1.6 直角三角形（2） 直角三角形的性质与判定-八年级数学下册10分钟课前预习练（北师大版）（解析版）

课前预习记录：月日星期10分钟课前预习练（北师大版）1.6直角三角形（2）—直角三角形的性质与判定知识要点:1．在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的________.【答案】一半2．直角三角形斜边的中线等于________________.【答案】斜边的一半3．斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形_________，简称“HL”【答案】全等课堂练习一、选择题1．如图，在等腰中，，，BD平分，交AC于点D，，若cm，则的周长为（）A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm【答案】B【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=AD，利用“HL”证明Rt△ABD和Rt△EBD全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=BE，然后求出△DEC的周长=BC，再根据BC=10cm，即可得出答案．【详解】解：∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC，∠A=90°，

∴，

在Rt△ABD和Rt△EBD中，

∵，，

∴AB=BE，

∴△DEC的周长=DE+CD+CE

=AD+CD+CE，

=AC+CE，

=AB+CE，

=BE+CE，

=BC，

∵BC=10cm，

∴△DEC的周长是10cm．

故选：B．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并求出△DEC的周长=BC是解题的关键．2．如图，在中，，，平分交于点，，垂足为，且，则的周长是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据角平分线的性质可得，再证，可得，最后根据三角形的中周长公式计算即可．【详解】解：平分，，，，在和中，，，，，，的周长．故选：．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、直角三角形全等的判定等知识点，掌握角平分线的性质成为解答本题的关键．3．如图，E是正方形ABCD的边DC上一点，过点A作FA＝AE交CB的延长线于点F，若AB＝4，则四边形AFCE的面积是（）A．4 B．8 C．16 D．无法计算【答案】C【分析】先证明可得从而可得答案.【详解】解：正方形ABCD，AB＝4，故选C【点睛】本题考查的是小学涉及的正方形的性质，直角三角形全等的判定与性质，证明是解本题的关键.4．如图，在中，∠ACB＝90°，AB＝10，CD是AB边上的中线，则CD的长是（）A．20 B．10 C．5 D．2【答案】C【分析】由直角三角形的性质知：斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出CD的长．【详解】解：∵在中，，AB=10，CD是AB边上的中线故选：C．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．5．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，连接EF，EF与AD相交于点G，则下列关系正确的是（）A． B．且C． D．【答案】B【分析】证明△ADE≌△ADF（HL），利用全等三角形的性质以及线段的垂直平分线的判定一一判断即可．【详解】解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，在△ADE和△ADF中，，∴△ADE≌△ADF（HL），∴AE=AF，∴AD是线段EF的垂直平分线，∴AD⊥EF且EG=FG，故选项B正确；∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED=∠AFD=90°，∴∠BAC+∠EDF=360°-∠AED-∠AFD=180°，∵∠BAC不一定等于90°，∴∠EDF也不一定等于90°，故选项C错误；∵∠EDF90°，而∠AFD=90°，∴∠EDF+∠AFD180°，∴DE与AC不一定平行，故选项D错误；∵∠AED=90°，DE与AE不一定相等，∴AG与DG也不一定相等，故选项A错误；故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，四边形内角和定理，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．二、填空题6．已知一直角三角形的两直角边长分别为6和8，则斜边上中线的长度是_____．【答案】5【分析】直角三角形中，斜边长为斜边中线长的2倍，所以求斜边上中线的长求斜边长即可．【详解】解：在直角三角形中，两直角边长分别为6和8，则斜边长＝＝10，∴斜边中线长为×10＝5，故答案为5．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，根据勾股定理求得斜边长是解题的关键．7．如图，中，，，D，E分别为AC，AB边上的点，将沿DE翻折，点A恰好与点B重合，若，则______．【答案】6【分析】由翻折的性质可得：∠ABD=∠A=30°，∠AED=∠BED=90°，从而可证BD平分∠ABC，由角平分线的性质即可得到DE=CD=3，则AD=2DE=6．【详解】解：由翻折的性质可得：∠ABD=∠A=30°，∠AED=∠BED=90°，∵∠C=90°，∠A=30°，∴∠ABC=60°，∴∠CBD=30°，∴∠ABD=∠CBD，∴BD平分∠ABC，又∵∠DEB=∠C=90°，∴DE=CD=3，∴AD=2DE=6，故答案为：6．【点睛】本题主要考查了折叠的性质，角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟知相关知识是解题的关键．8．如图，是的角平分线，，，，则的长为______．【答案】##【分析】过点作于点，先用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，进而根据角平分线的性质可得，证明，设，在中，利用勾股定理求得的值，进而在中，勾股定理即可求得的值．【详解】解：如图，过点作于点，∵，，，∴是直角三角形是的角平分线，在与中设，则在中，即解得在中故答案为：【点睛】本题考查了角平分线的性质与判定，勾股定理与勾股定理的逆定理，证明三角形全等，掌握以上知识是解题的关键．9．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝3cm，则BF＝____________cm．

【答案】6【分析】先利用证明，得出，又，将代入即可求出．【详解】解：在与中，，，，，，，，．故答案为：6．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，解题的关键是利用面积公式得出等式．10．如图，，，，则_________．【答案】50°【分析】只需要证明Rt△ABC≌Rt△ADC得到∠1=∠CAD=40°，则∠2=90°-∠CAD=50°．【详解】解：∵∠B=∠D=90°，∴△ABC和△ADC均为直角三角形，在Rt△ABC和Rt△ADC中，，∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），∴∠1=∠CAD=40°，∴∠2=90°-∠CAD=50°．故答案为：50°．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，直角三角形两锐角互余，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．三、解答题11．如图，在中，是的中点，，，垂足分别是，．（Ⅰ）若，求证：是的角平分线；（Ⅱ）若是的角平分线，求证：．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析【分析】(1)根据HL可证Rt△BED≌Rt△CFD，根据全等三角形的性质可得DE=DF，再根据角平分线的判定即可求解；(2)根据AD为角平分线知ED=FD，再根据AD为BC中线和HL定理得知Rt△BED≌Rt△CFD．【详解】解：（Ⅰ）∵是的中点，∴．∵，，∴．∵，∴≌（HL)．∴．∴点在的平分线上．∴是的角平分线．（Ⅱ）∵是的角平分线，，，∴，．∵是的中点，∴．∴≌（HL)．∴．【点睛】本题主要考查学生对角平分线的判定，全等三角形的判定与性质等知识点的灵活运用，关键是证明Rt△BED≌Rt△CFD．12．如图，于于F，若，（1）求证：平分；（2）已知，求的长．【答案】（1）证明见解析；（2）6【分析】（1）由题所给条件可得，即得ED=DF，则可得，则，故平分．（2）由（1）问所得条件，得AF=AE=8，则AB=8-2=6．【详解】（1）∵于于F，∴（HL）∴ED=DF∵于于F，AD=AD∴（HL）∴故平分．（2）∵BE=CF∴AF=AC-BE=10-2=8∴AE=AF=8∴AB=AE-BE=8-2=6．【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定，所应用的定理为斜边、直角边定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成HL）．13．已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，BD平分∠CBA，DE⊥AB于点E．求证：（1）△DEB≌△DCB；（2）AD+DE=BE．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由角平分线的性质可得CD=ED，即可利用HL证明Rt△DEB≌Rt△DCB；（2）由全等三角形的性质可得BE=BC，即可推出BE=AC，再由AC=AD+DC=AD+DE，即可得到BE=AD+DE．【详解】解：（1）∵∠C=90°，BD

平分∠CBA，DE⊥AB，∴∠DEB=∠C=90°，CD=ED，在Rt△DEB和Rt△DCB中，，∴Rt△DEB≌Rt△DCB（HL）；（2）Rt△DEB≌Rt△DCB，∴BE=BC，∵AC=BC，∴BE=AC，又∵AC=AD+DC=AD+DE，∴BE=AD+DE．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．14．如图，△ABC是等边三角形，延长BC到点E，使CE=BC，若D是AC的中点，连接ED并延长交AB于点F．（1）若AF=3，求AD的长；（2）求证：DE=2DF．

【答案】（1）6；（2）见解析【分析】（1）根据等边三角形的性质得出AC=BC，∠A=∠ACB=60°，求出∠E=∠CDE，根据三角形外角性质和等腰三角形的性质求出BD=DE，求出AD的长即可；（2）连接BD，求出BD=DE，根据含30°角的直角三角形的性质得出BD=2DF，即可得出答案．【详解】解：（1）∵△ABC为等边三角形，∴AC=BC，∠A=∠ACB=60°，∵D为AC中点，∴CD=AD=AC，∵CE=BC，∴CD=CE，∴∠E=∠CDE，∵∠ACB=∠E+∠CDE，∴∠E=∠CDE=30°，∴∠ADF=∠CDE=30°，∵∠A=60°，∴∠AFD=180°-∠A-∠ADF=90°，∵AF=3，∴AD=2AF=6，（2）连接BD，∵△ABC为等边三角形，D为AC中点，∴BD平分∠ABC，∠ABC=60°，∴∠DBC=∠ABD=∠ABC=30°，∵∠BFD=90°，∴BD=2DF，∵∠DBC=∠E=30°，∴BD=DE，∴DE=2DF，

【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定，三角形的外角性质，三角形的内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．15．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，点E是边BC延长线上一点，连接AE、DE，过点C作CF⊥DE于点F，且DF＝EF．（1）求证：AD＝CE．（2）若CD＝5，AC＝6，求△AEB的面积．【答案】（1）见解析；（2）39【分析】（1）首先根据CF⊥DE，DF＝EF得出CF为DE的中垂线，然后根据垂直平分线的性质得到CD＝CE，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CD＝AD，即可证明AD＝CE；（2）由（1）得CD＝CE=AB=5，由勾股定理求出BC，然后结合三角形的面积公式进行计算．【详解】（1）证明：∵DF＝EF∴点F为DE的中点又∵CF⊥DE∴CF为DE的中垂线∴CD＝CE又∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线∴CD＝=AD∴AD＝CE（2）解：由（1）得CD＝CE==5∴AB=10∴在Rt△ABC中，BC==8∴EB=EC+BC=13∴．【点睛】此题考查了垂直平分线的判定和性质，直角三角形性质，三角形面积公式等知识，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的判定和性质，直角三角形性质，三角形面积公式．16．如图，在△ABC中，D是BC的垂直平分线DH上一点，DF⊥AB于F，DE⊥AC交AC的延长线于E，且BF=CE．（1）若∠BAC=80°，则∠EDF=________．（2）求证：AD平分∠BAC；（3）在（1）的条件下，求∠BCD的度数．【答案】（1）100°；（2）证明见解析；（3）40°．【分析】（1）直接根据四边形内角和为360度求解即可；（2）连接BD，由线段垂直平分线的性质得到BD=CD，证，得到DE=DF，再由DF⊥AB于F，DE⊥AC，即可得到AD平分∠BAC；（3）由，得到∠CDE=∠BDF，则∠BDC=∠EDF，从而得到∠BDC=100°，再由BD=CD，得到．【详解】（1）解：∵DF⊥AB，DE⊥AC，∴∠AFD=∠AED=90°，∵∠AFD+∠AED+∠BAC+∠EDF=360°，∴∠EDF=360