第1节 任意角、弧度制和三角函数的概念

考试要求1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．【知识梳理】1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的________旋转所形成的图形．(2)分类eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(按旋转方向不同分为、、.,按终边位置不同分为和轴线角.))(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度制的定义和公式(1)定义：长度等于________的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1rad.(2)公式角α的弧度数公式|α|＝eq\f(l,r)(弧长用l表示)角度与弧度的换算1°＝eq\f(π,180)rad；1rad＝________弧长公式弧长l＝________扇形面积公式S＝________＝________3.任意角的三角函数(1)定义前提如图，设α是一个任意角，它的终边与________交于点P(x，y)定义正弦______叫做α的正弦函数，记作sinα，即sinα＝________余弦________叫做α的余弦函数，记作cosα，即cosα＝________正切_________________叫做α的正切函数，记作tanα，即tanα＝________(x≠0)三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数(2)定义的推广设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sinα＝________；cosα＝________，tanα＝________(x≠0)．[常用结论与微点提醒]1．三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦．2．角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，半径为R，圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公式分别为l＝eq\f(nπR,180)，S＝eq\f(nπR2,360).3．象限角4．轴线角【诊断自测】1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)小于90°的角是锐角．()(2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角．()(3)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．()(4)若α为第一象限角，则sinα＋cosα>1.()2．(必修一P176T7(2))已知α是第一象限角，那么eq\f(α,2)是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第一或二象限角 D．第一或三象限角3．(必修一P180T3改编)已知角θ的终边经过点P(－12，5)，则sinθ＋cosθ＝________．4．已知扇形的圆心角为30°，其弧长为2π，则此扇形的面积为________.考点一象限角及终边相同的角例1(1)(多选)下列命题正确的是()A．终边落在x轴的非负半轴的角的集合为{α|α＝2kπ，k∈Z}B．终边落在y轴上的角的集合为{α|α＝90°＋kπ，k∈Z}C．第三象限角的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|π＋2kπ≤α≤\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z))D．在－720°～0°范围内所有与45°角终边相同的角为－675°和－315°(2)已知角θ在第二象限，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(θ,2)))＝－sineq\f(θ,2)，则角eq\f(θ,2)在()A．第一象限或第三象限 B．第二象限或第四象限C．第三象限 D．第四象限________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升1.利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角．2．确定kα，eq\f(α,k)(k∈N*)的终边位置的方法先写出kα或eq\f(α,k)的范围，然后根据k的可能取值确定kα或eq\f(α,k)的终边所在的位置．训练1(1)集合{α|kπ＋eq\f(π,4)≤α≤kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是()(2)终边在直线y＝eq\r(3)x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________________．考点二弧度制及其应用例2已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l(α>0)．(1)已知扇形的周长为10cm，面积是4cm2，求扇形的圆心角；(2)若扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升应用弧度制解决问题时应注意：(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．训练2(1)(2024·贵港模拟)图①是杭州第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，图②是会徽的几何图形，设弧AD的长度是l1，弧BC的长度是l2，扇环ABCD的面积为S1，扇形BOC的面积为S2.若eq\f(l1,l2)＝3，则eq\f(S1,S2)＝()A．3 B．4C．6 D．8(2)数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边△ABC，再分别以A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形(如图所示)．若莱洛三角形的周长为2π，则其面积是________．考点三三角函数的定义及应用角度1三角函数的定义例3(1)(2024·湖北新高考协作体考试)已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合．若Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,3)，1))是角α终边上一点，则sinα＝()A.eq\f(\r(5),5) B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2\r(5),5)(2)(2024·豫北名校联考)已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(－4m，3m)(m≠0)，则2sinα＋cosα的值为________．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________角度2三角函数值符号的判定例4(1)(2024·成都石室中学模拟)若α是第三象限角，则下列各式中成立的是()A．tanα－sinα>0 B．sinα＋cosα>0C．cosα－tanα>0 D．tanαsinα>0(2)(多选)(2024·衢州质检)若sinxcosx>0，sinx＋cosx>0，则eq\f(x,2)可以是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升1.三角函数定义的应用(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值．(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值．2．要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号．如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解．训练3(1)已知角α的