2025年和平二模数学试题及答案

和平二模数学试题及答案姓名：____________________

一、选择题（每题[5]分，共[20]分）

1.已知函数$f(x)=x^2-4x+3$，则函数的对称轴为：

A.$x=2$

B.$x=-2$

C.$y=2$

D.$y=-2$

2.在三角形ABC中，若$\angleA=60^\circ$，$\angleB=75^\circ$，则$\angleC$的度数为：

A.$45^\circ$

B.$60^\circ$

C.$75^\circ$

D.$90^\circ$

3.已知等差数列$\{a_n\}$的首项为2，公差为3，则第10项$a_{10}$的值为：

A.29

B.30

C.31

D.32

4.若$x^2-3x+2=0$，则$x^3-3x^2+2x$的值为：

A.0

B.1

C.2

D.3

5.已知$log_25=2.3219$，则$log_52$的值为：

A.0.3219

B.0.4321

C.2.3219

D.4.3219

二、填空题（每题[5]分，共[25]分）

1.若$a+b=5$，$ab=6$，则$a^2+b^2$的值为________。

2.已知函数$f(x)=2x^3-3x^2+4x-1$，则$f(2)$的值为________。

3.在等腰三角形ABC中，若底边AB的长度为8，腰AC的长度为10，则底角$\angleC$的度数为________。

4.已知$log_37=0.8451$，则$log_73$的值为________。

5.若等比数列$\{a_n\}$的首项为2，公比为$\frac{1}{2}$，则第5项$a_5$的值为________。

三、解答题（每题[20]分，共[60]分）

1.已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，求函数的极值点及对应的函数值。

2.在三角形ABC中，若$\angleA=60^\circ$，$\angleB=75^\circ$，$AB=10$，求三角形ABC的面积。

3.已知等差数列$\{a_n\}$的首项为2，公差为3，求前10项的和。

4.若$x^2-3x+2=0$，求$x^3-3x^2+2x$的值。

5.已知$log_25=2.3219$，求$log_52$的值。

四、解答题（每题[20]分，共[60]分）

6.已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，求函数的极值点及对应的函数值。

7.在三角形ABC中，若$\angleA=60^\circ$，$\angleB=75^\circ$，$AB=10$，求三角形ABC的面积。

8.已知等差数列$\{a_n\}$的首项为2，公差为3，求前10项的和。

9.若$x^2-3x+2=0$，求$x^3-3x^2+2x$的值。

10.已知$log_25=2.3219$，求$log_52$的值。

五、证明题（每题[20]分，共[40]分）

11.证明：若$a+b+c=0$，且$a,b,c$都是非零实数，则$a^2+b^2+c^2=3ab$。

12.证明：在任意三角形ABC中，$a^2+b^2+c^2\geqab+bc+ca$。

六、综合题（每题[20]分，共[40]分）

13.已知等差数列$\{a_n\}$的第10项$a_{10}=35$，第20项$a_{20}=70$，求该数列的首项$a_1$和公差$d$。

14.已知函数$f(x)=\frac{1}{x^2-4}$，求函数的奇偶性以及定义域。

15.在三角形ABC中，若$AB=8$，$BC=10$，$AC=6$，求三角形ABC的外接圆半径。

试卷答案如下：

一、选择题答案及解析思路：

1.A.$x=2$解析：函数$f(x)=x^2-4x+3$是一个二次函数，其对称轴的公式为$x=-\frac{b}{2a}$，其中$a=1$，$b=-4$，代入得$x=2$。

2.A.$45^\circ$解析：三角形内角和为$180^\circ$，已知$\angleA=60^\circ$，$\angleB=75^\circ$，则$\angleC=180^\circ-60^\circ-75^\circ=45^\circ$。

3.A.29解析：等差数列的通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$，代入$a_1=2$，$d=3$，$n=10$得$a_{10}=2+9\times3=29$。

4.A.0解析：由$x^2-3x+2=0$可得$x=1$或$x=2$，代入$x^3-3x^2+2x$得$0^3-3\times0^2+2\times0=0$。

5.A.0.3219解析：由换底公式$log_ba=\frac{log_ca}{log_cb}$，代入$log_25=2.3219$，$c=10$得$log_52=\frac{log_{10}2}{log_{10}5}=0.3219$。

二、填空题答案及解析思路：

1.37解析：由$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$可得$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=5^2-2\times6=25-12=13$。

2.11解析：代入$x=2$到$f(x)=2x^3-3x^2+4x-1$得$f(2)=2\times2^3-3\times2^2+4\times2-1=16-12+8-1=11$。

3.30解析：等腰三角形底角相等，$\angleC=180^\circ-\angleA-\angleB=180^\circ-60^\circ-75^\circ=45^\circ$。

4.0.4321解析：由换底公式$log_ba=\frac{log_ca}{log_cb}$，代入$log_25=2.3219$，$c=10$得$log_52=\frac{log_{10}2}{log_{10}5}=0.4321$。

5.1解析：等比数列的通项公式为$a_n=a_1\timesr^{n-1}$，代入$a_1=2$，$r=\frac{1}{2}$，$n=5$得$a_5=2\times(\frac{1}{2})^{5-1}=1$。

三、解答题答案及解析思路：

1.极值点：$x=1$，$x=2$；对应的函数值：$f(1)=-1$，$f(2)=1$。解析：求导得$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$得$x=1$或$x=2$，代入原函数得极值点及对应的函数值。

2.面积：$S=\frac{1}{2}\times10\times8\times\sin60^\circ=20\sqrt{3}$。解析：由正弦定理可得$\sin60^\circ=\frac{AC}{2R}$，其中$R$为外接圆半径，代入$AC=6$得$R=2\sqrt{3}$，再代入面积公式得三角形ABC的面积。

3.和：$S=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{10(2+35)}{2}=190$。解析：由等差数列求和公式得前10项的和。

4.值：0。解析：由$x^2-3x+2=0$可得$x=1$或$x=2$，代入$x^3-3x^2+2x$得$0^3-3\times0^2+2\times0=0$。

5.值：0.4321。解析：由换底公式$log_ba=\frac{log_ca}{log_cb}$，代入$log_25=2.3219$，$c=10$得$log_52=\frac{log_{10}2}{log_{10}5}=0.4321$。

四、证明题答案及解析思路：

11.解析：由$a+b+c=0$可得$a=-b-c$，代入$a^2+b^2+c^2=3ab$得$(-b-c)^2+b^2+c^2=3ab$，化简得$2b^2+2c^2+2bc=3ab$，即$2(b^2+c^2+bc)=3ab$，两边同时除以2得$b^2+c^2+bc=\frac{3}{2}ab$，即$a^2+b^2+c^2=3ab$。

12.解析：由余弦定理可得$a^2+b^2+c^2-2ab\cosC=2R^2$，其中$R$为外接圆半径，代入$C=180^\circ-A-B$得$a^2+b^2+c^2-2ab\cos(180^\circ-A-B)=2R^2$，化简得$a^2+b^2+c^2-2ab\cosA\cosB+2ab\sinA\sinB=2R^2$，即$a^2+b^2+c^2\geqab+bc+ca$。

五、综合题答案及解析思路：

13.首项$a_1=2$，公差$d=3$。解析：由等差数列通项公式$a_n=a_1+(n-1)d$，代入$a_{10}=35$和$a_{20}=70$得$a_1+9d=35$和$a_1+19d=70$，解得$a_1=2$，$d=3$。

14.奇函数，定义域为$(-\infty,-2)\cup(2,+\infty)$。