第1节　任意角、弧度制和三角函数的概念

考试要求1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.【知识梳理】1.角的概念的推广(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形.(2)分类eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(按旋转方向不同分为正角、负角、零角Ｗ.,按终边位置不同分为象限角和轴线角.))(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.2.弧度制的定义和公式(1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1rad.(2)公式角α的弧度数公式|α|＝eq\f(l,r)(弧长用l表示)角度与弧度的换算1°＝eq\f(π,180)rad；1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°弧长公式弧长l＝|α|r扇形面积公式S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r23.任意角的三角函数(1)定义前提如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)定义正弦y叫做α的正弦函数，记作sinα，即sinα＝y余弦x叫做α的余弦函数，记作cosα，即cosα＝x正切eq\f(y,x)叫做α的正切函数，记作tanα，即tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数(2)定义的推广设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sinα＝eq\f(y,r)；cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0).[常用结论与微点提醒]1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.2.角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，半径为R，圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公式分别为l＝eq\f(nπR,180)，S＝eq\f(nπR2,360).3.象限角4.轴线角【诊断自测】1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)小于90°的角是锐角.()(2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角.()(3)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关.()(4)若α为第一象限角，则sinα＋cosα>1.()答案(1)×(2)×(3)√(4)√解析(1)锐角的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(2)第一象限角不一定是锐角.2.(必修一P176T7(2))已知α是第一象限角，那么eq\f(α,2)是()A.第一象限角 B.第二象限角C.第一或二象限角 D.第一或三象限角答案D解析易知2kπ＜α＜eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，故kπ＜eq\f(α,2)＜eq\f(π,4)＋kπ，k∈Z，所以eq\f(α,2)是第一或第三象限角.3.(必修一P180T3改编)已知角θ的终边经过点P(－12，5)，则sinθ＋cosθ＝________.答案－eq\f(7,13)解析由三角函数的定义可得sinθ＋cosθ＝eq\f(5,\r(（－12）2＋52))＋eq\f(－12,\r(（－12）2＋52))＝eq\f(5,13)－eq\f(12,13)＝－eq\f(7,13).4.已知扇形的圆心角为30°，其弧长为2π，则此扇形的面积为________.答案12π解析∵α＝30°＝eq\f(π,6)，l＝αr，∴r＝eq\f(2π,\f(π,6))＝12，∴扇形面积S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×2π×12＝12π.考点一象限角及终边相同的角例1(1)(多选)下列命题正确的是()A.终边落在x轴的非负半轴的角的集合为{α|α＝2kπ，k∈Z}B.终边落在y轴上的角的集合为{α|α＝90°＋kπ，k∈Z}C.第三象限角的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|π＋2kπ≤α≤\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z))D.在－720°～0°范围内所有与45°角终边相同的角为－675°和－315°答案AD解析A项显然正确；B中，终边落在y轴上的角的集合为{α|α＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z}，角度与弧度不能混用，故错误；C中，第三象限角的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|π＋2kπ＜α＜\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z))，故错误；D中，所有与45°角终边相同的角可表示为β＝45°＋k·360°，k∈Z，令－720°≤45°＋k·360°＜0°(k∈Z)，解得－eq\f(17,8)≤k＜－eq\f(1,8)(k∈Z)，从而当k＝－2时，β＝－675°；当k＝－1时，β＝－315°，故正确.(2)已知角θ在第二象限，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(θ,2)))＝－sineq\f(θ,2)，则角eq\f(θ,2)在()A.第一象限或第三象限B.第二象限或第四象限C.第三象限D.第四象限答案C解析∵角θ是第二象限角，∴θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋π))，k∈Z，∴eq\f(θ,2)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,4)，kπ＋\f(π,2)))，k∈Z，∴角eq\f(θ,2)在第一或第三象限.又eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(θ,2)))＝－sineq\f(θ,2)，∴sineq\f(θ,2)＜0，∴角eq\f(θ,2)在第三象限.感悟提升1.利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角.2.确定kα，eq\f(α,k)(k∈N*)的终边位置的方法先写出kα或eq\f(α,k)的范围，然后根据k的可能取值确定kα或eq\f(α,k)的终边所在的位置.训练1(1)集合{α|kπ＋eq\f(π,4)≤α≤kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是()答案C解析当k取偶数时，比如k＝0，此时eq\f(π,4)≤α≤eq\f(π,2)，故角的终边在第一象限或y轴正半轴；当k取奇数时，比如k＝1，此时eq\f(5π,4)≤α≤eq\f(3π,2)，故角的终边在第三象限或y轴的负半轴.综上，角的终边在第一象限或第三象限或y轴上.(2)终边在直线y＝eq\r(3)x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________________.答案eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)π，－\f(2,3)π，\f(π,3)，\f(4,3)π))解析在坐标系中画出直线y＝eq\r(3)x，可以发现它与x轴的夹角为eq\f(π,3)，在[0，2π)内，终边在直线y＝eq\r(3)x上的角有eq\f(π,3)和eq\f(4,3)π；在[－2π，0)内满足条件的角有－eq\f(2,3)π和－eq\f(5,3)π，故满足条件的角α构成的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)π，－\f(2,3)π，\f(π,3)，\f(4,3)π)).考点二弧度制及其应用例2已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l(α>0).(1)已知扇形的周长为10cm，面积是4cm2，求扇形的圆心角；(2)若扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？解(1)由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2R＋Rα＝10，,\f(1,2)α·R2＝4，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(R＝1，,α＝8))(舍去)，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(R＝4，,α＝\f(1,2).))故扇形的圆心角为eq\f(1,2).(2)由已知，得l＋2R＝20.所以S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以当R＝5cm时，S取得最大值25cm2，此时l＝10cm，α＝2.感悟提升应用弧度制解决问题时应注意：(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.训练2(1)(2024·贵港模拟)图①是杭州第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，图②是会徽的几何图形，设弧AD的长度是l1，弧BC的长度是l2，扇环ABCD的面积为S1，扇形BOC的面积为S2.若eq\f(l1,l2)＝3，则eq\f(S1,S2)＝()A.3 B.4 C.6 D.8答案D解析因为eq\f(l1,l2)＝3，所以eq\f(|OA|,|OB|)＝3，又因为S扇形AOD＝eq\f(1,2)l1·|OA|，S扇形BOC＝eq\f(1,2)l2·|OB|，所以eq\f(S扇形AOD,S扇形BOC)＝eq\f(l1·|OA|,l2·|OB|)＝9，所以eq\f(S扇环ABCD,S扇形BOC)＝8，即eq\f(S1,S2)＝8.(2)数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法：先画等边△ABC，再分别以A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形(如图所示).若莱洛三角形的周长为2π，则其面积是________.答案2π－2eq\r(3)解析由条件可知，弧长eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))＝eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\f(2π,3)，等边三角形的边长AB＝BC＝AC＝eq\f(\f(2π,3),\f(π,3))＝2，则以点A，B，C为圆心，圆弧AB，BC，AC所对的扇形面积为eq\f(1,2)×eq\f(2π,3)×2＝eq\f(2π,3)，中间等边△ABC的面积S＝eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\r(3).所以莱洛三角形的面积是3×eq\f(2π,3)－2eq\r(3)＝2π－2eq\r(3).考点三三角函数的定义及应用角度1三角函数的定义例3(1)(2024·湖北新高考协作体考试)已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合.若Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,3)，1))是角α终边上一点，则sinα＝()A.eq\f(\r(5),5) B.eq\f(\r(3),2) C.eq\f(1,2) D.eq\f(2\r(5),5)答案D解析依题意，点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，则|OP|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2)＋12)＝eq\f(\r(5),2)，∴sinα＝eq\f(1,\f(\r(5),2))＝eq\f(2\r(5),5).(2)(2024·豫北名校联考)已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(－4m，3m)(m≠0)，则2sinα＋cosα的值为________.答案eq\f(2,5)或－eq\f(2,5)解析由题意得，点P与原点间的距离r＝eq\r(（－4m）2＋（3m）2)＝5|m|，所以sinα＝eq\f(3m,5|m|)，cosα＝eq\f(－4m,5|m|)，当m>0时，sinα＝eq\f(3,5)，cosα＝－eq\f(4,5)，故2sinα＋cosα＝eq\f(2,5)；当m<0时，sinα＝－eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(4,5)，故2sinα＋cosα＝－eq\f(2,5).角度2三角函数值符号的判定例4(1)(2024·成都石室中学模拟)若α是第三象限角，则下列各式中成立的是()A.tanα－sinα>0 B.sinα＋cosα>0C.cosα－tanα>0 D.tanαsinα>0答案A解析因为α是第三象限角，所以sinα<0，cosα<0，tanα>0，对于A，tanα－sinα>0，故A正确；对于B，sinα＋cosα<0，故B错误；对于C，cosα－tanα<0，故C错误；对于D，tanαsinα<0，故D错误.(2)(多选)(2024·衢州质检)若sinxcosx>0，sinx＋cosx>0，则eq\f(x,2)可以是()A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角答案AC解析因为sinxcosx>0，sinx＋cosx>0，所以sinx>0，cosx>0，故x是第一象限角，由2kπ<x<2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，得kπ<eq\f(x,2)<kπ＋eq\f(π,4)，k∈Z，当k为偶数时，eq\f(x,2)是第一象限角，当x为奇数时，eq\f(x,2)是第三象限角，故选AC.感悟提升1.三角函数定义的应用(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值.(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值.2.要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解.训练3(1)已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若点P(sinα，tanα)在第四象限，则角α的终边在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案B解析∵点P(sinα，tanα)在第四象限，∴sinα>0，tanα<0，∴角α的终边在第二象限.(2)(多选)(2024·青岛调研)已知角α的始边与x轴非负半轴重合，终边在直线y＝4x上，则eq\f(sinα－2cosα,tanα)的值可能是()A.eq\f(7\r(17),68) B.eq\f(\r(17),34)C.－eq\f(7\r(17),68) D.－eq\f(\r(17),34)答案BD解析由题意，若角α的终边位于第一象限，令x＝1，则y＝4，故cosα＝eq\f(1,\r(12＋42))＝eq\f(1,\r(17))，sinα＝eq\f(4,\r(12＋42))＝eq\f(4,\r(17))，tanα＝4，则eq\f(sinα－2cosα,tanα)＝eq\f(\r(17),34)；若角α的终边位于第三象限，令x＝－1，则y＝－4，故cosα＝－eq\f(1,\r(（－1）2＋（－4）2))＝－eq\f(1,\r(17))，sinα＝－eq\f(4,\r(（－1）2＋（－4）2))＝－eq\f(4,\r(17))，tanα＝4，则eq\f(sinα－2cosα,tanα)＝－eq\f(\r(17),34).【A级基础巩固】1.下列与角eq\f(9π,4)的终边相同的角的表达式中正确的是()A.2kπ＋45°(k∈Z)B.k·360°＋eq\f(9π,4)(k∈Z)C.k·360°－315°(k∈Z)D.kπ＋eq\f(5π,4)(k∈Z)答案C解析与角eq\f(9π,4)的终边相同的角可以写成2kπ＋eq\f(9π,4)(k∈Z)或k·360°＋45°(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，排除A，B，易知D错误，C正确.2.若sinθ·cosθ<0，eq\f(tanθ,sinθ)>0，则角θ是()A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角答案D解析由eq\f(tanθ,sinθ)>0，得eq\f(1,cosθ)>0，所以cosθ>0.又sinθ·cosθ<0，所以sinθ<0，所以θ为第四象限角.3.(2024·南通质检)已知点P(1，t)在角θ的终边上，且sinθ＝－eq\f(\r(6),3)，则cosθ的值为()A.eq\f(\r(3),3) B.±eq\f(\r(3),3) C.±eq\f(1,3) D.eq\f(1,3)答案A解析由点P(1，t)在角θ的终边上，知sinθ＝－eq\f(\r(6),3)＝eq\f(t,\r(t2＋1))，得t＝－eq\r(2)，可得角θ为第四象限角，∴cosθ＝eq\f(1,\r(t2＋1))＝eq\f(\r(3),3).4.在平面直角坐标系中，角α的终边过点(－1，0)，将α的终边绕原点按逆时针方向旋转120°与角β的终边重合，则cosβ＝()A.eq\f(1,2) B.－eq\f(1,2) C.eq\f(\r(3),2) D.－eq\f(\r(3),2)答案A解析由题意知α＝π＋2kπ，k∈Z，∴β＝eq\f(5π,3)＋2kπ，k∈Z，故cosβ＝coseq\f(5π,3)＝eq\f(1,2).5.(2024·广州调研)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，m)，B(m，4)，则cosα＝()A.±eq\f(\r(5),5) B.eq\f(\r(5),5) C.±eq\f(2\r(5),5) D.eq\f(2\r(5),5)答案B解析记O为坐标原点，由题意可知O(0，0)，A(1，m)，B(m，4)三点共线，则m≠0，所以eq\f(m,1)＝eq\f(4,m)，解得m＝±2，又A，B两点位于同一象限，所以m＝2，则A(1，2)，所以cosα＝eq\f(1,\r(12＋22))＝eq\f(1,\r(5))＝eq\f(\r(5),5).6.(多选)下列说法正确的有()A.角eq\f(π,3)与角－eq\f(5,3)π终边相同B.终边在直线y＝－x上的角α的取值集合可表示为{α|α＝k·360°－45°，k∈Z}C.若角α的终边在直线y＝－3x上，则cosα的取值为eq\f(\r(10),10)D.67°30′化成弧度是eq\f(3π,8)答案AD解析角eq\f(π,3)与角－eq\f(5,3)π相差2π，终边相同，故A正确；终边在直线y＝－x上的角α的取值集合可表示为{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}，故B错误；若角α的终边在直线y＝－3x上，则cosα的取值为±eq\f(\r(10),10)，故C错误；67°30′化成弧度是eq\f(3π,8)，故D正确.7.(2023·西安二模)扇面是中国书画作品的一种重要表现形式(如图1)，图2为其结构简化图.设扇面A，B间的圆弧长为l，A，B间的弦长为d，圆弧所对的圆心角为θ，则l，d和θ所满足的关系为()A.eq\f(2sin\f(θ,2),θ)＝eq\f(d,l) B.eq\f(sin\f(θ,2),θ)＝eq\f(d,l)C.eq\f(2cos\f(θ,2),θ)＝eq\f(d,l) D.eq\f(cos\f(θ,2),θ)＝eq\f(d,l)答案A解析如图，连接AB，取AB的中点为D，连接OD，由题意可得AD＝eq\f(1,2)d，∠DOA＝eq\f(θ,2)，OD⊥AB，设OA＝r，在Rt△ADO中，sineq\f(θ,2)＝eq\f(\f(1,2)d,r)，①又l＝rθ，②所以由①②可得eq\f(l,θ)＝eq\f(\f(1,2)d,sin\f(θ,2))，即eq\f(2sin\f(θ,2),θ)＝eq\f(d,l).8.(多选)已知点P(sinx－cosx，－3)在第三象限，则x可能位于的区间是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,4)，\f(9π,4))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(3π,4)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)，\f(π,4)))答案AD解析由点P(sinx－cosx，－3)在第三象限，可得sinx－cosx<0，即sinx<cosx，所以－eq\f(3π,4)＋2kπ<x<eq\f(π,4)＋2kπ，k∈Z.当k＝0时，x所在的一个区间是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)，\f(π,4)))，当k＝1时，x所在的一个区间是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,4)，\f(9π,4))).9.若α＝1560°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝________.答案120°或－240°解析因为α＝1560°＝4×360°＋120°，所以与α终边相同的角为360°×k＋120°，k∈Z，令k＝－1或k＝0，可得θ＝－240°或θ＝120°.10.已知扇形的圆心角为120°，弧长为2π，则扇形面积为________.答案3π解析∵120°＝eq\f(2π,3)，l＝αr，∴r＝eq\f(l,α)＝eq\f(2π,\f(2π,3))＝3，∴S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×2π×3＝3π.11.(2021·北京卷)若P(cosθ，sinθ)与Qeq\b\lc\((\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))))，eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))))关于y轴对称，写出一个符合题意的θ值为________.答案eq\f(5π,12)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＝\f(5π,12)＋kπ，k∈Z，答案不唯一))解析由题意知，点P，Q都在单位圆上，且θ＋θ＋eq\f(π,6)＝π＋2kπ，k∈Z，所以θ＝eq\f(5π,12)＋kπ，k∈Z.12.如图，在Rt△PBO中，∠PBO＝90°，以O为圆心、OB为半径作圆弧交OP于点A.若圆弧AB等分△POB的面积，且∠AOB＝α，则eq\f(α,tanα)＝______.答案eq\f(1,2)解析设扇形的半径为r，则扇形的面积为eq\f(1,2)αr2.在Rt△PBO中，PB＝rtanα，所以△POB的面积为eq\f(1,2)r·rtanα.由题意得eq\f(1,2)r2tanα＝2×eq\f(1,2)αr2，所以tanα＝2α，所以eq\f(α,tanα)＝eq\f(1,2).【B级能力提升】13.(多选)(2024·南开中学质检)已知角α是第二象限角，则下列不等式一定成立的是()A.sineq\f(α,2)<0 B.taneq\f(α,2)>0C.sineq\f(α,2)>coseq\f(α,2) D.eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)))>eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2)))答案BD解析由题设，2kπ＋eq\f(π,2)<α<2kπ＋π，k∈Z，故kπ＋eq\f(π,4)<eq\f(α,2)<kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，当k＝2n，n∈Z时，2nπ＋eq\f(π,4)<eq\f(α,2)<2nπ＋eq\f(π,2)，n∈Z，则角eq\f(α,2)的终边在第一象限左上部分(不含边界)；当k＝2n＋1，n∈Z时，2nπ＋eq\f(5π,4)<eq\f(α,2)<2nπ＋eq\f(3π,2)，n∈Z，则角eq\f(α,2)的终边在第三象限右下部分(不含边界)；所以角eq\f(α,2)的终边在第一象限左上部分或第三象限右下部分(不含边界)；故sineq\f(α,2)符号不确定，且与coseq\f(α,2)大小关系不确定，taneq\f(α,2)>0，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)))>eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2))).B，D正确.14.(2024·绵阳模拟)月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景”之一，得名“月泉晓彻”，因其形酷似一弯新月而得名.如图所示，某月牙泉模型的边缘都可以看作是圆弧，两段圆弧