第1节 数列的概念与简单表示法

考试要求1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数，理解单调性是数列的一项重要性质，可用来求最值．【知识梳理】1．数列的定义按照________________排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．2．数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数________无穷数列项数________项与项间的大小关系递增数列an＋1____an其中n∈N*递减数列an＋1____an常数列an＋1＝an摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是表格法、图象法和解析式法．4．数列的通项公式如果数列{an}的第n项an与它的________之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．5．数列的递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．[常用结论与微点提醒]1．若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))2．在数列{an}中，若an最大，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1.))若an最小，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1.))【诊断自测】1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．()(2)1，1，1，1，…，不能构成一个数列．()(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．()(4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.()2．(选修二P8T3改编)已知数列{an}满足a1＝2，an＝2－eq\f(1,an－1)(n≥2)，则a5＝________，猜想an＝________．3．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2，则{an}的通项公式an＝________．4．已知an＝n2－3n＋1，则数列{an}的最小项为________．考点一由an与Sn的关系求通项例1(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n，则an＝________．(2)已知数列{an}中，Sn是其前n项和，且Sn＝2an＋1，则数列的通项公式an＝________．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________迁移在本例(1)中，若Sn＝n2＋2n＋1，求an.______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升1.已知Sn求an的常用方法是利用an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2，))转化为关于an的关系式，再求通项公式．2．Sn与an关系问题的求解思路方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．训练1(1)(2024·山西名校联考)已知数列{an}满足a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－1)an＝(n＋1)2，n∈N*，则{an}的通项公式an＝________．(2)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________．考点二由数列的递推关系求通项公式角度1累加法——形如an＋1－an＝f(n)，求an例2(2024·西安质检)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋n＋1，则数列{an}的通项公式是________．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________角度2累乘法——形如eq\f(an＋1,an)＝f(n)，求an例3(2023·重庆育才中学调研)已知a1＝2，an＝n(an＋1－an)，则数列{an}的通项公式是an＝()A．n B．n＋1C．2n D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n＋1,n)))eq\s\up12(n)________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升1.形如an＋1＝an＋f(n)的递推关系式，可利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项．2．形如an＋1＝an·f(n)的递推关系式可化为eq\f(an＋1,an)＝f(n)的形式，可用累乘法，也可用an＝eq\f(an,an－1)·eq\f(an－1,an－2)·…·eq\f(a2,a1)·a1代入求出通项．训练2(1)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))，则an等于()A．2＋lnn B．2＋(n－1)lnnC．2＋nlnn D．1＋n＋lnn(2)已知在数列{an}中，a1＝1，eq\f(an＋1,an)＝eq\f(2（n＋1）,n)，则an＝________．考点三数列的性质角度1数列的周期性例4(2024·厦门质检)已知数列{an}满足an＋1＝eq\f(1＋an,1－an)，a1＝2，n∈N*，若Tn＝a1a2…an，n∈N*，则T10＝________．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________角度2数列的单调性例5(多选)(2024·湖南六校联考)已知数列{an}满足a1＝1，eq\f(an＋1,an)＝an＋eq\f(1,an)，则下列说法正确的是()A．an＋1≥2an B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an＋1,an)))是递增数列C．{an＋1－4an}是递增数列 D．an≥n2－2n＋2________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________角度3数列的最值例6(2024·合肥质检)若数列{an}的前n项积bn＝1－eq\f(2,7)n，则an的最大值与最小值之和为()A．－eq\f(1,3) B．eq\f(5,7)C．2 D．eq\f(7,3)________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升1.解决数列单调性问题的三种方法(1)用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列或常数列．(2)用作商比较法，根据eq\f(an＋1,an)(an＞0或an＜0)与“1”的大小关系进行判断．(3)结合相应函数的图象直观判断．2．求数列的最大项或最小项的常用方法(1)函数法，利用函数的单调性求最值．(2)利用eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1))(n≥2)确定最大项，利用eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1))(n≥2)确定最小项