2025年中考数学总复习28 微专题 圆的基本性质 学案（含答案）

微专题28圆的基本性质

考点精讲

构建知识体系

考点梳理

1.圆的基本概念及性质

在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成

圆

的图形叫做圆

弦连接圆上任意两点的线段叫做弦

直径经过①的弦叫做直径

弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧；小于半圆的弧叫做劣弧

圆周角在圆中，顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角

圆心角顶点在②并且两边都与圆相交的角叫做圆心角

弦心距圆心到弦的垂直距离

2.与圆有关的性质

(1)对称性：圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，任何一条直径所在的直线都

是它的对称轴，③是它的对称中心

(2)旋转不变性：圆绕圆心旋转任意角度都与自身重合

3.垂径定理及其推论

(1)定理：垂直于弦的直径④弦，并且⑤弦所对的两条弧(2022年版

课标将探索并证明垂径定理调整为考查内容)

(2)推论：平分弦(不是直径)的直径⑥于弦，并且⑦弦所对的两条

弧

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4.弦、弧、圆心角之间的关系

(1)定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧⑧，所对的弦⑨

(2)推论：①在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角⑩，

所对的弦⑪

②在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角⑫，所对的

优弧与劣弧分别⑬

5.圆周角定理及其推论(6年6考)

定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的⑭

(1)同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角⑮；

推论

(2)直径(或半圆)所对的圆周角是⑯，90°的圆周角所对的弦是⑰

常见

图形

及结图①图②图③

论

∠APB＝∠AOB

1

如图①，已知AP是☉O的直径，点B2是圆上一点(不与A，P重合)，连接

应用

AB，则有∠ABP＝90°

6.三角形的外接圆

图示

外心三角形外接圆圆心或三角形⑱的交点叫做外心

性质三角形的外心到三角形的⑲的距离相等

角度关系∠BOC＝⑳∠A

7.圆的内接四边形

概念四个顶点均在同一个圆上的四边形叫做圆的内接四边形

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性质

(1)圆内接四边形的对角㉑，如图，∠A＋∠BCD＝180°，∠B＋

∠D＝180°；

(2)圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角，如图，∠DCE＝㉒

练考点

1.下列结论正确的是()

A.长度相等的两条弧是等弧

B.半圆是弧

C.相等的圆心角所对的弧相等

D.弧是半圆

2.如图，已知AB是☉O的直径，CD是☉O的弦，AB⊥CD，垂足为E，连接O

C.

(1)若AB＝10，CD＝8，则cos∠OCE＝；

(2)若CD＝4，AE＝6，则☉O的半径为；

(3)若☉O的半径为7，P是CD上一点，且PC＝4，PD＝6，则OP＝.

第2题图

3.如图，在☉O中，AB和CD是两条弦，OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F.

对于下列命题：

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第3题图

①如果OE＝OF，那么∠AOB＝∠COD；

②如果＝，那么OE＝OF；

③如果�O�E＝�O�F，那么AB＝CD；

④如果OE＝OF，那么OB＝CD，

其中真命题是.

4.如图，若AB是☉O的直径，点C在☉O上(不与A，B重合)，则∠ACB的度

数为.

第4题图

5.如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形，∠BOD＝100°，则∠BAD

＝，∠BCD＝.

第5题图

高频考点

考点1圆基本性质的相关证明及计算(6年6考)

例1(2022广东22题改编)如图，四边形ABCD内接于☉O，AC为☉O的直径，

∠ADB＝∠CDB.

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例1题图①

(1)核心设问试判断△ABC的形状，并给出证明；[2022广东22(1)题考查]

(2)核心设问若AB＝，AD＝1，求CD的长度；[2022广东22(2)题考查]

2

(3)核心设问如图②，连接DO并延长，交于点G，若∠ADB＝2∠BDG，求

证：AB∥DG；[2018广东24(1)题考查]��

例1题图②

(4)如图③，BD交AC于点H，且AH＝OH，求sin∠ACD的值.

例1题图③

考点2圆内接四边形

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例2(2024珠海香洲区二模)如图，已知四边形ABCD，过点A，B，C的圆交AD

于点E，连接CE，∠B＝70°，∠D＝80°，则∠DCE的度数为()

A.10°B.30°C.50°D.60°

例2题图

变式1(2024吉林省卷)如图，四边形ABCD内接于☉O，过点B作BE∥AD，

交CD于点E.若∠BEC＝50°，则∠ABC的度数是()

变式1题图

A.50°B.100°C.130°D.150°

真题及变式

命题点与圆周角定理及其推论有关的计算(6年6考)

1.(2023广东9题3分)如图，AB是☉O的直径，∠BAC＝50°，则∠D＝()

A.20°B.40°C.50°D.80°

第1题图

1.1变思维方式——融入中点

如图，点A，B，C，D均在☉O上，连接AB，AD，CD，CA，∠BAD＝90°，

∠ADC＝59°，若点A是的中点，则∠BAC的度数为()

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��

变式1.1题图

A.31°B.28°

C.14°D.4°

2.(2021广东7题3分)如图，AB是☉O的直径，C为圆上一点，AC＝3，∠ABC

的平分线交AC于点D，CD＝1，则☉O的直径为()

第2题图

A.B.2C.1D.2

33

2.1变条件——与内接四边形结合

如图，四边形ABCD内接于☉O，∠B＝60°，CD＝4，AD＝2，则AC的长为

()

变式2.1题图

A.5B.3

C.2D.5＋2

拓展训7练7

3.(2024长沙)如图，在☉O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE＝4，

则☉O的半径长为()

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A.4B.4C.5D.5

22

第3题图

新考法

4.[真实问题情境](2024凉山州)数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺

圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，

作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交于点C，测出AB＝40cm，CD＝10

cm，则圆形工件的半径为()��

第4题图

A.50cmB.35cmC.25cmD.20cm

5.[数学文化](2024珠海香洲区二模)《九章算术》是我国古代数学著作，书中记

载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几

何？”用数学语言可表述为：“如图，CD为☉O的直径，弦AB⊥DC于E，ED

＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长.”则CD＝寸.

第5题图

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考点精讲

①圆心②圆心③圆心④平分⑤平分⑥垂直

⑦平分⑧相等⑨相等⑩相等⑪相等⑫相等

⑬相等⑭一半⑮相等⑯90°⑰直径⑱三条垂直平分线⑲三个顶点

⑳2㉑互补㉒∠BAD

练考点

1.B

2.(1)；(2)；(3)5

410

3.①②5③3

4.90°

5.50°，130°

高频考点

例1(1)解：△ABC为等腰直角三角形.

证明：∵AC为☉O的直径，

∴∠ABC＝∠ADC＝90°，

∵∠ADB＝∠CDB，

∴∠ADB＝45°.

∵＝，

∴∠��ACB�＝�∠ADB＝45°，

∴△ABC为等腰直角三角形；

(2)解：由(1)知△ABC为等腰直角三角形，

∵AB＝，

∴AC＝2AB＝×＝2，

又∵在Rt2△ACD2中，A2D＝1，

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∴CD＝－＝－＝；

2222

(3)证明：�∵�∠AD𝐶B＝∠C2DB＝12∠B3DG，

∴∠BDG＝∠CDG，

∴＝，

由题��意知��DG为☉O的直径，

∴DG⊥BC，

∵∠ABC＝90°，

∴AB⊥BC，

∴AB∥DG；

(4)解：如解图，连接OB，过点H作HK⊥AB，交AB于点K，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠CAB＝∠ACB＝45°，AB＝CB，OB⊥AC，

设AB＝CB＝x，

2

在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝()＋()＝2x，

22

∴OA＝OB＝x，2�2�

∵AH＝OH，

∴AH＝OH＝OA＝x，

11

∴HK＝AH·sin245°＝2x，

2

4

在Rt△OBH中，由勾股定理得BH＝()＋＝x，

1225

∵∠ACD＝∠ABD，2��2

∴sin∠ACD＝sin∠ABD＝＝2＝.

𝐻4�10

5

��10

2�

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例1题解图

例2B【解析】∵四边形ABCE是圆内接四边形，∴∠CED＝∠B＝70°，

∵∠D＝80°，∴∠DCE＝180°－∠CED－∠D＝30°.

变式1C【解析】∵BE∥AD，∠BEC＝50°，∴∠D＝∠BEC＝50°，∵四

边形ABCD内接于☉O，∴∠ABC＋∠D＝180°，∴∠ABC＝180°－50°＝

130°.

真题及变式

1.B【解析】∵AB是☉O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝50°，∴∠B

＝180°－50°－90°＝40°，∵＝，∴∠D＝∠B＝40°.

变式1.1C【解析】如解图，连��接B�D�，∵点A是的中点，∴＝，

∴AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABD.∵∠BAD＝90°，∴∠�A�DB＝∠ABD�＝�(1�80�°－

1

∠BAD)＝45°.∵∠ADC＝59°，∴∠BDC＝∠ADC－∠ADB＝14°，∵2＝，

∴∠BAC＝∠BDC＝14°.����

变式1.1题解图

2.B【解析】如解图，过点D作DE⊥AB于点E，∵AB是☉O的直径，∴∠C

＝90°，∵BD平分∠ABC，∴DE＝CD＝1，∴AD＝AC－CD＝3－1＝2，在Rt

△ADE中，∵DE＝AD，∴∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BD平分∠ABC，

1

∴∠ABD＝∠CBD＝2∠CAB＝30°，∴AD＝BD，∴点O与点E重合，∴OA＝

－＝，∴AB＝2OA＝2.

22

𝐶𝐶33

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第2题解图

变式2.1C【解析】如解图，过点A作AE⊥CD，交CD延长线于点E，∵四

边形ABCD内接于☉O，∠B＝60°，∴∠ADC＋∠B＝180°，∴∠ADC＝180°

－∠B＝120°，∴∠ADE＝60°，∵AE⊥DE，∴DE＝AD·cos60°＝1，AE＝AD·sin

60°＝，∴CE＝DE＋CD＝1＋4＝5，在Rt△AEC中，AC＝＋＝

22

3����

()＋