2025年临沂二模数学试题及答案

临沂二模数学试题及答案姓名：____________________

一、选择题（每题[5]分，共[20]分）

1.已知函数$f(x)=2x^2-3x+1$，则$f(-1)$的值为：

A.0B.1C.-1D.2

2.在等差数列$\{a_n\}$中，若$a_1+a_5=12$，$a_3+a_4=16$，则该数列的公差为：

A.2B.3C.4D.5

3.若$a^2+b^2=1$，$a-b=\sqrt{2}$，则$ab$的值为：

A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$C.$\sqrt{2}$D.$2$

4.在三角形ABC中，$A=60^\circ$，$b=4$，$c=6$，则$a$的值为：

A.2B.4C.6D.8

5.已知$x^2-2x+1=0$，则$x^4+4x^2+4$的值为：

A.0B.1C.2D.3

二、填空题（每题[5]分，共[20]分）

1.若$a>b>0$，则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的最小值为$\frac{1}{2}$，当且仅当$a=b=\sqrt{2}$。

2.在直角坐标系中，点$A(2,3)$关于直线$y=x$的对称点为$B$，则$B$的坐标为$(3,2)$。

3.已知$a+b+c=3$，$ab+bc+ca=6$，则$a^2+b^2+c^2$的值为$9$。

4.若$\sinx+\cosx=\sqrt{2}$，则$\sin^2x+\cos^2x$的值为$1$。

5.在等差数列$\{a_n\}$中，若$a_1=3$，公差为$d$，则$a_5=3+4d$。

四、解答题（每题[20]分，共[80]分）

1.解方程组：

\[

\begin{cases}

x+2y-3z=4\\

2x-y+z=1\\

3x+4y+2z=2

\end{cases}

\]

2.已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x+1$，求证：$f(x)$在实数范围内单调递增。

3.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n=3n^2-n$，求该数列的通项公式。

4.在$\triangleABC$中，$a=8$，$b=10$，$c=12$，求$\cosA$的值。

5.已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n=n^2+n$，求$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{n}$。

五、证明题（每题[20]分，共[40]分）

1.证明：若$a,b,c$是等差数列中的连续三项，则$a^2+b^2+c^2=3ab$。

2.证明：若$a,b,c$是等比数列中的连续三项，则$abc=a^2+b^2+c^2$。

六、应用题（每题[20]分，共[40]分）

1.一辆汽车从甲地出发，以每小时60公里的速度行驶，经过3小时到达乙地。返回时，汽车以每小时80公里的速度行驶，问汽车返回甲地需要多少时间？

2.某工厂生产一批产品，每天可以生产100件，每件产品的成本为10元，每件产品的售价为20元。若每天销售这批产品，则每天可以获得1000元的利润。现计划增加生产，使得每天可以生产150件产品，问每天增加多少元的生产成本才能保持每天获得1000元的利润？

试卷答案如下：

一、选择题

1.A.0

解析思路：将$x=-1$代入$f(x)=2x^2-3x+1$中，得到$f(-1)=2(-1)^2-3(-1)+1=2+3+1=6$，故选A。

2.B.3

解析思路：由等差数列的性质知，$a_1+a_5=2a_3$，代入已知条件$a_1+a_5=12$，得$2a_3=12$，解得$a_3=6$。同理，$a_3+a_4=2a_2$，代入$a_3=6$，得$a_2=5$。公差$d=a_2-a_1=5-6=-1$，故选B。

3.C.$\sqrt{2}$

解析思路：由$a^2+b^2=1$和$a-b=\sqrt{2}$，可得$a^2-2ab+b^2=2$，即$(a-b)^2=2$，代入$a-b=\sqrt{2}$，得$2=2$，解得$ab=0$。由$a^2+b^2=1$，得$a^2=b^2=\frac{1}{2}$，所以$ab=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$，故选C。

4.B.4

解析思路：由余弦定理知，$a^2=b^2+c^2-2bc\cosA$，代入已知条件$a=8$，$b=4$，$c=6$，得$64=16+36-48\cosA$，解得$\cosA=\frac{1}{2}$，故选B。

5.B.1

解析思路：由$x^2-2x+1=0$，得$(x-1)^2=0$，解得$x=1$。代入$x^4+4x^2+4$，得$1^4+4\times1^2+4=1+4+4=9$，故选B。

二、填空题

1.$\sqrt{2}$

解析思路：由基本不等式知，$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq2\sqrt{\frac{1}{ab}}$，当且仅当$a=b$时取等号。代入$a=b=\sqrt{2}$，得$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$。

2.(3,2)

解析思路：点$A(2,3)$关于直线$y=x$的对称点$B$满足$B$的坐标为$(3,2)$，因为$y=x$是直线$y=x$的对称轴。

3.9

解析思路：由平方差公式知，$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$，代入已知条件$a+b+c=3$，$ab+bc+ca=6$，得$9=a^2+b^2+c^2+12$，解得$a^2+b^2+c^2=9$。

4.1

解析思路：由$\sin^2x+\cos^2x=1$和$\sinx+\cosx=\sqrt{2}$，可得$(\sinx+\cosx)^2=2$，即$\sin^2x+2\sinx\cosx+\cos^2x=2$，代入$\sin^2x+\cos^2x=1$，得$2\sinx\cosx=1$，解得$\sinx\cosx=\frac{1}{2}$。

5.$3+4d$

解析思路：由等差数列的性质知，$a_5=a_1+4d$，代入已知条件$a_1=3$，得$a_5=3+4d$。

四、解答题

1.解方程组：

\[

\begin{cases}

x+2y-3z=4\\

2x-y+z=1\\

3x+4y+2z=2

\end{cases}

\]

解析思路：采用高斯消元法，将方程组化为行阶梯形矩阵，然后进行行变换，得到解$x=1$，$y=1$，$z=1$。

2.已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x+1$，求证：$f(x)$在实数范围内单调递增。

解析思路：求出$f(x)$的导数$f'(x)$，判断$f'(x)$的符号。由$f'(x)=3x^2-6x+4$，可得$f'(x)$在实数范围内恒大于0，故$f(x)$在实数范围内单调递增。

3.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n=3n^2-n$，求该数列的通项公式。

解析思路：由等差数列的性质知，$a_n=S_n-S_{n-1}$，代入已知条件$S_n=3n^2-n$，得$a_n=6n-4$。

4.在$\triangleABC$中，$a=8$，$b=10$，$c=12$，求$\cosA$的值。

解析思路：由余弦定理知，$\cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$，代入已知条件$a=8$，$b=10$，$c=12$，得$\cosA=\frac{100+144-64}{2\times10\times12}=\frac{180}{240}=\frac{3}{4}$。

5.已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n=n^2+n$，求$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{n}$。

解析思路：由数列的前$n$项和与通项的关系知，$a_n=S_n-S_{n-1}$，代入已知条件$S_n=n^2+n$，得$a_n=2n$。所以$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{2n}{n}=2$。

五、证明题

1.证明：若$a,b,c$是等差数列中的连续三项，则$a^2+b^2+c^2=3ab$。

解析思路：由等差数列的性质知，$b=a+d$，$c=a+2d$，代入$a^2+b^2+c^2=3ab$，得$a^2+(a+d)^2+(a+2d)^2=3a(a+d)$，化简得$d^2=0$，故$d=0$，即$a=b=c$，所以$a^2+b^2+c^2=3ab$。

2.证明：若$a,b,c$是等比数列中的连续三项，则$abc=a^2+b^2+c^2$。

解析思路：由等比数列的性质知，$b=ar$，$c=ar^2$，代入$abc=a^2+b^2+c^2$，得$a^3r^3=a^2+a^2r^2+a^2r^4$，化简得$r^6-r^2-1=0$，解得$r^2=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$，所以$abc=a^2+b^2+c^2$。

六、应用题

1.一辆汽车从甲地出发，以每小时60公里的速度行驶，经过3小时到达乙地。返回时，汽车以每小时80公里的速度行驶，问汽车返回甲地需要多少时间？

解析思路：设汽车返回甲地需要$t$小时，由速度、时间和路程的关系知，$60\times3=80\timest$，解得$t=\frac{9}{4}$，即汽车返回甲地需要$2.25$小时。

2.某工厂生产一批产品，每天可以生产100件，每件产品的成本为10元，每件产品的售价为20元。若每天销售这批产品，则每天可以获得1000元的利润。现计划增