2025年高考数学一轮复习讲义：二项分布、超几何分布、正态分布

第六节二项分布、超几何分布、正态分布

课标解读考向预测

1.了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简

预计2025年高考可能将二

单的实际问题.

项分布或超几何分布与数

2.了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题.

字特征综合起来呈现，也可

3.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量，通过具体实

能将正态分布与数据的统

例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征.

计分析综合起来呈现.

4.了解正态分布的均值、方差及其含义.

必备知识——强基础

知识梳理

1.伯努利试验与二项分布

⑴伯努利试验

国只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验;将一个伯努利试验独立地重复进行n次所

组成的随机试验称为阿w重伯努利试验.

(2)二项分布

一般地，在"重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(O<p<l),用X表示事

件A发生的次数，则X的分布列为P(X=Z)=画列#(1—>)"",k=0,1,2,…，n.

如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作画X〜3(%

©・

(3)二项分布的均值、方差

若X〜B(n,p),则6(%)=国型，£>(X)=[06]w(l-p).

2.超几何分布

一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取〃件(不放回)，

用X表示抽取的〃件产品中的次品数，则X的分布列为尸(乂=。=画)不将,k=m,机+1,

m+2,...»r,其中，n,N,Af€N*,MWN,n&N,m=max{0,n—N-\-M},r=min{n,M].

如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.其均值E(X)

=得，D(X)=

3.正态分布

(1)正态曲线

(工一〃)2

1

函数人%)=一2应，x€R,其中〃WR,00为参数，我们称函数式龙)为正态密度函数,

称它的图象为画正态密度曲线,简称正态曲线.

(2)正态曲线的特点

①曲线位于x轴画上方，与x轴不相交;

②曲线是单峰的，它关于直线由对称;

③曲线在回正区处达到峰值忐;

④曲线与x轴围成的面积为叵］L

⑤在参数。取固定值时，正态曲线的位置由〃确定，且随着回团的变化而沿无轴平移，如图

1所示;

⑥当〃取定值时，正态曲线的形状由。确定，较小时,峰值高，正态曲线“瘦高”，表示

随机变量X的分布比较集中；。向较大时,峰值低，正态曲线“矮胖”，表示随机变量x的分

布比较分散，如图2所示.

(3)正态分布的定义及表示

(工1,1

12。2

若随机变量X的概率分布密度函数为兀0=,x€R,则称随机变量X服从正态分

布，记为［1目X〜M"，/).特别地，当〃=0,0=1时，称随机变量X服从标准正态分布.

(4)3。原则

①Pa-ZXW〃+力=0.6827；

②尸。/-2oWXji+2加0.9545；

③Pa—3ZXW〃+3。户0.9973.

(5)正态分布的均值与方差

若X〜NQi,〃)，则改㈤二回良，。(田=回后.

常用结

1.二项分布当"=1时就是两点分布.

2.“二项分布”与“超几何分布”的区别：有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应

超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理.

3.若X服从正态分布，即X〜N〃，(?),要充分利用正态曲线关于直线尤=〃对称和曲线与x

轴之间的面积为1解题.

诊断自测

1.概念辨析(正确的打“Y”，错误的打“x”)

(1)九重伯努利试验中各次试验的结果相互独立.()

(2)正态分布是对连续型随机变量而言的.()

(3)X表示，次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数，则X服从二项分布.()

(4)从装有3个红球、3个白球的盒中有放回地任取一个球，连取3次，则取到红球的个数X

服从超几何分布.()

(5)正态分布中的参数汹和。完全确定了正态分布密度函数，参数“是正态分布的均值，c是

正态分布的标准差.()

答案⑴Y(2)4(3)d(4)x(5)4

2.小题热身

(1)(人教B选择性必修第二册4.2.4练习AT4改编)设50个产品中有10个次品，任取产品

20个，取到的次品可能有X个，则E(X)=()

A.4B.3

C.2D.1

答案A

解析由题意知，X服从超几何分布，则E(X)=U，=4.

(2)(人教B选择性必修第二册4.2.5练习BT2改编)随机变量X〜N(8,/)，若尸(7WXW9)=

0.4,则尸(X>9)=()

A.0.6B.0.5

C.0.4D.0.3

答案D

解析,随机变量X〜N(8,a2),P(7WXW9)=0.4,；.P(X>8)=0.5,尸(8<XW9)=0.2,；.P(X>9)

=0.3.

(3)设某实验成功率是失败率的3倍，3次实验成功的次数为随机变量乙则尸仁=2)=()

271

A-64B-3

-9r2

c-64D-3

答案A

解析由于成功率是失败率的3倍，所以成功率是点失败率是/所以产仁=2)=C权

藉故选A.

(4)已知随机变量X服从二项分布8(12,0.25),且E(aX—3)=3,则。(aX—3)=.

答案9

9

解析因为X〜8(12,0.25),所以E(X)=12xO.25=3,D(X)=12x0.25x(1—0.25)=不又E(〃X

9

-3)=aE(X)~3=3f即3〃一3=3,解得〃=2,所以。(〃X—3)=D(2X—3)=22D(X)=4X]=9.

考点探究——提素养

考点一二项分布及其应用

例1(2023•武汉联考)在一次国际大型体育运动会上，某运动员报名参加了其中3个项目的

比赛.已知该运动员在这3个项目中，每个项目能打破世界纪录的概率都是3

(1)求该运动员至少能打破2项世界纪录的概率；

(2)若该运动员能打破世界纪录的项目数为X,求X的分布列及均值.

解(1)依题意知，该运动员在每个项目上“能打破世界纪录”为独立事件，并且每个事件发生

的概率相同.

设其打破世界纪录的项目数为随机变量4，设“该运动员至少能打破2项世界纪录”为事件4

Alt1(N20

则P(A)=PC=2)+Pe=3)=C'(Sxg+C?x(jJ=—

(2)由(1)可知X〜53

尸(X=l)=C』x|x|22

9f

P(X=2)=C?x|

8

双2

P(X=3)=C27f

所以X的分布列为

28

927

1248

均值E(X)=0x—+lx-+2Xg+3><2^=2.

【通性通法】

二项分布概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式P(X=

期=c)*(l—p)"f的三个条件：

⑴在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p；

(2)"次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的;

⑶该公式表示n次试验中事件A恰好发生了上次的概率.

【巩固迁移】

1.为贯彻“不忘立德树人初心，牢记为党育人、为国育才使命”的要求，某省推出的高考新方

案是“3+1+2”模式，“3”是语文、外语、数学三科必考，“1”是在物理与历史两科中选择一科,

“2”是在化学、生物、政治、地理四科中选择两科作为高考科目.某学校为做好选课走班教学,

给出三种可供选择的组合进行模拟选课，其中A组合：物理、化学、生物，8组合：历史、

政治、地理，C组合：物理、化学、地理，根据选课数据得到，选择A组合的概率为选

择8组合的概率为/选择C组合的概率为点甲、乙、丙三位同学每人选课是相互独立的.

(1)求这三位同学恰好选择互不相同的组合的概率；

(2)记〃表示这三人中选择含地理的组合的人数，求〃的分布列及均值.

解用A表示第i位同学选择A组合，用5表示第i位同学选择B组合，用G表示第z,位同

学选择C组合，i=l,2,3.

311

由题意可知,A,,Bi，G互相独立，且尸(4)=,，尸(氏)=型尸(G)=1.

(1)三位同学恰好选择互不相同的组合共有A?=6种情况，每种情况的概率相同，故三位同学

恰好选择互不相同的组合的概率

31]12

尸=6P(4B2c3)=6P(AI)P(&)P(C3)=6x-x^x-=—.

⑵由题意知，〃的所有可能取值为0,1,2,3,且〃〜2(3,1),

所以P(〃=O)=C啕x◎3*,

尸(〃=l)=C』x|x@=卷，

2336

©x^F，

P(〃=3)=C啕x®：备

所以〃的分布列为

0123

2754368

p

125125125125

»、八27-54Ic36-86

£(〃)=0义后+lx-^+2x—+3x—=-

考点二超几何分布及其应用

例2(2023•天津模拟)某大学生志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中，3

名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10

名同学中随机选取3名同学到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).

(1)求选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率；

(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列及期望.

解(1)从这10名同学中随机选取3名同学到希望小学进行支教，样本点总数w=C%

设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A,事件A包含的样本点个数m=ca+

Clrt+C？C749

则选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率为P(A)=苫：=$•

⑵随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,

CyC21CiCg1

尸(x=°)=47,P(X=1)=高=，，

尸（X—2）—Go—10,P（X—3）—Go-30,

所以X的分布列为

X0123

1131

P

62To30

E（X）=0义/+］义；+2x^j+3x4=,.

【通性通法】

1.随机变量是否服从超几何分布的判断

若随机变量X服从超几何分布，则满足如下条件：（1）该试验是不放回地抽取〃次；（2）随机变

量X表示抽取到的次品件数（或类似事件），反之亦然.

2.求超几何分布的分布列的步骤

步骤一验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N,M,〃的值

步骤二根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率

步骤三列出分布列

【巩固迁移】

2.第三十一届世界大学生夏季运动会于2023年8月8日晚在四川省成都市胜利闭幕.来自

113个国家和地区的6500名运动员在此届运动会上展现了青春力量，绽放青春光彩，以饱满

的热情和优异的状态谱写了青春、团结、友谊的新篇章.外国运动员在返家时纷纷购买纪念

品，尤其对中国的唐装颇感兴趣.现随机对200名外国运动员（其中男性120名，女性80名）

就是否有兴趣购买唐装进行了解，统计结果如下:

有兴趣无兴趣合计

男性运动员8040120

女性运动员404080

合计12080200

（1）是否有99%的把握认为“外国运动员对唐装是否感兴趣与性别有关”;

（2）按比例分配的分层随机抽样的方法抽取6名对唐装有兴趣的运动员，再从中任意抽取3名

运动员作进一步采访，记3名运动员中男性有X名，求X的分布列与数学期望.

央老八个____________72Qld—bC2________________

多夫八八：X―（〃+8）（c+­（〃+c）（8+d）.

临界值表:

a0.1500.1000.0500.0250.0100.001

Xa2.0722.7063.8415.0246.63510.828

2

.」L200x(80x40-40x40)50

解(1)由已知72=120x80x120x80=寸5.556<6.635,

故没有99%的把握认为“外国运动员对唐装是否感兴趣与性别有关”.

⑵按比例分配的分层随机抽样的方法抽取6名对唐装有兴趣的运动员，则其中男性运动员有

4名，女性运动员有2名，则X=l,2,3,

1C©3

尸尸

(X=l)=5f(X=2)=

Ci1

尸5=3)=d=亍

X的分布列为

X123

131

P

555

131

£(X)=lx-+2x-+3x-=2.

考点三正态分布及其应用（多考向探究）

考向1正态曲线及正态分布的概率计算

例3（1）（多选）（2024•哈尔滨模拟）某市有甲、乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺

寸分别记为X,Y,己知X,丫均服从正态分布，X〜Ng,次），Y〜N5,海），其正态曲线如

图所示，则下列结论中正确的是（）

A.甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值

B.甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值

C.甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性

D.甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性

答案AC

解析X,丫均服从正态分布，X〜N（〃i，or）,Y〜Ng，oi）,结合正态曲线可知，〃i=〃2，6＜。2,

故甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值，故A正确，B错误；甲

工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性，故C正确，D错误.

⑵(2022・新高考n卷)已知随机变量X服从正态分布N(2,O2),且P(2<XW2.5)=0.36,则P(X

>2.5)=.

答案或春)

解析因为X〜NQ,/),所以P(X<2)=P(X>2)=0.5,因此P(X>2.5)=P(X>2)—P(2〈

XW2.5)=0.5-0.36=0.14.

【通性通法】

利用正态曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线对称，

及曲线与x轴之间的面积为1.注意活用下面两个结论：

(1)P(X<a)=1—P(XNa)；

(2)P(X<〃-c)=P(X>〃+a).

【巩固迁移】

3.(2024・惠州调研)若随机变量X满足正态分布N〃，o2),则有尸(/,—aWXW/z+c户0.6827,

尸仪一2°WXW〃+2o■户0.9545.现有20000人参加数学测试，成绩大致服从正态分布N(100,102),

则可估计本次数学测试成绩在120分以上的学生人数为()

A.1587B.228

C.455D.3174

答案C

解析由题意可知〃=100,。=10,记本次数学测试成绩为随机变量X,由于尸〃一

+2<7>0.9545,所以P(80WXW120户0.9545,因此本次数学测试成绩在120分以上的学生约

有20000X——-——=455人.

4.(多选)(2023・石家庄模拟)若随机变量X〜N(l,/),且正态分布N(l,4)的正态密度曲线如

图所示，则下列选项中，可以表示图中阴影部分面积的是()

A.3-RXWO)

B.g-P(X22)

C.聂(XW2)-gp(XW0)

D.J-P(1WXW2)

答案ABC

解析根据正态分布的性质可知，正态密度曲线关于直线尤=1对称，所以题图中阴影部分的

面积为/一P(XWO),A正确；根据对称性，尸(XW0)=尸(X22),所以题图中阴影部分的面积

可表示为P(OWXW1)=T—P(XWO)=T一尸(x22),B正确；阴影部分的面积也可以表示为

p(x<2)—P(XV0)

——二------一，c正确；阴影部分的面积也可以表示为尸(0WXW1),而P(OWXWl)

=P(1WXW2),D不正确.

考向2正态分布的实际应用

例4(2023•山东潍坊模拟)2023年3月某学校举办了春季科技体育节，其中安排的女排赛事

共有12个班级作为参赛队伍，本次比赛启用了新的排球用球MIKASA_V200W.已知这种球

的质量指标式单位：g)服从正态分布X〜Na,M),其中〃=270,。=5.比赛赛制采取单循环

方式，即每支球队进行11场比赛，最后靠积分选出最后冠军，积分规则如下(比赛采取5局

3胜制)：比赛中以3：0或3：1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3:2取胜

的球队积2分，负队积1分.9轮过后，积分榜上的前2名分别为1班排球队和2班排球队，1

班排球队积26分，2班排球队积22分.第10轮1班排球队对抗3班排球队，设每局比赛1

班排球队取胜的概率为p(O<p<l).

(1)令〃=匚;，则〃〜N(0，1).且孰a)=P(〃<a),求。(一2),并证明再一2)+孰2)=1；

⑵第10轮比赛中，记1班排球队3：1取胜的概率为fip),求出加)的最大值点p0,并以po

作为0的值，解决下列问题.

①在第10轮比赛中，1班排球队所得积分为X,求X的分布列；

②已知第10轮2班排球队积3分，判断1班排球队能否提前一轮夺得冠军(第10轮过后，无

论最后一轮即第11轮结果如何，1班排球队积分最多)？若能，求出相应的概率；若不能，

请说明理由.

参考数据：X〜(r),贝ijo-)~0.6827,20WXWM+2办0.9545,PQi

-3oWXW〃+3o■户0.9973.

解(l)O(—2)=P(〃<—2)=PC<260),

又P(M-2(TWXW〃+2加0.9545,

所以⑦(一2)=P(C260户0.5—•2=0.5-0.47725=0.02275.

因为⑦(-2)=P(〃<—2),根据正态曲线对称性，。(一2)=尸(〃<一2)=尸(〃>2),

又因为O(2)=P(〃<2)=1—P(〃22),

所以纵—2)+。(2)=1.

(2履)=C>3(1—p)=刎(1—p),

f(p)=3[3p2(1—p)+p3x(—1)]=3P2(3-4p).

3

令f(p)=o,得P=]

当p€(0,胃时，f(p)>0,加)在(o，1上为增函数;

当pe©'1)时,/3)<。，1Ap)在©,1)上为减函数.

33

所以加)的最大值点po=4，从而p=[

①X的所有可能取值为3,2,1,0.

P(X=3)=p3+C02(l-p)〃=黑，

Q1

P(X=2)=C为2(1_p)2p=近,

27

P(X=1)=C>2(1—p)3=无，

13

P(X=0)=(1_p)3+C如(1—p)3=场

所以X的分布列为

X3210

189812713

P

256512512256

②若X=3,则1班10轮后的总积分为29分，2班即便第10轮和第11轮都积3分，则11

轮过后的总积分是28分，29>28,所以1班如果第10轮积3分，则可提前一轮夺得冠军，

189

其概率为尸(X=3)=痂.

【通性通法】

正态分布出现在解答题中，通常与二项分布、超几何分布相结合.解决正态分布问题有三个

关键点：(1)对称轴为直线x=〃；(2)标准差0；(3)分布区间.利用对称性可求指定范围内的概

率值；由〃，6分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3。特殊区间，从而求出所求

概率.

【巩固迁移】

5.在某大学举行的自主招生考试中，随机抽取了100名考生的成绩（单位：分），并把所得数

据列成了如下所示的频数分布表：

组别[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

频数5182826176

（1）求抽取样本的平均数1（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；

（2）已知这次考试共有2000名考生参加，如果近似地认为这次成绩Z服从正态分布（其

中〃近似为样本平均数/近似为样本方差S2=161），且规定82.7分是复试线，那么在这

2000名考生中，能进入复试的约有多少人？附：V161~12.7,若Z〜N（〃，『），则

+（7）=0.6827,PQi~+2。户0.9545.

解（1）由所得数据列成的频数分布表，得

尤=45x0.05+55x0.18+65x0.28+75x0.26+85x0.17+95x0.06=70.

⑵由⑴知Z〜M70,161）,

所以P（70—12.7WZW70+12.7户0.6827,

…1-0.6827

所以P（拄82.7）«------2------=0.15865,

所以在这2000名考生中，能进入复试的约有2000x0.15865=317人.

课时作业

基础巩固练

一、单项选择题

1.若随机变量X〜8（5,则P（X=3）=（

)

1

A.B

3-翡

10

D

27-5

答案B

解析随机变量X〜8（5,£）,则尸（X=3）=C$xg）xg=翡

2.（2024•贵州模拟）若随机变量X〜N（10,22）,则下列结论错误的是（）

A.尸（X三10）=0.5

B.尸(XW8)+尸(XW12)=1

C.尸(8WXW12)=2P(8WXW10)

D.O(2X+1)=8

答案D

解析根据随机变量X〜N(10,22),可知正态密度曲线的对称轴为X=10,方差为4,所以

P(X210)=0.5,故A正确；P(XW8)+P(XW12)=P(X212)+P(XW12)=1,故B正确；

产(8WXW12)=2P(8WXW10),故C正确；Z)(2X+1)=4Q(X)=16,故D错误.故选D.

3.某市期末教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩近似服从正态分布，则由如图曲线可得

下列说法中正确的是()

A.甲学科总体的均值最小

B.乙学科总体的方差及均值都居中

C.丙学科总体的方差最大

D.甲、乙、丙的总体的均值不相同

答案C

解析由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等，由正态密度曲线的性质可知c越大，

正态曲线越扁平，c越小，正态曲线越尖陡，故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、

丙，则三科总体的方差从小到大依次为甲、乙、丙.故选C.

4.已知5件产品中有2件次品，3件正品，检验员从中随机抽取2件进行检测，记取到的正

品数为3则均值E(。为()

49

A-5B-10

C.1D.|

答案D

C?1c?Cl3C?

解析。的所有可能取值为0,1,2,则尸(<=0)=E|=正尸C=l)h1/=m，P(4=2)=《|=

W'则E©=oxm+1><5+2X正=亍

5.在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球、4个白球，现从中任取4个小球，设取的4个

小球中白球的个数为X,则下列结论正确的是()

A.P(X=1)=|

B.随机变量X服从二项分布

C.随机变量X服从超几何分布

D.£(X)=|

答案C

解析由题意知随机变量X服从超几何分布，故B错误，C正确；X的可能取值为0,1,2,

3,4,则尸逐=0)=鲁==，P(X=1)=鲁=。，尸(X=2)=警号，尸这=3)=鲁=奈,

Q41183418

P(X=4)=^r=2io，所以£(田=0乂诵+1乂丸+2x,+3x行+4x丸=亍故A,D错误.

6.据统计，在某次联考中，考生数学单科分数X服从正态分布N(90,202),考生共50000

人，估计数学单科分数在130〜150分的学生人数约为(附：若随机变量。服从正态分布股,

/)，则P(/z-+a)~0.6827,P(jn—+2(r)~0.9545,P(/z-+

3加0.9973)()

A.1070B.2140

C.4280D.6795

答案A

解析由题设P(130<XW150)=+2o<XW〃+3Q=—+3c)—一

2cW1fW〃+2Q]=1x(0.9973-0.9545)=0.0214,所以数学单科分数在130〜150分的学生人数

约为0.0214x50000=1070.故选A.

7.甲、乙两羽毛球运动员之间要进行三场比赛，且这三场比赛可看作三次伯努利试验，若甲

至少取胜一次的概率为震，则甲恰好取胜一次的概率为()

A』Ba

c.40-4

一9-27

C-64D-64

答案C

解析设甲取胜为事件4每次甲胜的概率为p,由题意得，事件A发生的次数X〜8(3,p),

则有1—（1—p）3=普，得p=*则事件A恰好发生一次的概率为C«x（l一步=卷

8.某综艺节目中，有一个盲拧魔方游戏，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住

眼睛快速还原魔方.为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机

抽取了100名盲拧魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示：

用时/秒[5,10](10,15](15,20](20,25]

男性人数1721139

女性人数810166

以这100名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的频率，代替全市所有盲拧魔方爱好者用时不超

过10秒的概率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立.若该兴趣小组在全市范

围内再随机抽取20名盲拧魔方爱好者进行测试，其中用时不超过10秒的人数最有可能（即概

率最大）是（）

A.3B.4

C.5D.6

答案C

解析根据题意得，1名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率2为5益1设随机抽取的20

名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数为。，则。〜《20,其中•©）

，k=O,1,2,20,4=0时，P(<f=0)=C%|j).(J)=图；显然尸(。=1)=@0。图

19(3、20

=P(<f=0)，即尸(。=0）不可能为=心最大值，当上21时，由

\P代=k)2尸&=4+1),/0

(P4=k)》尸(E=左一1),行

卜然)\由装旷

3(4+1)》20T,1721

化简得，解得宁4W亍,又kez,.•#=5,.•.这20名盲拧魔方爱好者

21TN3Z,

中用时不超过10秒的人数最有可能是5.故选C.

二、多项选择题

9.（2023•辽宁沈阳三模）下列命题中正确的是（）

A.已知一组数据6,6,7,8,10,12,则这组数据的50%分位数是7.5

B.已知随机变量X〜N(2,f?),且P(X>3)=0.3,贝ijP(l<X<2)=0.2

C.已知随机变量0，则E(y)=|

A

D.已知经验回归方程y=—2x+3,则y与x具有负线性相关关系

答案ABD

7+8

解析对于A,6x5O%=3,第3个和第4个数的平均数为三一=7.5,故A正确；对于B,

P(l<X<2)=P(2<X<3)=0.5-P(X>3)=0.5-0.3=0.2,故B正确；对于C,F〜800,；),则

E(n=»P=10x1=5,故C错误；对于D,—2<0,可得y与x具有负线性相关关系，可知D

正确.故选ABD.

10.(2023•辽宁大连二十四中校考三模)若随机变量X〜2。0,下列说法中正确的是()

A.尸(X=3)=CMx自Xe

20

B.£(X)=y

C.E(3X+2)=22

D.£)(3X+2)=20

答案BCD

解析对于A,因为I),所以尸(X=3)=C：oX停Jx(l—l),故A错误；对于B,

22020

£(X)=10x^=y,故B正确；对于C,E(3X+2)=3E(X)+2=3xy+2=22,故C正确；对

2(2、2020

于D,£)(㈤=10乂热1一寸=豆，D(3X+2)=32D(X)=9xy=20,故D正确.故选BCD.

三、填空题

11.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第17,18,19,20层停靠，若该电梯在底层有5

位乘客，且每位乘客在这四层的每一层下电梯的概率都为匕用1表示5位乘客在第20层下

电梯的人数，则P(0=4)=.

答案1^4

解析每位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，故。〜8(5,

即有Pe=k）=dxQ）x$）,k=0,1,2,3,4,5.故P（＜f=4）=CWx（；）、（=需7

12.设随机变量。服从正态分布N（〃，o2）,向量a=（l,2）与向量》=仁，-1）的夹角为锐角

的概率是则〃=.

答案2

解析当向量。=（1,2）与向量）=咯-1）的夹角为锐角时，a•加＞0且°,力不共线，则。＜1

+2x（-l）＞0,且1x（—1）—2分0,解得伞＞2,又向量。=（1,2）与向量8=（。一1）的夹角为锐

角的概率是看所以尸（今2）=；,又随机变量。服从正态分布N（/z,/），〃=2.

13.一个口袋中装有7个球，其中有5个红球，2个白球，抽到红球得2分，抽到白球得3

分.现从中任意取出3个球，则取出3个球的得分丫的均值E（r）为.

宏口案—7

解析V的可能取值为6,7,8,且尸（丫=6）=，^*=亲=5,尸（丫=7）=^^2=4='P（Y=

8）=置CiC?=表5=，1所以得分/的均值E⑺=6乂2彳+7*今4+8*1"=羊48.

14.日常生活中，许多现象都服从正态分布.若X~N（/i,o2）,记Pi=P（jU—＜rWXW〃+（7）,

P2=P（/z—2cWXW〃+2Q,尸3=尸〃一3CWXW4+3Q.小明同学一般情况下都是骑自行车上

学，路上花费的时间（单位：分钟）服从正态分布NQ8,4）.已知小明骑车上学迟到的概率为

尸0=11色.某天小明的自行车坏了，他打算步行上学，若步行上学路上花费的时间（单位：分

钟）服从正态分布M35,9）,要使步行上学迟到的概率不大于尸o,则小明应该至少比平时出

门的时间早分钟.

答案20

解析由小明骑车上学迟到的概率Po=与色知，小明骑车花费的时间超过〃+3c=18+3x2

=24分钟才会迟到.若小明步行上学，要使迟到的概率不大于Po,则步行花费时间应小于

35+3义3=44分钟，故小明应该至少比平时出门的时间早44—24=20分钟.

四、解答题

15.（2023•顺德一模）某市市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量不超过w立方米的部分按

4元/立方米收费，超出卬立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了100位市民，

获得了他们某月的用水量数据，整理得到频率分布直方图如图所示，并且前四组频数成等差

数列.

频率佟且距

h.........•[—

0.2-r—

0.511.522.533.544.5月用水量/立方米

(1)求a,b,c的值及居民月用水量在2〜2.5内的频数；

(2)根据此次调查，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应将w定为多少？(精确到

小数点后2位)

(3)若将频率视为概率，现从该市随机调查3名居民的月用水量，将月用水量不超过2.5立方

米的人数记为X,求其分布列及均值.

解(1)：前四组频数成等差数列，

•••所对应的频耨率也成等差数列，

设a=0.2+d,6=0.2+2d,c=0.2+3d,

.,.0.5x[0.2+(0.2+(/)x2+0.2+2rf+0.2+3<7+0.1x3]=l,

解得d=0.1,

/.a=0.3,b~0A,c=0.5.

居民月用水量在2〜2.5内的频率为0.5x0,5=0.25.

居民月用水量在2〜2.5内的频数为0.25x100=25.

(2)由题图及(1)可知，居民月用水量小于2.5的频率为0.7V0.8,

为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，

087

应规定W=2.5+~03°,~2.83.

⑶将频率视为概率，设A(单位：立方米)代表居民月用水量，

可知尸(AW2.5)=0.7,

由题意，X〜8(3,0.7),

尸(X=0)=C?X0.33=0.027,

尸(X=1)=C3X0.32X0.7=0.189,

P(X=2)=C?X0.3X0.72=0.441,

P(X=3)=0x0.73=0.343,

；.X的分布列为

X0123

p0.0270.1890.4410.343

：X〜8(3,0.7),：,E(X)=np=2A.

16.为了切实维护居民合法权益，提高居民识骗防骗能力，守好居民的“钱袋子”，某社区开

展“全民反诈在行动一反诈骗知识竞赛”活动，现从参加该活动的居民中随机抽取了100名，

他们的竞赛成绩分布如下表所示：

成绩/分[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

人数242240284

(1)求抽取的100名居民竞赛成绩的平均分］和方差s"同一组中的数据用该组区间的中间值

代表)；

(2)以频率估计概率，发现该社区参赛居民的竞赛成绩X近似地服从正态分布N〃，rT2),其中

〃近似为样本成绩平均分1，，近似为样本成绩方差s2,若〃一参赛居民可获

得“参赛纪念证书”；若X>〃+2c,参赛居民可获得“反诈先锋证书”.

①若该社区有3000名居民参加本次竞赛活动，试估计获得“参赛纪念证书”的居民人数(结果

保留整数)；

②试判断竞赛成绩为96分的居民能否获得“反诈先锋证书”.

附：若X〜o2),则尸(//—trWXW〃+。户0.6827,尸2cWXW〃+2o■户0.9545,—

+3亦0.9973.

解(1)100名居民本次竞赛成绩的平均分

—242240284

尤=45'砺+55乂而+65x而+75x而+85x而+95*同=75,

2A224028

方差s2=(45—75)2x而+(55—75)2x—+(65—75)2x—+(75—75齐加+(85—75)2x—+

,4

(95-75)2x—=100.

⑵①由于〃近似为样本成绩平均分1,『近似为样本成绩方差52,

所以〃=75,/=100,0-=^/100=10.

由于竞赛成绩X近似地服从正态分布N3,冷,

所以参赛居民可获得“参赛纪念证书''的概率为P(/z-(7^x^+2(7)=+CT)

P("-ZoWXjt+2。),xO.6827+1x0.9545=0.8186,

3000x0.8186=2455.8x2456,

估计获得“参赛纪念证书”的居民人数为2456.

②当X>〃+2c,即X>95时，参赛居民可获得“反诈先锋证书”,

所以竞赛成绩为96分的居民能获得“反诈先锋证书”.

B级素养提升练

17.(多选深计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数4=0”2的。4。5(例如10100)，

其中A的各位数硒t=2,3,4,5)中，出现。的概率为本出现1的概率为京记乂=奥+的

+a4+a5,则当程序运行一次时，下列说法正确的是()

A.X服从二项分布

4

B.P(X=1)=乳

Q

C.X的均值E(X)=§

Q

D.X的方差£>(X)=Q

答案AC

解析由二进制数A的特点知，每一个数位上的数字只能为0,1,且每个数位上的数字互不

影响，X的分布列为P(X=©=Cg[J)•&),k=0,1,2,3,4,故X〜8(4,|),故A正确；

2,1、3o28918

P(X=l)=C1x-x[jJ=—,故B错误；E(X)=4x§=],故C正确；£>(X)=4x^x-=-,故D错

误.

18.(多选)一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个球，其中有6个黑球，4个白球，现从

中任取4个球，记随机变量X为取出白球的个数，随机变量丫为取出黑球的个数，若取出一

个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量Z为取出4个球的总得分，则下列结论中正