2025年高考数学模拟试卷1（九省新高考新结构卷）及答案

2025年高考数学模拟试卷01（新九省卷）

数学

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.已知复数2=芸，贝丘=（）

3+41

A.1+iB.-1-iC.1-iD.-1+i

2.为了了解学生们的身体状况，某学校决定采用分层抽样的方法，从高一、高二、高三三个年级共抽取100

人进行各项指标测试.已知高三年级有500人，高二年级有700人，高一年级有800人，则高三年级抽取

的人数为（）

A.30B.25C.20D.15

3.已知a=,若〃〃人则加二（)

2

A.1B.-1C.-D.--

33

4.若3sin(兀一二)一4cosa=0,贝Ul-cos2c=()

A7R1827c32

D.——

25252525

22

5.双曲线C:£f=l（a>0,b>0）的左、右焦点分别为耳，鸟,闺阊=4,且C的一条渐近线与直线

/:瓜-y+l=0平行，则双曲线C的标准方程为（）

6.我国元代瓷器元青花团菊花纹小盏如图所示，撇口，深弧壁，圈足微微外撇，底心有一小乳突•器身施白

釉，以青花为装饰，釉质润泽，底足露胎，胎质致密.碗内口沿饰有一周回纹，内底心书有一文字，碗外

壁绘有一周缠枝团菊纹，下笔流畅，纹饰洒脱.该元青花团菊花纹小盏口径8.4厘米，底径2.8厘米，高

4厘米，它的形状可近似看作圆台，则其侧面积约为（单位：平方厘米）（）（附：7149®12.2）

A.34KB.27TIC.20兀D.18K

7.已知O为坐标原点，直线/：》=〃7+3与圆C:Y+y2-6x+8=0相交于A,8两点，则方.丽=（）

A.4B.6C.8D.10

8.在同一平面上有相距14公里的A,8两座炮台，A在3的正东方.某次演习时，A向西偏北夕方向发射炮

弹，B则向东偏北d方向发射炮弹，其中6为锐角，观测回报两炮弹皆命中18公里外的同一目标，接着

A改向向西偏北方向发射炮弹，弹着点为18公里外的点则8炮台与弹着点加的距离为（）

A.7公里B.8公里C.9公里D.10公里

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.袋子中有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中随机取出两个球，设事件A="取出的球

的数字之积为奇数”，事件8="取出的球的数字之积为偶数”，事件C="取出的球的数字之和为偶数”，

则（）

A.事件A与B是互斥事件B.事件A与B是对立事件

C.事件8与C是互斥事件D.事件8与C相互独立

10.已知函数/（%）=Atan（0x+o）（o>O,O<°<7i）的部分图象如图所示，贝I］（)

4兀

A.。夕A=一

6

B.的图象过点j—,台

C.函数y=，（尤）|的图象关于直线对称

D.若函数y=|〃x）|+2〃x）在区间，上不单调，则实数4的取值范围是［-1』

11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A耳GA中，M是棱2C的中点，N是棱。R上的动点（含端点）,

则下列说法中正确的是（）

A.三棱锥的体积为定值

B.若N是棱的中点，则过A,M,N的平面截正方体ABCD-所得的截面图形的周长为拽

2

C.若N是棱。2的中点，则四面体2-AMN的外接球的表面积为7兀

D.若CN与平面例。所成的角为，，贝代inOe中淮

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知集合4={*|炉V4},8={x|a—lVxVa+l},若Ac3=0,则”的取值范围是,

22

13.已知椭圆C:j+2=1（。>6>0）的一个焦点的坐标为（1,0）,一条切线的方程为x+y=7,则C的离心

ab

率e=.

b

14.关于％的不等式xe"+法-lnx21（〃>0）恒成立，则一的最小值为.

a

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

15.（本小题满分13分）为促进全民阅读，建设书香校园，某校在寒假面向全体学生发出“读书好、读好书、

好读书”的号召，并开展阅读活动.开学后，学校统计了高一年级共1000名学生的假期日均阅读时间

（单位：分钟），得到了如下所示的频率分布直方图，若前两个小矩形的高度分别为0.0075,0.0125,

后三个小矩形的高度比为3：2：1.

l频率/组距

0.0125

0.0075

5r:04’06左疝右01；0时简/分钟

（1）根据频率分布直方图，估计高一年级1000名学生假期日均阅读时间的平均值（同一组中的数据用该

组区间的中点值为代表）；

（2）开学后，学校从高一日均阅读时间不低于60分钟的学生中，按照分层抽样的方式，抽取6名学生作

为代表分两周进行国旗下演讲，假设第一周演讲的3名学生日均阅读时间处于［80,100）的人数记为鼻

求随机变量J的分布列与数学期望.

16.（本小题满分15分）如图，在三棱柱ABC-A4G中，AA与B用的距离为AB=AC=AiB=2,

AC=BC=20.

（1）证明：平面AXABBX1平面ABC；

（2）若点N在棱AC上，求直线AN与平面A4C所成角的正弦值的最大值.

17.(本小题满分15分)已知函数〃x)=e2，+e=3

⑴当。=3时，求“X)的单调区间；

⑵讨论极值点的个数.

18.(本小题满分17分)设抛物线C:丁=2px(°>0),过焦点厂的直线与抛物线C交于点A(&%),3(9,%).

当直线AB垂直于尤轴时，|A5|=2.

(1)求抛物线C的标准方程.

⑵己知点P(l,0),直线AP,分别与抛物线C交于点C,D.

①求证：直线过定点；

②求APAB与APCD面积之和的最小值.

19.(本小题满分17分)给定整数心3,由"元实数集合S定义其相伴数集7={,-川a、6eS,a4},如果

min(T)=l,则称集合S为一个九元规范数集，并定义S的范数/为其中所有元素绝对值之和.

⑴判断A={-0.1,-l.l,2,2.5}、3={T.5,-0.5,0.5,1.5}哪个是规范数集，并说明理由；

(2)任取一个〃元规范数集S,记加、加分别为其中最小数与最大数，求证：|min(S)|+|max(S)|N"-l；

(3)当S={%的，L，%⑶}遍历所有2023元规范数集时，求范数/的最小值.

注：min(X)、max(X)分别表示数集X中的最小数与最大数.

数学・参考答案

第一部分(选择题共58分)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

91011

ABBCDAD

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

13.(Y,-3)U(3,+«))14.115.-1

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

15.(本小题满分13分)

【解】⑴由题知：各组频率分别为：0.15,0.25,0.3,0.2,0.1,

日均阅读时间的平均数为：

30x0.15+50x0.25+70x0.3+90x0.2+110x0.1=67(分钟)

(2)由题意，在[60,80),[80,100),[100,120]三组分别抽取3,2,1人

4的可能取值为：0,1,2

3

则「修=0)=宣Cc0=《1尸c=i)=C罟2cl=3(

2

P(42)=当c'c」1

c；5

所以4的分布列为:

2

]_3]_

P

555

131

£（^）=0x-+lx-+2x-=l

16.(本小题满分15分)

【解】(1)取棱4A中点D,连接3。，因为AB=AB,所以8。，①

因为三棱柱ABC-\BXCX,所以的〃Bg,

所以8。_1_8耳，所以退

因为AB=2,所以AO=1,M=2；

因为AC=2,AC=2及,所以AC2+A4：=AC2,所以ACIA4,

同理AC_LAB,

因为MnA8=A,且AA，ABu平面AA24,所以AC,平面4AB4，

因为ACu平面ABC,

所以平面AAB瓦，平面ABC；

取A3中点。，连接4。，取2C中点尸，连接OP,则QP〃AC,

由(1)知AC,平面AAB%所以。尸，平面AABBi

因为A0平面AABB-ABu平面AAB耳，

所以OPLAQ,OPJLAB,

因为==则A。

以。为坐标原点，OP,OB,。4所在的直线为无轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系。-孙Z,

则A(Q-1,O),4(0,0,b)，4(0,2,6),C(2,-l,0),

可设点N=（〃,0,6）,（0＜^Z＜2）,

44=（0,2,0）,4c=（2,-1,一石），AN=（a,1,6）,

n-A^B=0=2y

设面44c的法向量为为=（x,y,z）,得＜X

n-AjC-0-2x-y-y/3z

取了=石，则y=。，z=2,所以为=（班,0,2）

设直线期与平面ABC所成角为出

।_\n-AN\百a+2

贝Ism0=cos<AN>=।X/

11\n\-\AN\SJ/+4

若a=0,则sin6=----,

7

4

当且仅当〃=—,即〃=2时，等号成立,

a

所以直线,与平面ABC所成角的正弦值的最大值年.

17.（本小题满分15分）

【解】（1）当。=3时，/（x）=e2'+e'-3x定义域为R,

又尸（x）=2e2x+e*-3,

所以/（x）=（2e*+3）（e*T，

由力2"）＞。，解得尤＞0,此时“X）单调递增；

由广（力＜。，解得x＜0,此时“X）单调递减，

所以“X）的单调递增区间为（0,+。），单调递减区间为（-8,0）.

（2）函数“X）的定义域为R,

由题意知，/''（x）=2e2'+e*-a,

当aVO时，/^x)>0,所以/(x)在R上单调递增,

即/⑺极值点的个数为。个；

当〃>0时，易知l+8a>0,

故解关于，的方程得，「土富，「士野

所以尸(x)=2@F)(e，-2)，

-1+J1+8〃-1+1八-l-Vl+8(2

又/2=--------------->--------=0，A=---------------<0,

444

所以当%时，/^)>0,即“力在(Injw)上单调递增，

当工<1小时，Z(x)<0,即/⑴在(―8,1口幻上单调递减,

即"》)极值点的个数为1个.

综上，当aWO时，〃x)极值点的个数为0个；当。>0时，/(x)极值点的个数为1个.

18.(本小题满分17分)

【解】⑴由题意，当直线AB垂直于无轴时，代入抛物线方程得X=±P,则|Afi|=2p,所以2P=2,

即P=l,所以抛物线C：V=2x.

(2)(i)设。(玉,%)，。(尤4，%)，直线42:尤=%+：,

与抛物线Uy?=2%联立，得丁一2冲一1=0,因此必+%=2m，乂%=-1.

设直线AC:%=〃y+l,与抛物线Uy?=2%联立，%y2-2ny-2=0,

-2-2

因此必+%=2〃，%为=-2,贝!J%=——•同理可得以=一.

M%

k=％一乂%一必22:%必;：1

所以CD支_支为+%3+心％+%2m.

22M%

因此直线CD:x=2根(y-%)+w，由对称性知，定点在x轴上，

=2(i)+22=2+2[&+』=2+2.^^=2,

xMIxyJ/

所以直线8过定点。(2,0).

(ii)因为％AS=]|"卜也一刃=；回一为|,

11_o

-2J__J_y一%

Sa=J|PQ|.|%一%|=w——

%必必

所以年向8+5/8=：|必一%|=：,4加2+4=：，'"2+12：,

当且仅当〃?=。时取到最小值1•.

2

19.(本小题满分17分)

【解】(1)对于集合人因为|2.5-2|=0.5<1,所以集合A不是规范数集;

对于集合8因为8={-1.5,-0.5,0.5,15},

又卜1.5-(-0.5)|=1,|-1.5-0.5|=2,|-1.5-1.5|=3,|-0.5-0.5|=1,|-0.5-1.5|=2,|0.5-1.5|=1,

所以8相伴数集7={1,2,3},即min(T)=l,故集合8是规范数集.

(2)不妨设集合S中的元素为占<苫2,即min(S)=Apmax(S)=x",

因为S为规范数集，则VieN*,14i4"-l,则和且于°eN*,lWioW"-l,使得无加一%=1,

当％N0时，

则|min(S)|+|max(S)|=国+屈=%+xn=(x2-%])+(x3-%2)+L(xn-xn_x)+2xx>n-\+2.r(>??-1,

当且仅当且%=0时，等号成立；

当时，

则min(S)|+|max(S)|=|可+闻=-%-%=(%2-^)+(^-x2)+L+(x„-%„_1)-2xn>>n-l,

当且仅当％+i-％=1且％=0时，等号成立；

当玉<0,%>0时，

则|min(s)|+|max(5)=㈤+闻=F+4=(巧一%)+L+(%-%)之〃一1,

当且仅当无,+「%=1时，等号成立；

综上所述：|min(S)|+|max(S)|2"-l.

(3)法一:

不妨设q2VL<“2023，

因为S为规范数集，则VieN*,lWiW2022,则且于0eN*,l4i042022,使得4+1-%=1,

当q2。时，

贝!|当2V〃<2023时，可得。”=(。"一”"-I)+(4-1-。”-2)+L+(/_%)+q2(〃-1)+q，

当且仅当q+j-q=1,ieN*,14i4〃一1时，等号成立，

则范数/=+|。)|+L+|tz,Q231=+L+<z,g23-+1+q+L+2022+q,

当且仅当aM-at=l,ieN*,l<i42022时，等号成立，

_2022x(1+2022)

又q+l+q+L+2022+%=--------------------^+2023q=1011x2023+2023%>1011x2023,

当且仅当％=0时，等号成立，

故了21011x2023,即范数/的最小值1011x2023；

当。2023W°时，

=-[(a-“2022)+(2022-02021)+1%023——(%023,

则当1W〃<2022时,可得an2023。+L+(见—。〃)]+2。23—")+

当且仅当生+1—q=l,i£N*,〃Wi(2022时，等号成立，贝IJ—4N2023—〃—物汨，

贝I」范数/=|q|+|%|+L+1々20231=—4—〃2—L_%023—2022—6^20232021—^2023+1一々2023+(一"2023)，

当且仅当4+1—4=Li£N*,n<i<2022时,等号成立,

2022x(1+2022)

3^2022—1/2023+2021—^2023+L+1—^2023+(—%023)二—2023%023

2

=1011x2023-2023a2023>1011x2023,

当且仅当〃2023=0时，等号成立，

故了21011x2023,即范数/的最小值1011x2023；

当mm£N*/VniW2022,使得册<04册+1，且〃2。23。0,

2023

当2023—2m20,KPm<------,即机(1011时,

2

则当根+1V〃W2O23时,可得纥=(%-最_1)+&_]-%_2)+1+(«,„+2-am+l)+am+1>n-rn-l+am+1,

当且仅当ai+l-ai=l,ieK,m+l<i<2022时,等号成立,

a

则当1W九W〃曲，可得=(«,„+i-,„-i)+L+(an+i-an)>m-n+\,

当且仅当年+1-4机时，等号成立，

)

则范数/=M+k|+L+|%023|=(一4一％一1-^)+(^m+i+L+々2023

((

=4+1_q)+(4+1_%)+L+4+1_4)_^iam+l+(4+1+4+2+L+%023)

>(m+m-l+L+1)-mam+l+(am+1+1+am+l+L+2022-rn+tzm+1)

+(2023-加)(2022-加)(、

H

=2+(2。23-2m)am+}

2

=m-2022m+1011x2023+(2023-2m)am+l

>m2-2022m+1011x2023;

y=rr^-2022m+1011x2023(m<1011),其开口向上，对称轴为根=1011,

所以JU=10112—2022X1011+1011X2023=1012X10