2024高考数学二轮复习分层特训卷主观题专练立体几何5文

PAGEPAGE1立体几何(5)1．[2024·广东潮州期末]如图，在四棱锥E－ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，CD＝2AB＝2CE＝4，DE＝2eq\r(5)，点F为棱DE的中点．(1)证明：AF∥平面BCE；(2)若BC＝4，∠BCE＝120°，求三棱锥B－CEF的体积．解析：(1)取CE中点M，连接MF，MB.因为F为DE中点，所以MF∥CD，且MF＝eq\f(1,2)CD.因为AB∥CD，且AB＝eq\f(1,2)CD，所以AB∥MF且AB＝MF，所以四边形ABMF是平行四边形，所以AF∥BM.又BM⊂平面BCE，AF⊄平面BCE，所以AF∥平面BCE.(2)因为AB∥CD，∠ABC＝90°，所以CD⊥BC.因为CD＝4，CE＝2，DE＝2eq\r(5)，所以CD2＋CE2＝DE2，所以CD⊥CE.因为BC∩CE＝C，BC⊂平面BCE，CE⊂平面BCE，所以CD⊥平面BCE，则易知点F到平面BCE的距离为2.S△BCE＝eq\f(1,2)BC·CEsin∠BCE＝eq\f(1,2)×4×2sin120°＝2eq\r(3)，所以三棱锥B－CEF的体积VB－CEF＝VF－BCE＝eq\f(1,3)S△BCE×2＝eq\f(1,3)×2eq\r(3)×2＝eq\f(4\r(3),3).2．[2024·清华自招]如图，EA⊥平面ABC，AE∥CD，AB＝AC＝CD＝2AE＝4，BC＝2eq\r(3)，M为BD的中点．(1)求证：平面AEM⊥平面BCD；(2)求三棱锥E－ABM的体积．解析：(1)如图所示，取BC的中点N，连接MN，AN，则MN＝eq\f(1,2)DC＝AE，MN∥CD∥AE，所以四边形AEMN为平行四边形．因为EA⊥平面ABC，AN⊂平面ABC，所以EA⊥AN，所以四边形AEMN是矩形，所以EM⊥MN.由题意可得ED＝EB＝2eq\r(5)，因为M为BD的中点，所以EM⊥BD.又EM⊥MN，BD∩MN＝M，所以EM⊥平面BCD.因为EM⊂平面AEM，所以平面AEM⊥平面BCD.(2)由题可知，V三棱锥E－ABM＝V三棱锥M－ABE，因为MN∥AE，AE⊂平面ABE，MN⊄平面ABE，所以MN∥平面ABE，连接NE，则V三棱锥M－ABE＝V三棱锥N－ABE＝V三棱锥E－ABN＝eq\f(1,3)×S△ABN×AE.易得BN＝eq\r(3)，AN＝eq\r(13)，所以S△ABN＝eq\f(1,2)×BN×AN＝eq\f(\r(39),2)，所以V三棱锥E－ABM＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(39),2)×2＝eq\f(\r(39),3).3．[2024·河南洛阳第一次统考]如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，△PAD是等边三角形，已知AD＝2，BD＝2eq\r(3)，AB＝2CD＝4.(1)设M是PC上一点，求证：平面MBD⊥平面PAD.(2)求四棱锥P－ABCD的体积．解析：(1)在△ABD中，AD＝2，BD＝2eq\r(3)，AB＝4，所以AD2＋BD2＝AB2，所以AD⊥BD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BD⊥平面PAD.又BD⊂平面MBD，所以平面MBD⊥平面PAD.(2)如图所示，设AD的中点为O，则AO＝1，连接PO，易知PO是四棱锥P－ABCD的高，PO＝eq\r(22－12)＝eq\r(3).又易得S梯形ABCD＝3eq\r(3)，所以四棱锥P－ABCD的体积V＝eq\f(1,3)×3eq\r(3)×eq\r(3)＝3.4．[2024·四川雅安中学10月月考]如图，四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是平行四边形，∠ABC＝45°，AD＝AP＝2，AB＝DP＝2eq\r(2)，E为CD的中点，点F在线段PB上．(1)求证：AD⊥PC.(2)当满意V三棱锥B－EFC＝eq\f(1,6)V四棱锥P－ABCD时，求eq\f(PF,PB)的值．解析：(1)连接AC.在△ABC中，AB＝2eq\r(2)，BC＝2，∠ABC＝45°，由余弦定理可得AC2＝8＋4－2×2eq\r(2)×2×cos45°＝4，所以AC＝2.易知∠ACB＝90°，即BC⊥AC，又AD∥BC，所以AD⊥AC.在△ADP中，AD＝AP＝2，DP＝2eq\r(2)，易知PA⊥AD.又AP∩AC＝A，所以AD⊥平面PAC.因为PC⊂平面PAC，所以AD⊥PC.(2)因为E为CD的中点，所以S△BEC＝eq\f(1,4)S平行四边形ABCD，因为平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，PA⊥AD，所以PA⊥底面ABCD，设F究竟面ABCD的距离为h.因为V三棱锥F－BEC＝V三棱锥B－EFC＝eq\f(1,6)V四棱锥P－ABCD，所以eq\f(1,3)×S△BEC×h＝eq\f(1,6)×eq\f(1,3)×S平行四边形ABCD×PA，所以h＝eq\f(4,3)，则易得eq\f(PF,PB)＝eq\f(1,3).5．[2024·重庆10月月考]如图1，在等腰梯形ABCD中，M为AB边的中点，AD∥BC，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，现在沿AC将△ABC折起使点B落到点P处，得到如图2的三棱锥P－ACD.(1)在棱AD上是否存在一点N，使得PD平行于平面MNC？请证明你的结论；(2)当平面PAC⊥平面ACD时，求点A到平面PCD的距离．解析：(1)当N为AD的中点时，满意题意，证明如下：由M，N分别为AP，AD的中点，可得MN为△APD的中位线，所以MN∥PD，又MN⊂平面MNC，PD⊄平面MNC，所以PD平行于平面MNC.(2)在等腰梯形ABCD中，由AD∥BC，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，易得∠D＝eq\f(π,3)，AC＝eq\r(3)，AC⊥CD.因为AC⊥CD，平面PAC⊥平面ACD，AC为两平面交线，CD⊂平面ACD，所以CD⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，所以CD⊥PC，所以S△PCD＝eq\f(1,2)×PC×CD＝eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2).方法一取AC的中点H，连接PH.由AP＝PC，可知PH⊥AC.又平面PAC⊥平面ACD，AC为平面PAC与平面ACD的交线，所以PH⊥平面ACD.由CH＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(\r(3),2)，PC＝BC＝1，利用勾股定理求得PH＝eq\f(1,2)，所以V三棱锥P－ACD＝eq\f(1,3)S△ACD×PH＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(3)×1×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3),12).设点A到平面PCD的距离为d，由V三棱锥A－PCD＝V三棱锥P－ACD可知，d＝eq\f(3V三棱锥P－ACD,S△PCD)＝eq\f(\r(3),2).所以点A到平面PCD的距离为eq\f(\r(3),2).方法二设点A到平面PCD的距离为d，则由V三棱锥D－PAC＝V三棱锥A－PCD，可得eq\f(1,3)·S△PAC·CD＝eq\f(1,3)·S△PCD·d.在等腰三角形PAC中，S△PAC＝eq\f(1,2)·AB·BC·sineq\f(2π,3)＝eq\f(\r(3),4)，所以d＝eq\f(\r(3),2)，所以点A到平面PCD的距离为eq\f(\r(3),2).6．[2024·安徽合肥六中二模]《九章算术》是我国古代数学专著，它在几何方面的探讨比较深化．例如：堑堵是指底面为直角三角形的直三棱柱；阳马是指底面为矩形，且一条侧棱垂直于底面的四棱锥；鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥．在如图所示的堑堵ABC－A1B1C1中，AC⊥BC(1)求证：四棱锥B－A1ACC1为阳马．并推断三棱锥A1－CBC1是否为鳖臑，若是，请写出各个面中的直角(只写出结论)．(2)若A1A＝AB＝2，当阳马B－A1ACC1①求堑堵ABC－A1B1C1②求点C到平面A1BC1的距离．解析：(1)由堑堵的定义知，A1A⊥底面ABC，所以BC⊥A1又BC⊥AC，A1A∩AC＝A所以BC⊥平面A1ACC1.由堑堵的定义知，四边形A1ACC1为矩形．综上，可知四棱锥B－A1ACC1为阳马．三棱锥A1－CBC1为鳖臑，四个面中的直角分别是∠A1CB，∠A1C1C，∠BCC1，∠A1(2)A1A＝AB＝2，由(1)易知阳马B－A1ACC1的体积V阳马B－A1ACC1＝eq\f(1,3)S矩形A1ACC1×BC＝eq\f(1,3)×A1A×AC×BC＝eq\f(2,3)AC×BC≤eq\f(1,3)(AC2＋BC2)＝eq\f(1,3)×AB2＝eq\f(4,3)，当且仅当AC＝BC＝eq\r(2)时，阳马B－A1ACC1的体积最大，最大值为eq\f(4,3).①堑堵ABC－A1B1C1的体积V′＝S△ABC×AA1＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)×2＝2.②由题意知，V三棱锥C－A1BC1＝V三棱锥B－A1C1C＝eq\f(1,2)V阳马B－A1ACC1＝eq\f(2,