2025年高考数学第二次模拟考试（新高考Ⅱ卷）（全解全析）

2025年高考数学第二次模拟考试（新高考II卷01）

全解全析

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要

求的。

1.已知集合/=卜,〉q,5={-2,-1,0,1,2,3},则Zn8=()

A.{2,3}B.{-1,0,1,2}C.{-1,0,1}D.{-2,2,3}

【答案】D

【解析】

【详解】在集合8中，满足/〉15的有-2,2,3,

故/口5={-2,2,3}.

故选：D.

2.已知i为虚数单位，则，'、J、=（）

（2+讥2-。

A.-1B.1C.1-iD.1+i

【答案】D

【解析】

5(35(1+1)…

【详解】

(2+i)(2-i)22-i2

故选：D

3.国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排

放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的

污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量N（mg/L）与时间/（小时）的关系为N=N（）e-"

（No为最初污染物数量，且N。〉0）.如果前4个小时消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的

64%还需要（）

A.3.8小时B.4小时C.4.4小时D.5小时

【答案】B

【解析】

【详解】由题意可知Noe-%=0.8或，即有I4斤=0.8，

令N°e-*'=O.64No,则有e』=0.64=（e-必丫=e-'3解得/=8,

8-4=4,故还需要4小时才能消除至最初的64%.

故选：B.

4.已知函数/（幻=5亩（3+；［0>0）相邻两个对称轴之间的距离为2无，若〃幻在（-力,%）上是增函数，则加

的取值范围是（）

A.（司八兀1B./司八兀1C，［八。，3彳兀］］D.（^八0,3兀-

【答案】B

【详解】因为"X）=sin［ox+幻>0）相邻两个对称轴之间的距离为2兀，

则;7=2兀，即7=4兀，则o=|^=g,则/（x）=sin］；x+：［,

7rl冗it3冗jr

由2痴—<—%+—<Iku+—,得4而---<x<4farH——（A:eZ）,

224222

所以〃X）在隆马上是增函数，由（-私小卜对］,得o〈加q

故选：B

5.已知圆C:（x—1）2+0—2）2=4,直线/:（a+l）x+（2a—2）>-4。=0,若直线/与圆C两交点记为H

2,点尸为圆C上一动点，且满足C尸〃48,则巨彳.而最大值为（）

A.2A/2B.3C.4D.8

【答案】C

【详解】由题意知，圆心。（1,2）,半径厂=2,

直线/:(<7+l)x+(2a-2)v-4a=0,即a{x+2j-4)+x-2v=0,

x=2

T，即直线/过定点M(2,l),ii\CM\=42,

设48中点为N,则CNL48,>|C^|e[0,V2],

又因为C尸〃Z8,所以CNJLCP,

所以9.而=(反^+国+福)•(定+•+砺)=(定+.『+福•屉=(无+西『-：|第2

二户+|CN|2T2._|CNF)=2|C7V|2<4,

当|CM|=拒时等号成立•

6.已知函数y=/(x+2)是R上的偶函数，对任意+8),且匹f者B有成

(2、(InlO\

立.若。=/(log318),b=fln-j=j,c=fe2,则。，“c的大小关系是()

A.b<a<cB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a

【答案】A

【详解】根据题意，函数y=/(x+2)是R上的偶函数，则函数/(X)的图象关于直线x=2对称,

又由对任意X，/e[2,+8),且石/马,都有;〉0成立,则函数/(x)在[2,+8)上为增函

数,

InlO

又logs18=logs(9x2)=2+log2ln-^==2-lnV2

3V2e-=V10)

又In后>0，所以111正=2-lnV2<2,由函数/(x)的图象关于直线x=2对称，知

r-In2In2In2i—imo

又lnV^=；-==<正=bg32<l(加一2，所以2+ln0<k)g318<e^,故'<口<0，

4111C111JJ*。

故选：A.

7.随着我国铁路的发展，列车的正点率有了显著的提高.据统计，途经某车站的只有和谐号和复兴号列车,

且和谐号列车的列次为复兴号列车的列次的2倍，和谐号的正点率为0.98,复兴号的正点率为0.99,今有

一列车未正点到达该站，则该列车为和谐号的概率为()

A.0.2B.0.5C.0.6D.0.8

【答案】D

【详解】令事件出经过的列车为和谐号；事件8,经过的列车为复兴号；事件C,列车未正点到达,

则尸(幺)=|,P(5)=；,P(CM)=0.02,P(C|5)=0.01,

于是P(C)=P(N)P(C|Z)+P(5)P(C|5)=|x0.02+|x0.01=竿，

2

,、P(AC)P(A)P(C\A)Tx0-02

所以该列车为和谐号的概率为P(A\C)=J，='；=3=0.8.

J(GjJ(G)u.u。

r

故选：D

8.己知点片，鸟是椭圆。的两个焦点，尸是椭圆C上一点，△尸片鸟的内切圆的圆心为0.若

5存।+3•+30?=。，贝U椭圆。的离心率为()

1233

A.-B.一C.—D.一

2587

【答案】C

【解析】

22

【详解】不妨设椭圆的方程为：I+J=l(a〉b〉O),P(Xo，%),Q(x/),

则有片(一c,O),工(c,0),QF、=(-c-x,-y),QF2=(c-x,-y),QP=(x0-x,y0-y),

所以50%+3QF2+3QP=5(-c-x,-y)+3(c-x,-y)+3(x0-x,y0-y)

=(3XO-11X-2C,3JO-11J)=(O,O),

所以%—2c也,所以△尸片鸟的内切圆的半径为mW,由椭圆定义可得

211

|「胤+|尸闾=2a,闺闾=2c,

所以，呻,=9仍用+|尸闾+闺闻）义邛=；闺闾x闻

£O

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.某校举行了交通安全知识主题演讲比赛，甲、乙两位同学演讲后，6位评委对甲、乙的演讲分别进行打分

（满分10分），得到如图所示的折线统计图，则（）

个分数

7.oj--Z7J）------------------------------

0123456评委编号

一甲--乙

A.若去掉最高分和最低分，则甲得分的中位数大于乙得分的中位数

B.甲得分的极差大于乙得分的极差

C.甲得分的上四分位数小于乙得分的上四分位数

D.甲得分的方差大于乙得分的方差

【答案】ABD

【详解】甲、乙的得分从小到大排列如下：

甲：7.0,8.3,8.9,8.9,9.2,9.3,乙：8.1,8.5,8.6,8.6,8.7,9.1,

故去掉最高分和最低分可得甲的中位数为8.9,乙的中位数为8.6,故A正确;

甲的极差为9.3-7.0=2.3,乙的极差为9.1-8.1=2,故B正确；

6x75%=4.5,所以甲的第75百分位数为9.2,乙的第75百分位数为8.7,故C错误；

由图可以看出甲得分的波动比乙大，故甲得分的方差大于乙得分的方差，故D正确.

故选：ABD

10.已知函数/(x)=sin［0x+^)0〉O),下列说法正确的是()

7T

A.当。=2时，/(x)的图象关于直线x=-3对称

8

JT

B.当。=2时，将/(x)的图象向左平移一个单位得到g(x),g(x)的图象关于原点对称

4

7T7T

C.当0=1时，/(X)在单调递减

D.若函数/(x)在区间［0,兀］上恰有一个零点，则。的范围为

【答案】ACD

【解析】

【详解】对于A,当0=2时，/(x)=sin12x+羽，：］=sin2x1—"+今=sin1=l,故/(x)

71

的图象关于直线》=-W对称，A正确，

(3兀

对于B,当。=2时，/(x)=sinl2x+—

g(x)=/[x+5=sin2x[x+"+/=sin12x++/一sin12x+",故g(x)的图象不关于原点

对称，B错误，

对于C,当0=1时，/(x)=sin(x+亨],xe时，x+匹斗c兀,个，故/(x)在

I4J4244242

单调递减，C正确,

对于D,xe［0,万］时，a)x+—e—,am+—,若/(x)在区间［0,兀］上恰有一个零点，则

71<amH---<2兀，解得一三。<一,故0的范围为一,一j>D正确

44444)

故选：ACD

11.我们知道，函数y=/(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=/(x)为奇函数,

有同学发现可以将其推广为：函数y=/(x)的图象关于点(见9成中心对称图形的充要条件是函数

y=/(x+a)-b为奇函数.已知/(x)是定义在R上的可导函数，其导函数为g(x),若函数

y=/(x+l)—1是奇函数，函数y=g(x+2)为偶函数，则下列说法错误的是()

A./(1)=1B.g(l)=l

2024

c.y=/(x+2)-1为奇函数D.^/(z)=1012

1=1

【答案】BCD

【详解】对于A选项，因为函数y=/(x+l)—1为奇函数，

所以，函数＞=/(》)的图象关于点(U)对称，

且函数/(x)的定义域为R，则=A对；

对于B选项，不妨取〃x)=sin办+1,

因为/(%+1)-1=5布[兀(％+1)]+1-1=-5布依为奇函数,

则函数〃X)=sin7LX+l符合题意，g(x)=/,(x)=7tcos7Lx,

所以，g(X+2)=7lCOs[rt(%+2)]=71COS71X为偶函数，

但g(l)=—兀wl,B错；

对于C选项，不妨取/(x)=x,则/(X+1)-1=X为奇函数，

g(x)=fr(x)=l,g(x+2)=1为偶函数，合乎题意，

但/(x+2)—l=x+l不是奇函数，c错；

2兀

对于D选项，若〃x)=sinm+l,则该函数的最小正周期为T=—=2,

兀

f(1)+/(2)=sin兀+1+sin2兀+1=2,

2024

所以，^/(z)=1012x2=2024^1012,D错

i=l*

故选：BCD.

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知ae(0,2i),costa+~VTo,贝i]c0s12a一.

~W

3

【答案】

5

【解析】

71

【详解】因为ae（0,兀），所以a+卡＞0,

6

71=sin21a+看_3

所以cos12a-今=cos2a+—

I62一S

3

故答案为：-

5

13.徐汇滨江作为2024年上海国际鲜花展的三个主会场之一，吸引了广大市民前往观展并拍照留念.图中的

花盆是种植鲜花的常见容器，它可视作两个圆台的组合体，上面圆台的上、下底面直径分别为30cm和

26cm,下面圆台的上、下底面直径分别为24cm和18cm,且两个圆台侧面展开图的圆弧所对的圆心角相等.

若上面圆台的高为8cm,则该花盆上、下两部分母线长的总和为cm

【答案】5V17

【详解】设上面圆台的母线长为4，上面半径为4=15cm,下半圆半径为％=13cm,高为7z=8cm,

根据圆台的母线长公式1=曲+伍一力,带入数值计算得到4=褥+(15-13)2=痢=2后加；

设下面圆台的母线长为12,上面半径为G=12cm,下半圆半径为々=9cm,

由于两个圆台侧面展开图的圆弧所对的圆心角相等，可以得到”豆=3力，带入数值计算得到

,1/2

/K=(12-9)x2炳二3而叫

2

r\-r215-13

所以该花盆上、下两部分母线长的总和为2jI7+3j17=5gcm.

故答案为：5后

14.已知等差数列｛与｝的公差不为0.若在｛4｝的前100项中随机抽取4项，则这4项按原来的顺序仍然成

等差数列的概率为.(用最简分数作答)

【答案］,

2425

【解析】

【详解】设等差数列｛4｝公差为"(dwO),

若在数列｛4｝的前100项中随机抽取4项，构成新的等差数列，则其公差可能为d,2d,3d,…,33d.

当公差为d时，则首项可以为力,出，。3,…，。97,可构成共97个不同的等差数列;

当公差为2d时，则首项可以为4,生，生，…,为4,可构成共94个不同的等差数列;

当公差为3d时，则首项可以为4,外，的，…，为1，可构成共91个不同的等差数列；

当公差为h7(左eN*,左〈33)时，则首项可以为用,。2，。3,…，％003，可构成共100-3左个不同的等差数列;

当公差为33d时，则首项为生,可构成共1个等差数列.

故在｛4｝的前100项中随机抽取4项按原来的顺序，共可构成97+94+91+…+1=33(：+D=33x49

个等差数列；

又在{4}的前100项中随机抽取4项，这4项按原来的顺序共可构成C：oo个数列;

33x4933x4911

则由古典概型概率公式可得，C%：=1^99x98x97=25x97

4x3x2xl

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

15.（13分）某闯关游戏共设置4道题，参加比赛的选手从第1题开始答题，一旦答错则停止答题，否则继

续，直到答完所有题目.设选手甲答对第1题的概率为；，甲答对题序为，的题目的概率P,=—,

3i

/e{1,2,3,4},各题回答正确与否相互之间没有影响.

⑴若甲己经答对了前3题，求甲答对第4题的概率;

（2）求甲停止答题时答对题目数量X的分布列与数学期望.

1230

【答案】⑴1⑵分布列见解析；期望为三

6243

222

【详解】（1）解：因为选手甲答对第1题的概率为；，所以左即。,=不，

333z

所以若甲已经答对了前3题，则甲答对第4题的概率为1.（6分）

6

2121

（2）解：由题意得A=—»A=7,

3396

随机变量X可取0/23,4,

1224…21714

则尸(X=0)=§,尸(X=l)=§x一=一,P(X=2)=—x-x—=—,

3933981

…212510…八21212

P(X=3)=—x—x—x—=-----,P(X=4)=-x-x—x—=----.

33962433396243

所以随机变量X分布列如下：

X01234

414102

P

3981243243

1414,102230,八、

所以£(X)=0x—+lx—+2x—+3x——+44x——=-----.(13分)

3981243243243

16.(15分)已知函数/(%)=/—加x+21nx(加£R).

（1）若/（幻在其定义域内单调递增，求实数加的取值范围;

(2)若4<机<5,且/(x)有两个极值点X,,x2,其中占</，求/(西)—/(%)的取值范围.

【答案】(1)机44

(2)106-41n2j

【解析】

【小问1详解】

/(x)的定义域为(0,+8),(1分)

,//(X)在(0,+8)上单调递增，

22

/'(x)=2x-机+—20在(0,+8)上恒成立，即机V2x+—在(0,+8)上恒成立，(4分)

XX

又2x+2222x2=4,当且仅当x=l时等号成立，(6分)

X\X

：.m<4；(7分)

【小问2详解】

由题意/'(x)=2x—加+*=上一丝七(8分)

XX

,//(X)有两个极值点xt,x2,

西,%为方程2/一机X+2=0的两个不相等的实数根，

m

由韦达定理得+X2=万，再，％2=1，(10分)

・.・0<X]<%2，，0<石<1</，

又机=2（西+x2）=2（西+—）e（4,5）,解得[<西<1,

占2

mx

/（阳）一/（%2）=-\+2In石）一（x；-mx2+2In%）

二（“；—x；）+2（in%]—In%2）—2（再+/）（阳—々）=—）+

12

二=一%+41In%，（12分）

不

11

^g（x）=--x7+41nx（—<x<1）,

x2

-24_-2(x4-2x2+1)_-2(--I)2

则g'(x)=<0,

.•.g(x)在G，l)上单调递减，(14分)

又8出=4_；+4111；=?_41n2,g(l)=1-1+0=0,

/.0<g(x)<片—4In2,

即/(%)—/(%2)的取值范围为1°，?—41n2；(15分)

17.（15分）如图1,在平行四边形48CD中，AB=2BC=4,ZABC=60°,E为C。的中点.将△ZQE

沿/£折起，连接AD与CD,如图2.

（2）设而=/而（0</41）,当BE工。E时，是否存在实数2,使得直线/尸与平面48CE所成角的

正弦值为立0?若存在，求出义的值；若不存在，请说明理由.

10

（3）当三棱锥8-CQE的体积最大时，求三棱锥。-4BE的内切球的半径.

【答案】（1）4（2）存在，4=2（3）您二叵

310

【解析】

【小问1详解】

连接由题意得，AD=DE=2,ZADE=60°,

则△4DE为等边三角形，AE=AD=2,

在&BCE中，EC=2,BC=2,ZBCE=180°—60°=120°,

由余弦定理得BE?=BC2+EC2-2BC-ECcosZBCE=4+4-2x2x2x(-^\=12,

所以BE=2也,由BE=25AE=2,AB=4,

则AE-+BE?=AB2，故BE上4E.

若平面ADE±平面ABCE,

由平面4DEn平面48CE=Z£,5Eu平面48CE,BELAE,

则平面4DE,D£u平面4DE,则BE工DE,

所以AD=4BE1+DE1=J(2百『+22=4.

下面证明当50=4时，平面4DE_L平面45CE.

证明：由BE=25DE=2,BD=4,则BE?+QE?=，

所以BEJ.DE,又BE_LAE,4EcDE=E,AE,DEu平面ADE,

所以平面4DE,

又5£u平面48CE,所以平面/DEL平面48CE,

故当8。=4时，平面4DE_1_平面48CE；(5分)

【小问2详解】

由(1)知，BEIDE,则平面4DE_L平面45CE.

在平面4DE内过E作EGLZE,

由平面ADE口平面ABCE=AE,EGu平面ABCE,

则EG,平面48CE,8Eu平面4DE,则EGJLRE.

如图，以点E为坐标原点，以E4£8,EG所在直线分别为x,%z轴，过£垂直于平面48CE的直线为2

轴，建立如图所示的空间直角坐标系E-肛z,

贝由0,0,0),/2,0,0),8(0,26,0),。(-1,a0),。(1,0,研

故罚=卜2,2退,0),丽=(1,—2g,V3),

由丽=A5D(0<2<1),

AF=AS+5F=Z8+/IAD=(-2,2A/3,0)+A(1,-2AV3)=(-2+2,273(1-2),732),

因为z轴垂直平面ABCE,故可取平面ABCE的一个法向量为m=(0,0,1),

设直线AF与平面ABCE所成角为0,

所以sin”cos(m,AF^

^(-2+2)2+[273(1-2)]2+(V32)210

2

化简得3下—144+8=0,解得几=§或2=4（舍去）,

故当8£工。£时，存在4=2,使直线/斤与平面48CE所成角的正弦值为立0；（10分）

310

【小问3详解】

设点D到平面ABCE的距离为h,

由VB-CDE~VD-BCE=，其中SBCE为定值，

则要使三棱锥。-5CE的体积最大时，则点。到平面5CE的距离取最大,

取/£中点〃，连接Q8,则

当。X，平面5CE时，点。到平面BCE的距离最大，

此时，由。Xu平面4DE,则平面/DEL平面48CE,

由（1）知，BEIDE,△8£D为直角三角形，BD=4.

则S=工8£.。£=工义2百x2=2百，

S=—AE•BE=

△AI6RtFL—x2x2A/3=2A/3,

S4nF=-AE-DH=-x2x—x2=y/3^

加222

在△4&D中，AB=4,AD=2,BD=4,取4D中点M,

则3/LAD,且W=142—俨=县,

所以S=-AD-BM=-x2xy/15=y/15,

设内切球球心为/,内切球半径为「，由等体积法知,

r

—D-ABE=匕一ABD+匕一ABE+匕一ADE+匕一BDE二JAABDABE+ADE+，ABDE

其中，VD_ABE=151X2V3XV3=2,

故「=3j=2x3=5--布

SAABD+S“BE+S“DE+SABDE2^3+^3+2^3+A/T510

故当三棱锥8-CDE的体积最大时，三棱锥。-4BE的内切球的半径为§百一巫.(15分)

10

18.(17分)已知双曲线C:二―二=1伍〉0小〉0)的实轴长为2,离心率为2,右焦点为E,P为C上

ab

的一个动点，

(1)若点尸在双曲线C右支上，在1轴的负半轴上是否存在定点使得NM/=2N/W?若存在,

求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

3

(2)过尸作圆0:/+「=5的两条切线人/2,若切线人42分别与C相交于另外的两点E、G,证明:

E、0、G三点共线.

【解析】【小问1详解】

2a=21「21

fa=1a~=1一

根据题思，有c=Y'=<2nb~=3,

-=2c=2c2=4

.a

2

所以双曲线的方程为一一二=1.

3

设尸(%,%)，/&°)，且［<0,

①当直线尸尸的斜率存在时，即飞w2时,

因为APFM=2APMF，所以%«=tanN产儿4=」^

x0-t

2tanZPMF

k=tan(Tr-ZP77/1/)=-tan(2-ZPMF)%

PFtan2ZPMF-1%—2

(\

2%

X)

从而7，化简整理得，2XQ—(4+2t)x+At=IXQ+1tx

%-200

%-1

1毛一，J

-(4+2/)=27,、

'=所以在x轴负半轴上存在点拉(一1,0)使得Nm/=2/WF；

4%——yt+3)

②当直线尸尸的斜率不存在时，即天=2时,

NPFM=9«,若ZPFM=2ZPMF，则/产儿值=45°，此时尸点的坐标为(2,3),

所以归司=3,^\\FM\=\PF\=3,又|。月=2,所以|。叫=1,此时/=—1,

其坐标为(-1,0).

3

一上=129x=±

X20

设P(xo,yo)，由题意得，双曲线和圆相交,所以联立两曲线方程，得＜3n

3百

x2+/=-y=±

,28272

即为两曲线四个交点的坐标,

2，丫^^时，即％=±，

|■时，直线PG的斜率不存在,

①当尸(%,%)=产直线PE的斜率为0,

此时易得E—，G,此时点£、G关于点。对称，故K、。、G三点共线.

IV2V2J

②当且或、＜—W'且时，

此时直线PE、PG的斜率存在且不为零，分别设为左内2,

设经过P(xo,yo)的直线方程为＞=左(》-%))+外,由于直线与圆相切,

所以的223

|^(Ax0-j0)=|(A：+1),即2

k-2x0y0k+yl--=0

由韦达定理得&•k2=,又需=①+1,所以々•&=F—

3国+i

由直线尸£与圆的位置关系可知，卜了;+%L

村+1

a

同理直线PG的方程为了=k2（x—Xo）+%,有（左2叫）一九）一=3（左2?+1），

一一1

联立《3,消去V并整理得，

尸左（%-/）+%

（女:一3卜2-（2%0左;一2左比卜+左；%：—2左吊%+/+3=0,

即（左：一3卜2—2左］（左1/_%）%+（左］/+3=0,

即（后—3卜2—2kl小|（k+1,+1化2+1）+3=0,

令E（XQJ,根据韦达定理得，（后+D+3］（片+3）,所以皇K+3）

“7。-k；-3/（后—3）

泅+3）i2,［d2）2+3lf/l+3、I

设G（X2/2），又k［/=3,所以p=丁,=丁;~C―1=-----X=—一

X。住2—3）/31cY9x（

%「3"干3J

22

所以％+》2=0，又X：=女+1,*=申+1,

22

两式相减得，X；—x；=3—点=0=>j；2=y；,

由图可知，%力%,所以％=-%，即,+%=0.

所以点£、G关于点O对称，止匕时E、O、G三点共线,

综上得，E、。、G三点共线.

19.（17分）设数列｛%｝的前〃项和为S“，对一切“eN,1,点都在函数/（x）=x+合图象上.

（1）求q,a2,%，归纳数列｛”“｝的通项公式（不必证明）：

（2）将数列｛%｝依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（%）、（%,%）、（%，%，6）、（%，。8，4，%0）、（％1）、

（%2，%3）、（％4，%5，46）、（%7，%8，%9，。2（＞）、（％）、…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来

括号的前后顺序构成新的数列为｛"｝,求々+品。的值；

⑶设4为数列]—