高数导数试题及答案

高数导数试题及答案姓名：____________________

一、选择题（每题3分，共30分）

1.函数y=x^3-3x在x=0处的导数为（）

A.0B.1C.-1D.3

2.函数y=lnx的导数是（）

A.1/xB.xC.lnxD.xlnx

3.如果函数y=f(x)在点x=a处的导数为0，那么（）

A.f(x)在x=a处有极值B.f(x)在x=a处不可导

C.f(x)在x=a处为常数函数D.f(x)在x=a处单调递增

4.设函数f(x)=x^2+2x，则f'(x)等于（）

A.2x+2B.2xC.2x+1D.2x^2+2

5.如果函数y=f(x)在区间(a,b)内可导，那么在(a,b)内（）

A.必定存在一点c，使得f'(c)=0B.必定存在一点c，使得f(c)=0

C.必定存在一点c，使得f(c)=f'(c)D.必定存在一点c，使得f(c)f'(c)=1

6.函数y=x^3-6x^2+9x的导数是（）

A.3x^2-12x+9B.3x^2-12xC.3x^2-12x+1D.3x^2-12x-9

7.如果函数y=f(x)在x=a处的导数为0，那么函数f(x)在x=a处（）

A.必定有极值B.必定有拐点C.必定有拐点或极值D.必定无极值或拐点

8.函数y=|x|的导数在x=0处的值为（）

A.0B.1C.-1D.不存在

9.如果函数y=f(x)在x=a处的导数不存在，那么函数f(x)在x=a处（）

A.必定有极值B.必定有拐点C.必定有拐点或极值D.必定无极值或拐点

10.设函数f(x)=x^2-4x+3，则f'(x)等于（）

A.2x-4B.2xC.2x-1D.2x^2-4

二、填空题（每题3分，共15分）

1.函数y=2x^3+3x^2-4x+1的导数是__________。

2.函数y=x^2+lnx的导数是__________。

3.函数y=x^3-6x^2+9x在x=3处的导数是__________。

4.函数y=|x|在x=0处的导数是__________。

5.函数y=x^2+2x的导数在x=0处的值为__________。

三、解答题（每题10分，共20分）

1.求函数y=2x^3-3x^2+2x在x=1处的导数。

2.求函数y=x^2+lnx在x=1处的导数。

四、证明题（每题10分，共10分）

1.证明：如果函数y=f(x)在区间(a,b)内可导，且f'(x)在(a,b)内恒大于0，那么函数f(x)在区间(a,b)内单调递增。

五、计算题（每题10分，共20分）

1.计算极限：lim(x→0)(sinx/x)^3。

2.计算极限：lim(x→∞)(x^2+3x-4)/(x^2-2x+1)。

六、应用题（每题10分，共10分）

1.已知函数y=3x^2-4x+1，求在x=2时的切线方程。

2.已知函数y=lnx，求在x=e时的切线方程。

试卷答案如下：

一、选择题答案及解析思路：

1.A。函数y=x^3-3x在x=0处的导数为y'=3x^2-3，代入x=0得y'=0。

2.A。函数y=lnx的导数为y'=1/x。

3.A。根据费马定理，如果函数在一点可导且导数为0，则该点为极值点。

4.A。函数f(x)=x^2+2x的导数为f'(x)=2x+2。

5.A。根据罗尔定理，如果一个函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且在两端点的函数值相等，那么在(a,b)内至少存在一点c，使得f'(c)=0。

6.A。函数y=x^3-6x^2+9x的导数为y'=3x^2-12x+9。

7.A。如果函数在一点导数为0，则该点可能是极值点。

8.D。函数y=|x|在x=0处的导数不存在，因为函数在x=0处不可导。

9.D。如果函数在一点导数不存在，则该点可能是极值点或拐点。

10.A。函数f(x)=x^2-4x+3的导数为f'(x)=2x-4。

二、填空题答案及解析思路：

1.y'=6x^2-6x+2。

2.y'=2x+1/x。

3.y'(3)=-9。

4.y'(0)=0。

5.f'(0)=2。

三、解答题答案及解析思路：

1.y'|_{x=1}=2*1^2-4*1+2=0，所以在x=1处的切线方程为y=0。

2.y'|_{x=1}=1+1=2，所以在x=1处的切线方程为y=2x-1。

四、证明题答案及解析思路：

1.证明：设f(x)在区间(a,b)内可导，且f'(x)在(a,b)内恒大于0。任取x1,x2∈(a,b)，且x1<x2，根据拉格朗日中值定理，存在c∈(x1,x2)，使得f'(c)=(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)。由于f'(x)恒大于0，所以f(x2)-f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)。因此，函数f(x)在区间(a,b)内单调递增。

五、计算题答案及解析思路：

1.lim(x→0)(sinx/x)^3=lim(x→0)(sinx/x)^2*(sinx/x)=1^2*1=1。

2.lim(x→∞)(x^2+3x-4)/(x^2-2x+1)=lim(x→∞)(1+3/x-4/x^2)/(1-2/x+1/x^2)=1。

六、应用题答案及解析思路：

1.已知函数y=3x^2-4x+1，求在x=2时的切线方程。首先求导数y'=6x-4，代入x=2得y'=8。切点坐标为(2,3)，切线斜率为8，所以切线方程为y