2024高考数学二轮复习分层特训卷热点问题专练十三数学文化文

PAGEPAGE2热点(十三)数学文化1．[2024·江西赣州联考](数列中的文化)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不犯难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其意思为：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从其次天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，走了六天后(第六天刚好用完)到达目的地．”若将此问题改为“第6天到达目的地”，则此人其次天至少走了()A．96里B．48里C．72里D．24里答案：A解析：依据题意知，此人每天行走的路程构成了公比为eq\f(1,2)的等比数列．设第一天走a1里，则其次天走a2＝eq\f(1,2)a1(里)．易知eq\f(a1\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))6)),1－\f(1,2))≥378，则a1≥192.则其次天至少走96里．故选A.2．[2024·福建莆田模拟](程序框图中的文化)将元代闻名数学家朱世杰的《四元玉鉴》中的一首诗改编如下：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表示如图，用x表示壶中原有酒的量，可知最终输出的x＝0，则一起先输入的x的值为()A.eq\f(3,4)B.eq\f(15,16)C．4D.eq\f(7,8)答案：D解析：这是一道函数与程序框图相结合的题．当i＝1时，酒量为2x－1；当i＝2时，酒量为2(2x－1)－1＝4x－3；当i＝3时，酒量为2(4x－3)－1＝8x－7；当i＝4时，酒量为0，即2(4x－3)－1＝0，解得x＝eq\f(7,8).故选D.3．[2024·福建泉州两校联考](函数中的文化)我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．”其意思为：“今有人持金出五关，第1关所收税金为持金的eq\f(1,2)，第2关所收税金为剩余持金的eq\f(1,3)，第3关所收税金为剩余持金的eq\f(1,4)，第4关所收税金为剩余持金的eq\f(1,5)，第5关所收税金为剩余持金的eq\f(1,6)，5关所收税金之和恰好重1斤．”则在此问题中，第5关所收税金为()A.eq\f(1,36)斤B.eq\f(1,30)斤C.eq\f(1,25)斤D.eq\f(1,20)斤答案：C解析：设此人持金x斤，依据题意知第1关所收税金为eq\f(x,2)斤；第2关所收税金为eq\f(x,6)斤；第3关所收税金为eq\f(x,12)斤；第4关所收税金为eq\f(x,20)斤；第5关所收税金为eq\f(x,30)斤．易知eq\f(x,2)＋eq\f(x,6)＋eq\f(x,12)＋eq\f(x,20)＋eq\f(x,30)＝1，解得x＝eq\f(6,5).则第5关所收税金为eq\f(1,25)斤．故选C.4．(立体几何中的文化)我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，与题中描绘的器具形态一样(大小不同)的器具的三视图如图所示(单位：寸)．若在某地下雨天时利用该器具接的雨水的深度为6寸，则这一天该地的平均降雨量约为(注：平均降雨量等于器具中积水的体积除以器具口的面积．参考公式：圆台的体积V＝eq\f(1,3)πh(R2＋r2＋R·r)，其中R，r分别表示上、下底面的半径，h为高)()A．2寸B．3寸C．4寸D．5寸答案：A解析：由三视图可知，该器具的上底面半径为12寸，下底面半径为6寸，高为12寸．因为所接雨水的深度为6寸，所以水面半径为eq\f(1,2)×(12＋6)＝9(寸)，则盆中水的体积为eq\f(1,3)π×6×(62＋92＋6×9)＝342π(立方寸)，所以这一天该地的平均降雨量约为eq\f(342π,π×122)≈2(寸)，故选A.5．[2024·河北辛集中学期中](数列中的文化)中国古代数学著作《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里．”其意思是：“现有一匹马行走的速度渐渐变慢，每天走的里数是前一天的一半，连续行走7天，共走了700里．”若该匹马按此规律接着行走7天，则它这14天内所走的总路程为()A.eq\f(175,32)里B．1050里C.eq\f(22575,32)里D．2100里答案：C解析：由题意可知，马每天行走的路程组成一个等比数列，设该数列为{an}，则该匹马首日行走的路程为a1，公比为eq\f(1,2)，则有eq\f(a1\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))7)),1－\f(1,2))＝700，则a1＝eq\f(350×128,127)，则eq\f(a1\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))14)),1－\f(1,2))＝eq\f(22575,32)(里)．故选C.6．[2024·河南商丘12月月考](生活中的文化)我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题：“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归．问三女几何日会面？”大致意思是：“一家出嫁的三个女儿中，大女儿每五天回一次娘家，二女儿每四天回一次娘家，小女儿每三天回一次娘家．三个女儿从娘家同一天走后，至少再隔多少天三人再次会面？”假如回娘家产天均回夫家，当地风俗正月初二都要回娘家，则从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数为()A．58B．59C．60D．61答案：C解析：由题意知，大女儿每五天回一次娘家，二女儿每四天回一次娘家，小女儿每三天回一次娘家，当地风俗正月初二都要回娘家，则从正月初三算起的一百天内，小女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是33,25,20，小女儿和二女儿、小女儿和大女儿、二女儿和大女儿同时回娘家的天数分别为8,6,5，三个女儿同一天回娘家的天数为1，因此，从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数为33＋25＋20－(8＋6＋5)＋1＝60.故选C.7．[2024·重庆七校联考](推理与证明中的文化)某市为了缓解交通压力，实行机动车辆限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末(周六和周日)不限行．某公司有A，B，C，D，E五辆车，每天至少有四辆车可以上路行驶．已知E车周四限行，B车昨天限行，从今日算起，A，C两车连续四天都能上路行驶，E车明天可以上路，由此可知下列推想肯定正确的是()A．今日是周四B．今日是周六C．A车周三限行D．C车周五限行答案：A解析：在限行政策下，要保证每天至少有四辆车可以上路行驶，周一至周五每天只能有一辆车限行．由周末不限行，B车昨天限行知，今日不是周一，也不是周日；由E车周四限行且明天可以上路可知，今日不是周三；由E车周四限行，B车昨天限行知，今日不是周五；从今日算起，A，C两车连续四天都能上路行驶，假如今日是周二，A，C两车连续上路行驶到周五，只能同时在周一限行，不符合题意；假如今日是周六，则B车周五限行，又E车周四限行，所以A，C两车连续上路行驶到周二，只能同时在周三限行，不符合题意．所以今日是周四．故选A.8．[2024·陕西省西安市期中](解三角形中的文化)《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形面积的求法填补了我国数学史中的一个空白，虽与闻名的海伦公式形式上有所不同，但实质完全等价，由此可以看出我国古代已经具有很高的数学水平．其求法是：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”把以上这段文字用数学公式表示，即S＝eq\r(\f(1,4)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(c2a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c2＋a2－b2,2)))2)))(S，a，b，c分别表示三角形的面积、大斜、中斜、小斜)．现有周长为4eq\r(2)＋2eq\r(5)的△ABC满意sinAsinBsinC＝(eq\r(2)＋1)eq\r(5)(eq\r(2)－1)，试用以上给出的数学公式计算△ABC的面积为()A.eq\r(3)B．2eq\r(3)C.eq\r(5)D．2eq\r(5)答案：A解析：因为sinAsinBsinC＝(eq\r(2)＋1)eq\r(5)(eq\r(2)－1)，则由正弦定理得abc＝(eq\r(2)＋1)eq\r(5)(eq\r(2)－1)．设a＝(eq\r(2)＋1)x，b＝eq\r(5)x，c＝(eq\r(2)－1)x，又周长为4eq\r(2)＋2eq\r(5)，所以4eq\r(2)＋2eq\r(5)＝(eq\r(2)＋1)x＋eq\r(5)x＋(eq\r(2)－1)x，解得x＝2.所以S＝＝eq\r(3).故选A.9．(程序框图中的文化)《孙子算经》中有“物不知数”问题，原文如下：“今有物不如其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二，问物几何？”其大意为：一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数．此问题可以用计算机解决．记N≡r(MODm)，表示正整数N除以正整数m的余数为r，例如10≡2(MOD4)．执行如图所示的程序框图，则输出的i等于()A．7B．10C．8D．23答案：C解析：依据框图可列表如下：N1234567891011121314151617181920212223i01112223334445556667778故选C.10．[2024·湖南长沙雅礼中学模拟](数列中的文化)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”设该金箠由粗到细是匀称改变的，其重量为M，现将该金箠截成长度相等的10段，记第i段的重量为ai(i＝1,2，…，10)，且a1<a2<…<a10，若48ai＝5M，则iA．4B．5C．6D．7答案：C解析：由题意知，由细到粗每段的重量组成一个等差数列，记为{an}，设公差为d，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＝2，,a9＋a10＝4))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a1＋d＝2，,2a1＋17d＝4))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(15,16)，,d＝\f(1,8).))所以该金箠的总重量M＝10×eq\f(15,16)＋eq\f(10×9,2)×eq\f(1,8)＝15.因为48ai＝5M，所以有48eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(15,16)＋i－1×\f(1,8)))＝75，解得i＝6，故选C.11．[2024·石家庄中学毕业班模拟考试(一)](三角形中的文化)南宋数学家秦九韶早在《数书九章》中就提出了已知三角形的三边求其面积的公式：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方，得积．”(即△ABC的面积S＝eq\r(\f(1,4)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(c2a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c2＋a2－b2,2)))2)))，其中△ABC的三边分别为a，b，c，且a>b>c)，并举例“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步．欲知为田几何？”则该三角形沙田的面积为()A．82平方里B．83平方里C．84平方里D．85平方里答案：C解析：由题意知三角形沙田的三边长分别为15里、14里、13里，代入三角形的面积公式可得三角形沙田的面积S＝eq\r(\f(1,4)×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(132×152－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(132＋152－142,2)))2)))＝84(平方里)．故选C.12．[2024·四川达州模拟](生活中的文化)里氏震级是由古登堡和里克特制定的一种表明地震能量大小的标度，用来表示测震仪衡量的地震能量的等级，地震能量越大，地震仪记录的震波的振幅就越大，其计算公式为M＝lgA－lgA0，其中A，A0分别是距震中100公里处接收到的所关注的这个地震和0级地震的震波的最大振幅，则7级地震震波的最大振幅是5级地震震波的最大振幅的()A．10倍B．20倍C．50倍D．100倍答案：D解析：对公式M＝lgA－lgA0进行转化得M＝lgeq\f(A,A0)，即eq\f(A,A0)＝10M，A＝A0·10M，当M＝7时，地震震波的最大振幅为A7＝A0·107，当M＝5时，地震震波的最大振幅为A5＝A0·104，则eq\f(A7,A5)＝eq\f(A0·107,A0·105)＝100.故选D.13．[2024·湖北八校联考](三角函数中的文化)公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过探讨正五边形和正十边形的作图，发觉了黄金分割值约为0.618，这一数值也可表示为m＝2sin18°.若m2＋n＝4，则eq\f(1－2cos227°,3m\r(n))＝________.答案：－eq\f(1,6)解析：由m2＋n＝4得n＝4－m2＝4－4sin218°＝4cos218°，代入所求表达式，可得eq\f(1－2cos227°,3·2sin18°·2cos18°)＝eq\f(－cos54°,6sin36°)＝eq\f(－sin36°,6sin36°)＝－eq\f(1,6).14．[2024·江苏南京高三联合体调研](概率中的文化)欧阳修在《卖油翁》中写道：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技术让人叹为观止．若铜钱是直径为4cm的圆，中间有边长为acm的正方形孔，若随机地向铜钱上滴一滴油，则油(油滴的大小忽视不计)正好落入孔中的概率为eq\f(1,4π)，则a＝________.答案：1解析：由题可知，油(油滴的大小忽视不计)正好落入孔中的概率是P＝eq\f(a2,π×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,2)))2)＝eq\f(1,4π)，解得a＝1.15．[2024·陕西西安期中](数列中的文化)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家探讨过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为eq\f(nn＋1,2)＝eq\f(1,2)n2＋eq\f(1,2)n.记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N(n,3)＝e