=V2,A04B是等腰直角三角形，

AB边上的高。D=亨,40=今

所以CD=C。+。。=&+'=与，

An1Q

tan^ACD=—=-fcos^ACD=三，

CD3V10

cos（a—c,b—c）=cosZ-ACB=cos2z.ACD=2cos2Z-ACD-1

=2x（割-1=J

故选:D.

3.（2023•全国•高考真题）已知。。的半径为1,直线必与。。相切于点A,直线尸8与。。交于8,C两

点，。为2C的中点，若出。|=夜，则万•丽的最大值为（）

A1+V2nI+2V2

A.--------D.-------

22

C.1+V2D.2+V2

【解题思路】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得福•丽=1~

ysin（2«-^），或瓦？•丽="日sin（2a+?）然后结合三角函数的性质即可确定西.丽的最大值.

【解答过程】如图所示，|。*=1,|OP|=/，则由题意可知之4P。

4

由勾股定理可得|P2|=VOP2-OA2=1

B

当点4。位于直线P。异侧时或总为直径时，设“PC=afO<a<^9

则：PA-PD=\PA\­|PD|cos(a+J)

1xV2cosacos(a+

V-2

=V2coscr2

9.

=cos£a—sinacosa

1+cos2a1

=------------sin2a

22

1V2/7T\

---Tsin(2a--)

0<a<=则一牌2T<?

4444

当点4。位于直线P。同侧时，^OPCa,0<a<f,

则：RA-RD=PA-PDcos-a)

=1xV2cosacos6—a)

r-/V2V2.\

=V2cosaI—cosa4-—sinaI

=cos2a+sinacosa

1+cos2a1

=----2-----F2sin2a

_1,V2..n\

=—IsinI2aH—),

22V4/

0<a<^,贝书2a+E<¥

二当2a+?=］时，西•而有最大值萼.

综上可得，P4•PD的最大值为

故选：A.

4.(2024・北京・高考真题)设a,另是向量，贝广R+另)•但一另)=0"是*=一反或日=亦的().

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解题思路】根据向量数量积分析可知伍+h)-(a-b)=0等价于⑷=\b\,结合充分、必要条件分析判断.

【解答过程】因为(五+司•(2—3)=产—92=0,可得彦=b2,即同=\b\,

可知(2+h)-(a-h)=0等价于|田=同，

若d=3或五=—可得闷=同,即Q+■('-3)=0,可知必要性成立；

^(d+&)-(a—h