2025年椭圆解答题测试题及答案

椭圆解答题测试题及答案姓名：____________________

一、解答题（每题10分，共30分）

1.已知椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），若椭圆的焦距为$2c$，且$c^2=a^2-b^2$，求证：$a^2=b^2+c^2$。

2.已知椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，求证：该椭圆的离心率$e=\frac{\sqrt{7}}{4}$。

3.已知椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$，求椭圆的短轴长度和焦距。

二、计算题（每题10分，共30分）

1.求椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$的焦点坐标。

2.求椭圆$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{9}=1$的离心率。

3.求椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的焦距，其中$a=5$，$b=3$。

四、选择题（每题5分，共25分）

1.若椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$的一个焦点为$F(0,1)$，则该椭圆的离心率为：

A.$\frac{1}{3}$

B.$\frac{3}{4}$

C.$\frac{\sqrt{7}}{4}$

D.$\frac{\sqrt{7}}{3}$

2.椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的短轴端点为$(0,\pmb)$，则以下哪个点可能是该椭圆的焦点？

A.$(0,-b)$

B.$(\pmb,0)$

C.$(0,b)$

D.$(\pm\sqrt{a^2-b^2},0)$

3.已知椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1$，则该椭圆的焦距为：

A.2

B.1

C.$\sqrt{2}$

D.$\sqrt{3}$

4.若椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{1}=1$的一个焦点为$F(3,0)$，则该椭圆的另一个焦点坐标为：

A.$(-3,0)$

B.$(3,0)$

C.$(0,3)$

D.$(0,-3)$

5.椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$的长轴长度是：

A.4

B.5

C.6

D.10

五、证明题（每题10分，共20分）

1.证明：对于椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），若$c^2=a^2-b^2$，则$c$为椭圆的焦距。

2.证明：若椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率为$e$，则$e^2=1-\frac{b^2}{a^2}$。

六、综合题（每题10分，共10分）

1.椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$与直线$y=\frac{2}{3}x$相交于两点$A$和$B$，求线段$AB$的长度。

试卷答案如下：

一、解答题

1.解析思路：由椭圆的定义可知，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为常数，即$2a$。设椭圆上的任意一点为$P(x,y)$，则$PF_1+PF_2=2a$。由焦距公式$c^2=a^2-b^2$可得$PF_1=\sqrt{x^2+(y-c)^2}$，$PF_2=\sqrt{x^2+(y+c)^2}$。将这两个表达式代入$PF_1+PF_2=2a$，平方后化简可得$a^2=b^2+c^2$。

2.解析思路：由椭圆的定义可知，椭圆的离心率$e=\frac{c}{a}$，其中$c$为焦距，$a$为半长轴。由焦距公式$c^2=a^2-b^2$可得$c=\sqrt{a^2-b^2}$。将椭圆的方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$代入可得$e=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$。将$a=4$，$b=3$代入可得$e=\frac{\sqrt{7}}{4}$。

3.解析思路：由椭圆的定义可知，椭圆的短轴长度为$2b$，焦距为$2c$。由焦距公式$c^2=a^2-b^2$可得$c=\sqrt{a^2-b^2}$。将$a=3$，$b=2$代入可得$c=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}$。因此，短轴长度为$2b=4$，焦距为$2c=2\sqrt{5}$。

二、计算题

1.解析思路：由椭圆的标准方程$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$可知，半长轴$a=5$，半短轴$b=4$。由焦距公式$c^2=a^2-b^2$可得$c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{25-16}=3$。因此，焦点坐标为$(\pmc,0)=(\pm3,0)$。

2.解析思路：由椭圆的标准方程$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{9}=1$可知，半长轴$a=6$，半短轴$b=3$。由焦距公式$c^2=a^2-b^2$可得$c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{36-9}=3$。因此，离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。

3.解析思路：由焦距公式$c^2=a^2-b^2$可得$c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$。因此，焦距为$2c=8$。

四、选择题

1.答案：C

2.答案：D

3.答案：A

4.答案：A

5.答案：D

五、证明题

1.解析思路：由椭圆的定义可知，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为常数，即$2a$。设椭圆上的任意一点为$P(x,y)$，则$PF_1+PF_2=2a$。由焦距公式$c^2=a^2-b^2$可得$PF_1=\sqrt{x^2+(y-c)^2}$，$PF_2=\sqrt{x^2+(y+c)^2}$。将这两个表达式代入$PF_1+PF_2=2a$，平方后化简可得$a^2=b^2+c^2$。

2.解析思路：由椭圆的定义可知，椭圆的离心率$e=\frac{c}{a}$，其中$c$为焦距，$a$为半长轴。由焦距公式$c^2=a^2-b^2$可得$c=\sqrt{a^2-b^2}$。将$e^2=\frac{c^2}{a^2}$代入可得$e^2=1-\frac{b^2}{a^2}$。

六、综合题

1.解析思路：将直线$y=\frac{2}{3}x$代入椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$中，得$\frac{x^2}{9}+\frac{(\frac{2}{3}x)^2}{4}=1$。化简得$x^2+\frac{4}{9}x^2=9$，即$\frac{13}{9}x^2=9$。解得$x=\pm