2025年高考数学模拟试卷3【上海卷】及答案

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2025年高考数学模拟试卷03【上海卷】

数学

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，

1.设集合4=口，3],3=（2,4）,则A|jB=—.

2.若复数z满足（3-4，）z=（2+i）（l-2，）|（其中i为虚数单位），贝”的虚部是—.

3.已知（1+入厂的展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，且

2n

（1+Ax）"=a0+axx+a2xH----1-anx,若q+%+...+q=242,则实数2=.

4.曲线>=/也在点（L0）处的切线的倾斜角为一.

5.袋子中有5个大小相同的球，其中红球2个，白球3个，依次从中不放回的取球，则第一次取到白球且

第二次取到红球的概率是—；若在已知第一次取到白球的前提下，第二次取到红球的概率是—.

6.半径为3的金属球在机床上通过切割，加工成一个底面半径为2夜的圆柱，当圆柱的体积最大时，其侧

面积为.

7.设一组样本数据X],%，…%的方差为4,则数据2为+3,2々+3,2%3+3，…，2x“+3的方差为.

8.已知函数在闭区间[-£刈上的最大值为7,最小值为3,贝!|仍=.

9.已知直线/:>=2岳-应p与抛物线C:/=2p尤（0>0）交于A（%,必），Bg,必）两点，点A，3在准

线上的射影分别为点A,耳，若四边形4钻4的面积为270，则。=—.

10.对于任意两个数x,y（x,yeN*）,定义某种运算“◎”如下：

x=2m,meNx=2m—1,m£N*,_

①当*或*时，x©y^x+y.

y=2n,nwNy=2n—\,neN

x=2m,mGN"

②当时,x©y^xy.

y=2n-l,neN

则集合A=｛（x,y）|x©y=i。｝的子集个数是—.

4

11.已知函数f（x）=x+—（2<x<4）,则/（元）的值域为

x-l

12.如图，已知AC=4,3为AC的中点，分别以AB、AC为直径在AC的同侧作半圆，N分别为

两半圆上的动点（不含端点A、B、C）,且加.丽=0，则汨.函■的最大值为.

二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，13/14题每题4分,15/16题5

分。

13.已知向量q,£不共线，实数》,丁满足（彳-了鸠+（x+y）e2'=e]+34，则x+2y=（）

A.4B.-4C.2D.-2

14.已知f(x)是定义域为(-8,+s)的奇函数，且f(l-x)=f(l+x),则〃2020)=()

A.2020B.0C.2D.-2019

ceacosB,,„

15.在AABC中，角A、B、C的对边分别是。、b、c,acosB—bcosA=—,则-----------的最

2acosA+bcosB

大值为（）

B.正C.BD.毡

A.0

223

22

16.已知双曲线5=1（。>0/>0）的左、右焦点分别是耳，耳，经过鸟的直线与双曲线的右支相交于

ab

P,。两点，且I尸耳|：|PQ|：|Q零|=2:2:1,则双曲线的离心率等于（）

A.72B.73C.2D.3

三、解答题（本大题78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤。

17（14分）如图，在三棱柱ABC—ABJG中，平面A5C,AB=BC=2BBt,ZABC=9Q°,D为BC

的中点.

（1）求证48//平面ADC1；

（2）若E为4瓦的中点，求AE与DC1所成的角.

18.(14分)记AABC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,已知A=23.

(1)若b=2,c—1,求。；

(2)右/?+c=y/3a>求.

19.（14分）为了调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系，某中学数学教师对新入学

的180名学生进行了跟踪调查，其中每周自主做数学题的时间不少于12小时的有76人，统计成绩后，得

到如下的2x2列联表：

学生本学期检测数学标学生本学期检测数合计

准分数大于等于120分学标准分数不足

120分

周做题时间不少于12小时6076

周做题时间不足12小时64

合计180

（1）请完成上面的2x2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“高中生的数学成绩

与学生自主学习时间有关”；

（2））（i）若将频率视为概率，从全校本学期检测数学标准分数大于等于120分的学生中随机抽取12人,

求这些人中周自主做数学题时间不少于12小时的人数的期望.

（ii）通过调查问卷发现，从全校本学期检测数学标准分数大于等于120分的学生中随机抽取12人，这12

人周自主做数学题时间的情况分三类，A类：周自主做数学题时间大于等于16小时的有4人：3类：周自

主做数学题时间大于等于12小时小于16小时的有5A：C类:周自主做数学题时间不足12小时的有3人.若

从这随机抽出的12人中再随机抽取3人进一步了解情况，记X为抽取的这3名同学中A类人数和C类人数

差的绝对值，求X的数学期望.

附：参考公式和数据：K…（c+d）m+c）（b+d），…+"c+i

附表：

尸（『名）0.1000.0500.0100.0050.001

k。2.7063.8416.6357.87910.828

丫22万

20.（18分）已知椭圆。:"+与=13>6>0）的左、右焦点分别为4（-1,0）,1（1,0）,椭圆上有一点加（1,注），

ab2

过点F?的直线/与椭圆。交于尸，。两点.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）求APQ片的面积的最大值；

（3）已知直线/与直线无=2交于点N,记MP,MQ,建V的斜率分别为％,k2,%，证明：《+&-2&

为定值.

rn

21.（18分）已知常数根£尺，设/（兀）=加+—.

X

（1）若m=1,求函数，=/（%）的最小值；

（2）是否存在。＜%〈/＜忍，且再、入2、&依次成等比数列，使得了（X）、〃%2）、/（不）依次成等差数

列？请说明理由.

（3）求证：“肛,0”是“对任意再，^2e（0,+«）,匹＜%,都有“再）；’（%）＞/（%）一的充要条件.

数学.参考答案

一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，

2.3,兀

1.[1,4)3.24.—

54

.』：

56.8叵兀7.168.-

10：23

9.410.102411.[5,6)12.1

二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，13/14题每题4分，15/16题5

分。

13141516

ABCC

三、解答题（本大题78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤。

17.（14分）（1）证明：・•・在三棱柱ABC—A4G，平面ABC,

BB]±平面ABC,BB,±AB,BBX±BC,

又NABC=90。，s.ABLBC,故AB,BC,两两垂直,

如图，以3为坐标原点，54所在直线为x轴，BC所在直线为V轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐

标系3-型,

^AB=BC=2BBi=2,则4(2,0,1),3(0,0,0),A(2,0,0),0(0,1,0),弓(0,2,1),

48=(-2,0,-1),AD=(-2,1,0),Aq=(-2,2,1),

m-AD=-2占+%=0

设平面AOG的法向量为碗=（尤1，X，Z］）,则＜

m-AC1=-2无]+2y+Z]=0

取石=1,得加=(1,2,-2).

•*AiB,fh=-2+0+2=0,

\B_Lin,

又A5仁平面AOC1，则AB//平面A。。］.

(2)解:若石为A4的中点,则项，0,1),AE=(-1,0,1),西=(0,1,1),

Ig.西1_1

cos(AE,DC)=

X\AE\-\DC;\72x72~2

由0数运西〉n,可得〈荏，/'〉=g,

JT

故AE与DG所成的角为。.

18.(14分)解：(1)因为A=23,

所以sinA=sin2B=2sin2?cosB,

所以”=26>/+。2J

2ac

化简得a2-b2=be

因为Z?=2,c=1,

所以〃=;

(2)若Z?+c=J3〃，A=2_B,显然JB为锐角，

则sinB+sinC=代sinA，

所以sin8+sin(乃-33)=百sin2B,

所以sin5+sin3B=A/3sin2B，

即sinB+sin(B+2B)=出sin2B,

所以sin5+sinBcos2B+sin2BcosB=石sin2B，

即sinB+sinB(2cos2B-l)+2sin3cos」B=2百sinBcosB，

所以4(以)53)2=2有853,

因为cos5>0,

所以cosB=，

2

所以5=

6

19.(14分)解：(1)由题中的数据可以直接填表,

学生本学期检测数学标学生本学期检测数合计

准分数大于等于120分学标准分数不足

120分

周做题时间不少于12小时601676

周做题时间不足12小时4064104

合计10080180

..^J80X(60X64-16X40)^2915>10828)

76x104x80x100

，能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”；

(2)⑴从全校本学期检测数学标准分数大于等于120分的学生中随机抽取一人，自主做数学题时间不少于

12小时的概率为，，=0.6,

设从120名学生中抽取12人，这些人周做题不少于12小时的人数为随机变量y,

.-.7-5(12,0.6),

£(7)=12x0.6=7.2,

即数学期望为7.2.

5)X可能取值为0,1,2,3,

20.(18分)解：(1)由题意得。=1,a2=b2+c2@9

将点M(1,f)代入椭圆C得：+奈=1②，

联立①②可得2b4-b2-1=0,BP(2b1+1)(/-1)=0,

b2=1f/=2,

椭圆c的标准方程为9+yJ］；

（2）由（1）可得右焦点耳（1,0）,

显然直线/的斜率不为0,设直线/的方程为彳=加丫+1,设2不，%）,Q（X2,%），

由（1）得椭圆C的标准方程为：+丁=1,

x=my+1

联立;%2,整理得(加+2)y2+2冲-1=0,

—+y7=1

[2J

显然△>(),

2m1

m+2m+2

・•・△尸。片的面积

4m24,8济+82>/2

S/郎二半耳入川M一%1=1M一必1=^/（%+为）2-4%%=

(机2+2)2+机2+2一川+2~^771+1

yjm2+1

yjm2+\+-=^=..2看;2,当且仅当g:高'即根=°时等号成立'

m+

2夜272f-

----------；-------„——=72

Vm2+1

:ZQFi的面积的最大值为四;

得直线l的方程为x=my+l,则N（2,工）,

（3）证明：由（2）

m

由(2)P(外,%),。（尤2，%），

2m1

*%=一版百

00〜1以72啦2m

3y2（丁彳）丫三产一三20%+%一也.耳1+也=_播+应=o,

则仁+&-2A3=rr+-垃)=--+72=

五一1x2-12-1myxmy2mm2m%♦y2m2m]

m2+1

故匕+左2-2左3为定值，且值为0.

21.(18分)解：(1)/(x)=Zm-+-(x>0),

X

1x—1

f'M=-

Xx2x2

令1(x)=0,得x=l,

所以在(0,1)上/'(尤)<。，/(尤)单调递减,

在(1,”)上f'(x)>0,/(x)单调递增,

所以/(x)丽=/(1)=1.

(2)若为、/、无3依次成等比数列，则考=玉玉，

若/（%）、若为）、若三）成等差数列,则"（9）=/（再）+/&）,

_.2m.m.m.m（x+x.）根（芭+不）

所以21nx2-------H-----FlnxH----=lnxxH--------------=tlnx2H---------...—,

13Y32

x2苔x3x1x3x2

〜2mm（x,+x.）

所以一=,

x2x2

当机=0时，成立，

当根WO时，则2%2=玉+%3，联立门=石%3，得（%+*3）=七%3,

%；+2玉%3+君=