2025年高考数学二轮复习重难点专练：利用基本不等式求最值【八大题型】（原卷版）

重难点01利用基本不等式求最值【八大题型】

【新高考专用】

基本不等式是每年高考的必考内容，是常考常新的内容.从近几年的高考情况来看，高考题型通常为选

择题或填空题，但它的应用范围很广，涉及到函数、三角函数、平面向量、立体几何、解析几何、导数等

内容，它在高考中常用于大小判断、求最值、求最值范围等.在高考中经常考查运用基本不等式求函数或代

数式的最值，具有灵活多变、应用广泛、技巧性强等特点.在复习中切忌生搬硬套，在应用时一定要紧扣“一

正二定三相等”这三个条件灵活运用.

►知识梳理

【知识点1利用基本不等式求最值的解题策略】

1.基本不等式与最值

已知尤，y都是正数，

(1)如果积犯等于定值P,那么当x=y时，和尤+y有最小值2炉；

(2)如果和龙+y等于定值S,那么当x=y时，积xy有最大值卜2.

温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)无、j>0,(2)和(积)为定值，(3)存

在取等号的条件.

2.常见的求最值模型

(1)模型一：mx+—>2\[mn(m>0,n>0)，当且仅当工=JK时等号成立；

xVm

(2)模型二：mx-\——=m(x-a)——-——I-ma>l^rnn+ma(m>0,H>0),当且仅当x-a=J—时等号成

x—ax—aVm

立；

(3)模型三：=」——=—1—V——(a>0,c>0),当且仅当x=1口时等号成立；

ax+bx+c以+6+£2^Jac+bVa

x

/八，"girm、mx(n—mx)1mx+n—mx/八八八n、nq

(4)模型四：x(zn-mx)=--------------<—(z----------------)x2=——(m>0,n>0,0<x<一)，N当lzn且/T仅7当x=——时

mm24mm2m

等号成立.

3.利用基本不等式求最值的几种方法

(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值.

(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.

(3)常数代换法：主要解决形如“已知》+日”为常数)，求三+二的最值”的问题，先将三+二转化为

yJvy

g+§,X；，，再用基本不等式求最值.

(4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和

为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.

(5)构造不等式法：构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利

用基本不等式，构造目标式的不等式求解.

【知识点2基本不等式的实际应用】

1.基本不等式的实际应用的解题策略

(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值.

(2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围.

(3)在应用基本不等式求函数的最值时，若等号取不到，则可利用函数的单调性求解.

►举一反三

【题型1直接法求最值】

【例1】(2024•北京东城・一模)已知%>0,则x—4+士的最小值为()

X

A.12B.0C.1D.2V2

【变式1-1】(2024・甘肃定西•一模)/+5+夕的最小值为()

X2

A.2V7B.3V7C.4A/7D.5A/7

【变式1-2](2024.全国.模拟预测)已知ab为正数,则当+2()

ba

A.有最小值，为2B.有最小值，为2或

C.有最小值，为4D.不一定有最小值

【变式1-3]（2024•全国•模拟预测）（3+专）（1+4久2）的最小值为（）

A.9V3B.7+4V2C.8V3D.7+4V3

【题型2配凑法求最值】

【例2】（2024•全国•模拟预测）函数y=/+六（久2>5）的最小值为（）

A.2B.5C.6D.7

【变式2-1]（2024.全国.模拟预测）已知a>0,6>0,则a+2b+的最小值为（）

a+2b+l

A.6B.5C.4D.3

【变式2-2]（23-24高三上•海南省直辖县级单位•阶段练习）设x>2,则函数y=4x—l+力，的最小值

为（）

A.7B.8C.14D.15

【变式2-3]（2024•山西忻州•模拟预测）已知。>2,贝吃白的最小值是（）

a—2

A.6B.8C.10D.12

【题型3常数代换法求最值】

【例3】（2024.河北.模拟预测）已知非负实数招y满足i+y=l,则;的最小值为（）

3+2返n3+2V24

D.C.2D.

243

【变式3-1]（2024.云南大理.模拟预测）已知a>0,b>0且2a+b=1,则-J+三;的最小值为（）

a+la+b

A.4B.6C.8D.10

【变式3-2]（2024•江苏扬州•模拟预测）已知%>0,y>0,且2%+y=1,则上的最小值为（）

xy

A.4B.4V2C.6D.2V2+3

—1mile同小/古珀（\

【变式（.四川成都•模拟预测）若是正实数，…,11

3-3]2024a,b^3a+b2a+4b'八J"।八J"Ju」./i

AA.-4B.-C.1D.2

53

【题型4消元法求最值】

【例4】（2024.全国.模拟预测）已知％y,ze（0,+8）,且满足％-2y+3z=0.则日的最小值为（）

A.12B.6C.9D.3

【变式4-1］（2024•北京•模拟预测）设正实数无、y、z满足4——3砂+y2一2=0,则把的最大值为（）

A.0B.2C.1D.3

【变式4-2］（2024•浙江绍兴•三模）若％,y,z>0,且%2++2%z+2yz=4,贝吃％+y+2z的最小值是

【变式4-3］（2024•四川德阳•模拟预测）已知正实数％,y,z满足％2+xy+yz+xz+%+z=6,则3%+2y+z

的最小值是.

【题型5齐次化求最值】

【例5】（2024.江西新余.二模）已知尤，y为正实数，且x+y=2,则把罕的最小值为（）

A.12B.3+2V2C.—D.这二

22

【变式5-1］（23-24高一下.重庆沙坪坝.阶段练习）已知正数x,y满足尤+2y=1,则誉的最小值为（）

A.~^=B.2V2C.D.2V2+1

2V22V2+1

【变式5-2］（23-24高一上.江苏常州•阶段练习）已知孙=1,且0<y<J,则最大值为.

【变式5-3】（2024•辽宁葫芦岛•二模）已知实数x>0,y>0,则空半瞿铲的最大值为

【题型6多次使用基本不等式求最值】

【例6】（2024.山西运城.二模）若a,b,c均为正实数，则可〈黑：的最大值为（）

az+2bz+cz

A.iB.iC.也D.更

2422

【变式6-1］（2024•河北衡水•模拟预测）已知实数x,y,z>0,满足盯+:=2,则当：+（取得最小值时，y+z

的值为（）

35

A.1B.-C.2D.-

22

【变式6-2］⑵-24高三下.浙江.开学考试）已知a、b、c、d均为正实数，且三+：=c?+d?=2,则a+?的

abcd

最小值为（）

A.3B.2V2

C3+Vi口3+2鱼

,2•2

【变式6-3］（2024•全国•模拟预测）已知为非零实数，b,c均为正实数，则黑兽的最大值为（

a4a4+b2+c2

A.-B..C.-D.在

2424

【题型7实际应用中的最值问题】

【例7】（23-24高一上•陕西西安・期中）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一顾客到店购买黄金

100g,售货员先将50g祛码放在天平左盘中，取出黄金放在右盘中使天平平衡；再将50g祛码放在天平右盘

中，再取出黄金放在左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.你认为顾客购得的黄金（）

A.小于100gB.等于100g

C.大于100gD.与左右臂的长度有关

【变式7-1］（24-25高三上•江苏无锡•期中）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解

到下列信息：每月土地占地费为（单位：元）与仓库到车站的距离x（单位：km）成反比，每月库存货物费

%（单位：元）与x成正比；若在距离车站6km处建仓库，则治=4%.要使这家公司的两项费用之和最小，

则应该把仓库建在距离车站（）

A.2kmB.3kmC.4kmD.5km

【变式7-2］（24-25高一上•四川泸州•期中）如图，某花圃基地计划用栅栏围成两间背面靠墙的相同的矩形

花室.

（1）若栅栏的总长为120米，求每间花室面积的最大值；

（2）若要求每间花室的面积为150平方米，求所需栅栏总长的最小值.

【变式7-3］（24-25高一上•陕西咸阳•期中）某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为1米，底面积为100平

方米，且背面靠墙的长方体形状的露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下:

长方体前面新建墙体的报价为每平方米320元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米160元，地面以及其

他报价共计6400元.设劳动基地的左、右两面墙的长度均为x（6<%<12）米，原有墙体足够长.

（1）当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？

（2）现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为32°,i+x）（a〉0）元,若无论左面墙的

长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（约定整体报价更低的工程队竞标成功），求a的取值范围.

【题型8与其他知识交汇的最值问题】

【例8】（23-24高三上•山西运城•阶段练习）在△ABC中，已知力B-4C=9,b=c-cosA,△ABC的面积为

6,若P为线段A8上的点（点P不与点4点8重合），且CP="谷+y・罂，则工+4的最小值为（）

|刊\CB\X3y+2

3Q1

A.9B.-C.—D.-

4142

【变式8-1］（2020•全国•高考真题）设。为坐标原点，直线x=a与双曲线。:捻―5=1（（1>0方>0）的两

条渐近线分别交于两点，若△ODE的面积为8,贝UC的焦距的最小值为（）

A.4B.8C.16D.32

【变式8-2］（23-24高三・全国•阶段练习）在/4BC中，a,b,c分别为内角4B,C的对边，且

（acosf+ccosZ）tanZ=V3h.

（1）求角/的大小；

（2）若a=遮，求be的最大值.

【变式8-3］（23-24高二下•辽宁•阶段练习）平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理论研究

和证明中占有重要的位置，基本不等式等2届（。>0/>0）就是最简单的平均值不等式.一般地，假设

3%即为"个非负实数，它们的算术平均值记为4t=。1+的：+。”=打匕七（注：£之通=%+的+…

1

+an）,几何平均值记为%=,,…户=（1日产］亦（注：？产=的的,,…&i），算术平均值与几何

平均值之间有如下的关系：…；…+所>7%%••…斯，即/>Gn,当且仅当的=。2=•••=即时等号成立,

上述不等式称为平均值不等式，或简称为均值不等式.

（1）已知%>y>0,求％+「、的最小值;

y（x-y）

（2）已知正项数列｛a九｝,前〃项和为5n.

nn

（i）当S九=1时，求证：1（1一后）之（足—1）九］必；

nin(?i

(ii)求证：II(1+a)>/77.

i=izj=ol'

►课后提升练（19题:

一、单选题

1.（2024.河北.模拟预测）己知x〉l,y>0,且2+'=1,贝|4x+y的最小值为（）

A.13B.C.14D.9+V65

2

2.（2024•四川绵阳•一模）已知久>0,y>0,且满足％+y=%y—3,贝hy的最小值为（）

A.3B.2V3C.6D.9

3.（2024•江苏宿迁•一模）若a>0,b>0,a+2b=3,贝哈+9的最小值为（）

ab

A.9B.18C.24D.27

4.（2024•陕西西安.模拟预测）下列说法错误的是（）

A.若正实数a,6满足a+6=l,则工+《有最小值4

ab

B.若正实数a,b满足a+2b=1,则2。+4b22世

C.y=4E+供的最小值为竽

Vx2+33

D.若a>h>1,则ab+1<a+b

5.（2024・四川成都.三模）设a>6>0,若a2+2炉工2，则实数2的最大值为（）

a-b

A.2+2V2B.4C.2+V2D.2&

6.（2024•贵州遵义•模拟预测）如图所示的“大方图”称为赵爽弦图，它是由中国数学家赵爽于公元3世纪在

给《周髀算经》“勾股网方图”作注时给出的一种几何平面图，记载于赵爽“负薪余日，聊观《周》”一书之中.

他用数学符号语言将其表示为“若直角三角形两直角边为a,b斜边为c（a、氏c均为正数）.则（a+b）2=4防+

Q—a）2,（a+6）2=2c2—（6—4”.某同学读到此书中的“赵爽弦图”时，出于好奇，想用软钢丝制作此图,

他用一段长6cm的软钢丝作为a+b的长度（制作其它边长的软钢丝足够用），请你给他算一算，他能制作

出来的“赵爽弦图”的最小面积为（）

A.9B.18C.27D.36

7.（2024•福建宁德•模拟预测）若两个正实数％,y满足4%+y=2%y,且不等式X+三V/一7n有解，贝|

4

实数机的取值范围是（）

A.{m|-1<m<2}B.{m\m<-1或m>2}

C.{m\—2<m<1}D.{m\m<-2或m>1]

8.（2024.山东淄博.二模）记max{%,y,z}表示％y,z中最大的数.已知居y均为正实数，贝!jmax{|J,%?+4y?}

的最小值为（）

1

A.-B.1C.2D.4

2

二、多选题

9.（2024.贵州铜仁.模拟预测）下列不等式正确的有（）

A.当0V%V10时，Jx（10-％）的最大值是5

B.已知正实数居y满足X+y=2,则§+

C.当％〉一1时，xH------21

X+1

D.函数y=l-2x—：（x<0）最小值为1+2逐

10.（2024・广东佛山•一模）已知a,b>0,且ab=a+2b+6,则（）

A.ab的最小值为18B.a2+F的最小值为36

C.?+押最小值为2D.a+6的最小值为3+4企

ab3

11.（2024・吉林长春•模拟预测）十六世纪中叶，英国数学加雷科德在《砺智石》一