2025年冬季数研杯高三数学试卷（含答案）

2025年冬季“数研杯”高中数学研讨会模拟考试

高三数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写

在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1.已知集合与="⑶<2，},B={XU2<1},则4nB=

A.(-1,0)B.(0,1)C.(-1,1)D.0

2.若非零复数z满足(l-i)z=|z|2,则|z|=

A.1B.V2C.2D.2V2

3.已知平面向量。=(6,-2),e是单位向量，且e_La,则|a+4e|=

A.2B.3C.4D.5

4.已知随机变量X服从二项分布3(2,；),若随机变量y满足X+Y=l,则E(y)=

A.--B.--C.-D.-

3333

22

5.若双曲线C:「一当=1(a>0,b>0)的渐近线与圆4:0一4)2+丁=4相切，则

a入

C的离心率为

2百4

A.------B.-C.Vr3D.2

3

6.已知函数/(x)=2sin2(x-工),g(x)=tanx-g,则

62

A.f(x)的零点均为gQ)的零点B.g(x)的零点均为/'(X)的零点

C.“X)的极值点均为g(x)的零点D.g(x)的零点均为/>(X)的极值点

高三数学试题第1页(共4页)

7.已知等比数列｛4｝的各项均为正数，且公比%=2,设切=%+%+「则

在牛为，々这3个数中

A.小于4的数至少有2个B.小于4的数至多有2个

C.大于4的数至少有2个D.大于4的数至多有2个

8.若直线/同时是曲线y=4S(。＞1)和曲线〉=6'+。的切线，贝”斜率的最小值为

A.1B.2C.eD.2e

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分。

9.已知圆台的上、下底面半径分别为1和4,母线长为5,则该圆台的

A.高为4B.母线与底面所成角为60°

C.侧面积为25兀D.体积为28兀

10.若函数/(x)及其导函数g(无)的定义域均为R,且/(x),/(e，)均为偶函数，则

A.y=g(e*)一定是奇函数B.y=e*g(e*)一定是奇函数

C.y=/(g(x))一定是偶函数D.y=/(e*g(x))一定是偶函数

11.甲、乙、丙三个人进行比赛，每轮比赛由两人进行对局，另外一人为该轮的轮空

者，随机决定首轮比赛的对局双方，每轮比赛的胜者与该轮的轮空者进行下一轮

比赛的对局，以此类推，率先赢得两轮比赛的人夺冠.单局比赛中，每局比赛的

结果只有胜、负两种情况，已知甲对乙、丙的胜率分别为为P2，乙对丙的胜率

为P3,且Pi，0，P3＞0,每轮比赛的结果相互独立.则

A.若首轮比赛乙与丙对局，则甲夺冠的概率与的值无关

B.若P|=0,首轮比赛甲与乙对局，则甲夺冠的概率与P3的值无关

C.若°3＞。2＞巧=；，首轮比赛甲与乙对局，则乙夺冠的概率大于甲

D.若03＞；，相比于首轮比赛甲与乙对局，甲与丙对局时甲夺冠的概率更大

高三数学试题第2页(共4页)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.设椭圆C:三+工=1的左焦点为歹，4(7,12),点P在C上，贝l]|PA|+|P用的

2521

最小值为，最大值为.

8

13.一组互不相等的样本数据(%，%),(和%)，…，(%然)，其中\>，=32,

Z=1

8

X%=8,若在样本中加入数据(-5,10)后，新样本数据的回归直线方程与原样本

i=l

数据的相同，则这组样本数据的回归直线方程为y=.

14.已知正四棱锥P-A3C。的底面边长为3,正四棱锥内部的球与其所有面均相切，

若球面上仅有一点。满足PQ，AC且AQ，PC,则球的表面积为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)

A

记△ABC的内角AB,C所对的边分别为a,b,c,已知asinB=》cos—.

2

(1)求A；

(2)若△ABC的周长为20,a+b=3c,求△ABC的面积.

16.(15分)

已知函数/(x)=xlnox-ax+l(a>0),其导函数为/'(x),曲线y=/(x)与曲线

y=/'(x)交于AB两点，其中A点的横坐标为1.

(1)求B点的纵坐标；

(2)证明：B点的横坐标大于1；

(3)设证明：|BC|>|AC|.

17.(15分)

如图，在四棱锥P-A3CD中，底面A3C。是

菱形，ZABC=60°,PA1AC,PDLCD.

(1)证明：AD1PC；

(2)若平面PAC_L平面PCD,AO=2,求

点C到平面PAB的距离.

高三数学试题第3页(共4页)

18.（17分）

已知抛物线C:y2=4x的焦点为过点歹的直线/交。于A8两点，与/平行

的直线交C于DE两点，其中区。在无轴上方，M,N分别为ABOE的中点.

(1)证明：直线MN〃x轴；

(2)若AN1BN,求乜型；

\AB\

(3)若AD1BE,求.

\AB\

19.(17分)

数列与%,…，氟(加24)各项均为正整数，%<%:,•<%,，从中任取左个不同

的数，若不同取法对应的k个数之和不同，则称数列%的,…，金是左-覆盖数列.

(1)若%=1,为=5，求所有的(%，%)，使数列%，%，%%是2-覆盖数列;

(2)若4任2=4+1+4(〃W加一2),证明：数列q,a2,…，4是2-覆盖数列;

"7—1

(3)若当5—时，an,%"，%.+1成等差数列，当1时，an,a2n+l,

。2,+2成等差数列，证明：数列&a2,•••,知是左一覆盖数列.

高三数学试题第4页(共4页)

2025年冬季“数研杯”高中数学研讨会模拟考试

高三数学解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1.已知集合人=53*<2>，B={X|X2<1},则切8=

A.(-1,0)B.(0,1)C.(-1,1)D.0

【答案】A

【解析】A=(-oo,0),B=(-l,l),AHB=(-l-0),正确选项为A.

2.若非零复数z满足(l-i)z=|z『，则|z|=

A.1B.V2C.2D.2V2

【答案】B

【解析】

方法1：对等式(l-i)z=|z|2两边同时取模，得|1-i||z|=|z『，因为|z|W0,故

|z|=|l-i|,故|z|=夜，正确选项为B.

方法2：设2=°+历(a,6eR),代入(l—i)z=|z/得(l-i)(a+历)="+户，整

理得a+b-\-(一〃+&)i=a2+b2,即<“++，解得\，即z=1+i,故

-a+b=0b=l

|z|=V2,正确选项为B.

方法3：由|z『=z彳可得(l-i)z=z7,即7=l-i,z=l+i,故|z|=&,正确

选项为B.

3.已知平面向量a=(右,-2),e是单位向量，且0_1_。，则|a+4e|=

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【解析】|a|=3,ae=0,(a+4e)2^a2+8a-e+16e2=32+0+16=25,故

|a+4e|=5,正确选项为D.

高三数学解析第1页(共15页)

4.已知随机变量x服从二项分布若随机变量y满足x+y=i,则E(y)=

A.--B.--C.-D.-

3333

【答案】C

121

【解析】E(X)=2x-=-,E(y)=l-E(X)=-,正确选项为C.

22

5.若双曲线—[=1(。>0,6>0)的渐近线与圆A:(x-4>+y2=4相切，则

ab

C的离心率为

A.—B.1C.V3D.2

33

【答案】A

4Z?

【解析】C的一条渐近线为/:敬+肛=0,A至I」/的距离d=/=2,整理

yja1+b2

得a=6b,离心率6=、1+与=迪，正确选项为A.

a

6.已知函数/(x)=2sin2(x-三),g(x)=tanx-6，贝U

62

A./(x)的零点均为g(x)的零点B.g(x)的零点均为f(x)的零点

C.“X)的极值点均为g(x)的零点D.g(x)的零点均为/(x)的极值点

【答案】B

7T11TT17T

【解析】/(x)=l-cos(2九一］)一/=5-cos(2%-?,解方程「-cos(2%)=0

TTTTITTT.

得2%—耳=一彳+2左］兀或2%—1=§+2匕兀(%eZ),即f(x)的零点为了=4］兀和

兀

X=—+kl7l(k［GZ);

TTTT

/'(x)=2sin(2x-,令/'(幻=0可得2%-1=左2兀(左2^Z),即/(%)的极值点

为％=乌+&兀(攵2EZ)；

62

解方程tanx-G=0可得g(%)的零点为％=1+%兀(攵3£Z)；

比较/(x),g(x),"(x)的零点可知g(x)的零点均为了(%)的零点,正确选项为B.

高三数学解析第2页(共15页)

7.已知等比数列｛2｝的各项均为正数，且公比qwl,%=2,设2=。〃+4+4,则

在4%4这3个数中

A.小于4的数至少有2个B.小于4的数至多有2个

C.大于4的数至少有2个D.大于4的数至多有2个

【答案】C

4

【解析】由题意得，%%=%心=。3。5==4,bx=ax+a5=(\-\--,

。3

44、4I4^

b?=a?+=a2T---，&=/+%=。3—，因为b?—%>2•——4,

所以4一定大于4.

令〃1=16,%=4，贝！为Z?3>4,所以4为4中小于4的数至少有0个，

A选项错误，大于4的数至多有3个，D选项错误.

假设如4<4,则一定有印+&<8.

44ITIT一..

4+/?3=4H--------->2Oj—+2%——=8,与假设矛盾，故％&中至少

01a3\%\%

有1个数大于4.

另取q=2x(l.l)3,3=2.2,则用=2X(L1)3+^<4,瓦用中大于4的数至少

有1个，所以%b2,用中大于4的数至少有2个，C选项正确，为b2,用小于4

的数至多有1个，B选项错误.

高三数学解析第3页(共15页)

8.若直线/同时是曲线y=ae*(a>l)和曲线y=e*+a的切线，贝心斜率的最小值为

A.1B.2C.eD.2e

【答案】C

【解析】

方法1：设直线/与曲线%=d+a和曲线%=aex的切点分别为(%，%)，(%，%)，

y=e%1(%-x)+ex,+a-

y；=e\%'=*,故切线方程分别为<,整理得

y=ae&(x-々)+ae*

y=e*1x+(1-％)e'"+a

即，将上式代入下式可得

X2

y=ae*x+a(l-x2)e(1一%)e$+Q=Q(l_42)e巧

X2X2

(l-lna-x2)ae^-a=a(l-x2)e,整理得匕巧=」一，/的斜率左=ae"=-^.

InaIna

设=(〃〉1)，广⑷当0<“<e时，f\d)<0；当。>e时,

Ina(Ina)

ff(a)>0,故/⑷在(0,e］上单调递减，在［e,+oo)上单调递增，/⑷的最小值

为/(e)=e,故/斜率的最小值为e,正确选项为C.

方法2：%=e"+a,1n°,故曲线％=e*+a可看作由曲线%=e>1n°向右

平移Ina,再向上平移〃得到，y［=e,y；=ex+ln\直线/与曲线％=e'+a和

曲线为=4+加。的切点分别为%)，(如％)，切点处导数值相等，故(西，X)可

看作由(x2，%)向右平移Ina,再向上平移Q得到，故％=%2+1口。，

%=%+lna,I的斜率Z——=-^.

石-x2Ina

设=(a>l),尸(〃)=""］,当0<〃<e时，:(〃)<0；当。〉e时，

Ina(In〃)

f\d)>0,故/(〃)在(0,e］上单调递减，在［e,+oo)上单调递增，/(〃)的最小值

为/(e)=e,故/斜率的最小值为e,正确选项为C.

高三数学解析第4页(共15页)

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.已知圆台的上、下底面半径分别为1和4,母线长为5,则该圆台的

A.高为4B.母线与底面所成角为60°

C.侧面积为25兀D.体积为28兀

【答案】ACD

【解析】

A选项：圆台的高为(4-1)2=4,A选项正确；

B选项：母线与底面所成角的正弦值为3，而B选项错误；

525

C选项：侧面积为(1+4)x5兀=25兀，C选项正确；

D选项：体积为gx4x(F+4?+JFx4?)兀=28兀,D选项正确.

10.若函数/(x)及其导函数g(x)的定义域均为R,且/(x),/(1)均为偶函数，则

A.y=g(e*)一定是奇函数B.y=e'g(e')一定是奇函数

C.y=/(g(x))一定是偶函数D.y=/(e/g(x))一定是偶函数

【答案】BC

【解析】

A、B选项：/(ex)=/(e-x),两边同时对x求导得已?(/)=一11(1工)，故

y=e'g(e')是奇函数，B选项正确，对于函数y=g(e'),g(e-x)=-e2xg(eA),

无法判断其奇偶性，A选项错误；

C选项：/(%)=/(-%),两边同时对了求导得g(x)=-g(-x),g(尤)为奇函数，

/(g(-x))=/(-g(x))=/(g(x)),故y=/(g(x))是偶函数，C选项正确；

D选项：对于函数y=/(e/g(x)),f(e^'g(-x))=f(-e^g(x))=/(e」，g(x)),

无法判断其奇偶性，故D选项错误.

高三数学解析第5页(共15页)

11.甲、乙、丙三个人进行比赛，每轮比赛由两人进行对局，另外一人为该轮的轮空

者，随机决定首轮比赛的对局双方，每轮比赛的胜者与该轮的轮空者进行下一轮

比赛的对局，以此类推，率先赢得两轮比赛的人夺冠.单局比赛中，每局比赛的

结果只有胜、负两种情况，已知甲对乙、丙的胜率分别为凡必，乙对丙的胜率

为P3,且口，P2,P3>0,每轮比赛的结果相互独立.则

A.若首轮比赛乙与丙对局，则甲夺冠的概率与P3的值无关

B.若，首轮比赛甲与乙对局，则甲夺冠的概率与幺的值无关

C.若P3>P2>P1=；，首轮比赛甲与乙对局，则乙夺冠的概率大于甲

D.若一，相比于首轮比赛甲与乙对局，甲与丙对局时甲夺冠的概率更大

【答案】ABC

【解析】由题意得，最多需要4轮比赛可以确定夺冠的人.

A选项：首轮比赛乙与丙对局，由分析可知，为使甲夺冠，甲必须在第2、3轮获

胜，前3轮比赛的胜者依次为“乙、甲、甲”或“丙、甲、甲”，甲夺冠的概率

PA=P3Plp2+（1一P3）P2Pl=PTP2，故PA的值与P3的值无关，A选项正确；

B选项：首轮比赛乙与丙对局，由分析可知，甲夺冠分为以下三种情况：

①甲在第1、2轮获胜，p氏=PW2=P；；

②甲在第1轮获胜，第2轮未获胜，第3轮作为轮空者，第4轮获胜，

PB23Pl=P；（1—P2）P3=P；（1—P1）P3；

③甲在第1轮未获胜，第2轮作为轮空者，第3、4轮获胜，

PB3=（1-Pl）（1-。3）P2Pl=Pl（1-）。2（13）=Pl（1-Pl）（1-。3）；

因此PB=pB］+%,+外,=P；（2-Pi）,故PA的值与Pi的值无关，B选项正确；

C选项：甲夺冠的概率Pq=PB,+PB?+PB3=；。2+；（1_02）。3+；。2（1_。3），

乙对甲、丙的胜率分别为1-R,P3,甲对丙的胜率为P2,则乙夺冠的概率为

Pc?=］。3+］（1-。3）。2。2），Pc2-Pc,=万（。3-。2）>。,故乙夺冠的概

率大于甲的概率，C选项正确；

高三数学解析第6页（共15页）

D选项：由B选项的分析得，若首轮比赛甲与乙对局，甲夺冠的概率

+2

PD.=PBlPB2+PB3=Aft（-A）+AA（A-ft），

若首轮比赛甲与乙对局，甲夺冠的概率PD,=。1。2（2-22）-？2（1-P3）（P1-02），

PD-PD,=-（Pl--ft）+ft（A-A）］'当Pl=。2时，PDRPD'=。，

2

此时，PD,=PD^与。3>g无关，故D选项错误.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

22

12.设椭圆C：土+二=1的左焦点为尸，A（7,12）,点P在。上，贝IJ|PA|+|P用的

2521

最小值为,最大值为.

【答案】15；23

【解析】F（-2,0）,当且仅当磅=巨5时，|巳4|+|「臼=15取得最小值；

设C的右焦点为乙，乙（2,0）,\PA\+\PF\=W+\PA\-\PF2\,当且仅当

取5=1?时，|P4|-|Pg|=13取得最大值，因此|1>A|+|P用的最大值为23.

8

13.一组互不相等的样本数据（为%）,（%2,%），…，（%为），其中2>,=32,

1=1

8

Xy=8,若在样本中加入数据（-5,10）后，新样本数据的回归直线方程与原样本

1=1

数据的相同，则这组样本数据的回归直线方程为夕=.

【答案】-x+5

1818

【解析】加入数据（一5,10）前，样本中心点（元，区）=（3£%々£*）=（4,1）,加入

8i=i8/=1

1818

数据后，样本中心点（N,y'）=（-（Xx;5）,-（XX-+10））=（3-2）,故回归直线过

z

点（4,1）和（3⑵，B=2ri=-1,<5=9-宸=5,故回归直线方程为9=-x+5.

x-x

高三数学解析第7页（共15页）

14.已知正四棱锥尸-A3CD的底面边长为3,正四棱锥内部的球与其所有面均相切,

若球面上仅有一点。满足PQ，AC且AQ，PC,则球的表面积为.

【答案】3兀

【解析】如右图所示，设底面中心

为0,球为正四棱锥的内切球.

过P作与AC垂直的平面，该平面

与球的交线为圆，过A作与尸C垂

直的平面，该平面与球的交线也为

圆，球上两圆的交点即为点。.

由于两圆关于平面PAC对称，且两

圆只有一个交点，故点。也在平面

PAC上，即点。在P。上.M,

N分别为AD,3c的中点，分别

作平面PAC,平面PMN与正四棱锥的截面，如下图所示.

设球的半径为R,球心为0],OQ=2R,△A。。与△P0C相似，则有

A0P09P03

,P0=——，tanZPM0=——=

0Q0C47?0M2R

71

故tanZPM0•tanA0M0=1ZPM0+Z0M0=-,

器=竿{l

因为球01与MN,尸M均相切，故/™/PM0=2/01M0,故

3Z01M0=|,即=球的半径尺=^12!1/0]加0=,，球的表面积

S=4兀R2=3兀.

高三数学解析第8页（共15页）

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)

A

记△ABC的内角AB,C所对的边分别为a,b,c,已知asinB=bcos—.

2

(1)求A；

(2)若△ABC的周长为20,a+b=3c,求△ABC的面积.

【答案】(1)-；(2)104

3

【解析】

(1)由正弦定理，可知

a_b

~■~—,

sinAsinB

AAAAA

故asinB=bsinA=bcos—,即sinA=cos—.因为sinA=2sin—cos—=cos—,

22222

L,A„,,.A1E、rcA兀辽A兀兀

且cos—w0,故sin一二一，因为0<一<一，故一二一，即A二一；

22222263

[a+b+c=20

(2)由题思得｛,故。=5,a=15-b,由余A弦定理得

b1+C1-a2

cosA=

2bc2

1+5—=]_,解得b=8,。=8,△ABC的面积为

10b2

—Z,csinA=loV3.

2

16.(15分)

已知函数/(x)=xlnax-ax+l(a〉0),其导函数为/'(x),曲线y=/(x)与曲线

y=/'(x)交于A8两点，其中A点的横坐标为1.

(1)求8点的纵坐标；

(2)证明：8点的横坐标大于1；

(3)设C(l,l),证明：|8C|>|AC|.

高三数学解析第9页(共15页)

【答案】(1)1；(2)略；(3)略.

【解析】

(1)fXx)=lnax+l-a(x>0),设A(l,/(I)),B(x0,/(%)).

y=x］nax-ax+1

联立>=/(元)和丁=/'。)的方程i，得(x—l)ln〃x=Q(x—1),

y=In+1一。

e"

即lna%=〃，解得/=一,f(x)=l即8点的纵坐标为1.

a0f

(2)设g(a)=J,gf(a)=e.

aa

当〃£(0,l)时，gf(a)<0；当Q£(l,+8)时，g'(a)〉O.

所以g(Q)在(0川单调递减，在［1,+⑹单调递增.

g(〃)2g6=e,故8点的横坐标的最小值为e.

e"

(3)f(1)=In〃一〃+1,即A(l,InQ—Q+1),|AC|二|ln〃一a|,由(1)得—>1,

a

即a-lna>0,IAC\=\\na-a\=a-\na.

eaeae"e"

B(—,1),\BC\=\——1|二——1,|5C|-|AC|=——a^lna-1.

aaaa

、几7/、e"ii7，/1)［1_(6"—。)(〃一1)

设/l(Q)=---Q+ln〃-1,h(Q)=---------------1H——------------.

aaaa

由(2)得，ea-a>l,当QE(0,1)时，hr(a)<0；当QE(L+OO)时，hf(a)>0.

所以/i(4)在(0,1］单调递减，在［l,+oo)单调递增.

h⑷2h(l)=e,故用⑷>0,|8C|>|AC|得证.

高三数学解析第10页（共15页）

17.(15分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面A3CD是

菱形，ZABC=60°,PALAC,PD^CD.

(1)证明：AD±PC；

(2)若平面尸AC_L平面尸CD,AO=2,求

点C到平面PA8的距离.

【答案】(1)略；(2)巫.

3

【解析】

(1)取AD中点O,连接OC,OP,由题意得44。。=60。，故△ABC是等边

三角形，OCLAD,AC=CD,因为NPAC=/PDC,AC=CD,所以△APC与

△DPC全等，PA=PD,所以OPLAO.

因为ADJ.OC,ADVOP,OC,OPu平面尸OC,所以A。，平面POC,又

因为尸C_L平面POC,故AO_LPC.

(2)如图，以。为坐标原点，OC,W,平面ABCD向上的法向量的方向分别

为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系。-孙z.

由题意可知A(0,T，0),0(0,1,0),C(A/3,0,0),5(V3,-2,0),由(1)得

平面POCly轴，设尸(%,0,z°),丽=(Xo，-l,Zo),DC=(V3,-1,0),

AB=(V3,-1,0),BC=(0,2,0),AP=(x0,1,z0).

由P。，CD可得.DPDC^O,即J§x0+l=0，解得/=一当.

设％=(再，％,zj为平面PCD的法向量，平面POC的法向量为历=(0,1,0).

-DP^Q

因此＜一，即

-DC=0百%%=0

由题意可知，二面角A-PC-£＞的大小为90。，因为平面PAC和平面尸CD关于

平面尸OC对称，所以二面角。-PC-D的大小为45。.

高三数学解析第11页(共15页)

\nOD\

所以cos〈〃i，O£＞〉=r

IwJ-IODI

设%=(%，%，Z2)为平面243的法向量.

A/3X2-必=0

n?•AB=0

因此＜一，即A/32A/6，并取〃2=(行,6」).

n2•AP=0一三占+%+亍％=0

点C到平面PAB的距离d=回空!=巫.

\n2\3

18.(17分)

已知抛物线C:y2=4x的焦点为斤，过点尸的直线/交C于A8两点，与/平行

的直线交C于DE两点，其中3,D在无轴上方，M,N分别为ABDE的中点.

(1)证明：直线MN〃x轴；

(2)若ANLBN,求乜竺h

\AB\

(3)若AD_LBE,求.

IAB|

【答案】(1)略；(2)6；(3)3.

【解析】

(1)设直线DE:x=/ny+%,令%=1得到直线AB:x=^y+l,设4(%,%),

S(x2,y2),D(X3,%)，E®，%)♦

联立直线AB和C的方程J"=©,得4的一务=0,由韦达定理得

x=my+t

＜%+"=4"，则N点的纵坐标为丛±&=2机；

4r2

同理可得|-V'+*=4m,则M点的纵坐标为正&=2m.

因为M,N的纵坐标相等，所以直线MN〃x轴；

高三数学解析第12页(共15页)

（2）设直线OE与x轴交于点G,因为MN〃FG,FM//GN,所以四边形

FMNG为平行四边形，则有IfGUIMNUIf-ll.

222

IDE\-\y3-y4|Vm+1=|(%+”)2-4%%\ylm+1="m+1N+1，令,=1

可得|AB|=43rl2+1J/+i=%加2+]).

因为ANL3N,M为A3中点，所以|A3|=2|MN|,即4(w?+1)=2|t,

解得f=2疗+3（负值舍去）.

则|DE|=4Vm2+2m2+3Vm2+1=46(府+1),所以\DE\=Vs.

\AB\

（3）设直线A。与直线BE交于点4,设|DE|=川AB|=4〃加+1）,2>0.

因为△ABG与△OEG相似，所以10Gl=RAG|,|EG|=R3G|,又因为

GN=-(Gl5+GE)=-(AG+BG)=AMG,

22

所以M,G,N三点共线，且|GN|=2|MG|.

因为AGJ.BG,G为A8中点，所以|AB|=2|MG|,同理可得|DE|=2|GN|,

由(2)得|MG|=g|AB|=2(>2+l),\GN\=A\MG\=2A(m2+1),贝i]

\MN\=\MG\+\GN\=2(A+V)(m1+I)=\t-1\,解得/=2(2+1)(病+1)+1.

由(2)得|DE|=4^m2+2(A+l)(m2+1)+1A/W2+1=442"+3(后+1).

比较|。可的表达式可得4422+3=43,解得2=3,所以医生=3.

\AB\

19.（17分）

数列q,%，…，4”（加24）各项均为正整数，“<%<…<金，从中任取上个不

同的数，若不同取法对应的上个数之和不同，则称数列知出，…，%是%-覆盖数列.

（1）若。］=1,%=5,求所有的（%，%），使数列4，%,。3,。4是2-覆盖数列;

（2）若.+2=4+1+4（"W加一2）,证明：数列&a2,•••,金是2-覆盖数列；

vn—1yn

（3）若当厂时，an,a2ll,%用成等差数列，当〃〈耳―1时，an,%向，

%+2成等差数列，证明：V%eN*且％Wa-1,数列与出，…，册是％-覆盖数列.

高三数学解析第13页（共15页）

【答案】(1)(2,3),(3,4)；(2)略；(3)略.

【解析】

(1)由题意得，a2,%e｛2,3,4｝.

从数列%，%，%为中任取两组不同的两个数，则有｛[，%｝，｛%，％｝，

｛4,%｝，｛%，/｝，｛“2，4｝，｛%，为｝，共6种取法，则必有

q+4〈％+<%+。4<。2+〃4<。3+〃4'

“1+%<%+%<%+〃4.

因此，数列％,。2,%，.是2-覆盖数列,只需4+%。〃2+“3，即〃2+〃3。6,

故(%,%)=(2,3)或(3,4).

(2)从数列％,%，…，《”中任取两组不同的两个数，记为｛4-，%｝和｛4，at｝,

不妨设q<%,as<at.

若%=%,由于取法不同，a产cis，故q+a产4+q；

若不妨设为>q,则％,生，…，中至少存在两项小于%，因此

%_2巳4，故%=%T+%_2+4，q+%+4+q〉g+q,故

q+a产as+at.

综上所述，数列&4,…,4是2-覆盖数列.

(3)从数列q,a2,■■■,a“,中任取两组不同的七个数，记为｛4,%,•••,4J和

｛ajt，ah，■■■,ah｝,i1<i2<---<ik,/<_A〈…</*，不妨设两组数中没有相同的数，

>九则ZW'，怖2k.

若工为偶数，当%=2时，k=l,故4。町；

当%24时，a%+42+,,,+%~+A?+,•,+

>(q+%+…+%+%)一(%—氏+4一(1)+…+4―2+%-1)

>(。1+%+•••+%_]+%)_(%+%+1+.一+%-2+4-1).

+

~2~T~2

t己S(i%)=(q+%+•••+〃幺7+%)_(%+隈