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文档简介
专题1.3不等式与复数【七大题型】
【新高考专用】
1、不等式
不等式是每年高考的必考内容,对不等式的考查一般以选择题、填空题为主,主要考查不等式的求解、
利用基本不等式求最值等问题。但不等式的相关知识往往可以渗透到高考的各个知识领域,作为解题工具
与函数、向量、解析几何、数列等知识相结合,在知识的交汇处命题,难度中档,其中在解析几何中利用
基本不等式求解范围或解决导数问题时利用不等式进行求解,难度偏高。
2、复数
复数是高考的热点内容,是高考的必考内容之一.从近几年的高考情况来看,高考对复数的考查比较稳
定,往往以单选题、填空题的形式考查,考查内容、难度变化不大,主要考查复数的概念、运算及其几何
意义,属于简单题.
►知识梳理
【知识点1等式性质与不等式性质】
1.等式的基本性质
性质1如果a=b,那么b=a;
性质2如果a=b,b=c,那么a=c;
性质3如果a=b,那么a±c=b±c\
性质4如果a=b,那么ac=bc\
性质5如果4=6,存0,那么
2.不等式的性质
(1)如果a>b,那么b<a;如果b<a,那么〃>/?.即a>bcb<a.
(2)如果a>b,b>c,那么a>c.BPa>b,b>c=>a>c.
(3)如果那么〃+c>Z?+c.
(4)如果〃>/?,c>0,那么ac>Z?c;如果〃>b,c<0,那么
(5)如果a>b,c>d,那么a+c>b+d.
(6)如果a>b>Ofc>d>0,那么ac>bd.
⑺如果。泌>0,那么Q〃>"(〃£N,n>2).
【知识点2基本不等式】
1.基本不等式与最值
已知羽y都是正数,
(1)如果积孙等于定值尸,那么当时,和x+y有最小值2后;
(2)如果和x+y等于定值S,那么当x=y时,积盯有最大值犷
温馨提示:从上面可以看出,利用基本不等式求最值时,必须有:(1)无、y>0,(2)和(积)为定值,(3)存
在取等号的条件.
2.常见的求最值模型
(1)模型一:mx+—>24rrm(m>0,n>0),当且仅当了=时等号成立;
xVm
(2)模型二:nix-\———=m(x-(7)H——-——I-ma>2y[mn+ma(m>0,H>0),当且仅当x-a=y—时等号成
x-ax-aVm
立;
(3)模型三:三———=——1——V-=—(a>0,c>0),当且仅当了、口时等号成立;
ax+bx+cqx+b+£2y/ac+bVa
x
/人十首开HE/、根一根x)/l,mx+n-mx2n2,八八八土口力士n0-+
(4)模型四:x(n-mx)=--------<—•(----------------)x=——(m>0,n>0,0<x<—),当且仅当兀=——时
mm24mm2m
等号成立.
3.利用基本不等式求最值的几种方法
(1)直接法:条件和问题间存在基本不等式的关系,可直接利用基本不等式来求最值.
(2)配凑法:利用配凑法求最值,主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.
(3)常数代换法:主要解决形如“已知x+y=b为常数),求§的最值”的问题,先将号+:转化为
(?+(),,j,再用基本不等式求最值.
(4)消元法:当所求最值的代数式中的变量比较多时,通常考虑利用已知条件消去部分变量后,凑出“和
为常数”或“积为常数”的形式,最后利用基本不等式求最值.
【知识点3一元二次不等式】
1.一元二次不等式的解法
(1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤:
①通过对不等式变形,使二次项系数大于零;
②计算对应方程的判别式;
③求出相应的一元二次方程的根,或根据判别式说明方程没有实根;
④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集.
(2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤:
①若二次项系数含有参数,则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论;
②若求对应一元二次方程的根需用公式,则应对判别式/进行讨论;
③若求出的根中含有参数,则应对两根的大小进行讨论.
2.一元二次不等式恒成立、存在性问题
不等式对任意实数x恒成立,就是不等式的解集为R,对于一元二次不等式办2+foc+c>0,它的解集为
[a>0,
R的条件为,小,°
[A—b--4ac<0;
[a>0,
一元二次不等式ar+bx+c》。,它的解集为R的条件为r2
〔/=〃一4℃W0;
[a<0,
一元二次不等式以2+bx+c>0的解集为。的条件为《
【知识点4复数有关问题的解题策略】
1.复数的概念的有关问题的解题策略
(1)复数z=a+bi(a,bGR),其中a,b分别是它的实部和虚部.若z为实数,则虚部6=0,与实部a无关;
若z为虚数,则虚部6W0,与实部a无关;若z为纯虚数,当且仅当a=0且6W0.
(2)复数2="+历(4力^即的模记作上|或旧+6",即\z\=\a+bi\=y/a2+b2.
(3)复数z=a+6i(a力GR)的共轨复数为z=a—Z>i,则2-2=匕|2=目,即|z|=目=Jz•z,若ZGR,
则z=z.
2.复数的运算的解题策略
(1)复数的乘法类似于多项式的乘法运算;
(2)复数的除法关键是分子分母同乘以分母的共轮复数.
3.复数的几何意义的解题策略
由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此解题时可运用数形结合的方法,把复数、向量
与解析几何联系在一起,使问题的解决更加直观.
4.复数的方程的解题策略
(1)对实系数二次方程来说,求根公式、韦达定理、判别式的功能没有变化,仍然适用.
(2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程,判别式判断根的功能失去了,其他仍适用.
►举一反三
【题型1不等式性质及其应用】
【例1】(2024.河南驻马店.二模)己知a>b>c>0,则下列说法一定正确的是()
A.a>b+cB.a2<be
C.ac>b2D.ab+be>b2+ac
【解题思路】利用赋值法来举反例比较大小,利用作差法来比较大小,利用不等式的性质来比较大小.
【解答过程】当a=3,b=2,c=1时,a=b+c,且acVbz,故A,C项错误;
因为Q>b>0,a>c>0,所以小>be,故B项错误;
ab+be—(h2+ac)=(Z?—c)(a—6)>0,故D项正确.
故选:D.
【变式1-1](2024.陕西商洛.三模)已知a,beR,贝盍”是“a3>〃,,的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【解题思路】结合不等式的性质分充分性、必要性两方面进行说明即可求解.
【解答过程】若全〈白,贝必>匕>0,所以>/,充分性成立;
若。3>〃,贝ija>b,但二不一定成立,不满足必要性,
Vayjb
所以蚱<去”是忆3>心,的充分不必要条件.
y/a
故选:A.
【变式1-2](2024.吉林长春.模拟预测)已知*avs<:,贝!]2a-2/?的取值范围是()
A.(一/)B.(v,。)
C.(—nji)D.(—11,0)
【解题思路】应用不等式的性质,线性运算即可求出2a-2/?的取值范围.
【解答过程】因为:<a<2;<0<;,所以;<2a<n,-Ti<-20<—m,
424z2.z
则——<2<z—2/?<—,又a<B,所以2a—2s<0,
从而一]<2a-20<0.
故选:B.
【变式1-3](2024.浙江金华.模拟预测)设见仇c的平均数为M,a与b的平均数为N,N与c的平均数为P.若a>
b>c,则()
A.N<PB.P<M
C.N<MD.M+N<2P
【解题思路】根据作差法比较大小,首先将要比较的M,N,P,用a,hc表示,后作差变形,运用a>b>c这个条件,
判断正负即可比较出大小.
a+b,
【解答过程】根据题意得,M=/,N=—,P=卓=甘=竺詈£
对于A选项,N—P=-----------=------,a>b>c,a—c>0,b—c>0,a+b—2c>0,;・N—
244
a+匕-2c
>0,N>P.
4
a+b+ca+b+2c
对于B选项,M-P=
3412
a+b—2c
•・,a>b>c,.,・a—c>0,b—c>0,・•・a+b—2c>0".M—P=----------->0,:.M>P.
对于C选项,M—N=,♦・•a>b>c,・•・c-a<0,c—bV0,・・,2c-a—bV0,・•.M—
326
-a-b+2c
N=<0,.'.M<N.
6
对于D选项,M>P,N>P,.-.M+N>2P.
故选:B.
【题型2基本不等式与最值】
【例2】(2024•四川绵阳•一模)已知x>0,y>0,且满足x+y=xy-3,贝!Uy的最小值为()
A.3B.2V3C.6D.9
【解题思路】利用基本不等式化简已知条件,再解不等式求得孙的范围,从而求得孙的最小值.
【解答过程】x+y=xy-3>2y/xy,
_23=(后-3)(月+1)20,
y/xy-3>0,xy>9,
当且仅当x=y=3时等号成立,
所以xy的最小值为9.
故选:D.
【变式2-1](2024•河北•模拟预测)已知非负实数“满足x+y=1,则卷+击的最小值为()
3+2^2n3+2V2
D.------------C.2D.-
243
【解题思路】根据x+y=l,化简求得?(x+l+y)=l,得到/+味=(/+击)x2(x+l+y)=/
(|+端+自),结合基本不等式,即可求解.
【解答过程】因为%+y=l,可得x+y+l=2,§p|(x+1+y)=1,
又因为非负实数x,y,所以x>0,y+1>0,
则专+壶=仁+捻)义处+i+y)
当且仅当詈=捻时,即%=2或一2,3/=3-2四时,等号成立,
所以;+-的最小值为3+:..
2x1+y4
故选:B.
【变式2-2](2024•山西•模拟预测)已知久>0,y>0,且4%2+5%y=(4+y)(4—y),则7%+4y的最小
值为()
A.6V3B.6V5C.8V3D.8^5
【解题思路】由条件得到(4%+y)(;r+y)=16,再由7%+4y=4%+y+3(%+y)结合基本不等式即可求
解.
【解答过程】因为4/+5xy=(4+y)(4-y),
所以4%2+5xy+y?=(4%+y)(x+y)=16,
所以7久+4y=4支+y+3(%+y)>2,3(%+y)(4%+y)=8V3,
当且仅当4%+y=3(%+y),即%=等,y=*时,等号成立,
所以7%+4y的最小值为8V1
故选:C.
【变式2-3](2024•山东淄博・二模)记max{%,y,z}表示%,y,z中最大的数.已知居y均为正实数,则
max{|J,%2+4y2}的最小值为()
A.-B.1C.2D.4
2
【解题思路】设"=1^一+4y2),可得工+/+4y2,利用基本不等式运算求解,注意等
1lxyJxy
号成立的条件.
【解答过程】由题意可知:x,y均为正实数,
设M=max(-,-,x2+4y2L则M>->0,M>->0,M>x2+4y2>0,
lxy)xyJ
贝!J3M>-+-+x2+4y2>-+-+2-Jx2-4y2=-+-+4xy,
xyxyNxy
当且仅当/=4y2,即x=2y时,等号成立,
又因为2+—+4xy之3—•—•4xy=6,
xy-ylxy
当且仅当|=]=4%y,即%=2y=l时,等号成立,
可得3MN6,即MN2,所以M=max{:q,%2+4y2}的最小值为2.
故选:C.
【题型3基本不等式中的恒成立问题】
【例3】(2024・重庆•模拟预测)已知久>0,y>0,且%y+2%+y=6,则2%+y的最小值为().
A.4B.6C.8D.12
【解题思路】利用基本不等式和消元思想对本题目进行求解.
【解答过程】解:已知%>0,y>0,且xy+2x+y=6,
6-2x
,
Jy--x--+--1-
2x+y=2x+鬻=2(x+l)+搭一4>4,当且仅当2(x+1)=2,x=1时取等号,
故2x+y的最小值为4.
故选:A.
【变式3-1](2024・四川成都•三模)设函数/(*)-x3-x,正实数a,b满足/(a)+/(/?)=-2b,若a?+Ab2<
1,则实数4的最大值为()
A.2+2&B.4C.2+V2D.2企
【解题思路】依题意可得=。—4从而得到久工与笔=串_,再令t=?(t>D,最后利用基本
z
ab-b-b-1b
不等式计算可得.
【解答过程】因为/(%)=x3-x,所以/(a)=a3-a,f(b)=b3-b,
又(fa)+/(h)=-2b,
所以/—0+〃_力=—2b,BPa3+b3=a—b,
3Iu3
因为a>0,d>0,所以标+匕3>0,所以。>匕>0,所以——n—=1,
a-b
又+Xb2<1,BRa2+Ab2<a+--
a-b
所以助24胃,所以4m霁=]篁
A
a-bab-b--1b
令t=\贝亚>1,
b
所以典=些=工=t+1+二
tb-1t-1t-1t-1
—(t—1)+~~-+2N2J(t-1),+2=2+2A/2^,
当且仅当t—1=3,即力=遮+1时取等号,
t—1
所以(与笔)=2(72+1),所以4W2+2近,
则实数4的最大值为2+2V2.
故选:A.
【变式3-2](23-24高一上•河南商丘・期末)若对任意实数x>0,y>0,不等式久+y/xy<a(x+y)恒成立,
则实数a的最小值为()
A.—B.V2-1C.V2+1D.—
22
【解题思路】分离变量将问题转化为aN也旦对于任意实数“>0,)/>0恒成立,进而求出合运的最大值,
x+yx+y
设J=>0)及1+t=m(m>1),然后通过基本不等式求得答案.
【解答过程】由题意可得,a>也空对于任意实数%>0,y>0恒成立,则只需求生旦的最大值即可,生且=
x+yx+yx+y
1+便L1+口1+区
—)r,设口=t(t>0),贝!J—jr=再设1+t=m(m>1),贝!J—y-==—/—=m---=—\—
以山1+91+/展1+/l+gT)2而-2m+2m+^-2
亳=萼,当且仅当时各Z=V2-1时取得
X
所以a2等,即实数。的最小值为穿.
故选:D.
【变式3-3](2024•广东湛江.二模)当x,y6(0,+8)时,?智学字<:恒成立,则优的取值范围是()
/x4+2x2y+y24
A.(25,+8)B.(26,+oo)C.(^,+oo)D.(27,+8)
【解题思路】将左侧分式的分子因式分解成(4尤2+y)(/+4y)的形式,再利用均值不等式的结论进行计算
即可以得到结果.
22
【解答过程】当X,"(。,+8)时,为党学=空£产W=(4x+y5+x+/4y\2号,
当且仅当4%2+y=/+4y,即y=%2时,等号成立,
所以安警空孚的最大值为
x4+2x2y+y24
所以"〉至,即小>25.
44
故选:A.
【题型4二次不等式及其参数问题】
【例4】(2024.山西.模拟预测)已知关于%的不等式a%+b>0的解集为(一4,+8),则关于%的不等式b/一
ax<0的解集为()
A.(一B.(―8,—3u(0,+8)
C.(0,;)D.(-8,0)“}+8)
【解题思路】先根据不等式的解集可得a,b的关系及a的符号,再根据一元二次不等式的解法即可得解.
【解答过程】由a%+6>0的解集为(一4,+8),可得Q>0,且方程以+b=0的解为一4,
所以一2=—4,则b=4a,所以b——ax<0,即4a——ax<0,又Q>0,
a
所以4/—久<0,解得0<%<%即关于x的不等式人产一a%<0的解集为(0,3.
故选:C.
【变式4-1](2024・浙江绍兴•三模)若关于x的不等式+mx+n\>0的解集为{x|x力1且x力2},则()
A.m=3,n=2B.m=—3,n=2C.m=3,n=—2D.m=—3,n=—2
【解题思路】由题得1、2为方程/+血%+n=0的根,利用韦达定理计算即可得解.
【解答过程】由已知可得1、2为方程/+小》+几=0的根,
由韦达定理可得:?:」;一小,解得:]爪=;3,
11x2=九tn=2
故选:B.
【变式4-2](2024•甘肃张掖•模拟预测)不等式|/一3幻<2-2x的解集是()
A.(-nB.(-/C.(T手)D.(亨彳)
【解题思路】按照/-3%正负分类讨论取绝对值,运算得解.
【解答过程】当%2-3%>0,即无>3或汽<0时,
不等式|%2—3x|<2—2%等价于%2—3x<2—2x,即%2—%—2<0,
解得—1<%<2,所以—1<%40;
当——3%<0,即0<x<3时,不等式I——3%|<2—2%等价于不等式3%—x2<2—2x,BP%2—5x+2>
0,
解得x>—或x<亨,所以0<x<亨.
综上,不等式忱2-3x|<2-2x的解集是(-1
故选:C.
【变式4-3](2024.河南.模拟预测)某同学解关于%的不等式a*2+bx+c<0(aK()¥L因弄错了常数c的
符号,解得其解集为(—8,—3)U(—2,+8),则不等式b/+cx+a>。的解集为()
A.DB.(-8,-1)u(一巳,+8)
C.&1)D.(_8,,U(1,+8)
【解题思路】利用根与系数关系、一元二次不等式的解求得a,b,c的关系式,进而求得不等式b/+cx+a>0
的解集.
【解答过程】由题意可知a<0,且—3+(—2)=——3x(—2)=—所以6=5a,c=—6a,
所以b/+ex+a>0化为5冗2—6%+1<0,
(5x-1)(%-1)<0,解得]<x<1,
故选:C.
【题型5一元二次不等式恒成立、有解问题】
【例5】(2024•浙江•模拟预测)若不等式k—+(k-6)x+2>0的解为全体实数,则实数k的取值范围是
()
A.2<fc<18B.-18<fc<-2
C.2<fc<18D.0<fc<2
【解题思路】分类讨论k=0与kH0两种情况,结合二次不等式恒成立问题的解决方法即可得解.
【解答过程】当k=0时,不等式k%2+(k-6次+2>。可化为一6x+2>0,显然不合题意;
当k丰0时,因为k/+伏-6)x+2>0的解为全体实数,
所以{△=(-6仁°4小2<。,解得2<k<l&
综上:2V左<18.
故选:C.
【变式5-1](2024.辽宁鞍山.二模)已知当%>0时,不等式:/一g1+16>0恒成立,则实数m的取值
范围是()
A.(—8,8)B.(—8,8]C.(—8,8)D.(8,+8)
【解题思路】先由%2一nr%+16>0得THV%+竺,由基本不等式得久+竺之8,故mV8.
XX
【解答过程】当%>0时,由%2—mx+16>0得7n<%+—,
X
因%>0,故工+—>2/%X—=8,当且仅当%=受即%=4时等号成立,
xyXX
因当%>0时,THV%+及恒成立,得加<8,
x
故选:C.
【变式5-2](2024.河南.模拟预测)已知命题叼比oe[-1,1],T+3x0+a>0”为真命题,则实数a的取
值范围是()
A.(-co,-2)B.(—oo,4)C.(-2,+oo)D.(4,+oo)
【解题思路】由题知~G时,a>(诏-3x0)min,再根据二次函数求最值即可得答案.
【解答过程】解:因为命题三和6[-1,1],一据+3比+a>0”为真命题,
所以,命题*oCa>诏-3q”为真命题,
所以,6[-1,1]时,a>(Xo-3x0)min-
2
因为,y=/_3%=(%_I)一:,
所以,当久E[-1,1]时,ymin=—2,当且仅当%=1时取得等号.
所以,%oE[—1,1]时,G>(XQ—3%o)min=-2,即实数Q的取值范围是(一2,+8)
故选:C.
【变式5-3](24-25高一上•河北•阶段练习)设命题p:对任意一1m汽41,不等式/一2%-4+租<0恒
成立;命题q:存在使得不等式2%-22血2一3瓶成立,若p,g中至少有一个是假命题,则实
数机的取值范围为()
A.{m\m<-1}B.{mI0<m<3}
C.{mI0<m<1}D.(—00,0)U[1,+00)
【解题思路】先由二次函数的性质求出p为真时mV1,解二次不等式可得命题q等价于04血<3,可求〃,
q都是真命题血的范围,进而可得答案.
【解答过程】若〃为真命题,即对任意一1<工41,不等式/一2%-4+6〈0恒成立,
2
等价于当一1<%<1时,m<(-x+2%+4)min,
当一1<x<1时,一久2+2%+4=—(x—I)2+5>—(―1—I)2+5=1,
即(―+2%+4)min=1,所以TH<1;
若夕为真命题,即存在04%41,不等式2%-22血?一3m成立,
等价于当0<x<1时,(2x-2)max>rn2-3m.
由于0<%<1,—2<2%—2<0,所以nt?—37n<0,解得0<m<3.
若p,q都是真命题,则nOWa<l;
所以,若命题p,q中至少有一个是假命题,则爪<0或爪21.
即me(-00,o)U[1,+oo),
故选:D.
【题型6复数的四则运算】
【例6】(2024・陕西商洛•一模)若复数z=(2+i)(l—i),则2=))
A.1-iB.1+iC.3-iD.3+i
【解题思路】根据复数的乘法运算化简,即可根据共辗复数的定义求解.
【解答过程】因为z=(2+i)(l—i)=2—2i+i—i2=3—i,所以2=3+i.
故选:D.
【变式6-1](2024.海南.模拟预测)若复数z满足山=2-i,贝吻=()
1
A.l-2iB.l+2iC.-2iD.2i
【解题思路】由复数的四则运算即可求解.
【解答过程】由题意得z+1=i(2-i)=1+2i,所以z=2i.
故选:D.
【变式6-2](2024.甘肃兰州.模拟预测)若z=—2+i,则会=()
z+1
A.-1+iB.1+iC.1-iD.-1-i
【解题思路】根据给定条件,利用复数除法运算求解即得.
【解答过程】由z=-2+i,崎=*尹22i_2i(_lT)_2-2i
-1+i-(-l+i)(-l-i)-2
故选:C.
【变式6-3](2024.湖北武汉.模拟预测)若复数z满足菱=2-i,贝Uz=().
A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i
【解题思路】先化简再根据复数的乘除法计算可得.
【解答过程】因为出=2-i,所以1+-=2-i,
ZZ
所以(=1—i,
故选:D.
【题型7复数的几何意义】
【例7】(2024•浙江•模拟预测)若复数z满足z+22=3+i(i为虚数单位),则z在复平面内对应的点位于
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【解题思路】利用复数的运算法则求出z,再根据复数的代数表示及其几何意义得出z对应的点,进而求解.
【解答过程】设z=a+bi,(a,bER),则2=a—hi,
则a+bi+2(ci-bi)=3+i,即3a—bi=3+i,所以3a=3,—b=1,
解得a=1,b=—1,故z=l—i,对应的点(1,—1)在第四象限.
故选:D.
【变式7-1](2024.江苏连云港.模拟预测)已知复数z所对应的点在第四象限,且|z|=2V2,z2的虚部为-8,
则复数z=()
A.2-2iB.2i-2C.V2-V6iD.V6i-V2
【解题思路】设2=。+折,根据条件列出a、b的相关等式,求解即可.
【解答过程】设2=a+bi(a,bER),则|z|=Va2+炉=2遮,所以。2+力2=8,
z2=a2-62+2abi,2ab=-8,
复数z所对应的点在第四象限,所以a>0,b<0,a-b>0,
(a+b)2=a?+庐+2ab=0,(a—b)2=a2b2—2ab=16,
所以『+?=?,解得=2则z=2—2i.
1a-b=43=-2
故选:A.
【变式7-2](2024.宁夏.二模)已知复数z满足|z-4+5i|=1,贝反在复平面内对应的点位于()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【解题思路】设出复数的代数形式,利用复数模的意义列出方程即可判断得解.
【解答过程】令2=x+yi,x,yeR,
因为|z-4+5i|=1,所以(x-4)2+(y+5)2=1,
即点(x,y)在以(4,-5)为圆心,1为半径的圆上,该圆在第四象限内,
所以z在复平面内对应的点位于第四象限,
故选:D.
【变式7-3](2024.重庆.二模)若复数z=(2—a)+(2a-l)i(aGR)为纯虚数,则复数z+a在复平面上的
对应点的位置在()
A.第一象限内B.第二象限内
C.第三象限内D.第四象限内
【解题思路】根据纯虚数的定义解出a,利用复数的几何意义求解.
【解答过程】•••复数Z=(2-a)+(2a-l)i(aeR)为纯虚数,.•・{£:a=2,
复数z+a=3i+2在复平面上的对应点为(2,3),位置在第一象限.
故选:A.
1.(2023•北京・高考真题)在复平面内,复数z对应的点的坐标是(-1,遮),贝物的共辗复数2=()
A.1+V3iB.1-V3i
C.—1+V3iD.-1—V3i
【解题思路】根据复数的几何意义先求出复数z,然后利用共辗复数的定义计算.
【解答过程】z在复平面对应的点是(-1,遍),根据复数的几何意义,z=-l+V3i,
由共辗复数的定义可知,z--1-V3L
故选:D.
2.(2023・全国•高考真题)|2+i2+2i3|=()
A.1B.2C.V5D.5
【解题思路】由题意首先化简2+i2+2i3,然后计算其模即可.
【解答过程】由题意可得2+i2+2i3=2-l-2i=l-2i,
则|2+i2+2i3|-|1-2i|=JF+(-2)2=乘.
故选:C.
3.(2023•全国•高考真题)()
A.-1B.1C.1-iD.1+i
【解题思路】利用复数的四则运算求解即可.
【解答过程】53=%且一i
(2+i)(2-i)5
故选:C.
4.(2023・全国・高考真题)设。€氏9+。(1一山)=2,,贝卜=()
A.-1B.0C.1D.2
【解题思路】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出.
【解答过程】因为(a+i)(l—ai)=a—a2i+i+a=2a+(1—a2)i=2,
所以解得:a=L
故选:C.
5.(2023・全国•高考真题)设z=3,则2=()
A.l-2iB.l+2iC.2-iD.2+i
【解题思路】由题意首先计算复数z的值,然后利用共轨复数的定义确定其共轨复数即可.
【解答过程】由题意可得z==号=粤=4=1_21,
1+12+151-1+1lz-1
则2=1+2i.
故选:B.
6.(2023•全国•高考真题)已知z=磊,贝1一2=()
A.-iB.iC.0D.1
【解题思路】根据复数的除法运算求出z,再由共辗复数的概念得到2,从而解出.
【解答过程】因为z=E=^t^=?=—3,所以2=3,即z—"―i.
故选:A.
7.(2023•全国•高考真题)在复平面内,(l+3i)(3-i)对应的点位于().
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【解题思路】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.
【解答过程】因为(1+3i)(3-i)=3+8i-3i2=6+8i,
则所求复数对应的点为(6,8),位于第一象限.
故选:A.
8.(2024.上海.高考真题)a,b,c6R,b〉c,下列不等式恒成立的是()
A.a+b2>a+c2B.a2+b>a2+c
C.ah2>ac2D.a2h>a2c
【解题思路】根据不等式的性质可判断AB的正误,根据特例可判断CD的正误.
【解答过程】对于A,若c<b<0,则炉<。2,选项不成立,故A错误;
对于B,因为b>c,故a2+b>a2+c,故B成立,
对于C、D,若a=0,则选项不成立,故C、D错误;
故选:B.
9.(2024•北京・高考真题)已知乙=一1一1贝Uz=().
1
A.-1—iB.-1+iC.1—iD.l+i
【解题思路】直接根据复数乘法即可得到答案.
【解答过程】由题意得z=i(-l-i)=1-i.
故选:c.
10.(2024•全国•高考真题)设2=&[,则z/=()
A.-2B
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