2025年高考数学二轮复习专练：不等式与复数【七大题型】

专题1.3不等式与复数【七大题型】

【新高考专用】

1、不等式

不等式是每年高考的必考内容，对不等式的考查一般以选择题、填空题为主，主要考查不等式的求解、

利用基本不等式求最值等问题。但不等式的相关知识往往可以渗透到高考的各个知识领域，作为解题工具

与函数、向量、解析几何、数列等知识相结合，在知识的交汇处命题，难度中档，其中在解析几何中利用

基本不等式求解范围或解决导数问题时利用不等式进行求解，难度偏高。

2、复数

复数是高考的热点内容，是高考的必考内容之一.从近几年的高考情况来看，高考对复数的考查比较稳

定，往往以单选题、填空题的形式考查，考查内容、难度变化不大，主要考查复数的概念、运算及其几何

意义，属于简单题.

►知识梳理

【知识点1等式性质与不等式性质】

1.等式的基本性质

性质1如果a=b,那么b=a；

性质2如果a=b,b=c,那么a=c；

性质3如果a=b,那么a±c=b±c\

性质4如果a=b,那么ac=bc\

性质5如果4=6,存0,那么

2.不等式的性质

(1)如果a>b,那么b<a；如果b<a,那么〃>/?.即a>bcb<a.

(2)如果a>b,b>c,那么a>c.BPa>b,b>c=>a>c.

(3)如果那么〃+c>Z?+c.

(4)如果〃>/?,c>0,那么ac>Z?c；如果〃>b,c<0,那么

(5)如果a>b,c>d,那么a+c>b+d.

(6)如果a>b>Ofc>d>0,那么ac>bd.

⑺如果。泌>0,那么Q〃>"(〃£N,n>2).

【知识点2基本不等式】

1.基本不等式与最值

已知羽y都是正数，

(1)如果积孙等于定值尸，那么当时，和x+y有最小值2后；

(2)如果和x+y等于定值S,那么当x=y时，积盯有最大值犷

温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)无、y>0,(2)和(积)为定值，(3)存

在取等号的条件.

2.常见的求最值模型

(1)模型一：mx+—>24rrm(m>0,n>0)，当且仅当了=时等号成立；

xVm

(2)模型二：nix-\———=m(x-(7)H——-——I-ma>2y[mn+ma(m>0,H>0),当且仅当x-a=y—时等号成

x-ax-aVm

立；

(3)模型三：三———=——1——V-=—(a>0,c>0),当且仅当了、口时等号成立；

ax+bx+cqx+b+£2y/ac+bVa

x

/人十首开HE/、根一根x)/l,mx+n-mx2n2,八八八土口力士n0-+

(4)模型四：x(n-mx)=--------<—•(----------------)x=——(m>0,n>0,0<x<—),当且仅当兀=——时

mm24mm2m

等号成立.

3.利用基本不等式求最值的几种方法

(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值.

(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.

(3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=b为常数)，求§的最值”的问题，先将号+:转化为

(?+(),，j，再用基本不等式求最值.

(4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和

为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.

【知识点3一元二次不等式】

1.一元二次不等式的解法

(1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤：

①通过对不等式变形，使二次项系数大于零；

②计算对应方程的判别式；

③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；

④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集.

(2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤：

①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论；

②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式/进行讨论；

③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论.

2.一元二次不等式恒成立、存在性问题

不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R,对于一元二次不等式办2+foc+c>0,它的解集为

[a>0,

R的条件为，小,°

[A—b--4ac<0；

[a>0,

一元二次不等式ar+bx+c》。，它的解集为R的条件为r2

〔/=〃一4℃W0；

[a<0,

一元二次不等式以2+bx+c>0的解集为。的条件为《

【知识点4复数有关问题的解题策略】

1.复数的概念的有关问题的解题策略

(1)复数z=a+bi(a,bGR),其中a,b分别是它的实部和虚部.若z为实数，则虚部6=0,与实部a无关；

若z为虚数，则虚部6W0,与实部a无关；若z为纯虚数，当且仅当a=0且6W0.

(2)复数2="+历(4力^即的模记作上|或旧+6"，即\z\=\a+bi\=y/a2+b2.

(3)复数z=a+6i(a力GR)的共轨复数为z=a—Z>i,则2-2=匕|2=目，即|z|=目=Jz•z,若ZGR,

则z=z.

2.复数的运算的解题策略

(1)复数的乘法类似于多项式的乘法运算；

(2)复数的除法关键是分子分母同乘以分母的共轮复数.

3.复数的几何意义的解题策略

由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此解题时可运用数形结合的方法，把复数、向量

与解析几何联系在一起，使问题的解决更加直观.

4.复数的方程的解题策略

（1）对实系数二次方程来说，求根公式、韦达定理、判别式的功能没有变化，仍然适用.

（2）对复系数（至少有一个系数为虚数）方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用.

►举一反三

【题型1不等式性质及其应用】

【例1】（2024.河南驻马店.二模）己知a>b>c>0,则下列说法一定正确的是（）

A.a>b+cB.a2<be

C.ac>b2D.ab+be>b2+ac

【解题思路】利用赋值法来举反例比较大小，利用作差法来比较大小，利用不等式的性质来比较大小.

【解答过程】当a=3,b=2,c=1时，a=b+c,且acVbz,故A,C项错误；

因为Q>b>0,a>c>0,所以小>be,故B项错误；

ab+be—（h2+ac）=（Z?—c）（a—6）>0,故D项正确.

故选：D.

【变式1-1］（2024.陕西商洛.三模）已知a,beR,贝盍”是“a3>〃，，的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解题思路】结合不等式的性质分充分性、必要性两方面进行说明即可求解.

【解答过程】若全〈白，贝必>匕>0,所以>/,充分性成立；

若。3>〃，贝ija>b,但二不一定成立，不满足必要性，

Vayjb

所以蚱<去”是忆3>心，的充分不必要条件.

y/a

故选：A.

【变式1-2］（2024.吉林长春.模拟预测）已知*avs<：,贝！］2a-2/?的取值范围是（）

A.（一/）B.（v，。）

C.（—nji）D.（—11,0）

【解题思路】应用不等式的性质，线性运算即可求出2a-2/?的取值范围.

【解答过程】因为：<a<2；<0<；，所以；<2a<n,-Ti<-20<—m，

424z2.z

则——<2<z—2/?<—,又a<B,所以2a—2s<0,

从而一］<2a-20<0.

故选：B.

【变式1-3]（2024.浙江金华.模拟预测）设见仇c的平均数为M,a与b的平均数为N,N与c的平均数为P.若a>

b>c,则（）

A.N<PB.P<M

C.N<MD.M+N<2P

【解题思路】根据作差法比较大小，首先将要比较的M,N,P,用a,hc表示，后作差变形，运用a>b>c这个条件,

判断正负即可比较出大小.

a+b,

【解答过程】根据题意得,M=/,N=—,P=卓=甘=竺詈£

对于A选项,N—P=-----------=------,a>b>c,a—c>0,b—c>0,a+b—2c>0,；・N—

244

a+匕-2c

>0,N>P.

4

a+b+ca+b+2c

对于B选项,M-P=

3412

a+b—2c

•・,a>b>c,.,・a—c>0,b—c>0,・•・a+b—2c>0".M—P=----------->0,:.M>P.

对于C选项,M—N=,♦・•a>b>c,・•・c-a<0,c—bV0,・・,2c-a—bV0,・•.M—

326

-a-b+2c

N=<0,.'.M<N.

6

对于D选项,M>P,N>P,.-.M+N>2P.

故选：B.

【题型2基本不等式与最值】

【例2】（2024•四川绵阳•一模）已知x>0,y>0,且满足x+y=xy-3,贝！Uy的最小值为（）

A.3B.2V3C.6D.9

【解题思路】利用基本不等式化简已知条件，再解不等式求得孙的范围，从而求得孙的最小值.

【解答过程】x+y=xy-3>2y/xy,

_23=（后-3）（月+1）20,

y/xy-3>0,xy>9,

当且仅当x=y=3时等号成立，

所以xy的最小值为9.

故选：D.

【变式2-1]（2024•河北•模拟预测）已知非负实数“满足x+y=1,则卷+击的最小值为（）

3+2^2n3+2V2

D.------------C.2D.-

243

【解题思路】根据x+y=l,化简求得?(x+l+y)=l,得到/+味=(/+击)x2(x+l+y)=/

（|+端+自），结合基本不等式，即可求解.

【解答过程】因为％+y=l,可得x+y+l=2,§p|(x+1+y)=1,

又因为非负实数x,y,所以x>0,y+1>0,

则专+壶=仁+捻）义处+i+y）

当且仅当詈=捻时，即％=2或一2,3/=3-2四时，等号成立,

所以;+-的最小值为3+：..

2x1+y4

故选：B.

【变式2-2](2024•山西•模拟预测)已知久>0,y>0,且4%2+5%y=(4+y)(4—y),则7%+4y的最小

值为()

A.6V3B.6V5C.8V3D.8^5

【解题思路】由条件得到(4%+y)(;r+y)=16,再由7%+4y=4%+y+3(%+y)结合基本不等式即可求

解.

【解答过程】因为4/+5xy=(4+y)(4-y),

所以4%2+5xy+y?=(4%+y)(x+y)=16,

所以7久+4y=4支+y+3(%+y)>2,3(%+y)(4%+y)=8V3,

当且仅当4%+y=3(%+y),即％=等，y=*时，等号成立，

所以7%+4y的最小值为8V1

故选：C.

【变式2-3]（2024•山东淄博・二模）记max{%,y,z}表示%,y,z中最大的数.已知居y均为正实数，则

max{|J,%2+4y2}的最小值为（）

A.-B.1C.2D.4

2

【解题思路】设"=1^一+4y2）,可得工+/+4y2,利用基本不等式运算求解，注意等

1lxyJxy

号成立的条件.

【解答过程】由题意可知：x,y均为正实数,

设M=max（-,-,x2+4y2L则M>->0,M>->0,M>x2+4y2>0,

lxy）xyJ

贝!J3M>-+-+x2+4y2>-+-+2-Jx2-4y2=-+-+4xy,

xyxyNxy

当且仅当/=4y2,即x=2y时，等号成立，

又因为2+—+4xy之3—•—•4xy=6,

xy-ylxy

当且仅当|=]=4%y,即％=2y=l时，等号成立，

可得3MN6,即MN2,所以M=max｛：q,%2+4y2｝的最小值为2.

故选：C.

【题型3基本不等式中的恒成立问题】

【例3】（2024・重庆•模拟预测）已知久>0,y>0,且%y+2%+y=6,则2%+y的最小值为（）.

A.4B.6C.8D.12

【解题思路】利用基本不等式和消元思想对本题目进行求解.

【解答过程】解：已知%>0,y>0,且xy+2x+y=6,

6-2x

，

Jy--x--+--1-

2x+y=2x+鬻=2(x+l)+搭一4>4,当且仅当2(x+1)=2,x=1时取等号，

故2x+y的最小值为4.

故选:A.

【变式3-1](2024・四川成都•三模)设函数/(*)-x3-x,正实数a,b满足/(a)+/(/?)=-2b,若a?+Ab2<

1,则实数4的最大值为()

A.2+2&B.4C.2+V2D.2企

【解题思路】依题意可得=。—4从而得到久工与笔=串_,再令t=?(t>D，最后利用基本

z

ab-b-b-1b

不等式计算可得.

【解答过程】因为/(%)=x3-x,所以/(a)=a3-a,f(b)=b3-b,

又(fa)+/(h)=-2b,

所以/—0+〃_力=—2b,BPa3+b3=a—b,

3Iu3

因为a>0,d>0,所以标+匕3>0,所以。>匕>0,所以——n—=1,

a-b

又+Xb2<1,BRa2+Ab2<a+--

a-b

所以助24胃，所以4m霁=]篁

A

a-bab-b--1b

令t=\贝亚>1,

b

所以典=些=工=t+1+二

tb-1t-1t-1t-1

—(t—1)+~~-+2N2J(t-1),+2=2+2A/2^，

当且仅当t—1=3,即力=遮+1时取等号，

t—1

所以(与笔)=2(72+1),所以4W2+2近，

则实数4的最大值为2+2V2.

故选：A.

【变式3-2](23-24高一上•河南商丘・期末)若对任意实数x>0,y>0,不等式久+y/xy<a(x+y)恒成立,

则实数a的最小值为()

A.—B.V2-1C.V2+1D.—

22

【解题思路】分离变量将问题转化为aN也旦对于任意实数“>0,)/>0恒成立，进而求出合运的最大值，

x+yx+y

设J=>0)及1+t=m(m>1),然后通过基本不等式求得答案.

【解答过程】由题意可得，a>也空对于任意实数％>0,y>0恒成立，则只需求生旦的最大值即可,生且=

x+yx+yx+y

1+便L1+口1+区

—)r,设口=t(t>0),贝!J—jr=再设1+t=m(m>1),贝!J—y-==—/—=m---=—\—

以山1+91+/展1+/l+gT)2而-2m+2m+^-2

亳=萼，当且仅当时各Z=V2-1时取得

X

所以a2等，即实数。的最小值为穿.

故选：D.

【变式3-3](2024•广东湛江.二模)当x,y6(0,+8)时，?智学字<：恒成立，则优的取值范围是()

/x4+2x2y+y24

A.(25,+8)B.(26,+oo)C.(^,+oo)D.(27,+8)

【解题思路】将左侧分式的分子因式分解成(4尤2+y)(/+4y)的形式，再利用均值不等式的结论进行计算

即可以得到结果.

22

【解答过程】当X，"(。,+8)时，为党学=空£产W=(4x+y5+x+/4y\2号，

当且仅当4%2+y=/+4y,即y=%2时，等号成立，

所以安警空孚的最大值为

x4+2x2y+y24

所以"〉至，即小>25.

44

故选：A.

【题型4二次不等式及其参数问题】

【例4】（2024.山西.模拟预测）已知关于%的不等式a%+b>0的解集为（一4,+8）,则关于％的不等式b/一

ax<0的解集为（）

A.（一B.（―8,—3u（0,+8）

C.（0,；）D.（-8,0）“}+8）

【解题思路】先根据不等式的解集可得a,b的关系及a的符号，再根据一元二次不等式的解法即可得解.

【解答过程】由a%+6>0的解集为（一4,+8）,可得Q>0,且方程以+b=0的解为一4,

所以一2=—4,则b=4a,所以b——ax<0,即4a——ax<0,又Q>0,

a

所以4/—久<0,解得0<%<%即关于x的不等式人产一a%<0的解集为（0,3.

故选：C.

【变式4-1］（2024・浙江绍兴•三模）若关于x的不等式+mx+n\>0的解集为{x|x力1且x力2},则（）

A.m=3,n=2B.m=—3,n=2C.m=3,n=—2D.m=—3,n=—2

【解题思路】由题得1、2为方程/+血％+n=0的根，利用韦达定理计算即可得解.

【解答过程】由已知可得1、2为方程/+小》+几=0的根，

由韦达定理可得：?：」；一小，解得：］爪=；3,

11x2=九tn=2

故选：B.

【变式4-2］（2024•甘肃张掖•模拟预测）不等式|/一3幻<2-2x的解集是（）

A.（-nB.（-/C.（T手）D.（亨彳）

【解题思路】按照/-3%正负分类讨论取绝对值，运算得解.

【解答过程】当％2-3%>0,即无>3或汽<0时，

不等式|%2—3x|<2—2%等价于％2—3x<2—2x,即%2—%—2<0,

解得—1<%<2,所以—1<%40；

当——3%<0,即0<x<3时，不等式I——3%|<2—2%等价于不等式3%—x2<2—2x,BP%2—5x+2>

0,

解得x>—或x<亨，所以0<x<亨.

综上，不等式忱2-3x|<2-2x的解集是(-1

故选：C.

【变式4-3](2024.河南.模拟预测)某同学解关于％的不等式a*2+bx+c<0(aK()¥L因弄错了常数c的

符号，解得其解集为(—8,—3)U(—2,+8),则不等式b/+cx+a>。的解集为()

A.DB.(-8,-1)u(一巳,+8)

C.&1)D.(_8,,U(1,+8)

【解题思路】利用根与系数关系、一元二次不等式的解求得a,b,c的关系式，进而求得不等式b/+cx+a>0

的解集.

【解答过程】由题意可知a<0,且—3+(—2)=——3x(—2)=—所以6=5a,c=—6a,

所以b/+ex+a>0化为5冗2—6%+1<0,

(5x-1)(%-1)<0,解得]<x<1,

故选：C.

【题型5一元二次不等式恒成立、有解问题】

【例5】(2024•浙江•模拟预测)若不等式k—+(k-6)x+2>0的解为全体实数，则实数k的取值范围是

()

A.2<fc<18B.-18<fc<-2

C.2<fc<18D.0<fc<2

【解题思路】分类讨论k=0与kH0两种情况，结合二次不等式恒成立问题的解决方法即可得解.

【解答过程】当k=0时，不等式k%2+(k-6次+2>。可化为一6x+2>0,显然不合题意；

当k丰0时，因为k/+伏-6)x+2>0的解为全体实数，

所以｛△=(-6仁°4小2<。，解得2<k<l&

综上：2V左<18.

故选：C.

【变式5-1](2024.辽宁鞍山.二模)已知当%>0时，不等式：/一g1+16>0恒成立，则实数m的取值

范围是()

A.(—8,8)B.(—8,8]C.(—8,8)D.(8,+8)

【解题思路】先由％2一nr%+16>0得THV%+竺，由基本不等式得久+竺之8,故mV8.

XX

【解答过程】当%>0时，由％2—mx+16>0得7n<%+—,

X

因%>0,故工+—>2/%X—=8,当且仅当％=受即％=4时等号成立，

xyXX

因当%>0时，THV%+及恒成立，得加<8,

x

故选：C.

【变式5-2](2024.河南.模拟预测)已知命题叼比oe[-1,1],T+3x0+a>0”为真命题，则实数a的取

值范围是()

A.(-co,-2)B.(—oo,4)C.(-2,+oo)D.(4,+oo)

【解题思路】由题知~G时，a>(诏-3x0)min,再根据二次函数求最值即可得答案.

【解答过程】解：因为命题三和6[-1,1],一据+3比+a>0”为真命题，

所以，命题*oCa>诏-3q”为真命题,

所以，6[-1,1]时,a>(Xo-3x0)min-

2

因为，y=/_3%=(%_I)一：,

所以，当久E[-1,1]时，ymin=—2，当且仅当％=1时取得等号.

所以，%oE[—1,1]时，G>(XQ—3%o)min=-2,即实数Q的取值范围是(一2,+8)

故选：C.

【变式5-3](24-25高一上•河北•阶段练习)设命题p：对任意一1m汽41,不等式/一2%-4+租<0恒

成立；命题q：存在使得不等式2%-22血2一3瓶成立，若p,g中至少有一个是假命题，则实

数机的取值范围为()

A.{m\m<-1}B.{mI0<m<3}

C.{mI0<m<1}D.(—00,0)U[1,+00)

【解题思路】先由二次函数的性质求出p为真时mV1,解二次不等式可得命题q等价于04血<3,可求〃,

q都是真命题血的范围，进而可得答案.

【解答过程】若〃为真命题，即对任意一1<工41,不等式/一2%-4+6〈0恒成立，

2

等价于当一1<%<1时，m<(-x+2%+4)min,

当一1<x<1时，一久2+2%+4=—(x—I)2+5>—(―1—I)2+5=1,

即(―+2%+4)min=1，所以TH<1；

若夕为真命题，即存在04%41,不等式2%-22血？一3m成立，

等价于当0<x<1时，(2x-2)max>rn2-3m.

由于0<%<1,—2<2%—2<0,所以nt?—37n<0,解得0<m<3.

若p，q都是真命题，则nOWa<l；

所以，若命题p,q中至少有一个是假命题，则爪＜0或爪21.

即me(-00,o)U[1,+oo),

故选：D.

【题型6复数的四则运算】

【例6】(2024・陕西商洛•一模)若复数z=(2+i)(l—i),则2=))

A.1-iB.1+iC.3-iD.3+i

【解题思路】根据复数的乘法运算化简，即可根据共辗复数的定义求解.

【解答过程】因为z=(2+i)(l—i)=2—2i+i—i2=3—i,所以2=3+i.

故选：D.

【变式6-1](2024.海南.模拟预测)若复数z满足山=2-i,贝吻=()

1

A.l-2iB.l+2iC.-2iD.2i

【解题思路】由复数的四则运算即可求解.

【解答过程】由题意得z+1=i(2-i)=1+2i,所以z=2i.

故选：D.

【变式6-2](2024.甘肃兰州.模拟预测)若z=—2+i,则会=()

z+1

A.-1+iB.1+iC.1-iD.-1-i

【解题思路】根据给定条件，利用复数除法运算求解即得.

【解答过程】由z=-2+i,崎=*尹22i_2i(_lT)_2-2i

-1+i-(-l+i)(-l-i)-2

故选：C.

【变式6-3](2024.湖北武汉.模拟预测)若复数z满足菱=2-i,贝Uz=().

A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i

【解题思路】先化简再根据复数的乘除法计算可得.

【解答过程】因为出=2-i,所以1+-=2-i,

ZZ

所以(=1—i,

故选：D.

【题型7复数的几何意义】

【例7】(2024•浙江•模拟预测)若复数z满足z+22=3+i(i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【解题思路】利用复数的运算法则求出z,再根据复数的代数表示及其几何意义得出z对应的点，进而求解.

【解答过程】设z=a+bi,(a,bER),则2=a—hi,

则a+bi+2(ci-bi)=3+i,即3a—bi=3+i,所以3a=3,—b=1,

解得a=1,b=—1,故z=l—i,对应的点(1,—1)在第四象限.

故选：D.

【变式7-1](2024.江苏连云港.模拟预测)已知复数z所对应的点在第四象限，且|z|=2V2,z2的虚部为-8,

则复数z=()

A.2-2iB.2i-2C.V2-V6iD.V6i-V2

【解题思路】设2=。+折，根据条件列出a、b的相关等式，求解即可.

【解答过程】设2=a+bi(a,bER),则|z|=Va2+炉=2遮,所以。2+力2=8,

z2=a2-62+2abi,2ab=-8,

复数z所对应的点在第四象限，所以a>0,b<0,a-b>0,

(a+b)2=a?+庐+2ab=0,(a—b)2=a2b2—2ab=16,

所以『+?=?，解得=2则z=2—2i.

1a-b=43=-2

故选：A.

【变式7-2](2024.宁夏.二模)已知复数z满足|z-4+5i|=1,贝反在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【解题思路】设出复数的代数形式，利用复数模的意义列出方程即可判断得解.

【解答过程】令2=x+yi,x,yeR,

因为|z-4+5i|=1,所以(x-4)2+(y+5)2=1,

即点(x,y)在以(4,-5)为圆心，1为半径的圆上，该圆在第四象限内，

所以z在复平面内对应的点位于第四象限，

故选：D.

【变式7-3](2024.重庆.二模)若复数z=(2—a)+(2a-l)i(aGR)为纯虚数，则复数z+a在复平面上的

对应点的位置在()

A.第一象限内B.第二象限内

C.第三象限内D.第四象限内

【解题思路】根据纯虚数的定义解出a,利用复数的几何意义求解.

【解答过程】•••复数Z=(2-a)+(2a-l)i(aeR)为纯虚数，.•・{£:a=2,

复数z+a=3i+2在复平面上的对应点为（2,3）,位置在第一象限.

故选:A.

1.（2023•北京・高考真题）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（-1,遮），贝物的共辗复数2=（）

A.1+V3iB.1-V3i

C.—1+V3iD.-1—V3i

【解题思路】根据复数的几何意义先求出复数z,然后利用共辗复数的定义计算.

【解答过程】z在复平面对应的点是（-1,遍），根据复数的几何意义，z=-l+V3i,

由共辗复数的定义可知，z--1-V3L

故选：D.

2.(2023・全国•高考真题)|2+i2+2i3|=()

A.1B.2C.V5D.5

【解题思路】由题意首先化简2+i2+2i3,然后计算其模即可.

【解答过程】由题意可得2+i2+2i3=2-l-2i=l-2i,

则|2+i2+2i3|-|1-2i|=JF+(-2)2=乘.

故选：C.

3.(2023•全国•高考真题)()

A.-1B.1C.1-iD.1+i

【解题思路】利用复数的四则运算求解即可.

【解答过程】53=%且一i

(2+i)(2-i)5

故选：C.

4.（2023・全国・高考真题）设。€氏9+。（1一山）=2,,贝卜=（）

A.-1B.0C.1D.2

【解题思路】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出.

【解答过程】因为(a+i)(l—ai)=a—a2i+i+a=2a+(1—a2)i=2,

所以解得：a=L

故选：C.

5.(2023・全国•高考真题)设z=3，则2=()

A.l-2iB.l+2iC.2-iD.2+i

【解题思路】由题意首先计算复数z的值，然后利用共轨复数的定义确定其共轨复数即可.

【解答过程】由题意可得z==号=粤=4=1_21,

1+12+151-1+1lz-1

则2=1+2i.

故选：B.

6.(2023•全国•高考真题)已知z=磊，贝1一2=()

A.-iB.iC.0D.1

【解题思路】根据复数的除法运算求出z,再由共辗复数的概念得到2,从而解出.

【解答过程】因为z=E=^t^=?=—3,所以2=3,即z—"―i.

故选：A.

7.(2023•全国•高考真题)在复平面内，(l+3i)(3-i)对应的点位于().

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【解题思路】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.

【解答过程】因为(1+3i)(3-i)=3+8i-3i2=6+8i,

则所求复数对应的点为(6,8),位于第一象限.

故选：A.

8.(2024.上海.高考真题)a,b,c6R,b〉c,下列不等式恒成立的是()

A.a+b2>a+c2B.a2+b>a2+c

C.ah2>ac2D.a2h>a2c

【解题思路】根据不等式的性质可判断AB的正误，根据特例可判断CD的正误.

【解答过程】对于A,若c<b<0,则炉<。2,选项不成立，故A错误；

对于B,因为b>c,故a2+b>a2+c,故B成立，

对于C、D,若a=0,则选项不成立，故C、D错误；

故选：B.

9.(2024•北京・高考真题)已知乙=一1一1贝Uz=().

1

A.-1—iB.-1+iC.1—iD.l+i

【解题思路】直接根据复数乘法即可得到答案.

【解答过程】由题意得z=i(-l-i)=1-i.

故选：c.

10.(2024•全国•高考真题)设2=&[,则z/=()

A.-2B